Inondations urbaines : quelles synergies pour les recherches hydrologiques ? Etude de sensibilité pour la modélisation des inondations en milieu urbain

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Inondations urbaines :

quelles synergies pour les recherches hydrologiques ?

Etude de sensibilité pour la modélisation des inondations en milieu urbain Carole DELENNE, Vincent GUINOT et Bernard CAPPELAERE

HydroSciences Montpellier, Université Montpellier 2, Place Eugène Bataillon (CCMSE) 34095 Montpellier Cedex 5, France

delenne@msem.univ-montp2.fr

Une difficulté particulière rencontrée lors de la modélisation hydrodynamique des inondations en milieu urbain est liée à la complexité de la géométrie et à la méconnaissance des caractéristiques du domaine. Des simplifications sont donc indispensables. En modélisation 1D, par exemple, les effets de la géométrie sont souvent intégrés dans le calage du coefficient de frottement (Manning ou Strickler). Se pose alors la question de la précision nécessaire lors de ce calage. En deux dimensions, on peut se demander jusqu'à quel point une représentation précise de la géométrie est pertinente. L'acquisition des données nécessaires à la modélisation étant très coûteuse, il apparaît donc intéressant, à travers une étude de sensibilité, de pouvoir déterminer les endroits où les paramètres sont les plus influents de façon à optimiser les prises de mesures.

La sensibilité d'une variable de sortie d'un modèle à un paramètre donné, peut être définie comme la dérivée partielle de cette variable par rapport au paramètre. La sensibilité empirique est classiquement calculée comme la différence entre deux simulations effectuées avec une légère variation d'un paramètre. Des méthodes directes de calcul de la sensibilité on été développées dans le cadre des projets ANR RIVES et Hy2Ville. Elles résolvent de façon couplée les équations de l’écoulement et de la propagation de la sensibilité dans le modèle et ne nécessitent donc qu'une simulation (au lieu de 2 pour la sensibilité empirique). Elles permettent également d'éliminer certains artéfacts de la méthode empirique, en particulier dans le cas de solution discontinues [Delenne et al. 2008, Guinot et al. 2009, Guinot 2009, Guinot et al. (soumis)].

L'objectif des études de sensibilité est d’associer un intervalle de confiance aux résultats des simulations, ainsi que des indications sur la localisation des points de mesure qui permettront d’améliorer les performances du modèle de façon optimale. Par exemple, il a été établi, pour les modèles de rivière 1D en régime permanent, qu’il est possible de définir une longueur optimale pour le calage par zones du coefficient de frottement [Guinot et Cappelaere 2009b]. Pour les équations de Saint Venant bidimensionnelles en régime fluvial, la sensibilité se propage davantage dans la direction transversale à l'écoulement que dans la direction longitudinale. De plus, les vitesses longitudinales de l’écoulement et la cote de surface libre fournissent des informations redondantes alors que les vitesses transversales fournissent une information de nature différente et apportent donc une valeur ajoutée pour le calage des modèles [Guinot et Cappelaere 2009a].

Références:

Delenne C., Guinot V., Cappelaere B. (2008). Direct sensitivity computation for the Saint-Venant equations with hydraulic jumps.

Comptes Rendus Mécanique, 336, 76–81.

Guinot V. (2009). Upwind finite volume solution of sensitivity equations for hyperbolic systems of conservation laws with discontinuous solutions. Computers & Fluids, à paraître.

Guinot V., Cappelaere B. (2009a). Sensitivity analysis of 2D steady state shallow water flow. Application to free surface flow model calibration. Advances in Water Resources, 32, 540-560.

Guinot V., Cappelaere B. (2009b). Sensitivity equations for the 1D shallow water equations. Practical application to model calibration. Journal of Hydrologic Engineering, à paraître.

Guinot V., Cappelaere B., Delenne C. (soumis). Finite volume solution of the one-dimensional shallow water sensitivity equations.

Journal of Hydraulic Research, à paraître.

Guinot V., Delenne C., Cappelaere B. (2009). An approximate Riemann solver for sensitivity equations with discontinuous solutions.

Advances in Water Resources, 32, 61–77.

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Etude de sensibilité

pour la modélisation des inondations en milieu urbain

CNFSH 11-12 juin 2009

UMR HydroSciences Montpellier

Carole DELENNE - Vincent GUINOT - Bernard CAPPELAERE

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Contexte Sensibilité Empirique Calcul direct de sensibilité

Objectifs

Les inondations urbaines

Problème de la modélisation :

Géométrie complexe => simplifications obligatoires En 1D : jusqu’à quel point le calage est pertinent ? En 2D : jusqu’à quel point la géométrie est importante ? L’acquisition de données terrain est très coûteuse

Que faut-il mesurer ? Où ? Avec quelle précision ?

