E605 - Des entiers organisés pour bien diviser
Solution
Il est aisé de vérifier manuellement qu’il n’ y a aucune séquence de 3,4,5,6,7,8,9 ou 10 nombres qui a la propriété demandée. En effet pour les séquences très courtes, l’impossibilité apparaît très vite. Si l’on prend le cas la séquence de 10 nombres entiers consécutifs, il y a au maximum 5 nombres pairs qui ont 2 comme PGCD, 3 nombres (dont l’un au moins est pair) qui ont 3 pour PGCD, 2 nombres (dont l’un au moins est pair) qui ont 5 pour PGCD et 2 nombres (dont l’un au moins est pair) qui ont 7 pour PGCD. Dès lors, en additionnant le nombre de couples de PGCD possibles (5+3+2+2) et en retranchant le nombre de
changements de facteurs communs (3), on ne peut inscrire que 5+3+2+2-3 = 9 nombres A,B,C,D,E,F,G,H,I . A titre d’exemple, on le vérifie sur la séquence suivante : A 5 B 2 C 2 D 2 E 2 F 3 G 3 H 7 I (les chiffres insérés entre deux nombres correspondent à leur PGCD).
Pour les séquences de longueur supérieure, l’aide d’un ordinateur conjuguée à celle de table des 1000 premiers nombres premiers se révèle utile. Il apparaît d’après cette table que les 1000 premiers nombres premiers sont assez bien dispersés et que les écarts entre 2 nombres premiers consécutifs sont généralement inférieurs à 10. Les plages possibles identifiées selon leur longueur L par des couleurs distinctes (L=11 en jaune, L=13 en bleu et L>=15 en vert) et qui excluent donc tout nombre premier sont les suivantes:
212-222, 294-306, 318-330, 510-520, 524-540, 620-630, 798-808, 840-852, 864-876, 888- 906, 954-966, 998-1008, 1070-1086, 1130-1150, 1202-1212, 1260-1276, 1308-1318, 1382- 1398, 1410-1422, 1460-1470, 1500-1510,1512-1522, 1532-1542, 1584-1596, 1638-1656, 1670-1692,1710-1720, 1760-1776, 1790-1800, 1812-1822, 1832-1846, 1848-1860, 1890- 1900, 1914-1930, 1934-1948, 1952-1972, 2040-2052, 2070-2080, 2100-2110, 2114- 2128,2162-2178, 2180-2202, 2222-2136, etc….
On constate que les plages de longueur L=11 ne conviennent pas car elles contiennent des multiples de 11,13,17,19,23,29,31…qui n’ont pas de facteurs communs avec les nombres entiers figurant dans la même plage. Même constat pour les plages de longueur 13 et de longueur 15 qui contiennent respectivement des multiples de 13,17,29,23,29,31, …et de 17,19,23,29,31,.. sans facteur commun avec les autres nombres entiers appartenant aux mêmes plages.
La première séquence qui convient est la séquence 2180-2202 à l’intérieur de laquelle on extrait les 17 entiers consécutifs 2184 à 2202 qui réarrangés donnent 16 couples d’entiers ayant tous des PGCD supérieurs à 1 : 2197, 2184, 291, 2198, 2186, 2188, 2192, 2194, 2196, 2187, 2193, 2199, 2190, 2185, 2195, 2200, 2189, la séquence des PGCD étant
respectivement 13, 7, 7, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 11.
On trouve ci-après la figure donnant le chemin hamiltonien allant du point 2197 au point 2189 sans passer deux fois par le même point :
