MULTIVOQUES ENTRE DES ENSEMBLES ABSTRAIT8.
: P a r
W. SIMONSEN
C O P E N H A G U E .
1. Dans un o u v r a g e pr6c6dent 1 nous a v o n s donn6 quelques r6sultats des recher- ches sur la th6orie des c o r r e s p o n d a n c e s m u l t i v o q u e s , qu'il est possible d'~tablir e n t r e des ensembles a b s t r a i t s (e.-s des ensembles d 6 p o u r v u s de s t r u c t u r e ) . E n particulier, nous a v o n s i n t r o d u i t la n o t i o n de
l'ensemble invariant
r e l a t i v e m e n t h u n e c o r r e s p o n d a n c e m u l t i v o q u e f et la n o t i o n d ' u n eclasse,
d 6 t e r m i n @ p a r la correspon- d a n c e f .Dans la suite, nous nous occuperons d u problgme, qui p e u t ~tre formulg c o m m e suit : ]~tant donngs trois ensembles P , Q et R, n o n r i d e s , u n e c o r r e s p o n d a n c e f e n t r e P e t Q, et une c o r r e s p o n d a n c e g e n t r e P et R ; p e u t - o n d 6 m o n t r e r l ' e x i s t e n c e et l'unieit6 d ' u n e c o r r e s p o n d a n c e h e n t r e Q et R, telle que
hf
= g ? Nous allons m o n t r e r que, darts le cas i m p o r t a n t , oh .f est u n e c o r r e s p o n d a n c eunivoque,
nous p o u v o n s gtablir des conditions n@essaires et suffisantes p o u r que la r~ponse ~ c e t t e q u e s t i o n soit a f f i r m a t i v e .E m p l o y a n t dans la suite les rgsultats et le s y s t g m e de n o t a t i o n s de n o t r e o u v r a g e pr@it~, nous r e m a r q u e r o n s , c o m m e prSliminaire a u x considgrations ult4rieures, que la r e l a t i o n f ' ~ f " , oh f ' et f " sont d e u x c o r r e s p o n d a n c e s m u l t i v o q u e s e n t r e les ensembles, n o n r i d e s , P e t Q, g q u i v a u t s la condition, que
f'{x} ~f"{x}
p o u r t o u t x E P . E n effet, si f ' ~ f " , on a p o u r t o u ty sf'{x},
oh x est u n ~lgment a r b i t r a i r e de P :(x,y) s f ' ,
d o n c(x,y) e f "
ouy s f " { x } ,
c.-m-d,f'{x) c f"{x};
r~ciproque- m e n t ,s i f ' { x } ~ f " { x }
p o u r t o u t x 6 P , on a u r a f ' ~ f " , c o m m e la relation (x, y) ~ f ' e n t r a i n e r ay ~ f'{x},
donc y ~ f " { x } et (x, y) ~ f " . L'6galit6 f ' = f " 6 r a n t ~quivalente a u x d e u x relations s i m u l t a n @ s f ' ~= f " et f " c f ' , nous v e r r o n s quela condition, que
1 Acta rnathematiea, t. 81 (1949), pp. 291--297.
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f ' { x } = f " { x } pour tout x ~ P , est ndcessaire et suffisante pour l'identitd des correspon- dances f ' et f " entre P et Q.
2. Soient m a i n t e n a n t P , Q et R trois ensembles, n o n r i d e s , f u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P e t Q, et g u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e P e t / ~ . N o u s s u p p o s e r o n s que la corre- s p o n d a n c e f est u n i v o q u e , c.-s que t o u t x ~ P est c o n t e n u c o m m e dl~ment p r e m i e r d a n s u n e p a i r e o r d o n n @ (x, y)
ef
s e u l e m e n t ; l'~lSment y e Q sera d o n c d ' u n e m a n i ~ r e u n i v o q u e d 5 t e r m i n 5 p a r x, et nous le d~signerons c o m m e h a b i t u e l p a r f ( x ) ; on a donc f { x } = {f(x)}.N o u s p o u v o n s d o n c d 6 m o n t r e r le t h 5 o r ~ m e s u i v a n t :
(2.1). P o u r q u ' i l existe u n e c o r r e s p o n d a n c e h e n t r e Q et R, telle que h f = g, il f a u t et il suffit que l'6galit6
gf-~{f(x)} = g{x} (2.2)
soit r e m p l i e p o u r t o u t x ~ P . S'il existe u n e telle c o r r e s p o n d a n c e h, elle sera u n i q u e - m e n t d 6 t e r m i n @ p a r la r e l a t i o n h ~ gf=i.
