F(~; UNE EXTENSION NOUVELLE DE LA THI~0RIE DES FONC- TIONS PRESOUE-PI~RIODIOUES DE BOHR.

UNE EXTENSION NOUVELLE DE LA THI~0RIE DES FONC- TIONS PRESOUE-PI~RIODIOUES DE BOHR.

PAR

J. DELSARTE NANCY.

Introduction.

Toutes les extensions actuellement connues de la th6orie des fonctions presque-p6riodiques de BonR se rattachent s la d6finition de ces fonetions donn6es par BocHIc~,a en I9S7; elles sont relatives s des fonctions num~riques d6finies sur un groupe abstrait et possddant darts une certaine mdtrique la propri6t6 de compacit6 gdn~ralisant le plus naturellement ceUe de BOCHN~ pour le groupe des translations dans l'espace euclidien s n dimensions.

Des travaux r6cents 1 ont d'ailleurs montr~ que l'introduction des groupes abs~raits dans cet~e question n'y apporte gu~re plus de g6n6ralit~, et qu'en fair, les fonctions presque-p6riodiques de BF.SICOVITCH repr6sentent s peu pros le maximum de ce qu'on peut atteindre.

La g~ngralisation qui fair l'objet de ce m6moire a un point de d6par~ tout different. Consid6rons l'6quation qui r~git les vibrations d'une corde 61astique infinie:

O ~ F 0 2 F 0 x ~ 0 t ~ ~ o.

L'expression bien connue de son int6grale g6n~rale

F(~;

t ) = / ( x + t) + g (x - -

t)

I Cf. ANDR~ WEIL: Sur les fonctions presque-p~riodiques de yon NEUMANN; Comptes Rendus de l'Acad~mie des Sciences, t. 20o, p. 38, I935.

fair apparaltre de fa~on @vidente le r61e du groupe des translations sur la droite;

il est clair que si les fonctions f e t g sont presque-p6riodiques de BoaR, il en sera de m~me de l'int6grale g6n6rale F ( x ; t) relativement au temps, et cela uni- form6ment par rapport s x. On peut dire que les oscillations d'une corde vibrante infinie se reproduisent presque-p6riodiquement dans le temps pourvu que les donn6es initiales satisfassent ~ cer~aines conditions de presque-p6riodicit6 spatiale. Cette constatation est ici tout s fair triviale; cependant elle sugg~re imm6diatement la g6n6ralisation suivante: Prenons un op6rateur diff6rentiel liu6aire du second ordre de caraet~re elliptique, applicable aux fonctions de n variables r6elles, soi~

~ f

cet op6rateur; d6signons par F ( x 1; x~; . . . xn; t) l'int6grale g6n6ralis6e de l'6qua- tion hyperbolique normale

~ F - - O~F = o 0 t ~ satisfaisant aux conditions de Cauchy

v ( x , ; x~; . . . ~n; o ) = f ( x l ; ~ , ; . . . ; x~);

[ ~ F(x~; x~;...; ~n; t)] ~= g (x,; x~; ...,-x~).,

f et g 6rant des fonctions continues. On peut alors se poser ce probl~me:

queues qualit6s doivent poss6der les fonctions de n variables f et g, pour que F soit presque-p6riodique par rapport au temps, et cela uniform6ment par rapport aux variables d'espace9 Lorsqu'il en sera ainsi, nous dirons que f et g sont presque-p6riodiques relativement s l'op6rateur elliptique s n variables ~ F.

Une 6rude g6n6rale de ce genre de question serait sans doute un peu pr6- matur6e. Nous nous so_mines born6 ici ~ un cas simple, qui a l'avantage de conduire ~ une th6orie en beaucoup de points semblable ~ celle des fonctions de BOHR, et la contenant d'ailleurs comme cas limite.

L'op6rateur ~ que nous utilisons, que nous d6signons dans la suite par la notation D, et que nous appelons l'op6rateur de Bessel, est un op6rateur diff6- rentiel du second ordre s une variable, d@fini par

d~.f 2 p + I d f D f = ~r2 + r - - . d r

Une extension nouvelle de la th~orie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 261 Dans tout ce mgmoire, p est u n hombre r~el f i x e dont la valeur a b s o h e est inf6rieure s 1/2; on pourrait d'ailleurs tout aussi bien, sans rien changer que quelques petits d6tails de d6monstration, supposer p complexe, sa pattie r6elle 6rant en valeur a b s o h e inf6rieure s I/2. I1 est vraisemblable que la plupart des r6sultats obtenus pourraient s'6tendre au cos 03 cette partie r6elle est supg- rieure ~ + 1/2, en modifiant convenablement certains proc6d6s; au contraire plus rien ne subsiste quand

[p] < _ r .

2

I1 s'agit done ici de fonetions d'une variable r; les d6finitions sont les suivantes:

I ~ Une fonction f(r), paire, d6finie et continue darts ( - - ~ ; + ~ ) est dire presque-p6riodique J de premiere classe lorsqu'elle est born6e darts [ - - ~ ; + ~ ] et que l'int6grale g6n6ralis6e de l'6quation

O~q) 2 p + I 009 O~rD

o,.~ + r Or O t ~

(,)

satisfaisant aux conditions initiales

@(,-;

o) = o;

est presque-p6riodique de B o a r par rapport au temps.

2 ~ Une fonction f(r), paire, d6finie et continue dans ( - - ~ ; + ~ ) est dire presque-p6riodique J de seeonde classe lorsque l'int6grale g6n6ralis6e de

__O~W+ 2 p + I OW 0 2 W

Or ~ r O r O t ~

satisfaisant aux conditions initiales

'~

(,-,

o)

=f(,-); ^o

est presque-p6riodique de BortR par rapport au temps.

3 ~ Une fonction f(r), paire, d6finie et eontinue dans (--~o; + oo) est dire presque-p6riodique J absolue lorsqu'elle est k la fois de premiSre et de seeonde classe. Alors l'int6grale g4n6ralis6e de (I) satisfaisant aux conditions initiales (2)

est presque-p6riodique de BOHR par rapport au temps, et cela, quant aux d6place- ments et quant aux vitesses.

Duns le cas limite p = -- I/2, les fonctions de premiSre classe sont les font- tions paires born6es admettant une primitive presque-p6riodique de BOHR; les fonctions de seconde classe sont les fonc~ions paires presque-p&iodiques de BoHm Voici maintenant les principales propri6t6s de ces diverses cat6gories de fonctions.

L'61dment simple qui joue le mSme r61e que l'exponentielle dans la th6orie de BOHR, est li6 aux fonctions de BESSEL; c'est la fonction

j ( Z r ) - 2P F ( p + I)jp(Zr)

(Z r)p

Jp d&ignant comme de coutume la fonction de BESSEL d'indice 39. Lorsque 29 est 6gal g - - I / 2 , cet 616ment simple se r6duit g cos 2r. On a les thdorSmes suivants:

I. Si f ( r ) est presque-p&iodique J de l'une ou l'autre classe, la limite

R

lira I

0

existe et est finie; elle est nulle sauf pour un ensemble d6nombrable de valeurs positives ~ de ~, w l e u r s que nous nommerons les exposants de Fourier de la fonction; pour ces valeurs la limite sera d6sign6e par

2 2 P / " ( p + I) a .

La s&ie Y, ana,J,~,~- ~ converge si la fonction est de premmre'" classe; c'est la s6rie Y,a~5~ qui est dans ce cas, si la fonction est de seconde classe. On a l e d&e- loppement formel

f(r) ~ ~_a anj (s r). (4)

n

II. Si f ( r ) est presque-p&iodique J ubsolue, il existe une constante positive finie H telle que l'on air pour tout r

]f(r)l <

H

+~_-.

r p

Une extension nouvelle de la th~orie des fonetions presque-p~riodiques de Bohr. 263 I I I . Si f ( r ) et g (r) sont presque-p&iodiques J absolues, la limite

R

lira I f r2p+l f ( r ) g (r) d r

I ]

0

existe et est finie; elle est nulle si les deux fonctions n ' o n t a u c u n exposant de F o u r i e r c o m m u n ; sinon elle a pour valeur la somme de la s&ie alors convergente

an bn . Z ~c2p+l ,

n

off les An sont les exposants eommuns, et les an et b~ les coefficients correspon- d a n t s dans les dgveloppements de f et g.