Colloque CNFSH 11-12 Juin 2009 - C. Delenne et al.

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Objectifs

Les inondations urbaines

Problème de la modélisation :

Géométrie complexe => simplifications obligatoires En 1D : jusqu’à quel point le calage est pertinent ? En 2D : jusqu’à quel point la géométrie est importante ? L’acquisition de données terrain est très coûteuse

Objectif : optimiser l’acquisition de données

Que faut-il mesurer ? Où ? Avec quelle précision ?

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Principe

x y

y

: variable de sortie ou fonction objectif

x

: paramètre à caler

Paramètre non pertinent pour le calage => inutile de l’estimer précisément

Paramètre trop réactif => le modèle est incalable (modèle mal défini)

Paramètre calable => le modèle a un sens et le calage est pertinent

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Sensibilité

Définition

Dérivée de la variable par rapport au paramètre Notation

Dans le cadre des équations de Saint-Venant 2D, la sensibilité des

variables indépendantes

(h,q,r)

par rapport à un paramètre

ψ

est notée :



 η θ ρ



≡





∂h/∂ψ

∂q/∂ψ

∂r/∂ψ





(7)

Equations de Saint-Venant 2D

∂U

∂t +∂F_x

∂x +∂Fy

∂y =S avec

U=



 h q r





Fx=



 q

q²/h+gh²/

2

qr/h



, Fy=



 r

qr/h r²/h+gh²/2





S=





0

gh%

S0,x−S_f_,x&

gh%

S_0,y−S_f_,y&





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Présentation

Des exemples en 1D et 2D :

1 Sensibilité empirique

différence entre deux calculs réalisés avec une légère variation d’un paramètre

2 Méthode de calcul direct de la sensibilité

obtention puis résolution des équations en sensibilité

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Perturbation de la cote du fond : 1D

Paramètres

Taille du domaine 20 m

Hauteur d’eau 1 m

Taille de la zone perturbée 10 cm Hauteur de la perturbation 1 cm Vitesse d’écoulement 2 m/s Régime permanent, fluvial

0.9 1 1.1

0 10 20

h (m)

x (m)

-2 -1 0

0 10 20

η (-)

x (m)

-2 -1 0

9 10 11

η (-)

x (m)

Sensibilité η / la cote du fond.

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Perturbation de la cote du fond : 2D fluvial

Paramètres

Hauteur d’eau 1 m

Taille de la zone perturbée 10 cm Hauteur de la perturbation 1 cm Vitesse d’écoulement 3 m/s Régime permanent, fluvial (Fr=0.95)

Sensibilitéη / la cote du fond.

(Guinot & Cappelaere, Adv. in Water Ress. 2009)

Les effets de la perturbation se dissipent beaucoup plus vite dans le sens de l’écoulement que perpendiculairement.

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Perturbation de la cote du fond : 2D fluvial

Paramètres

Hauteur d’eau 1 m

Taille de la zone perturbée 10 cm Hauteur de la perturbation 1 cm Vitesse d’écoulement 3 m/s Régime permanent, fluvial (Fr=0.95)

Les effets de la perturbation se dissipent beaucoup plus vite dans le sens de l’écoulement que perpendiculairement.

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Perturbation de la cote du fond : 2D torrentiel

Paramètres

Hauteur d’eau 1 m

Taille de la zone perturbée 10 cm Hauteur de la perturbation 1 cm Vitesse d’écoulement 7 m/s Régime permanent, torrentiel (Fr=2.5)

Les effets de la perturbation restent localisés dans son sillage et se propagent loin vers l’aval.

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Paramètres redondants ou complémentaires

η θ ρ

Sensibilité par rapport à la cote du fond

En 1D : mesurer la cote de la surface libre suffit pour valider/calibrer En 2D : compléter par la mesure des vitesses transversales.

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Perturbation d’une CL : quartier virtuel

Projet Hy2Ville

(avec Cemagref, INSA Lyon

...)

Calcul de sensibilité dans un quartier virtuel.

Perturbation de la hauteur d’eau imposée en aval (rue F) : δh=0.01m.

La sensibilité se dissipe rapidement au niveau des croisements.

h =

1

.

18

m

Q=

0

m3 s−1 h=

1

.

14

m

h =

1.14

m Rue F : +δh

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Perturbation d’une CL : quartier virtuel

Projet Hy2Ville

...)

Sensibilité η de la hauteur d’eau dans tous le domaine, par rapport à la hauteur d’eau imposée dans une rue en aval.

Rue F

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Perturbation d’une CL : quartier virtuel

Projet Hy2Ville

...)

