The infuence of numerical diffusion on the solution of the radiative transfer equations

(1)

HAL Id: mnhn-02170768

https://hal-mnhn.archives-ouvertes.fr/mnhn-02170768

Submitted on 8 Jul 2019

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

The infuence of numerical diffusion on the solution of the radiative transfer equations

Jurgen Steinacker, Rémi Hackert, Adriane Steinacker, Aurore Bacmann

To cite this version:

Jurgen Steinacker, Rémi Hackert, Adriane Steinacker, Aurore Bacmann. The infuence of numerical diffusion on the solution of the radiative transfer equations. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, Elsevier, 2002, 73, pp.557 - 569. �mnhn-02170768�

(2)

&(' ) *,+ -/.102)3+ 45) 67- + 028 )39:*;4=<>. ?@*,-A-B0 C*;6D+

6D+ &E' ) CF6:.10 &E*;6D+ 6D- &E' )

9><:?2*<G&E*,HI) &(9><:+ C-B)J9 )LKD0 <G&E*;6D+ C

MON

PRQSUTWVYXZ[T]\^V`_bacdTWQ%egfihjTWkl\!mj_%acdTWQnZ%egfporq%Qs\t_UV%T5XZ[T]\Vu_%acdTvQsw f

x

ojP%QydQuT5z{_%akl_UV%V e

|~}%

~

n

~ R x{u g

u

~lx ~x

~

xg

u

¡¢%}

}£}

!

¥¤

{¦Wug§©¨{ª©~%«n ¦ }J¬

g#U

}

t®¯g°±%²³³´µi¶%·x´°¹¸~¯º¸%¶»»»¼,½¿¾~¾´À³´µO¶Á[½ÂÀ¸~²ÃxÄÅÅ¶Æ

ÇiÈÉÊÌËÍÎÊÐÏÒÑÓnÔÖÕ×ÓØtÙtÔÛÚÜÙÓ]ÙÝÓnÓÞgßàáÔÛâÔÛÙWÕãgäbÓÌåÔÛâÌÜàØæàÖãÙtÔÛæÕ%ØtÙ~åÜÙtÓÚÔÛÓØxæçä%ãàÛÙtÔéè

ê ÔÖä%ÓÌÕØÔáæÕgÜàsåÜ ê ÔÖÜÙtÔÛ×ÓiÙ~åtÜÕØçÓÌåbÓëìãgÜÙÔáæÕØdí¥ÝÔÛâ^ÝîÜåÓiâæäUä%æÕàÛïðãØÓ êxñ ÓòóÚòñ Ùæ

ê ÓÙÓÌåtä%ÔÖÕÓiÙ~ÝÓåtÜ ê ÔÖÜÙÔáæÕÓÌä%ÓÌåôÚÔÖÕÚ!çõåôæä=ÜØtÙ~åæßgÝïØtÔÛâÌÜànæö÷§ÓâÙØRØãgåtåæãgÕ ê Ó ê öï

ÜöØtæåtöÔÖÕÚOÜÕ

ê

ØâÌÜÙtÙtÓÌåÔÖÕÚdädÜÙÙtÓÌåòøæåÓÞgßàÛÔáâÔÛÙ¿ÚåÔ

ê

ØtæàÛ×ÓÌåôØ

ñ

í;Ó¥Ô

ê

ÓÌÕÙtÔéçïÕãgä%ÓÌåùè

ÔÛâÌÜà

ê

Ôéú©ãØtÔÛæÕÜûØuÜpØtÓ×ÓÌåÓ%ØtæãgåôâÓRæûç]ÓÌåtåæåWÔÖÕüåØÙèæå

ê

ÓÌå

ê

ÔÛØtâÌåÓÙÔáýÌÜûÙtÔÛæÕ!ØtâÝÓÌä%ÓØ

ñ

ãgÕ ê ÓÌåôÓØtÙtÔÖädÜÙtÓ ê ÔÖÕþçæåtä%ÓÌå%í;æåtÿFÜögæãÙiåtÜ ê ÔÖÜÙtÔÛ×ÓÙ~åtÜÕØôçÓÌåòWØÔÕÚ{Ù~ÝÓ!ØtÔÖädßàÛÓ

ÓÞgÜädßàÛÓpæçÂÜögÓÌÜä ßgåæßgÜÚÜÙtÔÖÕÚiÙ~ÝgåæãÚÝ!×ÜâÌãgãgä ñ í;ÓdÔÛàÛàÖãØtÙ~åtÜûÙtÓOÙÝÓdÔÖÕãÓÌÕâÓ

