11-Spectres et diagramme HR

(1)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 1

1.

La vitesse est

8

1 0,999985 1

3 10 4500

r

r m s m

r s

v c

v v

δ = +

= + ×

= − L’étoile s’approche donc de nous à 4500 m/s

2.

Le changement de longueur d’onde est

501, 657 501,567 0, 09

nm nm

nm λ λ^′ λ

∆ = −

= −

= On a donc

4

0, 09 501,567 1, 794 10 z

nm nm λ

λ

−

=∆

=

= ×

La vitesse est donc

4

1,794 10 8

3 10 53 831 53,83

r

r m

s

m km

r s s

z v c

v v

−

=

× =

×

= =

L’étoile s’éloigne donc de nous à 53,83 km/s

(2)

3.

_{On a donc}

5

0, 040 588,995 6, 791 10 z

nm nm λ

λ

−

=∆

=

= ×

La vitesse est donc

5

6,791 10 8

3 10 20 374 20,37

r

r m

s

m km

r s s

z v c

v v

−

=

× =

×

= =

L’étoile s’éloigne donc de nous à 20,37 km/s

4.

_{On a donc}

5

0,044 616,956

7,132 10 z

nm nm λ

λ

−

=∆

= −

= − ×

La vitesse est donc

5

7,132 10 8

3 10 21395 21, 40

r

r m

s

m km

r s s

z v c

v v

−

=

− × =

×

= − =

L’étoile s’approche donc de nous à 21,40 km/s.

5.

a) Le changement de longueur d’onde est

(3)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 3 656, 044 656, 281

0, 237

nm nm

nm λ λ′ λ

∆ = −

= −

= − On a donc

4

0, 237 656, 281

3, 611 10 z

nm nm λ

λ

−

=∆

= −

= − ×

La vitesse est donc

4

3,611 10 8

3 10 108 338 108,34

r

r m

s

m km

r s s

z v c

v v

−

=

− × =

×

= − = −

b) La vitesse angulaire est

10,369 /an ω = ^′′

En radian par seconde, cette vitesse est

12

10,369 1

3600 / 180 365, 25 24 60 60 1,593 10 ^rad_s

rad an

an π ω

−

 

= ° ⋅ ⋅

° ⋅ ⋅ ⋅

 

= ×

Pour trouver la vitesse, il nous faudra la distance de l’étoile, qu’on peut trouver avec la parallaxe.

( )

(sec)

3, 262 3, 262 0,5454 5,98

al

D al

al al

= θ

=

= La vitesse tangentielle est donc de

(4)

( )

12 15

1,593 10 5,98 9, 46 10 90,18

t

rad s km

s

v D

m ω

−

=

= × ⋅ ⋅ ×

=

c) La vitesse est

( ) ( )

2 2

108,34 90,18 140,96

r t

km km

s s

km s

v= v +v

= +

=

6.

La température est

3

3 9

2,898 10 2,898 10 443,8 10

6530

pic

m K T

m m K

T

T K

λ

−

× ⋅

=

× ⋅

× =

=

7.

La longueur d’onde est

3

2,898 10 2,898 10 5773 502

pic

m K T

m K K nm λ

−

× ⋅

=

× ⋅

=

8.

On va trouver la température en estimant la position du pic d’émission sur le graphique.

Pour le 1^er graphique, le pic semble être aux alentours de 450 nm.

Pour le 2^e graphique, le pic est plus petit que 350 nm.

Pour le 3^e graphique, le pic semble être aux alentours de 550 nm.

(5)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 5 En ordre croissant de longueur d’onde pic d’émission, on donc les graphique 2, 4, 1, 5, 3.

Plus la longueur d’onde est petite, plus la température est élevée. On a donc l’ordre inverse pour les températures. L’ordre est donc 3, 5, 1, 4, 2.

9.

La température est

1 1

5000 1,85 0,67

1 1

5000 0,72 1,85 0,72 0,67

1 1

5000 2,57 1,39 5540

T K

IC IC

K K K

 

≈ ⋅ + 

+ +

 

 

≈ ⋅ + 

+ +

 

 

≈ ⋅ + 

 

≈

10.

On a IC = -0,59 – -0,74 = 0,15. La température est donc

1 1

5000 1,85 0,67

1 1

5000 0,15 1,85 0,15 0,67

1 1

5000 2 0,82 8600

T K

IC IC

K K K

 

≈ ⋅ + 

+ +

 

 

≈ ⋅ + 

+ +

 

 

≈ ⋅ + 

 

≈

11.

On trouve l’indice de couleur (ou indice B – V) avec la formule suivante.