Ce dernier point entralne que les fonctions presque-p&iodiques J absolues c o n s t i t u e n t une vari~t~ lingaire dans u n espace de }tflbert n o n ddnombrable; le p r o d u i t scalaire y est d~fini par

R

o

,.2p+ ~f{,.) ~ (r) d r

et les d~veloppements formels (4), pour ces fonctions, convergent au sens de la norme ainsi d~finie.

I n t r o d u i s o n s m a i n t e n a n t l'op~ra~eur

I F(p Jr- I) f f

f(rts)= V~ v(p § ~) [Vr ~

o

+ s "~ -- ~ r s cos ~] sin 2p ~p d ~o

que nous appellerons m o y e n n e circulaire d'ordre/~, relative au r a y o n s. P o u r p = - I/2, cette m o y e n n e se rdduit g

I [f(r + s) + f ( r -- s)].

2

Cela &ant, signalons encore les rdsultats que voici:

IV. Si f ( r ) est presque-p&iodique J de premiere ou de seconde classe, il en est de m~me de n'importe laquelle de ses moyennes circulaires.

V. Si f ( r ) est presque-p6riodique J de seeonde classe, l'ensemble de ses moyennes circulaires est compact.

On notera que ce dernier fair donne une extension partielle des th6or~mes de BOCHNER.

Lorsque p = o, l'6quation (I) se r6dui~

0 3 q) I 0 @ 0 ~ @

Or ~ + r O r O t ~ ^{~ O}

qui n'est autre que l'dquation des ondes cylindriques avec symdtrie axiale. Les conclusions pr6c6dentes donnent done les conditions que dolt satisfaire l'~tat initial pour que l'6volution ult~rieure de la propagation se fasse presque-p6rio- diquement par rapport au temps. ]1 est naturel d'examiner au m~me point de rue l'dquation gdn~rale des ondes cylindriques:

0 3 q) 0 3 @ 0 3 q)

- - 4 - ~ O .

O x ~ 0 y~ 0 t ~

Les conditions initiales sont alors donn~es au moyen de fonc~ions de deu~

variables; la th6orie correspondante pourrait donc se nommer celle des fonctions presque-p6riodiques Jo de deux variables. Cette th~orie doit conduire s une ex- tension des propositions pr~egdentes, prises pour p ~ o, ~ des fonctions de deux variables dgfinies dans tout le plan. Darts un m~moire ult6rieur, nous revien- drons sur cctte question; nous sommes d'ailleurs d6js en possession des princi- paux rgsultats.

Ce qui prGc~de sugg~re ~videmment bien de ggn6ralisations; t o u s l e s pro- blames de propagation, en m i l i e u i n d 6 f i n i , avee des conditions aux limites qu'on peut varier s volont~, semblent susceptibles de conduire s des th6ories analogues.

Signalons seulement le cas du plan ind~fini perc6 d'un trou circulaire ou elliptique;

il est vraisemblable qu'on serait ainsi amen6 s des d6veloppements suivant cer- taines combinaisons lin~aires de fonctions de Bessel de premiere et de seconde esp~ce, ou ~ des d~veloppements en s6ries de fonctions de Mathieu.

Le prgsent m~moire est divis~ en deux chapitres; dans le premier, nous dg- finissons certains op6rateurs lin~aires fonctionnels qui transforment l'~quation (I) en l'6quation des cordes vibrantes, l'~16ment simple en une fonction trlgonom~- trique, et les fonctions presque-p~riodiques J en des fonctions de BOHR. C'est

Une extension nouvelle de la thdorie des fonctions presque-p~riodiques de Bohr. 265 sur l'emploi de ces opdrateurs qu'est bas~e route la th~orie. Dans le second ehapitre nous dtablissons les propridt~s que nous venons de r~sumer rapide- ment.

Les principaux rdsultats qu'on trouvera ci-dessous ont ~t~ publids darts les Comptes Rendus de l'Acadgmie des Sciences. (t. 206, p. 573, f~vrier 1938; Sur une extension nouvelle de la notion de presque-p6riodicit~.)

C H A P I T R E I.

F o r m u l e s e t t r a n s f o r m a t i o n s e s s e n t i e l l e s . w i. L'identit6 fondamentale.

i. D~flnitions et notations.

Dans tout le cours de ce travail, p sera un nombre reel fixe dont la valeur absolue est strictement inf~rieure g I/2; r sera une variable r~elle susceptible de prendre routes les valeurs; les fonctions de cette variable que Yon consid~rera seront dgfinies dans (--or + ~), elles seront soit paires, soit impaires, elles seront au moins continues. Enfin ~ d4signera un param~,tre r~el positif ou nul.

Nous aurons g utiliser eertains op~rateurs lin~aires fonctionnels; ils seront notes par des grandes lettres: /), M, A, B, etc. Si f est la fonction g laquelle on applique l'op~rateur, et si g est le r~sultat de cette operation, on ~crira par exemple

g = D / ;

il arrivera parfois qu'il soit expgdient d'indiquer la variable darts la fonction g, on posera alors

g (r) = Dr f ;

enfin il pourra ~tre n~cessaire de pr6ciser la variable dans la fonction f ; cette variable, sorte de variable d'intdgration, sera toujours d~sign~e par une lettre grecque, et on aura

g (r) = D, [f(~)].

L'dHment simple. C'est une fonction paire qui se rattache imm~diatement g la fonction de Bessel de premiere esp~ce Jp; elle est donn~e par la formule

34N37534. Acta mathematica. 69. Imprim~ le 5 septembre 1938

_ 2 P F ( p + ~ F ( p + I) (~:r12~ _ (Zr)~ 1 ) j p ( ) ~ r ) = ~ F ( n + I) F ( n + p + I)

j(Zr)

n = O

o~

= y . (i ~)~ ~ ~

(~1. (~)

~ t = O

Elle j o u e r a le m~me r61e que l'exponentielle e ~ dans la th~orie de Bohr.

L'op&ateur de Bessel. C'est l'opgrateur

r d~f , 2 p + I d / 1

2)~ [/(e)] = [ ~ . O d" 0-} ~] (2)

I1 est d4fini pour les fonctions f(r) deux fois dgrivables et dont la d~rivge pre- miere est nulle pour r----= o; il donne une fonction paire ou impaire en mSme temps que f i I1 j o u e le mSme r61e, par r a p p o r t s l'61~ment simple, que l'opdra- teur de ddrivation par r a p p o r t ~ l'exponentieUe; on a

2), b'(Z q)] ---- (i Z7 j (Z,'); (3) et

D, [ ~ (e)] = ~,,-~ (r) (. --- ~).

L'op&ateur de moyenne circulaire gdn&alisde. I1 est construit avec l'op~rateur de Bessel et l'~ldment simple j (~ r), de la mSme fa~on que l'op~rateur de translation, avee l'exponentielle et l'op~rateur de d6rivation; il est donc d~fini par le d~ve- l o p p e m e n t formel suivan~, off s est regardd comme un paramgtre

M~ [f(~)] = f(r) ~00 (s) + D , If(0)] 9 , (s) + . . . + D~ ") [f(o)] ~ (s) + . . .

Si F ( r , s) ddsigne le rdsultat de l'application de cet opdrateur s la fonction f ( r ) , on constate formellement que l'on a

2). [F(e, .)] = 2)s IF(r, ~)].

(4)

Cette condition ind~finie, jointe aux conditions initiales ~videntes

(~ ⁼

^{o .}

⁽⁵⁾

F(r, o) = f ( r ) ; ~ s=0

d6termine le prolongement m a x i m u m de l'op6rateur, et conduit ~ l'expression 1 1 Pour l'6tablissement de eette formule, on se reportera ~u Journal de Mathdmatiques pures et appliqudes; T. I7, I938 , fase. 3, P. 213: Sur une extension de la formule de Taylor et de la thdorie des fonctions moyenne-2&iodiques.

