TP 7. SIMULATION DE LOIS
Exercice I.
1. Soit (a, b)∈R2. Soit X ,→U([0,1]) et Y =a+ (b−a)X.
Déterminer la fonction de répartition deY, et en déduire la loi deY. 2. A partir du générateur aléatoirerand(), simuler une loi uniforme sur[a, b].
3. Tracer les histogrammes d’échantillons de plus en plus gros de réalisations de la loiU([a, b]). Commenter.
Exercice II.
Expliquer le fonctionnement du programme suivant, et en particulier celui de la2eligne.
u=grand(1,10000,’unf’,3,7) x=sum(u<4)/10000
disp(x)
Exercice III.
Soitλ >0, et soit(Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires, avecXn ,→ B
n,λ n
, pourn > λ. Alors, Xn −→L X, oùX ,→ P(λ). Plus précisément, ∀k∈N, lim
n→+∞
n k
λ n
k 1−λ
n n−k
= λk k!e−λ. 1. Tracer l’histogramme d’un échantillon de réalisations d’une loiP(3). (On utiliseragrand(...’poi’...)).
2. Comparer avec les histogrammes d’échantillons de lois B(10; 0.3), B(100; 0.03), puis B(1000; 0.003). (On utiliseragrand(...’bin’...)).
Exercice IV.
Soitλ >0etX ,→U([0; 1]). On définit la v.a. Y =−1
λln(1−X). 1. Déterminer la fonction de répartition, puis la loi deY. 2. En déduire une méthode pour simuler une loiE(λ).
Exercice V.
Soitλ >0, etX ,→ E(λ). On définit la v.a.Y =bXc+ 1. 1. DéterminerY(Ω), ainsi que les probabilités associées.
2. Quelle est la loi deY?
3. En déduire une méthode pour simuler une loiG(p). (On utiliseragrand(...’exp’...)).
Exercice VI.
On considère une variable aléatoireX suivant la loi de Pareto de paramètresα∈N∗etx0>0, notéeX ,→V P(α, x0).
La fonction de répartitionFXdeXest définie par FX(x) =
1−xα0
xα , six≥x0 0 , six < x0
. On considère les v.a.X1,X2,...,Xα, indépendantes et de loiU([0; 1]).
1. Montrer que la v.a.Y = x0
max(X1, ..., Xα)suit la loiV P(α, x0). 2. En déduire une simulation de la variable aléatoireX.
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TP 7. SIMULATION DE LOIS
Exercice VII.
Soitλ >0etFla fonction définie surRpar F(x) =e−e−λx.
1. Montrer queFest la fonction de répartition d’une v.a.Xà densité. (On dit queX suit la loi de Gumbel.) 2. Montrer queFest une bijection deRdans]0; 1[, et déterminer sa bijection réciproqueF−1.
3. SoitU ,→U([0; 1]). Déterminer la fonction de répartition de la v.a.Y =F−1(U). 4. Simuler la loi de Gumbel.
On rappelle :
Théorème. Théorème limite central
Soit(Xn)n∈N∗une suite de v.a. indepéndantes et de même loi, admettant une espérancemet une varianceσ2non nulle.
Pourn∈N∗, on poseXn= 1 n
n
X
k=1
Xk. On définit également la variable centréeXn
∗associée àXn, parXn
∗=Xn−E(Xn) q
V(Xn)
=√
nXn−m
σ . Alors : Xn
∗ L
−→ N(0,1)
Exercice VIII.
Soit(Xk)1≤k≤ndes v.a. indépendantes de même loiU([0; 1]). 1. SimplifierX12
∗.
2. Tracer sur un même graphe :
a. la courbe de la densité gaussienne définie par ϕ(x) = 1
√2πe− x2
2 b. l’histogramme d’un échantillon de réalisations deX12
∗.
Exercice IX.
Soit(Xk)1≤k≤ndes v.a. indépendantes de même loiB 1
2
. 1. CalculerXn∗.
2. Pourn= 5; 10; 20; 50;..., tracer l’histogramme de10000réalisations deXn∗.
Exercice X.
Procéder comme précédemment, et simuler la loiN(0; 1)à partir de la loi : 1. géométrique
2. de Poisson 3. exponentielle
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