Sensibilité η de la hauteur d’eau dans tous le domaine, par rapport à la hauteur d’eau imposée dans une rue en aval.

Rue F

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Perturbation d’une CL : Rond-point

Paramètres

Débits unitaires imposés : qA=0.03m²s⁻¹ qB=0.03m²s⁻¹ Hauteurs d’eau imposées :

hC=0.1m hD=0.1m

Hauteur de la perturbation en C : δhc=10⁻³m

Régime permanent

(Guinot et al., Adv. in Water Ress. 2009)

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Perturbation d’une CL : Rond-point

Sensibilité empirique par rapport à

hC

η (θ, ρ)

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Perturbation d’une CL : Rond-point

Sensibilité empirique par rapport à

hC

Présence d’artéfacts sous forme de tourbillons

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Méthode de calcul direct de sensibilité

Perturbation d’un paramètre

ψ

par une fonction

ψ(x˜ ,y,t) =ψ₀'(x,y,t) ('=1 sur le sous-domaine où le paramètre doit être modifié)

⇒

perturbation de

U

∂' U+U~(

∂t +∂Fx

'U+~U, ψ+ ˜ψ(

∂x +∂Fy

'U+~U, ψ+ ˜ψ(

∂y =S'

U+~U, ψ+ ˜ψ(

DL au premier ordre et soustraction de l’équation de départ

⇒

équation en sensibilité

s, avec s≡ ∂U

∂ψ =

lim

ψ0→0

U~ ψ₀

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Equations de Saint-Venant 2D

∂U

∂t +∂F_x

∂x +∂Fy

∂y =S avec

U=



 h q r





Fx=



 q

q²/h+gh²/

2

qr/h



, Fy=



 r

qr/h r²/h+gh²/2





S=





0

gh%

S0,x−S_f_,x&

gh%

S_0,y−S_f_,y&





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Equations en sensibilité

∂s

∂t +∂Gx

∂x +∂Gy

∂y =Q

avec :

s=



 η θ ρ



≡



 ∂h/∂ψ

∂q/∂ψ

∂r/∂ψ





Gx= ∂Fx

∂Us, Gy = ∂Fy

∂Us Q= ∂S

∂Us+ ∂S

∂ψ'− ∂

∂x )∂Fx

∂ψ'

*

− ∂

∂y )∂Fy

∂ψ '

*

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Sensibilité empirique/directe : rond-point

η

empirique

η

direct

(24)

Sensibilité empirique/directe : rond-point

(θ, ρ)

empirique

(θ, ρ)

direct

(25)

Sensibilité empirique/directe : rond-point

(θ, ρ)

empirique

(θ, ρ)

direct Le calcul direct supprime les artéfacts de la sensibilité empirique

(Guinot et al., Adv. in Water Ress. 2009)

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Sensibilité 1D avec choc

Rupture de barrage sur fond pentu

Problème avec une condition initiale discontinue en

x₀

:

h(x,0) =

+hL x<x0

hR x≥x0

q(x,0) = 0

-5 0 5 10 15

0 500 1000

z (m)

x (m)

0 10 20 30 40 50

0 500 1000

q (m2 s-1 )

x (m)

(27)

Sensibilité 1D avec choc

Sensibilité empirique par rapport à

h_L

, hauteur d’eau initiale dans le réser- voir :

0 5 10 15

0 500 1000

η (-)

x (m)

0 10 20 30 40 50

0 500 1000

θ (m s-1 )

x (m)

⇒problème au niveau de la discontinuité, dû à la célérité du choc

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Sensibilité 1D avec choc

Méthode de calcul direct : ajout d’un terme source

R

au niveau du choc :

0 0.5 1

0 500 1000

η (m)

x (m)

0 2 4 6

0 500 1000

θ (m s-1 )

x (m)

(Delenne et al., C. R. Mécanique 2008 ; Guinot et al., Adv. in Water Ress. 2009 ; Guinot et al., J. of Hydraulic Research 2009)

⇒

nécessite la localisation précise du choc (plus difficile en 2D, en cours)

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Conclusion

L’étude de sensibilité permet de savoir si le modèle a un sens (est calable) et de :

1 discriminer

2 hierarchiser

3 localiser

les paramètres influents pour le calage du modèle

⇒

optimiser la collecte des données

obtenir ces informations en un seul calcul éviter les artéfacts du calcul empirique

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Conclusion

L’étude de sensibilité permet de savoir si le modèle a un sens (est calable) et de :

1 discriminer

2 hierarchiser

3 localiser

les paramètres influents pour le calage du modèle

⇒

optimiser la collecte des données

Le calcul direct de sensibilité permet de : obtenir ces informations en un seul calcul éviter les artéfacts du calcul empirique