Séquence 12 : Proportionnalité et fonctions linéaire Attendu de fin de cycle :

Séquence 12 : Proportionnalité et fonctions linéaire

Attendu de fin de cycle :

 Comprendre et utiliser la notion de fonction

 Résoudre des problèmes de proportionnalité

 Calculer avec des grandeurs mesurables, exprimer les résultats dans les unités adaptées.

Objectifs de la séquence :

 Résoudre des problèmes de proportionnalité.

 Modéliser des situations de proportionnalité par une fonction linéaire. (Comprendre la notion de fonction linéaire)

 Application « pourcentages » : résoudre des problèmes en utilisant les fonctions linéaires

Plan de la séquence :

Réactiver les prérequis : Proportionnalité / Notion de fonction / Vitesse moyenne

I- Synthèse sur la proportionnalité

I-1- Coefficient de proportionnalité (Rappels)

I-2- Compléter un tableau de proportionnalité. (Rappels) I-3- Représentation graphique

II- Proportionnalité et fonction linéaire Activité de découverte (Fonction linéaire) II-1- Définition

II-2- Tableau de valeur II-3- Image et antécédent II-4- Représentation graphique

III- Pourcentages et fonction linéaire.

III-1- Appliquer un pourcentage III-2- Pourcentage de réduction III-3- Pourcentage d’augmentation III-4- Bilan

Séquence 12 : Proportionnalité et fonctions linéaire

I- Synthèse sur la proportionnalité

I-1- Coefficient de proportionnalité (Rappels).

Définition : On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul, appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemple :

Prix des pommes en fonction de leur masse.

……….

……….

………..

I-2- Compléter un tableau de proportionnalité. (Rappels) Exemple :

Le prix des croissants est proportionnel à leur nombre.

 Avec un coefficient de proportionnalité :………

……….

……….

 En multipliant une colonne par un nombre :

………

………

 En additionnant deux colonnes :

……….

……….

 Avec l’égalité des produits en croix :

……….

……….

I-3- Représentation graphique :

Dans un repère, si des points représentent graphiquement une situation de proportionnalité, alors ces points sont alignés avec l’origine du repère.

Réciproquement, si dans un repère, des points sont alignés avec l’origine du repère, alors cette courbe représente une situation de proportionnalité.

Masse (kg)

0.5 1.5 2

Prix (€) 1.45 4.35 5.8

Nombre de croissants

6 10 12 z Prix (€) 3.6 x y 9.6

Activité de découverte (Fonction linéaire).

Application directe : Recontextualisation de la notion : faire l’exercice 19 P291

II- Proportionnalité et fonction linéaire

A toute situation de proportionnalité, on peut associer une fonction, appelée fonction linéaire. On dit que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité.

II-1- Définition : a désigne un nombre.

La fonction linéaire de coefficient 𝒂 est la fonction qui à un nombre 𝑥 associe le nombre 𝒂× 𝑥 Si on appelle 𝑓 cette fonction linéaire, alors c’est donc la fonction notée:

𝑓: 𝑥 𝒂𝑥 ou 𝑓(𝑥) =𝒂𝑥

Exemple :

Parmi les fonctions suivantes, entourer celles qui sont linéaires. Pour ces dernières donner leur coefficient.

𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 𝑔(𝑥) = 2𝑥 ℎ(𝑥) = 4 × 𝑥³ 𝑗(𝑥) = ³

2× 𝑥 𝑘(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥

𝑚(𝑥) = 2𝑥 × 𝑥 𝑡(𝑥) = 4(𝑥 − 2) 𝑝(𝑥) = ^5𝑥

2

Tâche intermédiaire : faire les exercices de 8 à 11 P312 ; 27, 29 P 313 / 15 P 312 Réinvestissement : faire les exercices 38, 39, 40, 42, 43, 44 P 314

Etudier le savoir-faire P311: faire les exercices 2, 3, 4, 5, 6, 7 P 311

II-2- Tableau de valeurs :

Construire le tableau de valeurs de la fonction ℎ(𝑥) = 1.5𝑥 pour tous les entiers 𝑥 compris entre -4 et 4

𝑥 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ℎ(𝑥)

Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est toujours un tableau de proportionnalité.

II-3- Images et antécédents :

Pour la fonction 𝑔(𝑥) = 3𝑥 calculer : 1) L’image de -2 :……….