Une extension nouvelle de la th~orie des fonetions presque-p6riodiques de Bohr. 267 7g

f f[Vr ~ + s ~ -

^{2 r s} cos q~].sin2Vq~dq~;

0

(6)

qui a un sens pour route fonction paire continue. De plus

M~ [j (~ Q)] = j (~ ,.) j (~ s), (7)

comme il est bien connu.

L'op&ateur de Sonine.

C'est l'op&ateur

Ar If(Q)] =

1G

/ _ . .I-

r ( p + ,)rl~-pl

\Z l

2

f ] ( r s m V ) ~ . . . sin 2p+1 0

dO=

0

V~rg / O 2p+1 f(o~

" - ~ ... dQ.

F(p + i) F ( I - - p ) [r~--Q~]

p+~

0

(8)

I1 est d~fini pour f continue; si f est puire,

g - - A f

est imp~ire, et inversement;

une formule due s Sonine donne

qui entralne

Ar [j (~ Q)] - - s i n ~ r

)~ (9)

r2n+l

A r [~Pn (e)] = (2n "~ I)'!" (IO)

L'op&ateur de Poissom

C'est l'opgrateur

2g

2 r(p + ~) f eos~"Of(rsinO)dO=

B,[f(Q)] =V~ z'(~ +p)

0

2

v~

r(p +

~)

f ^{f(~) o~]~-v}

^dQ.

r 2 P [i.2 -- 0

(ix)

I1 es~ d~fini pour f continue; g = B f est paire ou impaire en m~me temps .que f ; une formule due ~ Poisson donne

qui entralne

B r [cos ), Q] ---~ j ()~ r) (I 2)

B,

[ ~ j = q~.(r).

(,3)

2. Relation entre les op~rateurs de Poisson et de Sonine.

Lorsque f ( r ) poss~de une d~riv6e premiere, la formule g - ~ A f s'inverse par f ( r ) = B , [g' (0)].

D ' u n e faQon gdngrale, on a

A, {B e [f(a)]} ---~

If(o)

^{de. (I4)}

0

La vdrifieation directe est immddiate; nous ne nous y attarderons pas.

3. Relation entre les op~rateurs de Bessel et de Sonine.

Supposons que f ( r ) soit deux fois d~rivable, sa d~riv~e premiere ~tant nulle l'origine; posons g ~ A f ; h ~ D f ; on a

on

d~ g - - Ar h d r ~

~2

A, {D e If(a)]} • d r--~., {Ar [f(0)]} ; (I5) en effet il vien~ successivement

d )r (~2p+l d q

Ar[h(Q)]= ~ [d2.(_j_ 2p-~- i ,

r(p+ ~)r(~-p) t"0'' 0 d:~ [r~_0~],+~'

0 g (r) =

1

9 d u

r(p § ~ ) r ( ~ - p ) J f I -.~] "+~

0

Une extension nouvelle de la th6orie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 269

d ~ g __

d r ~

1

r .f +_:.-' d .

r(p + 1)r( I - p ) [I--U2]

^{p + ~ "}

0

puis

d ~ 9~

r' {A, [h (0)] --

~rr ~j ---

VV~

rip p)

o r

d o

f[~

⁰

/

0

Q2p+2 [ z / ( 0 ) + O f " (Q)] d 0;

,, [,., _ o,],+~

d 2 . f

~- / 9 -2\ f

= 0 ~p [otr"-e J 5

+ , ) , . , _ ~ d / ~ f ] o"e0

[ P - r + ~

-t- {(220 "[- I)' " 2 - (2)0 -[- 3 ) ~ 2 } ~ 9 Une integration par parties fail disparaltre la d~riv6e seeonde, aprbs quoi l'on constate que le second membre est i d e n t i q u e m e n t nul, d'ofi la relation (I5).

4. Relation entre les op6rateurs de Bessel et de Poisson.

Les identit6s (I4) et (15) d o n n e n t par eombinaison nne relation entre les op6rateurs B et D. Supposons q u e f solt trois fois d6rivable, sa d~rivge pre- mibre ~tant nuUe pour r = o; il en est alors de m4me de g ---- B f ; d~signons par h la d&iv6e seeonde de f, on a

o u

D g - = B h

D, IB~ [/(,,)] I = B, [ ~ ' , f ]

[ d O~J ' en effet la formule (I4) donne

f(,-) = ~.A, [g (~)];

e~ (15) conduit de m4me

(I6)

d f = A r { D e [g (a)] };

d r

en inversant, ee qui est 16gitime s cause de l'existence des d6riv6es troisi~mes, on obtient

D~ {B e [f(a)]} = Br [ ~ ] , d2"f "

qui est pr6cis6ment la formule (16).

5. L'identit6 fondamentale.

Nous donnerons ce nom h. la relation qui existe entre l'op6rateur de Sonine et l'op6rateur de moyenne circulaire g6n6ralis6e. Supposons que la fonetion f(r) soit une fonetion paire deux fois d~rivable; la moyenne eirculaire

F(,', s) = M~ be(d]

est alors l'int6grnle de l'6quation lin6aire aux d6riv6es partielles du second ordre de type hyperbolique

Dr [F (e, 8)] = D s [F (r, a)]

satisfaisan~ aux conditions de Cauchy

O F

F ( r , o ) = f ( r ) ; (~S-s)8=0= o.

C'est une fonetion paire de r et de s deux lois d6rivable; posons

0 ( , ' , t) = A t [F(r, ,)]. (I7)

Cette fonetion est paire par rapport s r et impaire par rapport ~ t; elle est deux fois d6rivable, et sa d6riv6e premiere par rapport s r, eomme celle de F, es~ nulle pour r = o. I1 vient, de fngon ~vidente

puis, par (I5),

Dr [60 (e, t)] = A, {Dr [F(e,

0~60

0 t '~ -- At {D~ [F(r, v)] I"

Compte tenu de la eondition ind6finie h laquelle satisfait F, on voR q u e 6 0 (r, t) satisfait ~ la condition ind6finie

0 ~ 60

~gr [60(#, t ) ] - Ot. ~ (IS)

Une "extension nouvelle de la thdorie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 271 qui

type hyperbolique;

ondes cylindriques.

est encore u n e 6quation lin6aire aux d6riv6es partielles du second ordre de on notera que, pour /o = o, elle se rdduit s l'dquation des

P a r ailleurs, on constate facilement que

o ,v) = / ( r ) . (~9)

a~(r, o) = o; o / ~ = o L a formule (I 7)

Oauchy (I9); p o u r ~o = o, on retrouve la formule classique.

Posons m a i n t e n a n t

(,', t) = A , [O (e, t)]

et

donne done l'int6grale de (I8) satisfaisant aux conditions de

(20)

(1-) = A, [f(e)]; (2 i)

G (r, t) est une fonction impaire de r et t, a (r) est une fonction impaire de r, routes deux sont deux fois d6rivables, et on a

puis, par ( I 5 ) ,

{o. }

o 3 G = A, ,v (e, t)

0 t ~ 3 T

03 G

Or ~ = A, {De [O(a, t)]}

ce qui entralne, ~ cause de (I8),

II vient d'autre p a r t

03 G 03 G

- (22)

0 r ~ 0 t ~

G(,-, o) = o;

(o~) = a (,') (23)

O r - t = 0

et les formules d'int6gration bien connues d o n n e n t

i / [~,(t + u) (r, t) = 2

0

t

+ . (,-.)] d . = i2 f + -) + . ( , - .)] d.;

0

(24)

ces deux aspects sym6triques 6rant dus s l'imparit6 de la fonetion a(r); d~s lors, l'inversion de (2o) qui est ldgitime, puisque q)(r, t) est deux fois d6rivable, p e r m e t d'gerire

(,., t)

---/~,

[G'~ (e, t)]

ou encore

I I

r t)= Br[a(t + ~) + a(t --

0)]

=-2Br{At+e[f(a)] +

At-e If(e)]}

+ - yg 2

_ I F ( p +

1)/eos~POa(t+rsinO)dO"

(25)

(2()

On en d6dufl; l'identit6 f o n d a m e n t a l e

Br {At+e If(a)] + A t - e If(a)]} = 2 At {M~ If(a)]} ; (:6) qu'on peut r e g a r d e r comme une g6n6ralisation de (I5); elle se d d m o n t r e en effet formellement de la fa~on suivante: l'it6ration ind6finie de (15) donne, pour tout entier n,

d 2 n

dr2n {At If(Q)]} = Ar {D~ ~) [f(~)]}

d'ofi, compte t e n u du d6veloppement formel de l'op6rateur M, de la formule (I3), et de la s6rie de Taylor, la relation en question. Inversement, on passe de (26)

15) en faisant t e n d r e r vers z6ro.