L a c o n d i t i o n est n~cessaire. Soit, en effet, h u n e c o r r e s p o n d a n c e e n t r e Q et R, telle que h f = g; on a d o u c h f f -~ = gf-1. L a c o r r e s p o n d a n c e f ~ t a n t u n i v o q u e , la e o r r e s p o n d a n c e f f - 1 sera la c o r r e s p o n d a n c e identique, c.-/~-d, f f - Z { y } = {y} p o u r t o u t y e Q ; p a r cons6quent, on a u r a h = gf 1. P o u r t o u t x e P on a u r a donc f ( x ) c Q et h{f(x)} • gf-i{f(x)}; et c o m m e h{f(x)} = hf{x} et h f = g, on a u r a h{f(x)} = g{x}, en v e r t u de la r e m a r q u e s la fin de la section prSc~dente; p a r c o n s e q u e n t , (2.2) est r e m p l i e .
On v e r r a que l ' e x i s t e n c e de h e n t r a i n e r a l'unicit6 de c e t t e c o r r e s p o n d a n c e , c o m m e h = gf-1.
I n v e r s e m e n t , la c o n d i t i o n est suffisante. Posons, p o u r t o u t y c Q, h{y} = gf-~{y};
u t i l i s a n t la r e m a r q u e s la fin de la s e c t i o n 1, nous v e r r o n s que la c o r r e s p o n d a n c e h est c o m p l g t e m e n t d g t e r m i n @ . Soit x u n ~16ment a r b i t r a i r e de P ; on a u r a donc f ( x ) ~ Q et hf{x} = h{f(x)} = g f - l ( f ( x ) } = g{x}, en v e r t u de (2.2); p a r c o n s e q u e n t ,
hf{x} = g{x} p o u r t o u t x ~ P , donc h f = g.
3. L ' o b j e t de c e t t e section sera l ' S t u d e des r e l a t i o n s e n t r e les classes d 5 t e r m i n @ s p a r les c o r r e s p o n d a n c e s f, g e t h, en s u p p o s a n t l ' e x i s t e n c e de la c o r r e s p o n d a n c e h = gf-1.
O b s e r v o n s , p r 4 M a b l e m e n t (sans s u p p o s e r l ' e x i s t e n c e de h), que p o u r t o u t x E P l ' e n s e m b l e f - l f f ( x ) } = f l f ( x } est la classe, d ~ t e r m i n @ p a r f, qui c o n t i e n t
l'616ment x, c o m m e la c o r r e s p o n d a n c e f est u n i v o q u e . E n effet, c e t t e classe est {x} + f - i f { x } + f - ' f f - l f { x } + . . . . {x} +f-~f{x} f - i f { x } ,
c o m m e ff-1 est la c o r r e s p o n d a n c e i d e n t i q u e , et {x} ~ f - l f { x } .
U t i l i s a n t ce r @ u l t a t , nous p o u v o n s t r a n s f o r m e r u n p e u la condition, e x p r i m @ p a r (2.2) :
(3.1). P o u r q u ' i l existe u n e c o r r e s p o n d a n c e h e n t r e Q et R, telle que hf = g, il f a u t et il suffit que, p o u r r o u t e elasse M ~ P , d 6 t e r m i n @ p a r f , et p o u r t o u t x c M , on air g{x} = gM.