2) L’antécédent de 18 :………...

Compléter le tableau de valeurs ci-contre : 4) Lire l’image de 6 :………..

Compléter : g(3) = ……….

Lire l’antécédent de 2 :………

II-4- Représentation graphique :

On sait qu’une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité, alors sa représentation graphique est une droite sui passe par l’origine. Pour tracer une droite on a besoin de deux points : le premier est le point de l’origine du repère, le deuxième est déterminé à l’aide d’un nombre et de son image.

Sur le même repère, tracer les représentations graphiques des fonctions suivantes :

 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 0.5 𝑥

 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = −2 𝑥

 ℎ définie par ℎ(𝑥) = 𝑥

 𝑘 définie par 𝑓(𝑥) = − ³

2 𝑥

Propriété :

Dans un repère la représentation graphique de la fonction linéaire qui à un nombre 𝑥 associe le nombre 𝑎 × 𝑥, est une droite qui passe par l’origine.

𝑥 2 3 1 -2 -3 6 9

𝑔(𝑥) 2

Vocabulaire :

On dit que a est le coefficient directeur de la droite : c’est le nombre qui indique la direction de la droite.

Tâches intermédiaires : faire les exercices : 30, 31, 32, 35, 37 P 313 / 49 P 315 / 54 et 55 P 315 (lecture graphique) / 51 et 52 P 315 et 68 P 318 (appartenance d’un point)

Réinvestissement : faire les exercices 57, 58 P 316 III- Pourcentages et fonctions linéaires.

III-1- Appliquer un pourcentage.

a) Calculer un pourcentage d’un nombre :

b) Retrouver le nombre de départ :

Calculer 20 % de 620 Calculer 55 % de 7 250 Calculer 8% de 516

Le maire a obtenu 6240 voix, soit 30 % des voix.

Combien y avait-il de votants au total ?

La partie visible d’un iceberg représente environ 15

% de sa hauteur totale. Quelle est la hauteur totale d’un iceberg dont la partie visible mesure 54 m ?

Règle :

On considère un nombre N et un nombre N’.

Si N’ = 20 % de N, alors ………. et ………

Faire les exercices page 281 : 35, 37, 38, 39, 40, 36

III-2- Pourcentage de réduction :

Règle (méthode rapide):

Réduire un nombre N de 20 % revient à calculer ……….

III-3- Pourcentage d’augmentation : Un article coûte 65 € avant une baisse de 30 %.

Quel est son prix soldé ?

L’an dernier, il y a eu 6240 visiteurs au musée. Cette année, la fréquentation a baissé de 15 %. Combien y a-t-il eu de visiteurs cette année ?

Après avoir subi une baisse de 20, un article coûte maintenant 360 €. Quel était son prix avant les soldes ?

Cette année, le nombre d’élèves du collège a baissé de 8 % par rapport à l’année dernière. Il est

maintenant de 506 élèves. Combien y avait-il d’élèves au collège l’an dernier ?

Le nombre de reçus au brevet a augmenté cette année de 20 %. L’an dernier, il y a eu 580 admis. Combien y en a eu cette année ?

Le prix HT d’un canapé est de 1200 €. On applique une TVA à 20.6 %. Quel est le prix TTC de ce canapé ?

Règle (méthode rapide): Augmenter un nombre N de 20 % revient à calculer ……….

Faire les exercices page 289 : 3, 4

III-4- Bilan :

Prendre 30 % Augmenter de 30 % Réduire de 30 %

Un collège est composé de 691 élèves. 30 % de ces élèves viennent au collège en vélo.

Combien d’élèves cela représente-il ?

En 4 ans, la population de tigre a augmenté de 30 %. Sachant qu’il y avait 1700 tigres en 2010, combien y en a-t-il en 2014 ?

Un article qui coûte 124 € est soldé et son prix diminue de 30

%. Quel est le nouveau prix ?

Modélisation avec une fonction linéaire :

………..

Modélisation avec une fonction linéaire :

………..

Modélisation avec une fonction linéaire :

………..

Faire les exercices : page 293 : 38 / Page 285 : 64 / Succession de pourcentage : Voir la fiche jointe Après avoir augmenté de 25 %, un article coûte

maintenant 84 €. Quel était son prix de départ ?

Le prix TTC d’un article est de 316.50 €. En comptant une TVA à 5.5 %. Quel est le prix HT?