6. Autre forme de l'identit6 fondamentale.

Supposons que f(r), toujours paire, soit m a i n t e n a n t trois lois d6rivable, et posons

T (,', t) = OO t q) -- oOtAt

IF(r, ,)]

(27)

qui 6quivaut

F(r, 8) = Be

[~ (,', ~)]

(28)

car l'inversion est 16gitime. T ( r , t) est une fonction paire de r et paire de t;

elle satisfait, comme q~ (r, t) s la condition ind6finie

et on a de plus

Dr [~ (e, t)] -- 0 t ~ (18)

(r, o) = f ( r ) ;

OT

Une extension nouvelle de la thdorie des fonctions presque-p~riodiques de Bohr. 273 de sorte que la formule (2y) donne l'intdgrale de l'dquation (18) satisfaisant aux conditions de Cauchy (29).

Posons maintenant

O G

~(,., t ) - ot -A~[~(e, t)]; (3o)

H ( r , t) est une fonetion impaire de r, paire de t; elle est deux fois d6rivable et est solution, eomme G(r, t), de l'dquation des eordes vibrantes; on a

H(r, t ) - I~ [a (r + t) + a ( r - - t)].

- - 2

D;ailleurs la formule (2I) s'inverse par

/(,.)

⁼

Br [.' (e)]

tandis que (3 o) s'inverse par

(,., t) = B~ [H'~ (e, t)] - ~ B~ [~' (e + t) + .' (e -- t)].

Compte tenu de ces nouvelies formules, (28) s'dcrit

B s { B r [ g ( q + a)] + B r [ g ( Q -- a ) ] } - 2MSr{Be[g(a)]};

(30

en rempla?ant a'(r) par g(r) qui est une fonction paire seulement assujettie s poss6der une d~riv~e seconde. Cette identit6 n'est qu'une autre forme de (26);

elle peut gtre consid6r~e comme une extension de (I6), de m~me que (26) est une extension de (i5).

w 2. G~n6ralisation de l'identit6 fondamentale.

I. Position du probl~me.

Les rdsultats du pr~eddent paragraphe peuvent se r~sumer ainsi: P a r t a n t de l'dquation (I 8)

O~ q ) 2 p q- I 0 ( I ) 02 {~) O r ~ + r Or - - - - 0 t ~

son int~grale 9 (r, t) satisfaisant aux conditions initiales

35--37534. Acta mathematica, 69. Imprim6 le 5 septembre 1938.

0@

s'exprime par la formule

(,', t) = At {M~ [f(e)]}

tandis que son ~ int6grale satisfaisant aux conditions initiales 0 T

(,.. o > : :(,->, ~ est donn6e par la formule

T (r, t) = O A , {M~ [f(r

Ces r6sultats sont classiques et supposent seulement que f(r) est deux fois d6rivable dans le premier cas, trois fois dans le second. D'autre part, en utili- sant la transformation de Sonine, qni substitue s l'6quation (I8) l'6quation des cordes vibrantes, nous avons obtenu une autre forme de ces int6grales, ~ savoir

q) (r, t) = ~ B~ {At+e If(a)] + At-e [f(a)]}

pour la premihre, et

T (r, t) = ~ B~ {At+ e [f(a)] + At-o If(o)]}

pour la seconde. L'identit6 de ees deux formes, s quoi 6quivaut la formule fondamentale (26), a 6t6 d6montr6e en supposant que f ( r ) est deux fois d6rivable darts le premier cas, trois fois dans le second. Or, dans ces identit6s, les deux membres ont encore un sens lorsque

f(r)est

seulement suppos6e c o n t i n u e , - pour l'identit6 relative s ~ - - , ou pourvue d'une d6riv6e premiere continue, - - pour l'identit6 relative s T - - . Ces identit6s jouant un r61e important dans les chapitres qui vont suivre, il importe de les 6tendre aux cas les plus g6n6raux.

C'est le but du pr6sent paragraphe.

On peu~ donner une d6mons~ration directe de la formule (26), la fonction f ( r ) y 6rant seulement suppos6e paire et continue, en utilisant un changement de variables convenable. La transformation dont nous nous servirons, d'ailleurs int6ressante par elle m4me, est un peu compliqu6e, et exige des d6veloppements assez longs. Nous n'indiquerons ici que les 6tapes principales du calcul.

Une extension nouvelle de la th~orie des fonetions presque-p6riodiques de Bohr. 275 2. Changement de variables; premier cas.

D6veloppons l'identit6 (26); en n6gligeant un facteur constant et en tenant compte de la d6finition des opdrateurs M, A e t B, elle devient

+ -

f

(t + r sin 9) c~ 9

if

f[(t + r sin 9) sin 01 ~-os~V0

sio2 lo ]

dO d 9

0 2

2 r

fir

= t f [ V r ~ + t ' ~ s i n ~ O - 2 r t s i n O c o s q ~ j sin ~p q~dq~ ~ o - ~ 0 dS.

0 0

(26')

Pour faciliter le langage, nous emploierons une image g6om6trique. Rapportons l'espace s un triSdre trirectangle O x y z ; le point courant m sera d6fini par ses coordonn6es cylindro-polaires 0; ~o;z. Soit f ( m ) = f ( Q ) une fonction de point;

soit. a un point de Ox ~ la distance r de l'origine; soit enfin St la sph6re de centre a, de rayon t; nous prendrons sur ce~te sphbre nn syst~me de coordonn6es g6ographiques: 0 e~ 9; la ligne des p61es az' sera la parallSle ~ O z, le m6ridien origine des longitudes sera le demi-plan O a z', de sorte que les longitudes q~

seront compt6es s partir du rayon a O. P o u r un point m de la sphere, on a Q~-~r * + t ~sin ~ O - 2 r t s i n O c o s q ~ .

De plus, l'616ment d'aire de St est donn6 par d a ~ - t ~ sin O dO dq~

et le second membre de (26') devient, en d6signant par at l'h6misph~re sup6rieur,

ou encore, plan x 0 y,

f f f(Q)lsin tg OI2 do

en introduisant la cote z du point eourant, et l'dl6ment d'aire du

Qf(Q) I sin ~ tg O]'2PdQ z

~

Nous supposerons d'abord que t est sup6rieur E r; l'origine 0 est alors int6rieure s la sphgre; on n o t e r a que, dans ce cas, le premier comme le second membre de (26'), n ' u t i l i s e n t les valeurs de la fonction f , que dans l'intervalle

It - ,-; t + H.

Nous introduirons deux nouvelles variables angulaires ~ et Z, satisfa.isan~

aux conditions suivantes:

a) l'616ment d'aire de la sphbre a pour expression d a = t ( t + r sin ~) sin z d z d ~ ;

b) la distance du point c o u r a n t de la sphere s O z a pour expression q - - (t + r sin ~p) sin Z;

c) on a de plus la relation

I cos e tg x l = [sin q~

tg

Ol.

Toutes ces conditions sont remplies si l'on pose

_ e (~ + t -- r cos co)

sin ~ ( Q o + t - - r c o s c o + t) cos co-- r., sin Z = t ~ + e( t + r cos o ) ) - r 2" (32) L e calcul de I • sin ~ ; I +__ sin % et une discussion facile m o n t r e n t qu's t o u t

:rg :rg

point m de at correspondent une valeur de ~p comprise entre - - - et + - ainsi

2 2

7g

q u ' u n e valeur de % comprise entre o et + - ; de plus, q u a n d m d6erit at, le 2

point (~p; Z) d~crit une et une seule fois le champ rectangulaire - - - < ~ < - - ; 3 ~ o < % < - .

