S’il n’y avait pas de parties nulles, les scores seraient entiers, et s’ils sont conformes au classement ELO, on auraitSi = 10−i

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Enoncé nôG.216 (Diophante, juin 2005) Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Première partie

Je note J₁, J₂, . . . les joueurs, selon leur classement ELO. Leurs scores sont S₁, S₂, . . .. L’´enonc´e fournit les relations :

Si> Si+1,

S₁+S₂ =S₅+S₆+S₇+S₈+S₉+S₁₀(*),

S₁+S₄+S₆+S₈ =S₂+S₃+S₅+S₇+S₉+S₁₀−5.

Cette dernière relation équivaut, comme ^P_iSi = 45, à S₁+S₄+S₆+S₈ = 20 (**).

S’il n’y avait pas de parties nulles, les scores seraient entiers, et s’ils sont conformes au classement ELO, on auraitSi = 10−i.

Les 4 parties nulles ne cr´eent que 4 scores demi-entiers au plus, carJ₅ etJ₁₀ ont des scores entiers avec 2 parties nulles chacun. Les scores demi-entiers concernent les joueurs avec qui ils font nulle (ils ne font pas nulle entre eux).

Je cherche d’abord une solution telle que les parties non nulles respectent le classement ELO.

Grˆace aux deux nulles, S₁₀ ≥1, il faut S₉ ≥1,5, ce qui peut ˆetre satisfait par une nulleJ₅−J₉.

Si l’autre nulle deJ5était avec un joueur moins bien classé, on auraitS5= 4 et il faudrait que J₆ ait été battu ou fasse nulle avec un joueur moins bien classé : ce cas est à écarter. On a donc S₅ = 5, S₆ = 4, S₇ = 3, S₈ = 2, S9= 1,5,S10= 1.

Cela entraˆıne par (*) S₁+S₂ = 16,5, et J₁ ou J₂ a fait nulle avec J₁₀, de mˆeme que J₃. On a ensuite S₃+S₄ = 12, ce qui montre que S₃ = 6,5 et S4= 5,5, puis queJ4 a fait nulle avec J5.

Enfin, par (**), le score total des Russes est 20 puisqu’il y a 45 points en tout, etS₁ = 20−S₄−S₆−S₈ = 8,5, c’est J₁ qui a fait nulle avecJ₁₀, et S2= 8.

Finalement, la grille de r´esultats est conforme au classement ELO, sauf les 4 nullesJ₁−J₁₀,J₃−J₁₀,J₄−J₅,J₅−J₉.

Peut-il y avoir des parties non nulles `a r´esultat contraire au classement ELO ?

SiJ_i est battu par un plus faible, sans que ce soit le cas de J_i+1, on risque d’avoirSi =Si+1 = 9−i, à moins que ce ne soit corrigé par des nulles ou d’autres victoires non conformes au classement ELO. J’observe que siJ_b bat J_a, mieux classé, et est battu parJ_c, moins bien classé, alors queJ_a batJ_c, les scores sont les mêmes que si Jc battait Ja, Ja battant Jb et Jb battant Jc. L’hypothèse où Jc battrait à la fois Ja etJ_b perturberait le classement

`

a un point tel qu’elle n’est pas à retenir. Pour établir la liste des scores, je peux donc supposer qu’un joueur n’est pas à la fois vainqueur d’un mieux classé et battu par un moins bien classé. C’est essentiellement aux parties

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nulles de rétablir S_i > S_i+1. Les nulles possibles étant très encadrées par l’énoncé, cela conduit (par des raisonnements analogues aux précédents) au tableau suivant, où la colonne de gauche donne les victoires contraires au classement ELO, et les 2 colonnes de droite indiquent la conformité de la liste aux conditions (*) et (**).

nulles scores(S₁ `a S₁₀) (*) (**)

J₃batJ₁ J₅ etJ₃, J₉; J10 etJ2, J3

8 ; 7,5 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1,5 ; 1

non oui

J5batJ1 J5 etJ7, J9; J10 etJ2, J3

8 ; 7,5 ; 6,5 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3,5 ; 2 ; 1,5 ; 1

non oui

J5batJ2 J5 etJ7, J9; J₁₀ etJ₁, J₃

8,5 ; 7 ; 6,5 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3,5 ; 2 ; 1,5 ; 1

non non

J₉batJ₁ J₅ etJ₄, J₈; J₁₀ etJ₂, J₃

8 ; 7,5 ; 6,5 ; 5,5 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2,5 ; 2 ; 1

non oui

J₉batJ₂ J₅ etJ₄, J₈; J10 etJ1, J3

8,5 ; 7 ; 6,5 ; 5,5 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2,5 ; 2 ; 1

non oui

J₉batJ₃ J₅ etJ₄, J₈; J10 etJ1, J2

8,5 ; 7,5 ; 6 ; 5,5 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2,5 ; 2 ; 1

non non

J9batJ6 J5 etJ6, J8; J₁₀ etJ₁, J₂

8,5 ; 7,5 ; 7 ; 6 ; 4 ; 3,5 ; 3 ; 2,5 ; 2 ; 1

oui non

On voit que les conditions (*) et (**) ne laissent subsister aucune solution avec victoires contraires au classement ELO.