(6)

( ) ( ) ( ) ( )

(

²

)

2 2

1 1

5000 1,85 0,67

1 1

4000 5000

1,85 0,67

1 1

0,8 1,85 0,67

0,8 1,85 0,67 0,67 1,85

0,8 1,85 0,67 1, 2395 2 2,52

2,52 1, 2395 2,5 3,15 0

T K

IC IC

K K

IC IC

IC IC IC IC

IC IC IC

IC

 

≈  + 

+ +

 

 

≈ ⋅ + 

+ +

 

 

≈ + 

+ +

 

⋅ + ⋅ + ≈ + + +

⋅ + + + ≈ ⋅ +

+ ⋅ + = ⋅ +

+ ,02⋅IC−1,9105 0=

La solution de cette équation est IC = 1,37. (Il y a une autre réponse qui est -1,39 qui est dehors du domaine où cette formule est applicable.)

12.

Le rapport des intensités est

( ) ( )

2 2

2 4 2 4 2 4 2 4

2 4

/ 4 / 4

4 4

1,73 9940 0,0084 25 200

1,73 9940 0,0084 25 200 1026,78

A A

B B

A B

A A B B A A B B

I L D

L L

R T R T R T R T

R K

π π

σ π σ π

=

= ⋅

⋅

= ⋅

⋅

=

⊙

On peut ensuite trouver la différence de magnitude avec la formule suivante

( )

100,4^m^B ^m^A A

B

I I

= −

(7)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 7 On a donc

( )

1026, 78 100,4

7,53

B A

m m

B A

m m

= −

− =

13.

La largeur est

5

2 10 1000 2 10 9940

656, 280 1000 1

2 10 9,94 656, 280

0, 041 T

K A K

nm K

nm

nm λ

λ λ

−

∆ ≈ × ⋅

⋅

∆ ≈ × ⋅

⋅

∆ ≈ × ⋅

∆ ≈

14.

On trouve la température avec

5

2 10 1000 0,023

587,562 2 10 1000 4 1,957

1000 4 15300

T K A

nm T

nm K

T K

λ λ

−

∆ ≈ × ⋅

⋅

≈ × ⋅

⋅

⋅ ≈

≈

15.

a) L’élargissement se trouve avec

8 6

2000 3 10 6,67 10

r

m s m s

z v c

−

=

= ×

Le changement de longueur d’onde est

(8)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 8 6,67 106

588,9973 0,00393 z

nm nm λ λ

λ λ

−

=∆

× = ∆

∆ =

Ceci est l’élargissement d’un côté de la raie. Comme on aura le même élargissement de l’autre côté, l’élargissement de la raie est 0,00785 nm.

b) On trouve la largeur de la raie avec la formule suivante

5

2 10 1000 2 10 5772

588,9973 1000 23

0,0059 T

K A

nm K

nm λ

λ λ

λ

−

∆ ≈ × ⋅

⋅

∆ ≈ × ⋅

⋅

∆ ≈

L’élargissement dû à l’effet Doppler est donc un peu plus grand que celui dû à la température.

16.

Le rayon de l’étoile se trouve avec la formule suivante.

2

33,3 1000 1

78,5 1000

33,3 1 4940

33,3 78,5 1000

4940 12,1

L K

R R

L T

L K

R L K

R R

 

= ⋅ ⋅ 

 

 

= ⋅ ⋅ 

 

 

= ⋅ ⋅ 

 

=

⊙

17.

Avec un pic d’émission à 415 nm, la température de surface de l’étoile est

(9)

3

9 3

2,898 10 2,898 10 415 10

6983

pic

m K T

m m K

T

T K

λ

−

× ⋅

=

× ⋅

× =

=

Avec une magnitude absolue de 2,21, la luminosité de l’étoile est 78, 7

2,5log 78, 7 2, 21 2,5log

10, 29

bol

M L

L L L

L L

 

=  

 

 

=  

 

=

⊙

À partir de là, on peut trouver le rayon avec la formule suivante.

2

33,3 1000 1

10, 29 1000

33,3 1 6983

33,3 10, 29 1000

6983 2,19

L K

R R

L T

L K

R L K

R R

 

= ⋅ ⋅ 

 

 

= ⋅ ⋅ 

 

 

= ⋅ ⋅ 

 

=

⊙

18.

_Puisque

2 4

4 L=σ πR T le rayon d’une étoile est

4 4

R L

σ πT

= Le rapport des rayons est donc

(10)

4

4 4

Bételgeuse Bételgeuse

Proxima Proxima

L

R T

R L

T σ π σ π

=

Puisque les pics d’émission sont identiques, les températures sont identiques et il ne reste que

84900 0, 0017 7067

Bételgeuse Bételgeuse

Proxima Proxima

R L

L L

=

⊙

19.