æûçÂÙÝÓ ê Ôú©ãØtÔÛæÕ{æÕÙ~ÝÓpØtæàÖãÙtÔÛæÕFÜÕ êFê ÔáØâÌãØtØd×ÜåÔÛæãØ%ÙtÓâ^ÝgÕÔÛëgãÓØOÙæ åÓ ê ãâÓiÔÛÙÌò

ùÕ×ÔÛÓí3æçWÙ~ÝÓpàÖÜåÚÓOåôÓëìãÔÖåÓ ê ØtÙæåtÜÚÓbçæå`ÔÖädßàÛÔáâÔÛÙpØtæàÛ×ÓÌåØ ñ í;ÓißgåæßæØtÓpÙtæ ãØtÓ

ØÓâæÕ ê èæå ê ÓÌå;ÓÞgßàÛÔÛâÔáÙ[ÚåÔê ÙtÓâÝgÕÔÛëìãÓØÙtæ%Øtæàá×Ó åtÜ ê ÔÖÜÙtÔÛ×Ó[Ù~åtÜÕØôçÓÌå;ßgåæöàÛÓÌä%Øò

(3)

%d¦ ^

« %

~

W ~

%

~

n 3 3i~F

F

sû!~:FtÌ[~! O

g

¤

~x

~~{xF

~ ûþ

x~

iU u

¿! O %!

û~ ;~ %

~xû

t

xÌggi

¤

Æ

~

Ì

llÌ!x

x~ Dx x

i!xx~#xF~!

Ox

g

~;t

^

iug ~

^

~

x!g

ì~[x

u

~

xF~xl 1

~ A~ xA~ t

~

©!~

!!~

dg

~%t

d

!~

¬¬

Ð

g¿ìvx

,

¬

Æ

«~ Oxi

~x

~~

~x

!!Ì~d~j

n Ì!x û{ xO x

x

~^

i!~%! x ^~l] dì

xl

~~g ~§

x

^~g%~

~

!~!xO û

] d

~g

x~

Fi

dg

g^;

xgixFx

î~!~O

! ~R

Ìx

~"!#%$'&)(*,+-(../10324$'&5687Ì ¹¥9

! :~ %

;

u

ndgxd ûûi

px

xiûû igxx=<>

¬

é

%?x

Öª©

i!~

O x

û ~

g¥ ¥?gx~p;

~g

~ O ; %

x^~ x ¥

W%?gx@

~

x%Ì û?gx~ðx

g!Ax Oª©~x

F{?g

CB5

}

j!!p?gxD

ûrBÖª

B ~r

~!% i l

tg ¹l

~

~Exx{~

ÖÌ

~[~!x ~

~ Eð

¢

¤

F~ û

¢

û d %x xu

~ F[

¬

~i %~!x^R

Fs

%x~

!

{^ !i~{D

^Ox ~

~ %~ p ~ b

~

pg!x

%~!x^R

~G

^~ ~xsg~

x~

~x~

g

¬ B ¬

x¥~

p ; ûHg~~ !~

I

^~ J<

¤

¬¬

ûgF

~ ~

~ j § g

^^d@©~j

! {x¿~ù5

j^

j x¿

I

~ K<

¤

¬¬

ML

~ dxx]%!~

û~ W

~

ul!©x^!

x

xl

û

¥!Öª©

t

~ ~

~ xF

^uxgd g

~g x

~

! ~i©

~

~ %i¦W

N<B«;

¬¬

bi~g

¹!

x^!s

U~~W~ x ÌgOgÌdnxgpx x{PO;<

Q

~:

¬¬

F

"O;=<

Q

~;

¬¬

¬

1 =x

F ! ~§

x

¢

R

¤

l S?gg u ~

g x~;W

¬¬

xg iTx)Rg!d p~Og

x~

~!x^

x ~

g^,Ì x

¥

)Rgx

~

U

l dJ^ûu ^Fx¨{

x ;gG<

¬¬

V xg

xW©

x

~ xrg

t

!lP

~!g%gbxx ¨F

gUu

¬¬

£ X>xx

x

ZY # $'&)(*[+-(../ 0@2

~ !

x©ª©ux

!xul

! ~u

:gd x

~

s~ û ~

~~ ]\

^g

¬

LF

g! [~?g x)R

xxpFn i

_x)Rg!F xj!û

§

(4)

~!x^~ g E

ûû ? x)Rgi ~

uª©~u

!!~` ~

Fxx

!!