E n effet, si M est u n e elasse, d 6 t e r m i n @ p a r f, et x u n 616ment, tel que x e M, M sera la classe f-~{f(x)}; p a r consdquent, on a u r a g M = gf ~{f(x)}. Si (2.2) est remplie, on o b t i e n t g{x} = gf ~{f(x)} = gM, d o n c g{x} = gM; i n v e r s e m e n t , si p o u r t o u t x E P : g{x} = gM, oh M est la classe c o n t e n a n t x, on a u r a g{x} = gf-l{f(x)}, la c o n d i t i o n (2.2) 6 t a n t ainsi r e m p l i e .
Soient m a i n t e n a n t M u n e classe ~ P , d 6 t e r m i n @ p a r f , et A u n e elasse ~ P , d 6 t e r m i n 6 e p a r g, et s u p p o s o n s l ' e x i s t e n c e de h = gf-L Si A M ~ O, il existe u n x c P , tel que x e A et x c M ; on a u r a d o n e g M = g { x } , en v e r t u de (3.1), et g{x}~ gA, d o n c g M c g A . P a r c o n s 6 q u e n t , M ~ g - i g M ~ g - l g A ~ A , c o m m e A est u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t ~ g, d o n c M c A.
Soit
P = M * + M * * + . . .
la division u n i q u e de P e n classes disjointes, d 6 t e r m i n @ p a r f ; on a d o n e p o u r u n e elasse a r b i t r a i r e A, d 6 t e r m i n @ p a r g:
A = A P = A M * + A M * * + . . . .
DSsignons p a r M ' , M " , . . . c e u x des e n s e m b l e s M * , M * * . . . p o u r lesquels l ' i n t e r s e e t i o n a v e c l ' e n s e m b l e A est ~ O; on a u r a
A = M ' + M " + . . . , (3.2)
c o m m e t o u s l e s e n s e m b l e s M ' , M " , . . . s o n t c_ A. De 1/~ r6sulte le t h 6 o r g m e s u i v a n t : (3.3). T o u t e classe A ~ P , d d t e r m i n d e p a r g, e s t l ' u n i o n d ' u n s y s t ~ m e de classes disjointes M ' , M " , . . . . d 6 t e r m i n @ s p a r f.
N o t o n s que la d i v i s i o n de A, d o n n @ p a r (3.2), est d 6 t e r m i n @ d ' u n e fa~on u n i q u e .
P o s o n s , ensuite, C = gA et B = h 1C; l ' e n s e m b l e C sera u n e classe ~ R,
d 6 t e r m i n @ p a r g - l , et on a u r a A - - g-IC. N o u s allons d 6 m o n t r e r que C est u n e elasse d 6 t e r m i n 6 e p a r h -1, d ' o h il suit que B est u n e classe d 6 t e r m i n @ p a r h.
M o n t r o n s d ' a b o r d que, si C* est u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t s h -1, C* sera u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t s
g-1.
E n effet, si C* est i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t h h -1, on a u r a C* ---- h h - l C *. Or, t e n a n t e o m p t e des r e l a t i o n s h =-gf-~ et h - l = fg-~, on a hh - ~ = gf-~fg=~ et, p a r eonsSquent, C* ---- gf=Ifg-lC*. C o m m e f-~fg-~C * ~ g - l C * , nous o b t e n o n s C* ~ gg-IC* ; et c o m m e n o u s a v o n s aussi g g - l C * ~ C*, il suit que gg-lC* ~ C*, c.-~-d, que C*
est i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t ~ g-1.
On a, de plus, h h - l C = hfq-~gA = h f A = gA = C, l ' e n s e m b l e C 6 r a n t ainsi u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t ~ h -1.
N o u s p o u v o n s m a i n t e n a n t d 6 m o n t r e r que C est u n e elasse d6termin6e p a r h -1.
