TS INTEGRALES feuille 23

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TS INTEGRALES feuille 23

1. Exercice 4 (7 points)

On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers ^e². On définit, pour tout entier naturel ⁿ¹, l’intégrale ²  

0

1 2

!

n x

In x e dx





n  ^.

1. Calculer I1.

2. Établir que pour tout entier naturel ⁿ^¹, 0 ² ( ² 1)

!

n

In e

  n  .

3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n1,

1 1

2 ( 1)!

n

n n

I I

n



  

 .

4. Démontrer par récurrence que

2

2 2 2 2

1 ...

1! 2! !

n

e In

    n  . 5. On pose, pour tout entier naturel n1, ²

!

n

un

 n . a. Calculer ⁿ ¹

n

u u

 et prouver que pour tout entier naturel n3, 1

1

n 2 n

u_  u .

b. En déduire que pour tout entier naturel n3,

3 3

0 1

2

n

un u

  

     . 6. En déduire la limite de la suite (un) puis celle de la suite (In).

7. Justifier enfin que :

2 3

2 2 2 2 2

lim 1 ...

1! 2! 3! !

n n

e  n

 

       .

Christophe navarri www.maths-paris.com