2 2 2

Enfin on a successivement

@ = (t + r sin ~p) sin Z;

r(I + sin Z s in~ g') + t(~ + sin Z) sin g,.

C O S ~ ~

(I + sin Z)(t + r sin ~p)

~,~ ^__ I - - s i n Z [t2 (I + sin %)~+ 2 r t(I + sin Z) ~in Z sin ~p--r ~ ( I - - s i n ~ Z sin~ ~P)];

~ i n Z

Une extension nouvelle de la th6orie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 277 (I + sill Z) g ( t + r sin 1~)' sin s o =

= cos' ~p [t g (I + sin Z) g + 2 r t(I + sin Z) sin Z sin g a - - r ' (I - - s i n ' Z s i n ' ~fl)].

Les deux derni~res de ces relations e n t r a l n e n t z" Qg cotg' sins ~

= Z cos g ID

d'ofi rdsulte, duns le triangle ayan~ pour c6tds r; t sin 0; e, les angles oppos6s aux cbtds O et t sin 0 6rant respectivement 9 et co,

I cos m

^{t g Z}

I

^{- q} sin to _ q sin to z t cos 0 P a r ailleurs il vient

-

I

sin ~v tg 0[.

D (q; co) cos ~p cos Z sin 0) D(~); Z ) - (I -{-sin Z)2 ( t + r sin ~))"

9 [t~(I + s i n Z ) 2 + e r t(I + s i n Z) sin Z sin ~p--r~ ( I - - s i n ~ Z sin2 ~P)];

puis

t t]tgzcos~P]dedco t]tgzcos~p]]D(q;,~_.

~.w)]

da = -Qdedo

^{. . . . . .}

z sin ~ sin ~ IV~p; z~l d ~p d z

- - t sin cos' ~P[t'(I + s i n Z ) ' + 2 r t ( I + s i n Z) sin Z sin ~p-- - - Z s i n ' ~

d~dg

- - r ' (I - - s i n ' Z si ns ~P)] (I + s i n Z)' ( t + r sin ~p)

= t s i n Z (t + r s i n ~p) d ~p d Z;

m o y e n n a n t quoi le second m e m b r e de (26') prend Ia forme

-f[f (t+r

^sin ~p)f[(t + r sin ~p)sin Z] I c0s ~0 tg Z ] 2p sin z

dz]d~P; (33)

2 o o

qui n'est autre que celle du premier membre, aux notations pr~s.

3. C h a n g e m e n t d e v a r i a b l e ; d e u x i ~ m e c a s .

Supposons m a i n t e n a n t t i n f & i e u r g r; l'origine 0 es~ ext6rieure g la sphere;

le second m e m b r e de (25') n'utilise que tes valeurs de f ( Q ) d u n s l'intervalle

[r--t; r + t ] ~andis que le~ premier membre utilise celles de l'intervalle [t--r; t+r].

Consid6rons alors le premier membre de (26'), mis sous la forme (33), faisons 1~

substitution

sin ~0 ---- u; sin % -= v; (34)

et posons comme plus haut

,'(~ + v u ~) + t . l ~ + ~)

(35)

Duns (33), le point (u; v) d6erit une et une seule fois le champ rectangulaire ~/

d6fini par les in6galit6s

l u l < ~ ; o < v < I .

Or, en 6tudiant les signes de (~ et de i + cos ~o on constate que la portion ?/

du rectangle ~ pour laquelle Q est positif et eo r6el, est d6finie par la seule in6galit6

r ~ t v > - - -

t + r u

C'est la portion hachur6e de la figure I, eUe est situ6e au dessus de l'arc d'hype r- bole 6quilat~re aft; a e t fl ont respeetivement pour ordonn~e et pour abscisse

r - - t 2 t

et I - - - - .

r + t r

Nous d6signerons encore par ~ la portion du rectangle ~ comprise entre l'arc aft et la droite u - - - t/r; puis par ~ la portion restante. Ceci 6rant, l'int6grale (33) se d6compose en trois parties relatives respectivement aux portions ~[, !~

et ~. Nous allons montrer que les int~grales doubles relatives aux portions et ~ se compensent exactement.

Nous ferons, pour cela, usage d'une transformation birationnelie poss6dant les propri6t6s suivantes:

a) quand le point (u; v) d~erit la rd.gion ~, le point transform6 (u'; v') d6cri~

une et une seule fois la r~gion ~;

b) on a l e s iavariances

( t + r u ) v = - - ( t + r u ' ) v ' ; v ~ I - u ~ I - - ~ "~ d u d v du" d~/

i - v

~ ~ v'~ ~ - v ~ ; v ( I - u ~) = v' ( I - u ' ~ ) "

Une extension nouvelle de la thdorie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 279 On obtient simplement les formules de la trans-

formation en 61iminant la variable w entre les trois 6quations

{ w = ( t + r u ) , v = : (t+ru')v'

2 r t ( I - t - U U ) - - U U (t2-{-r'--w s)-= 0

-1 % 9 +i u

ce qui donne F i g . I .

U'

r(2t+ru)(uSvS--I)--tSu(I--Vs)" t(t+2ru)(I--V~)+rS(I--U~VS)

= t ( t + 2 r u ) ( t _ v , 2 ) + r S ( i _ u S v ~ ) , v ' - - v r s ( l _ U S V ~ ) _ t . ~ ( i _ v S ) 9 (3 6 ) On trouve ensuite pour le jacobien

s, D (u'; v') v(~ - ~ ~ ~ ) ~ ~) puis, par un calcul facile

- - = - v ' ( I - u t2 );

(~-.'~) It ( t + 2 , - u ) ( ~ - ~ s ) + rs (~ _ u s v')? --

= ( i - u s)[t-r-v(t+ru)] [t--r+v(t+ru)][t+r--v(t+ru)][t+r+v(t+ru)];

(I - - v '2) [r s (I - - u s yfi)--t s (I _~)s)]s ==

= (I--V ~ ) [ t - r - v ( t + r u ) ] [t--r4-v(t+ru)] [t+r--v(t+ru)] [t+r+v(t+ru)];

d'ofi

et enfin

VS I ^{- - U s} I ^{- - ~ t 2}

I ^{- -} V ~ - ~ vp'2 I ^{- -} Y'~;

I D ( u ' ; v ' ) +__ I

V ( ~ - . ' s ) ( r _ ~ ' s ) D ( . ; ~ ) V ( ~ _ . s ) ( r _ ~ s )

Si donc d a e t d a ' sont les 616ments d'aires en correspondance des plans (u; v) et (u'; v'), on a

I v s I - - u21 P d a _

I -- v s] v (t + r u)f[(t + r u) v] V(I -- u "~) ^(I - - V s ) - -

[

.,~ I - u ' 2 ] p ,,. da'

---- -- IV ~ j v v+ru')f[(t*ru')v']F~(z_u,~)(i_v,~).

Enfin une discussion simple montre bien que les domaines !3 et ~ s o n t en cor- respondance darts la transformation en question. Si on remarque que (33)s'6crit, en utilisant le changement de variables (34),

[v v (t

+ r u ) f [ ( t + ru)v] V('1-"1 -- u*)(I -- v 2"')

on voit que la compensation exaete des int6grales &endues g ~ et ~ est bien r6alis6e, et qu'on peut, par suite, remplacer le premier membre de ( 2 6 ' ) p a r l'int6grale pr6c6dente, 6tendue seulement au domaine 9.I. Mats on peut cette fois revenir aux Variables Q et ~o, par les formules (35); on suit que la quantit6 sous le signe somme devient alors

ef(e)] sin ~ tg OI ~vdQ d~;

off o n . a introduit comme plus haut la cote z et les coordonn~es g6ographiques 0 et ~ du point m de l'hdmisph~re at, uyunt pour coordonn6es cylindropolaires (~; oJ; z. On v&ifie d'ailleurs facilement que lu r6gion du plan (#; to) qui corre- spond g la r6gion ?l du plan (u; v), est pr6cis~ment la base de l'h6misph~re at, et que, duns cette r4gion, le jacobien de la transformation ne change pus de signe; de tout ceci r6sulte que (33) est identique au second membre de (26').

