E338 ‒ L'étape du Tour de France [** à la main]
Cette étape qui relie les villes A à B comporte trois types de tronçons: terrain plat, terrain vallonné avec pente moyenne inférieure à 5% et terrain accidenté avec pente moyenne supérieure à 5%. Selon que les coureurs sont en montée ou en descente ou sur terrain plat, on observe ainsi cinq vitesses moyennes distinctes.
Zig dit à Puce: "Quand les coureurs vont de A à B, la durée de l'étape est de 6 heures avec une vitesse moyenne sur terrain accidenté de 18 km/h(¹) à la montée et une vitesse moyenne de 42 km/ sur terrain vallonné à la descente. Quand ils vont de B à A, cette durée est de 7 heures."
Peux-tu me donner la longueur de l'étape qui est un nombre entier de kilomètres?"
Puce: "La réponse est évidemment impossible.Il me manque trop de données"
Zig : "Sache que les trois autres vitesses moyennes exprimées en km/h sont des nombres entiers et les cinq vitesses sont telles que tu peux trouver la réponse sans qu'il soit nécessaire que je t'en donne les valeurs.
Pouvez-vous aider Puce à trouver la longueur de l'étape?
(1)Nota: km/h = kilomètres par heure
Réponse de Raymond Bloch.
Si P, V, A sont resp. les distances en km en plat, en vallonné et en accidenté, et si vP , vMV et vDA sont resp. les vitesses sur le plat, en montée vallonnée et en descente accidentée en km/h, la durée totale de l’aller et retour est :
13 = 2 P/vP + V ( 1/42 + 1/vMV ) + A ( 1/vDA + 1/18 ) (1)
Si « les 5 vitesses sont telles qu’on peut trouver la réponse sans les connaître », c’est que les coefficients de P, V et A dans (1) sont égaux, ce qui permet de calculer la longueur totale de l’étape P + V + A.
Et alors :
1/42 + 1/vMV = 1/vDA + 1/18 = 2/vP , D’où 1/vM ‒ 1/vDA = 2/63
et vP = (84 vMV ) /( vMV + 42 ) = 84 – 42*84/( vMV + 42)
La plus petite valeur de vMV > 18 donnant une valeur entière est vMV = 21 km/h, d’où vP = 28 km/h et vDA = 63 km/h.
La distance totale est donnée par (1) : P + V + A = 13*vP /2 =182 km.
NB L'autre valeur possible du couple (vMV = 30, vP = 35) qui conduit à une valeur irréaliste de vDA = 630 km/h a été exclue.