!{Ì

txi~g¿!~

~%xxu~ ,

~

~:~ §Ìp

x~

¤

xÌx~

g]{

û, b~?g x~

xx

~

~ lx

r

¤

Ì

W !~¿ª©

x

ix

Ì

~pxi gid

ª©Ì;

¥ ii~ u

n

Ì~;

x[?gx

¬

xx~x

[

%~

xx¿ì

~ W ù

ûp~

g; §

x

^~g^

W?gx~

R~

d~

%~U !ª©

U

gO ^n ~p¥~

txp¥ ©~x ,, %^%Ìx~~p

x {~ Ìªû

j~ !

¤

?gx~

ô g~1¥!x!~

g

û{ FX x

~ùb

~;lxF

Ì

~ i

!!#ª©

~

u! %v ^û xì ~ {Ì ! gÌ

!

!;3x

~ù

g

¥©

¥

!

p^

Ì~;

~

Ì

!Fg~

(5)

I

O ,^¦¥

I

«; t I E

I «;

I

%

I

«

I I

! P2 6)5)+*[+ 6@*)()7696.*[+-&)()(5A* 67X$** 6 +-(K+-(* 68& !;6 /

!~

~#¿©

U^~g%~

¥?l

!

~

FX [

g

[ g, ! ?xFi

û©! ~

~

t#"%$

'&

()

&

* Æ

W ux

&

(

Odu~

&

*!gi

g^x

+

x-,

g!

&

*./" $

'&

(0)

&

*

Æ21 3547689:

$

'&

(

Æ0;<6:>=8

$

'&

(

Æ?

" $

'&

()

&

*

Æ0;@689:

$

'&

(

ÆBA

$ DC

'&

( Æ

; 6 :>=8

$

'&

( Æ

E F

G

"%$

'&

()

&

*IH ÆKJ

$

'&

*L)

&

*MH ÆBNO

H P Æ

«

,

ux~

~ x

i! F¿dxg

68Q9:R:>=8

$

'&

(

ÆS1

E0T

¡ *

'&

(

ÆVUW89:XR:>=8

$ ) Æ

U

89:XR:>=8

$

~ ~

~ x

~~ gY

,~

x~ggKTþ

~^

]x@*

Z&

( Æ

~

~ !x xb

t

A

$DC

'&

( Æ

~

O;x' xÌ,0C

'&

( Æ

p!x ~gxx J $

'&

*)

&

* HÆ

O xt ~xR~F

~~= OÌ

&

*{

&

* H

I

?gx~

Æ

L£x~xÖª©x?gx~x!x

gp~ u

~

td©

Ox ~!x^W©u

¥

~ i

¿

~x~

¢

id

U~!x^dF~ x

F~ ix,

~x

^

u

` W{xi?gx~ û

~{l~!

~

tx ~

Ö

~~

!% %

^i~

Fx

û{Fg~ Òd

¬¬

~

rO

¤

?x u

Rg^

Ì~;u

! T

~ù%Öª©©?

&

*./"[$

Z&

(0)

&

*

ÆS153 46 89:

$

'&

(

Æ0;@6 :\=X8

$

'&

( Æ ?

"%$

'&

(0)

&

*

Æ0;^]

$

'&

()

&

* Æ Æ

1 x Px

^=x ª©xF

~:~

! ?g

+

, " $ R_'R`

a RbRc 3 " $ R_ZR` a>d

| RbRc

e ( ;

+

f,

" $ R_'R`

aRbRc 3 " $ R_'R` aRb d | Rc

ehg

;

+ " $ R_ZR`

aRbRc 3 " $ R_'R` a RbRc d |

ehi

1

3kjB60lmnQo

$

aRbRc

;^60nXplo

$

aRbRcrq

" $ R_ZR`

aRbRc

;s]

$ R_'R`

aRbRc P Æ

p¹^tx

+

x@,

U

j~

!ìÐ~ !~

t"

$ R_'R`

aRbRc

iûj~îx

( a ) g b ) i c Æ

i s~! `ûutx

+

v, 3 ¥

~

" $ R_'R`

a>d

| RbRc )"

$ R_'R`

aRb d | Rc )"

$ R_ZR`

aRbRc d |

!xgdxl ûR~Ug

x ðx

gi

~ !~^; ~ 7u

^~:^ !~

~

tg

] $

'&

()

&

*

ÆS1w6 89:

$

'&

(

ÆBA

$ xC

Z&

( Æ ; 6 :\=X8

$

'&

( Æ

yE FG " $

'&

()

&

*IH ÆKJ

$

'&

*K)

&

*IH ÆBNO

HK)

Æ

ì E¿

¬¬

û xW!~ g ¥ /z|{v~Mz ì~

^[~ð

Æ

;

g%¥[ ~

tpxi

Æ

[

Ì

(6)

~ ~ Ì ~p ^~ ,gx% ¹ g!x ~ iÌ

gxdiFxÌ^~!l!