I1 n'y a rien g ajouter g cette d6monstration pour traiter le cus de l'identit6 relative g la fonction T(r, t), puisque cette identit6 se dgduit de ceUe qu'on vient d'6tablir en d6rivant par rapport g la variable t, op6ration 6videmment 16gitime dbs que la fonction f poss~de une d@ivde premibre continue.

4 . E x a m e n d e s d e u x e a s l i m i t e s p = - - i / 2 e t p - - - - + I/2.

Ces deux eas sont int6ressants ear ils &ablissent la liaison entre la th6orie qui sera d6velopp6e dans le chapitre suivant, et la th6orie classique de Bohr.

O'est pourquoi nous terminerons ce paragraphe en indiquant rapidement ce que deviennent les fonc~ions, op6rateurs, relations que nous venons de consid6rer pour ces valeurs de p.

a ) p = - - I / 2 ; Oil a alors

puts

r 2 n

j(Zr) = cos ~.r; 9~,,(r) -- (37)

(2 ^~'/)!

d2jO

Dr If(e)] -- d r ~ ' Ms, [f(e)] = ^I If(," + *) + f ( , - -

*)]; (3s)

Une extension nouvelle de la thdorie des fonctions presque-pdriodiques de Bohr. 281

r

A, [f((~)] ~- j f(q) d Q;

0

B r [ f ( e ) ] = f ( r ) ; ( 3 9 )

b) p--- + x/2; on a eette fois

puis

a v e c

et enfin

j (Z r) = sin 2 r . ^{r 2 n}

~0n (r) = ( 2 ~ + ~)! (37')

d'2.f 2 d f . Dr If(Q)] = ~ + - - -

r d r ~ M ; If(e)] = 7Lrr, IF(," ~-.,) + F(,- -- ,)] (38')

q-

(38")

L f/(e,, e (.,,

A~ If(e)] = ,'/(,); .B, If(e)] = ,.

0

Enfin dans u n cas comme dans l'autre, les relations entre les opdrateurs /), M, A, B, qui ont ~t6 &ablies dans ce chapitre sont encore exactes et deviennent triviales.

C H A P I T R E II.

L e s f o n c t i o n s p r e s q u e - p ~ r i o d i q u e s J d ' u n e s e u l e v a r i a b l e . w ~. Les fonctions presque-p~riodiques J de premiere classe.

I. D6finition.

R e p r e n o n s 1 l'~quation (I 81) d u pr6c~dent chapitre:

0 ~ 60 D , [ ~ ( ~ , t)] = Ot ~

Son intdgrale q)(r, t) satisfaisant aux conditions initiales

(I)

D a n s l a suite, les r e n v o i s a u p r e m i e r c h a p i t r e s e r o n t affect~s de l ' i n d i c e I.

36--37534. Acta mathematica. 69. Impr/m6 le 5 septembre 1938.

(D(r, o ) = o ; \ l=0lfft-lt=f(')" (2); (3) est donnde, comme on l'a vu, par l'une ou l'autre des formules

O(r, t)=At{Mer[f(a)] } =~Br{At+e[f(a)] + At-e[f(o)]}.

(4); (5) Ces expressions ont encore un sens lorsque la fonetion paire f ( r ) est seulement suppos6e continue; O(r, t) sern alors appel6e l'int6grale gdn6ralis6e de (I), satis- faisant aux conditions initiales (2); (3); comme on l'a vu par la formule (251), si l'on pose

a (r) = Ar If(Q)] ; (6)

on peut ~crire aussi

+ - 2

, r ( v +

/"

~- cos'2POa(t + r

sin

O)dO= [Br[a(t+q)+

a ( t - - q ) ]. (7)

2

Tout ceei 6taut rappel6, nous dirons qu'une fonction continue paire f ( r ) , d6finie dans (--~r + ~ ), est presque-p6riodique J de premiere classe,

i ~ lorsqu'elle est born6e dans [ - - ~ ; + ~ ] ;

2 ~ lorsque l'int6grale g6n6ralis6e de (I), satisfaisant aux conditions initiales (2), (3), est, par rapport s la variable t, une fonetion presque-p6riodique de Bohr.

Proposition z.

11 est n6cessaire et suffisant, pour que la condition 2 ~ soit remplie, que la fonction a (r) soit une fonction impaire de Bohr.

E n effet, (6) m o n t r e que a(r) est u6cessairement impaire et continue; (7) donne, pour r : - o,

(o, t) = a (t);

puisque 9 (r, t) dolt 8tre presque-p6riodique de ]3ohr par rapport ~ t, pour route valeur de r, il est bien n~cessaire que a ( r ) s o i t presque-pdriodique; c'est d'ailleurs suffisant, car la formule (7), sous sort premier aspect, m o n t r e de fagon imm6diate qu'alors 9 (r, t) est, quel que soit r, presque-p6riodique de B o h r par rapport ~

t,

avec le mSme systbme de presque-p6ri0des que a (r). Nous pourrons done 6erire, avec la convention habi~uelle

sin Zn r.

Une extension nouvelle de la th6orie des fonctions presque-p6riodlques de Bohr. 283 les ~,~ 6rant positifs, et la s6rie

anS,~ (9)

~tant convergente.

I1 est 6vident que si f(r) et g ( r ) s o n t presque-p6riodiques J de premiere elasse, il e n e s t de mgme de k f ( r ) + h g (r), quelles que soient les constantes h et k. I I e n est doric aussi de m6me de la complexe conjugu6e et des parties r6elle et imaginaire de f(r).

Soit s un nombre eireulaire

2. Moyennes eirculaires de

f(r).

r6el posi~if fix6 ~ l'avanee; introduisons la moyenne

/1 (,9 = F(,., s) = M~ If(Q)] (~o)

off on a repris les notations du prdcddent chapitre.

t)roposition 2. Si f ( r ) est presque-p4riodique J de premiere classe, il en est de m~me de f l (r).

fl(r) est ~videmment bornde et continue; introduisons alors, comme plus haut, les fonctions suivantes:

F~{r, t) = ~ [ / , ( Q ) ] ; ( ~ i )

al (r) = A~ [f~ (Q)];

O n a

a}~ (r, t) = A, IF1 (r, ~)1.

a~ (r)--= A,. IF(e, s)] = A,. IF(s, O]]---- q)(s, r);

(I2)

(x3) {~4)

par suite al (r) est une fonction impaire presque-p~riodique de Bohr par rapport

~t r, et il en rgsulte, d'apr~s la proposition (~), que f ~ ( r ) e s t bien presque- p6riodique or.

3. Une limitation utile.

Reprenons la fonction a (r) d~finie par a (r) = A~ If(e)]

et introduisons la fonction continue impaire b (r) telle que

,-t (r) = B , [e c, (e)]. (~ 5)

U n ealeul facile, que nous omettons, donne

r

r 2p+' b (r) = j " e~P+1f(Q) d e.

0

(I6)

Or~

b(r) s'exprime de Is fa~on suivante:

i) f (rsinO) eos2POsinOdO.

b (r) = 1/~ F ( ~ z + p ) a 0

si on se reporte ~ la d6finRion de l'op6rateur de Poisson, on eonstate que

(:7)

Soit alors a la borne sup6rieure du module de la fonction presque-p6riodique de Bohr a (r); la formule pr6c6dente m o n t r e que

r ( p +

:).

Ib(r)l-< g~rr(32 +p)

Cette in6galit6 nous sera utile.

4- Le d6veloppement formel des fonetions presque-p6riodiques J de premiere elasse.

