Septième séanceSeptième séance

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Septième séance

Septième séance

• Comme déjà convenu, cette séance est consacrée à des exercices d’application afin de bien assimiler le contenu de la sixième séance.

• 1. Quelle est la valeur acquise, au taux annuel de 10% des 4 versements suivants?

Les versements (A_K ) Le montant en (DH) La date du versement

1^er versement (A₁ ) 1000 01/01/2010 2^ème versement (A₂) 2000 01/01/2011 3^ème versement(A₃ ) 2400 01/01/2012 4^ème versement(A₄ ) 2500 01/01/2013

• D’après le cours, la formule de la valeur acquise à retenir et à appliquer est la suivante:

• n-k exprime les périodes restantes qui séparent la période du versement de la période du dernier versement. Donc, la somme capitalisée des quatre versements ou valeur acquise est égale à :

V_A = 1000 (1+10%)^4-1 + 2000(1+10%)^4-2 +2400(1+10%)^4-3 + 2500 (1+10%)^4-4

= 1000 (1,1)³ +2000 (1,1)² + 2400 (1,1)¹ + 2500 (1,1)⁰ = 1331+ 2420+ 2640+ 2500

= 8891

k

) n

i 1 A

A

(

1

V

_

^





2. Calculer la valeur actuelle des quatre versements précédents . Lorsqu’on parle de valeur actuelle, elle se calcule à la date 0 : c’est la somme actualisée des quatre versements. On fait attention aux périodes précédentes et non aux périodes restantes tel est le cas de la valeur acquise parce qu’il ne s’agit pas d’une constitution d’un capital. C’est pourquoi d’ailleurs, la formule est comme suit:

Essayer toujours de schématiser pour bien comprendre :

) k

i 1 ( a

A

V _

^





Nous avons vu que :

et

)

i 1 ( V

V

V

V

( 1

i )

0 n

V

V

1 2 …….

Donc, on peux calculer directement la valeur actuelle en utilisant la formule puisqu’on a déjà calculer la valeur acquise.

V_a = 8891 (1,1)^-4 =6072,6726

Sinon, on utilise la formule de la valeur actuelle:

)

i 1 ( V

V

) k

i 1 ( a

A

V _

^





Dans cet exercice, k prend des valeurs allant de 1 à 4.

Ainsi :

V_a = 1000 (1+10%)^-1 + 2000(1+10%)^-2 +2400(1+10%)^-3 + 2500 (1+10%)^-4 = 6072,6726

) k

i 1 ( a

A

V _

^





• 3. calculer la valeur acquise trois année après le dernier versement.

• Nous avons trouvé que la valeur acquise ou le capital constitué immédiatement après le

dernier versement est égale à 8891.

• Alors si on capitalise ces 8891 pendant trois années alors on va obtenir une valeur acquise de : 8891 (1+10%)³ = 11833,921.

• Supposons que les versements sont constants et sont égales à 1000 DH.

• Il s’agit donc, de quatre annuités constantes.

• Par conséquent:

• La valeur acquise au 01/01/2013 :

• V_A = 1000 ((1+10%)⁴-1)/10%

• =4641

 Quelque soit k,

A

a

Rappel du cas particulier Rappel du cas particulier

« annuités constantes »



 

^



k

) n

i 1 A

A

(

1

V

^{( 1 i ) n k}

k

a



^



) )

i 1 ( )

i 1 ( ) i 1

(

1

a

(



i 1 )

i 1

(

a





La valeur acquise est donnée par la formule :

i i

a ^{( 1  )  1}



n

V A

On peut calculer la valeur actuelle directement à partir de la valeur acquise calculée

précédemment :

n n n

A

( 1 i )

i 1 )

i 1 ) (

i 1

a V ( a

V

^

i i ) 1

(

1

a

 



La valeur actuelle est donnée par la

formule ci-dessous, puis, on remplace n par 4, i par 10% et l’annuité a par 1000.

i i

a ⁿ

V a ^

^{1  ( 1  ) -}

• Un capital est constitué de la manière suivante:

4 annuités constantes de 30000 suivies de 4 annuités constantes de 20000, suivies de 2annuités constantes de 50000. le taux pratiqué est 11% annuel.

• Calculer la valeur acquise par ce capital cinq années après le dernier versement.

• Pour faciliter la compréhension de l’énoncé, essayer de le schématiser.

• D’abord, on calcule la valeur acquise de ce capital immédiatement après la date du dernier placement :

• Les 4 premiers placements ont une valeur acquise immédiatement après le dernier placement des 4 égale à :

• 30000(( 1,11)⁴ – 1)/0,11 = 141291,93

• Cette valeur acquise reste placée 4ans +2ans. C’est-à- dire pendant 6ans et devient:

• 141291,93(1+11%)⁶ = 264274, 482

• En parallèle, on continue à faire des placements de fin de période, 4 secondes annuités de 20000 :

• Ces 4 seconds placements ont une valeur acquise immédiatement après le dernier placement des 4 égale à :

• 20000(( 1,11)⁴ – 1)/0,11 = 94194,62

• Cette valeur acquise reste placée 2ans et devient alors:

• 94194,62(1+11%)² = 116057, 191

• Après les secondes annuités, on continue toujours à effectuer des placements à savoir 2annuités constantes de 50000 dont la valeur acquise immédiatement après le dernier placement des 2 est égale à :

• 50000(( 1,11)² – 1)/0,11 = 105500

• Ainsi, la valeur acquise de ce capital immédiatement après la date du dernier placement est la somme des trois valeurs acquises calculées précédemment:

• 264274, 482 + 116057, 191 + 105500

• Soit un total de 485831,673

• Cinq années après le dernier versement, ce total devient: 485831,673 (1,11)⁵ = 818654,6226 et c’est la valeur acquise demandée dans l’exercice.

• Fin de la séance