C250- Une grille de Kakuro [**** à la main]
On rappelle qu’une grille de Kakuro, comme la grille G donnée ci-après, comporte des cases vides qu’il s’agit de remplir avec des chiffres compris entre 1 et 9 à partir de définitions qui sont des nombres entiers figurant sur le bord gauche et sur le bord supérieur selon les règles suivantes :
- chacun des nombres qui figurent à l’intérieur de la grille et sont lus en ligne puis en colonne ne contient jamais deux fois le même chiffre,
- la somme des chiffres d'un nombre est donnée par sa définition qui figure soit sur le bord gauche pour les nombres lus en ligne soit sur le bord supérieur pour les nombres lus en colonne .
c₁ c₂ c₃ c₄
l₁
l₂
l₃
Grille G
La grille G comporte sept définitions, trois en ligne (l₁, l₂ et l₃) et quatre en colonne (c₁ à c₄).
Comme l₁ + l₂ + l₃ = c₁ + c₂ + c₃ + c₄, l’omission d’une seule définition ne change rien à la résolution de la grille. A l’inverse l’omission de deux définitions peut augmenter le nombre de solutions possibles.
Le casse-tête de ce mois consiste à trouver sept entiers l₁, l₂ ,l₃, c₁,c₂,c₃,c₄ de manière que : - la solution de la grille G est unique avec ces sept définitions,
- il y au moins une solution supplémentaire quand on omet deux définitions quelconques parmi les sept (soit C(7,2) = 21 combinaisons possibles).
Solution
On désigne par a,b,c,d,e,f,g,h,i,j les chiffres situés à l’intérieur de la grille G.
c₁ c₂ c₃ c₄
l₁ a b c
l₂ d e f g
l₃ h i j
Pour remplir G à solution unique, il est naturel de chercher des définitions qui prennent les plus petites valeurs (ou a contrario les plus grandes valeurs) possibles de sorte que les degrés de liberté des chiffres de i à j soient les plus réduits possibles. Ainsi si l’on retient la plus petite valeur possible de l₁ = 6, les chiffres a,b,c sont à choisir exclusivement dans l’ensemble {1,2,3}.De même la plus petite valeur possible de c₁ est 4 avec d et h choisis parmi {1,3}. On continue avec l₂ dont la valeur minimale est 10 avec les quatre chiffres choisis parmi
{1,2,3,4} puis l₂ = 11 avec {1,2,3,5], l₂ = 12 avec {1,2,3,6} ou {1,2,4,5} etc...
On parvient assez vite à obtenir une grille G à solution unique dont tous les chiffres qui la composent sont ≤6 avec les définitions suivantes : l₁ =6 , l₂ = 13 , l₃ = 11, c₁ =4 , c₂=7 , c₃=13 et c₄ = 6.
4 7 13 6 6
13 11
qui a pour solution unqieu :
4 7 13 6 6 2 3 1
13 3 1 4 5
11 1 4 6
Il ne reste plus q’à vérifier qu’en omettant deux définitions quelconques parmi les sept, les 21 combinaisons possibles donnent toujours au moins une solution supplémentaire, ce qui est confirmé par le tableau ci-après dans lequel les sommes correspondants aux deux définitions omises dans chaque grille sont repérées en caractères rouges.
5 7 13 6 4 8 13 6 4 7 14 6 4 7 13 7
6 2 3 1 6 1 3 2 6 1 3 2 6 2 3 1
14 3 4 2 5 14 3 5 2 4 14 3 2 5 4 14 3 1 4 6
11 2 1 8 11 1 2 8 11 1 4 6 11 1 4 6
5 7 13 6 4 8 13 6 4 7 14 6 4 7 13 7
6 2 3 1 6 1 3 2 6 2 3 1 6 2 1 3
13 3 4 1 5 13 1 2 6 4 13 3 1 4 5 13 3 1 5 4
12 2 1 9 12 3 5 4 12 1 4 7 12 1 4 7
4 7 13 6 4 7 13 6 4 7 13 6 9 7 13 6
7 2 1 4 7 1 4 2 6 1 3 2 11 4 5 2
11 3 1 5 2 10 1 2 3 4 10 3 2 1 4 13 1 2 6 4
12 1 4 7 13 3 4 6 14 1 4 9 11 8 1 2
4 8 13 6 4 7 14 6 4 7 13 7 4 7 12 7
7 4 1 2 7 2 1 4 7 1 2 4 6 1 3 2
13 1 3 5 4 13 1 4 6 2 13 1 4 5 3 13 3 4 1 5
11 3 1 7 11 3 1 7 11 3 2 6 11 1 2 8
5 7 13 5 4 6 13 7 5 7 12 6 5 6 13 6
6 1 2 3 6 1 2 3 6 2 3 1 6 3 2 1
13 1 4 6 2 13 1 3 5 4 13 3 1 4 5 13 4 1 3 5
11 4 2 5 11 3 2 6 11 2 4 5 11 1 2 8
4 8 12 6 6 1 3 2
13 3 5 1 4
11 1 2 8