D'apr~s le d6veloppement (8) de la fonetion a (r), on a

lira : f

R-+| R a(r) sinJ~rdr=

^an

; (Z=Z,,)'

0

(Z

^>

o)

et si on tient compte de l'expression de a (r) en fonction de

f(r),

on m o n t r e par une t r a n s f o r m a t i o n cl~ssique, que

R

R J ' a ( r ) sin ~ r d r = ~ .

r(p+,)r(~-p)

0

R R

sin ),

Q Q]

0 r

d r .

Une extension nouvelle de la th6orie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 285 P a r ailleurs une formule eonnue de la th6orie des fonctions de Bessel, (l'int6grale de 3lehler-Sonine), donne

o~

f sin ~ #

[ e ' - r~] ~+ 89 d ~ = - -

r

2 ~ +~ v ( p + ,)a(z~').

On est done amen6 g penser que l'on a

" ' "

,,m

lim a(r) sin

).rdr=22P+lF~(p+i)R~|

0 0

r2P+l f(,')j(Zr)dr.

(I9)

Pour le v6rifier, il suffit 6videmment de montrer que l'expression

o ~ [ ~ - r~f+-~

d ,- (:o)

a pour limite z6ro quand R devient infini. C'est ce que nous allons faire. Pour cela nous d6composerons I en deux parties:

a v e c

et

on a pos6

I - = J + K

R RI

[f ]

K = r2"+l f(, ")

[ q ~ _ r , l , + l d e d r ; (22)

0 R 1

(z3) l'exposant q 6rant pris sup6rieur g I, de sorte que R ~ - - R tend vers z~ro en m~me temps que

I/R.

a)

Etude de J.

Dans l'intervalle (R; R1), la fonction

[ e ' - r'] p+'~

est positive et d6croissan~e par rapport & Q, il s'ensuit que

[e2 --- r2] p~'I

I

[/~2-- r2] p + I 12~q-l[R2--r$] p+I'

puis, en d~signant par fl la borne supgrieure du module de f ( r ) darts [-- ~ ; + ~ ];

R

fl f r 2v+ldr IJI-< ~ [R~_,.~],+ i

0

q ~tant choisi sup~rieur s I, on voit que J tend vers z~ro avec

I/R.

b)

Etude de K.

la fonction

on peut alors dcrire

b(r) ~tant ddfinie par la formule (I6), introduisons encore

( ~ ( r ) = r 2 p l - l b ( r ) =

fe-+V(e) de

0

"If ]

I f c' (r) sin Z e

K = N [e,_r~]p+ 89 de dr

0 R~

puis, en int~grant par parties

(~4)

~, [ # -

r3l" + ~ de ~ (,')

- ~ - e ,

~=o J [ d - r ' ] ' + ~ l

0 R~

dr.

La parole route intdgrde s'~crit encore

K~ -- _ _ R ~ [ r de;

oo F sin ~e

car c(o) est nul, et j Q2v+l dQ a un sens eL es~ finie.

R1

~gal, au signe pros,

K2 2 p + I f sin ~,Q

R re(r)

[#_r~]p+~de

0 Rx

(~5)

Le second terme est

d r; (26)

la d~rivation sous le signe s.omme 6rant lggitime, s cause de l'uniforme conver- gence de l'int~grale

Une extension nouvelle de la th~orie des fonctions presque-p~,riodiques de Bohr. 287

1

f sin g

~, [ ~ - - r~] ~+ ~ d ~

lorsque 1 devien~ infini. E~udions successivement K~ et K t.

Etude de K~.

La quantit~

I

[~-r ~] p+

est une fonc~ion positive et d~croissante de Q; le second th~orbme de la moyenne donne donc

R~

(

_{sin ~Q -}

'

3 ; s i n

. ~Qd 0

[O ~ _ r~] p+ ~ d 0 =

9 [ R ~ - r ' ] p* ~ J

puis, ~ n'gtant pas nul,

[e ~ ^-- r~]P + ~ de

2

~t [R:-r'] p§

Tenons compte maintenant de l'indgalitd (I8) relative s la fonction b(r); elIe entralne ^

r(p + ~1 ,.~,+1, (r> o)

'4r)' --< V-~(~ +p)

et par suite

IK~l-<

R

4a F(p + I) I f r2P+2dr .

~ Y ~ F ( p + ~) R [R~ -- r~] "+~

0

Remplaqant au second membre r par

R u e~ .B 1

par

k R,

il vien$

1

4a F(p + l) I f u~§

I K ~ I < ~ V ~ F ( p + I ) R

[k~__ u,]'+~"

o

L'intggrale qui apparalt ainsi est une fonction de k d6flnie pour k sup~rieur l'unitg, et qui devient infinie quand k tend vers l'unit~; une int6~ation par parties donne d'ailleurs

1 1

f u

^{_ I} ..-- i ~ _U2 p d ' .

[~'- u~] '+~ (2p + i)(k -~ i) '+~ .] [k' - u~] "+-~'

0 o

le second t e r m e est n~gatif; il reste fini pour k = I; on a doric

et

1

f u 2p+'du .< I

[k ~ -- u~]'+~ (2p + I)(k ~ - i ) ' + ~ ' 0

IK~I--< ~ z'(p + x) ~ .

zVV~r (, + ~) R[k~-- ~] '+1

Si m a i n t e n a n t on remplace k par I -]- ~ q , on trouve I

IK~I--< '~ r ( p + i) R + § 1 8 9

ce qui m o n t r e que K~ t e n d r a vers z@o avee

I/R

si q < - - est compatible avee q > I, t a r p < - . I

2

2 p + I ; cette condition

_Etude de 1s

D a n s l'expressiou (25) de K1, apptiquons ~ l'int~grale le second thdorSme de la m o y e n n e et t e n o n s compte de la m a j o r a t i o n ddjs utilisde de la f o n c t i o n c(B); on trouve ainsi

I~1-<

2 u r ( p + I) I

qui t e n d vers z6ro eomme K2;

[KI

< IK11 + IK~I t e n d done aussi vers zdro, et il e n e s t de mSme de

111 < [J[ + IKI;

ee qui aeh~ve d'6tablir notre assertion.

Nous voyons par suite, en r e v e n a n t s l'dquation (I9), que l'on p e u t 6crire

f o; (z + z.) (27)

~2p I t ' r 2 P + l

2 2 p + 1 - ~ 0 - } - "I)R~+colim ~ .1

f(r)j(Zr)dr= [ as 9

(Z = 2n). (28)

o ~ '

Cela nous permet d'gnoncer le th~or~me suivant:

Une extension nouvelle de la th6orie des fonctions presque-p4riodiques de Bohr. 289

Th&r~me.

Si f ( r ) est presque-p6riodique J de premiere classe, l'expression

R

~/'r2p+lf(r)3(~r)dr,

o

off Z d6signe un nombre positif, a une limite nulle pour R infini, saul pour un ensemble d6nombrable de valeurs de $, w l e u r s qui sont celles des exposants de Fourier de 1'image presque-p&iodique

a (r) = A~ [f(Q)]

de la fonction f ; pour ees w l e u r s ~. de ~, la limite es~ donn6e par l'expression --22P F~ (p + I) a,~

off a~ est le coefficient de Fourier eorrespondant de 1'image a(r).

5. Remarques diverses.

On u, d'apr~s des formules bien eonnues de la th6orie des fonctions de Bessel

R

, frj (Zr)j,(m.)dr_ J (ZRIJ,-I( Ir

)o2__~ ,

0 R

0

puis, en passant g la limite pour R infini, comp~e ~enu des formules asymptotiques,

.R

lim

f (Z * t*)

^{( 91}

o

f

.R 2 2 P l " ( p + I )

lim

r=v+~ff(J.r) dr

= ~ ~,,+~ (30)

0

Ce r6sultat rend ~videntes les formules (27) et~ (28) dans le eas d'une somme finie:

N

f(r) = ~_a anj (J.. r).

3 7 - - 3 7 5 3 4 . Acta mathematica. 69. I m p r i m 6 le 6 s e p t e m b r e 1938.