Soit, en effet, C* u n e n s e m b l e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t s h -~, tel que 0 c C * G C;
C* est d o n e i n v a r i a n t r e l a t i v e m e n t h g-~. R e m a r q u a n t que C est u n e elasse d 6 t e r - min6e p a r g - l , n o u s v e r r o n s , en e m p l o y a n t le t h 6 o r ~ m e (3.4) de n o t r e o u v r a g e pr6eit6, q u ' o n doit a v o i r C* ---- C, d ' o h il suit au m o y e n du m 6 m e th6or4me, que C doit 6tre u n e classe d 6 t e r m i n 6 e p a r h -1.
Le r 6 s u l t a t de ces eonsid6rations p e u t s ' e x p r i m e r ~ de la fagon s u i v a n t e : (3.4). P o u r t o u t e classe C d 6 t e r m i n 6 e p a r g-~, l ' e n s e m b l e B = h-~C est u n e elasse d 6 t e r m i n 6 e p a r h, et C est u n e elasse d 6 t e r m i n 6 e p a r h -1.
De ee t h 6 o r ~ m e nous d6duirons u n e eons6quenee i m m 6 d i a t e . Soit
R : C ' + C " @ . . . (3.5)
la division u n i q u e de R en classes d i s j o i n t e s r e l a t i v e m e n t ~ g-~. E n v e r t u de (3.4), les e n s e m b l e s C', C " . . . s o n t aussi des classes r e l a t i v e m e n t s h-~; e t , la division de R en classes disjointes r e l a t i v e m e n t ~ h -~ ~ t a n t u n i q u e , n o u s v e r r o n s que e e t t e division doit ~tre i d e n t i q u e s la division (3.5), c.-h-d, que les classes r e l a t i v e m e n t g-~ et les classes r e l a t i v e m e n t ~ h -~ s o n t les m @ m s . E n p o s a n t B ' = h - l C ', B " = h - ~ C " , . . . , il suit de (3.5) que
Q = B ' @ B " - b - . . . (3.6)
est la division u n i q u e de Q en classes disjointes, r e l a t i v e m e n t ~ h.
E n r6sum6, nous a v o n s ~tabli le t h d o r g m e :
(3.7). Les classes d ~ t e r m i n @ s p a r les c o r r e s p o n d a n e e s g-~ et h -~ s o n t les m 6 m e s . Consid6rons encore u n e elasse B d 6 t e r m i n @ p a r h; posons C ---- h B et A ~ g-lC, et @ r i v o n s A sous la forme, d o n n @ p a r (3.2). Les e n s e m b l e s M ' , M " , . . . 6 t a n t des
classes d~terminges p a r f, et f 6 t a n t u n i v o q u e , les e n s e m b l e s f M ' , f M " , . . , se r 6 d u i s e n t des e n s e m b l e s {y'}, {y"} . . . d o n t c h a c u n ne e o n t i e n t q u ' u n seul 516ment; et nous aurons, en e m p l o y a n t la r e l a t i o n h -1 = f g - l :
B = h - i C = f g - I C = f A = f M ' 4 - f M " + . . . , Oil
B = {y', y " , . . . } . (3.s)
4. T e r m i n o n s p a r quelques o b s e r v a t i o n s sur le cas special, d a n s lequel la e o r r e s p o n d a n e e g est u n i v o q u e , en s u p p o s a n t , e o m m e d a n s la s e c t i o n pr~e~dente, que f e s t u n i v o q u e et que la e o r r e s p o n d a n e e h existe.
D a n s ce eas t o u t e s les classes C d6terminSes p a r g-l, ou p a r h -1, se r 6 d u i s e n t des e n s e m b l e s ne e o n t e n a n t q u ' u n seul 615ment; e.-~-d, que la e o r r e s p o n d a n c e h est n S c e s s a i r e m e n t u n i v o q u e . E n nous a p p u y a n t sur les c o n s i d e r a t i o n s de la section 2, nous v e r r o n s que h e s t donn~e p a r {h(y)} = g f - l { y } , l ' e n s e m b l e g f - l { y } 6 t a n t u n e des classes C, d 6 t e r m i n g e s p a r g-~ et ne c o n t e n a n t q u ' u n seul glgment.