La masse totale est

( )

( ) ( )

3

11 ²

² 30

2

60 000 20 000 280 24 60 60 2 6,674 10

2,954 10 14,85

A B

tot

m m

s s

Nm kg

v v T

M G

s

kg M π

π ⁻

= +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ×

= ×

= _⊙

De plus, on a

60 20

3

km km

A s B s

A B

M M

⋅ = ⋅

= On a donc

14,85

3 14,85

4 14,85

3, 71

a b

a a

M M M

M M

+ =

=

⊙

et

(11)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 11 14,85

3, 71 14,85

11,14

a b

b b

M M M

M M

+ =

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

20.

a) Trouvons premièrement la vitesse de chaque étoile. Le décalage de l’étoile A est

9

656,343 656, 279 656, 279 9,752 10 zA

nm nm

nm λ

λ

−

= ∆

= −

= ×

Ce qui donne une vitesse de

9

9,752 10 8

3 10 29 256

A A

m s m

A s

z v c

v v

−

=

× =

×

= Pour l’étoile B, le décalage est

9

656,302 656, 279 656, 279 3,505 10 zB

nm nm

nm λ

λ

−

= ∆

= −

= ×

ce qui donne une vitesse de

9

3,505 10 8

3 10 10 514

B B

B m

s m

B s

z v c

v v

−

=

× =

×

= b) La masse totale est

(12)

( )

( ) ( )

3

11 ²

² 30

2

29 256 10 514 380 24 60 60 2 6, 674 10

4,925 10 2, 4767

A B

tot

m m

s s

Nm kg

v v T

M G

s

kg M π

π ⁻

= +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ×

= ×

= _⊙

De plus, on a

29 256 10 514 2,783

m m

A s B s

A B

M M

⋅ = ⋅

= On a donc

2, 4767 2, 783 2, 4767 3, 783 2, 4767

0, 6548

a b

a a

M M M

M M

+ =

=

⊙

et

2, 4767

0, 6548 2, 4767

1,8219

a b

b b

M M M

M M

+ =

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

c) On trouve la distance avec

( )

2 3 2

2 3 30

11 ² 2

² 11

4 4,925 10 4

6, 674 10 380 24 60 60 2, 0781 10 1,39

tot

Nm kg

M r

GT kg r

s

r m UA

π π

−

=

× =

× ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= × =

21.

Pour les étoiles de type spectral G et K, les raies spectrales du calcium sont très prononcées et celles de l’hydrogène sont pratiquement absente. C’est exactement ce qu’on observe pour les 1^er et 3^e spectres.

(13)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 13 Une étoile de type spectrale F aurait des raies spectrales de l’hydrogène et du calcium.

C’est ce qu’on observe pour le 4^e spectre.

Une étoile de type spectral B ou A, les raies de l’hydrogène sont très intenses et celles du calcium sont absentes. C’est ce qu’on peut voir pour le 2^e spectre.

22.

Si le spectre de l’étoile est identique à celui du Soleil, cela signifie que, selon la méthode des étoiles jumelles, cette étoile à la même luminosité que celle du Soleil, c’est-à-dire 1 L^A.

Avec la magnitude, on trouve l’intensité de la lumière

8 0,4 14,8

² 14

²

2,518 10 10

3, 027 10

W m W m

I ⁻ ⁻ ^⋅

−

= × ⋅

= ×

On trouve ensuite la distance avec la formule suivante.

2 14 26

² 2

19

4

3,828 10 3,027 10

4 3,17 10

3353

W m

I L

D

W D

D m

D al

π π

−

=

× = ×

= ×

=

23.

On a vu que plus la pression est grande, plus la raie est large. Il s’agit donc de classer les spectres en ordre de largeur de raies, en commençant par la plus large. Cet ordre est 3, 1 et 2.

24.

Il suffit de placer les points sur le diagramme HR pour trouver dans quelle catégorie se retrouve de l’étoile.

a) Séquence principale, type M b) Géantes

c) Naines blanches

d) Séquence principale, type K e) Séquence principale, type A

(14)

25.

Trouvons premièrement la température de l’étoile avec le pic d’émission. La température est

3

3 9

2,898 10 2,898 10 91,1 10

31811

pic

m K T

m m K

T

T K

λ

−

× ⋅

=

× ⋅

× =

=

On doit ensuite trouver la luminosité de l’étoile. Pour y arriver, on va premièrement trouver l’intensité de la lumière de l’étoile avec la magnitude.

8 0,4 1,01

² 8

²

2,518 10 10

6,383 10

W m W m

I ⁻ ⁻ ^{⋅ −}

−

= × ⋅

= ×

Ensuite, on doit trouver la distance à partir de la parallaxe.