Remarques. Si J5 bat J2, la nulle J5−J7 peut ˆetre remplac´ee par J5−J6

ouJ5−J8; de même siJ5 batJ1, mais (**) n’est plus vérifiée. SiJ9 batJ6, la nulle J₁₀−J₃ peut remplacer J₁₀−J₁ ou J₁₀−J₂, mais (*) n’est plus vérifiée.

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Seconde partie Je note

u le nombre de parties nulles du match J2−J3 et x l’avantage de points qu’il procure `a J₂ sur J₃,

vle nombre de parties nulles du matchJ3−J₁ etyl’avantage de points qu’il procure `a J3 surJ1,

w le nombre de parties nulles du match J₁ −J₂ et z l’avantage de points qu’il procure `a J1 sur J2.

Ce sont des entiers, ≥ 0 pouru, v, w, relatifs pour x, y, z, avec u+|x| ≤ 7 et les in´egalit´es analogues.

Ces 6 paramètres déterminent les nombres de victoiresV_i, de défaitesD_i et le scoreSi de chaque joueurJi (i= 1,2,3), à partir du tableau suivant.

match J2−J3 J3−J1 J1−J2

2V1 − 7−y−v 7 +z−w 2V₂ 7 +x−u − 7−z−w 2V₃ 7−x−u 7 +y−v − 2D₁ − 7 +y−v 7−z−w 2D2 7−x−u − 7 +z−w 2D3 7 +x−u 7−y−v −

2S1 − 7−y 7 +z

2S₂ 7 +x − 7−z

2S3 7−x 7 +y −

On en tire

parV1 > V3 et V1 > V2, 3y−u+w < x+y+z <3z+u−v, parD₂ < D₁ et D₂ < D₃, 3z−u+v < x+y+z <3x−v+w, parS3 > S2 et S3> S1, 3x < x+y+z <3y.

S’agissant d’entiers, inégalité stricte équivaut à différence 1 au moins, d’où 3x≤3y−2, 3y−u+w≤3x−v+w−2, puis

x≤y−1, 3≤3(y−x)≤u−v−2≤u−2≤5,

y=x+ 1, d’o`u 2S3 = 14−x+y= 15, Topalov a 7,5 points.

Il reste 13,5 points à partager entre S₁ etS₂, chacun étant inférieur à 7,5.

Cela exige que ces scores soient 6,5 et 7 (à l’ordre près), et par conséquent z=x ouz=y.

Cela permet de dresser le tableau

i 1 2 3

2V_i 13−v−w 14−u−w 15−u−v z=x 2D_i 15−v−w 14−u−w 13−u−v

2Si 13 14 15

2Vi 14−v−w 13−u−w 15−u−v z=y 2D_i 14−v−w 15−u−w 13−u−v

2S_i 14 13 15

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Cas z=x

Les résultats de l’énoncé donnent les inégalités u > w+ 2 > v+ 3, mais le tableau montre aussi que u et w sont de parité contraire à v. S’agissant d’entiers de même parité, inégalité stricte équivaut à différence 2 au moins.

Par cons´equent u≥w+ 4≥v+ 7, d’o`u la solution (car 0≤u, v, w ≤7) (u, v, w) = (7,0,3), V1 = 5,D2 = 2, (x, y, z) = (0,1,0).

Cas z=y

On a de même dans ce cas les inégalités u > w+ 1 > v+ 3, en outre v et w sont de parité contraire à u. Par conséquent u≥ w+ 3≥v+ 7, d’où la solution (u, v, w) = (7,0,4), qui conduit à (x, y, z) = (0,1,1) puis à nouveau V₁ = 5,D₂ = 2.

Conclusion : Kasparov a gagné 5 parties (sur 14), Anand en a perdu 2, Topalov gagne le tournoi avec 7,5 points, mais l’énoncé ne permet pas de déterminer le résultat du match Kasparov-Anand, ni le classement complet du tournoi (qui est le second avec 7 points ?).

Le match Anand-Topalov a donné 7 parties nulles, le match Kasparov- Topalov 4 victoires à Topalov pour 3 à Kasparov. Le match Kasparov-Anand a donné 2 victoires à Kasparov, et 1 ou 2 à Anand, avec 4 ou 3 nulles.

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