On observa, que p o u r u n e telle somme o n a

R

R~| ~I f ,.~,+l f(,.)f(,.)d r _ 2~ r~(pz + ~) ~N ~;~a"a"

0 n ~ I n

D a n s le cus gdndral, p o u r une f o n e t i o n presque-pdriodique J de premiere classe ""

quelconque, ls sgrie

an an

ne sera pas c o n v e r g e n t e ; on volt donc, que p o u r u n e telle fonc~ion, il n ' y ~, en

i p ~. 1o.

general, a u c u n e raison de p e n s e r que 1 l n t % r a l e

lira I f

0

air u n sens. Comme nous le verrons duns la suite, c e t t e l a c u n e a p p n r e n t e de la th~orie d i s p a r a l t r a lorsque nous a u r o n s ddfini les f o n c t i o n s presque-p~riodiques J absolues.

6. Cas des m o y e n n e s eireulaires.

Soit tou.~ours s u n n o m b r e r6el positif fixe, et c h e r c h o n s ~ d 4 t e r m i n e r les coefficients du d g v e l o p p e m e n t f o r m e l de la m o y e n n e circulaire

f~ (r) = F ( r , s) M~ [f(Q)].

D'apr~s ce qui pr6c~de, il suffit d'dvaluer la limi~e

ou, c o m p t e t e n u de (I4)

P o s o n s

if

lim a l

~

~ (r)

0

sin ~ r d r

+ -

V~.r + p

0 2

Une extension nouvelle de la thdorie des fonctions presque-p6riodiques de Bohr. 291

On sait que

R lim I f

R ~ R a(r) s i n ~ r d 0

,- = (z)

R

lim

R fa(r +

s s i n 0)sin ~ r d r = a(~)cos (~ssin 0);

0

cette dernibre limite dtant a t t e i n t e u n i f o r m d m e n t par rapport s s dans [o; + or et par r a p p o r t s 0 d a n s [ - - 2 ; + ~ ] ; c e l a e n t r a l n e l a p o s s i b i l i t ~ d'intervertir

et les passages s la liInite dans les expressions p%c6dentes, et les intdgrations

il vient R lim i

f

R~| R at(r)

0

sin Z r d r =

+ - 2

2

= a (it)j (Z s);

puis

/ o ; ( z # z , )

lim

~ j

r 2 p + l f 1 ( r ) j ( Z r ) d r = 2 2 ~ P F 2 ( p -}- I). an "/ZnS); (,~ zn). (32) o

7. E x a m e n d e s d e u x e a s l i m i t e s p ~ - - i / 2 e t p = + I / 2 .

II suffit de se r e p o r t e r aux d6finitions et aux formules

(371)

etc. du pr6c6dent chapitre pour aboutir aux conclusions que voici:

a) p---- - - ~/2; les fonctions presque'-p6riodiques J sont les fonctions paires a & n e t t a n t une primitive presque-p6riodique de Bohr.

b) p = + I/2; les fonctions presque-p6riodiques J sont les quotients par r des fonctions impaires presque-p6riodiques de Bohr.

De plus, darts les deux cas, ces fonctions doivent 8tre born6es dans [-- ~ ; + ~ ] ; c'est 1s une condition globale, p o u r p = - - 1/2, et une condition locale, relative s r = o, pour p = + I/2.

Toutes les propositions ~tablies dans le present p a r a g r a p h e subsistent.

w 2. Les fonctions presque-p6riodiques J de seconde classe.

I. D6flnition.

R e p r e n o n s l'6quation (18~) du chapitre premier:

03 T .

Dr IT (e, t)] = O V '

(33)

soit d ' a u t r e part f ( r ) une fonction paire, d6finie dans ( - - ~ ; + r162 e~ que nous supposerons d'abord pourvue d'une d6riv~e premibre continue; l'int6grale g6n6- ralis6e de (33) satisfaisant aux conditions initiales

= o (34)

~ ( r , o)~---f(r); ~ - t = 0 s'exprime par l'une ou l'autre des deux formules

T(,', t) = O A t {Mre [f(a)]} __ I O t B r 2 {At+e [f(a)] + At-e If(a)]}. (35) Si l'on pose, c o m m e plus haut,

a (r) = Ar [f((~)] ; (36)

on a aussi

+~

2 I F(p -]- 1) f

-- cos:V 0 a (t + r sin O) d O.

2

Mais, sous les hypotheses f a r e s , a(r) est aussi une fois d6rivable; d6signons par a*(r) sa d6riv6e; on p e u t 6crire

+- 2 I F(p "t- I) f

- eos p 0 a*(t + r sin 0) dO. (37)

g'g

P a r ailleurs, d'apr~s (I41) et la relation bien connue entre les op6rateurs de So- nine et de P o i s s o n , il vient

f(,') = Br [a* (0)]- (38)

Une extension nouvelle de la th4orie des fonctions presque-p&iodiques de Bohr. 293 Ces consid4rations nous permettent de nous affranchir de la restriction de d4rivabilit~ impos4e g la fonction f ; lorsque la fonction f ( r ) paire, dgfinie et continue dans (--r162 + ~ ) est t~elle qu'il existe une autre fonction paire a*(r) d4finie e~ continue duns le m~me intervalle, satisfaisant g l'4quation (38), nous dirons que la .fonction W (r, t) d6finie par la formule (37) est l'int4grale g4n~ralisde de (33) satisfaisant aux conditions initiales (34). On notera que (I4~)donne duns ces conditions

f a*(Q) d = A~

^Q [f((~)] (39)

0

tandis que (37) s'6erit encore

I a *

T (r, t) = ~ Br In* (t + 0) + (t ^-- 0)]

ou, en in~6grant et tenant compte de la parit4 de la fonction a*(r),

t t+Q t--(~

0 0 0

Si maintenant on utilise (39) ainsi que l'identit6 fondamentale, on trouve

t

f W(r, ~) dw -~ At {M~

[f(a)]} (40)

0

ce qui 16gitime en un certain sens 1~ g~n4ralisation faite.

Ceci 4rant posg, nous dirons que la fonction

f(r),

satisfaisant aux conditions pr4c4dentes, est presque-p4riodiques 3" de seconde classe, lorsque l'int~grale g4n&

ralis~e W (r, t) que nous venons de d4finir, sera presque-p~riodique de Bohr par rapport g t, quel que soit r.

Proposition 3.

I1 est n4cessaire et suffisant, pour qu'il en soit ainsi, que la fonction

a*(r)

soit une fonc~ion paire de Bohr.

O'est ce qui se voit imm4diatement, g partir de (37), et en remarquan~ que (o, t) =

On constate comme pour les fonctions de premiere classe (cf. prop. I), que est bien, quel que soit r, presque-pdriodique de Bohr par rapport g t, le syst~me

des presque-pdriodes d~ant ind@endant de r. On est donc autorisd & gcrire, suivant les conventions habituelles, lorsque f ( r ) est presque-p6riodique J de se- conde classe,

a*(r) ~ ~ an COS Znr (4 I)

n

les ~ dtang positffs ou nuls, et la sSrie Z an an

n

4tang convergente.

I1 est clair que si f ( r ) eL g (r) song presque-p~riodiqucs J de second elasse, il en esg de m6me de k f ( r ) + hg(r), quelles que soient les const~ntes h eg k- I1 en est done aussi de m~me de la eomplexe conjugu~e et des parties r~elles et imaginaires de f ( r ) .

Proposition 4.

de m6me de f l (r).

A (,-)

donne

2. Moyennes eirculaires de f(r).

Soit s u n hombre rdel positif fix6 ~ l'avance; introduisons la moyenne circulaire

f~ (r) = M ; [f((~)]. (42)

si f(r)

est dvidemment

/

t 0

est presque-p~riodique J de seconde classe, il en est palre et continue; la formule (40), prise pour r = s,

~(s, ~) d~ = A, {M; If(o)]} = A,

[A

(e)]

ce qui, d'apr~s (I41), dquivaug &

Z (d = B, [T (s, e)].

It existe donc bien une fonction paire et continue a[ (r) satisfaisant &

Z (r) = B, [a~ (e)]

et cette fonction n'est autre que

a] (r) ~- T (s, r).

Elle est. par assertion.

(43)

(44) hypoth~se presque-p~riodique de Bohr par rapport & r; d'ofi notre