G114 Le singe savant [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Considérons les états 0, P, PA, PAP, PAPA, correspondant au plus long préfixe du mot PAPA à un instant t, l’état initial étant vide, noté 0 et l’état final étant PAPA.
Voyons le diagramme de la chaîne de Markov et les probabilités de transition.
E(?) = temps moyen attendu pour atteindre l’état final (PAPA) partant de l’état (?).
Nous cherchons donc X1 = E(0), sachant que E(PAPA) = 0 Nous dérivons du diagramme, le système d’équations suivant : E(0) = (25/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(P))
E(P) = (24/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(P)) + (1/26)*(1+E(PA)) E(PA) = (25/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(PAP))
E(PAP) = (24/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(P)) + (1/26)*(1+E(PAPA))
D’où :
E(P) = E(0) - 26 E(PA) = E(0) - 26^2 E(PAP) = E(0) - 26^3 - 26 E(PAPA) = E(0) - 26^4 - 26^2
Et donc E(0) = X1 = 26^4 + 26
1/26
1/26
1/26
1/26
24/26 24/26
25/26
1/26
1/26
1/26 Ø
P PA
PAP PAPA
Considérons les états 0, P, PA, PAP, PAPE, correspondant au plus long préfixe du mot PAPE à un instant t, l’état initial étant vide, noté 0 et l’état final étant PAPE.
Voyons le diagramme de la chaîne de Markov et les probabilités de transition.
E(?) = temps moyen attendu pour atteindre l’état final (PAPE) partant de l’état (?).
Nous cherchons donc X2 = E(0), sachant que E(PAPE) = 0 Nous dérivons du diagramme, le système d’équations suivant : E(0) = (25/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(P))
E(P) = (24/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(P)) + (1/26)*(1+E(PA)) E(PA) = (25/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(PAP))
E(PAP) = (23/26)*(1+E(0)) + (1/26)*(1+E(P)) + (1/26)*(1+E(PA)) + (1/26)*(1+E(PAPE))
D’où :
E(P) = E(0) - 26 E(PA) = E(0) - 26^2 E(PAP) = E(0) - 26^3 - 26 E(PAPE) = E(0) - 26^4
Et donc E(0) = X2 = 26^4
La conclusion est donc que X1 > X2.
Commentaire de Diophante :
1/26
1/26
1/26
1/26
24/26 23/26
25/26
1/26 1/26
1/26
1/26 Ø
P PA
PAP PAPE
On se reportera à l’excellent article de David Madore :
http://www.madore.org/~david/math/proba.html qui est intitulé « Un peu de probabilités » et à l’intérieur duquel on trouvera le problème : « Des mots- Un singe et une machine à écrire » qui a servi de base au problème G114.