( )

(sec)

3, 262 3, 262 0, 00471 692, 6

al

D al

al al

= θ

=

Ces deux informations nous permettent alors de trouver la luminosité de l’étoile

( )

2

8

² 15 2

31

4 6,383 10

4 692, 6 9, 46 10 3, 445 10

90 000

W m

I L

D L

m

L W

L L

π π

−

=

× =

⋅ ×

= ×

= _⊙

Avec une température de 31 811 K et une luminosité de 90 000 L^A, il est clair que nous avons affaire à une étoile de la séquence principale, de type O.

26.

_a)

L’étoile la plus chaude est celle qui est le plus à gauche sur le diagramme, c’est donc l’étoile 2

(15)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 15 b) Celle qui a le plus grand rayon est celle qui est le plus près de coin supérieur

droit. C’est donc l’étoile 5.

c) L’étoile la plus lumineuse est l’étoile qui est la plus haute dans le diagramme.

C’est donc l’étoile 5.

d) Les naines blanches sont près du coin inférieur gauche. La naine blanche est donc l’étoile 1.

e) L’étoile la plus massive sur la séquence principale est celle qui est le plus près du coin supérieur gauche. C’est donc l’étoile 2.

27.

a) La luminosité est

( )

3,8

1 1

1 0,7 1 1 0,7

0,26 L L M

M L M

M L

L

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

Le rayon est

( )

0,75

1 1

1 0,7 1

1 0,7

0,77 R R M

M R M

M R

R

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

La température est

(16)

( )

0,575

5772 1 5772 0,7

1 5772 0,7 4702

T K M M K M

M K

K

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

La durée de vie est

2,8

10,9 1

0,7 10,9 1

0,7 29,6

vie

t Ga M M Ga M

M Ga

Ga

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

=

⊙

b) La luminosité est

( )

3,8

1 1

1 1,2 1 1 1,2

2 L L M

M L M

M L

L

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

Le rayon est

(17)

( )

0,75

1 1

1 1,2 1 1 1, 2 1,15 R R M

M R M

M R

R

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

La température est

( )

0,575

5772 1 5772 1, 2

1 5772 1, 2 6410

T K M M K M

M K

K

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

2,8

10,9 1

1, 2 10,9 1

1, 2 6,5

vie

t Ga M M Ga M

M Ga

Ga

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

=

⊙

c) La luminosité est

(18)

( )

3,8

1 1

1 10,2 1 1 10,2

6803 L L M

M L M

M L

L

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

Le rayon est

( )

0,75

1 1

1 10,2 1 1 10, 2 5,71 R R M

M R M

M R

R

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

La température est

( )

0,575

5772 1 5772 10,2

1 5772 10, 2 21942

T K M M K M

M K

K

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

= ⋅

=

⊙

(19)

2,8

10,9 1

10.2 10,9 1

10, 2 16,3

vie

t Ga M M Ga M

M Ga

Ma

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

=

⊙

28.

a) La masse est

3,8

1 1

0,22 1 1 0,22 1

1 0,22 0,67 L L M

M L L M

M M M M

M

M M

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= 

 

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

b) La masse est

0,75

1 1

0,86 1 1 0,86 1

1 0,86 0,82 R R M

M R R M

M M M M

M

M M

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= 

 

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

(20)

Version 2021 11 – Spectres et diagramme HR 20 c) La masse est

0,575

5772 1

7000 5772 1 1, 2128

1

1,2128 1

1, 4 T K M

M K K M

M M M M

M

M M

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= 

 

=

⊙

d) La masse est

2,8

10,9 1 1 10,9 1

0,09174 1

1 0,09174

1 0,426

1 0,426 2,35

vie

t Ga M M Ga Ga M

M M M M

M M

M M M

M M

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

 

= 

 

=

⊙

29.

On trouve la vitesse de l’étoile avec le décalage

(21)

7

1,865 10 8

3 10 55,95

m s m

s

z v c

v v

−

=

× =

×

= On trouve le rapport des masses (µ) avec

( )

( ) ( )

3

11 ² 30

² 3 10

2

2 6, 674 10 1,11 1, 9885 10 55,95 4, 23 24 60 60 1, 446 10

2436

étoile

Nm kg m

s

µ Gm

v T

kg s

µ π

π ⁻

≈

⋅ × ⋅ ⋅ ×

≈

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≈ ×

≈

La masse de la planète est donc

30

26

2436

1,11 1,9885 10 2436 9, 06 10

étoile

m m

kg kg

=

⋅ ×

=

= ×

Finalement, on trouve le rayon de l’orbite de la planète avec

( )

9

2

55,95 4, 23 24 60 60

2436 2

7,928 10 0, 053

planète

m s

a µ vT

s m

UA π

π

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

= ×

=