;gdpi F

¢ ¬

[

%

~x¥ u

!s

§

!

Æ

! ] v

~ d~

~![~

inx!

§

!x ~

!!N# +7X$% 6 *[+[*,+-&)( 68&&)(* 67B *,+0)(55)+ 6^$ *[+-&)(h+-5

« W ~

#

~:

!

s~ © g~

i!xg

¥]

~{x

%~s~

U~=~ R

~;] %g

û

+

),

Æ

W O

~

x

U

9t

p x

;Oxp~ ! ~

R

~:~

{ g Ò%

¬¬

% ~u

~ W

¥x@¿WÌ,dgx g©n

¬¬

L L

]O ~!:

~

x~

xx E¥

U

l

~

!!dÌ~~

;

¤

~

px xÌUs

~; i

xd?gx~K~F! x¿¿g

û

xg

g~! ,

¬ L Æ

é

[

^!ª©

~

X~[!!

i ugûU!!?gx~

~ u ~ ¥g

%!~ i

l

~

d=~~¿!ª©Ì

x~]

~:~ ~Â d

¹ !%{xd

^û x

~

! x

¤

?x

N "

N ( 1 3 6 " L Æ

l

"

1

" X

3f60N

(

[

}

i~ =x

^x iª©x

u

!

" a ;@6

ae ( Æf1

"

a>d

|

ð 6 ae

( ¥ixgh"

a

"

a>d

|

~

~! ~ ~ Ox

,

x ( a 1 (

a>d

| ; e (

i

~

~Fx

6 a e

(

~ðÐd

~

x~%^

B F x~

~B

~ j

trxx

j!

^x {~ Wtd

t Fx^~:{ x¿~ùd

{~x

A ?

~D~A

x

r {xjxûr x

~

x~ ! ~g!

xF gî

~g !~

¹

{! ;Ìd !W ¥

a 1

!

6;#"ÆQN$"

OF

¤

Q

^ ~^

!:Y&%3./A6+-$ 5)+'. 7X+-&)(P& 6)(M+-$+;*5)+7X$[ 6'*,+[*[+-&)(_7X$ 6 /A687

U

i~

x

~:~F~Oxx

1

ûî

~ 1x

x~

¥U

~x ! Fg% ~ x~u

FÌ û

~~{~ p

{ x

^

¹ !

i ~

Ìx^d

Ì~;

~

d ¿ (./A6+-$ 5)+'. 7X+-&)(d~i:g[~

%~i u ~

^~l

ûxùR~

{

ª©

~d

ª©Ì[

~

~ x{

xxx!F~ p

nx

¿O

!p~

! %

(7)

d¥ x=Â~{ ~xg~ ~ { t d;?gx{ ?

~dx¿Ðg~?gxx d

û x

g

6

lmn

R

npl

$

x

A

$u~

x!

iigF~ @ g

Æ

~

, " $ R` aRb 3 " $ R`

a>d

| Rb

e ( ; f,

" $ R`

aRb 3 " $ R` aRb d |

eug

1 Æ

u¹g

! ~¿

e ( 1 ehg

" aRb 1

, "

a>d

| Rb ; f,"

aRb d |

, ;

f,

P Æ

pxÒ

¹ g!{

!~ pxx ~Fx

" aRb 1

X f" R 1 " R| 1

" | R 1 " gg¿d û¿~ d ûÒi ~xgi{~ d~! x

~ x

«

! x1ûi

Æ

þîx

x@,

1

g

{~ d u

g, x:xF

tFû

xì

~~!ð« @¿OxgU~

û

O

~

l

xÌ^ U

x%x5 ~

En~ %~x, b¿~ %] R

U

s«

~Ux~xv~ x

ÌdW

Âg~

i ux « U

^~

dn[xExÖ ! U~!Ì

d!x^

« n

I,

1

ì

û

d~

;~ ¿~^gxG

tu

Ì

g©

;û

~p x;

~

, !Öª

%~ !g!Y

j

c q

~ d

t ~ d

( a ) g b Æ

" aRb 1

da>d

b

; 3

#3

" P ¬ Æ

« u

xx~~ px= ~xg~jÌR

x * e

( pÒ

#U~^n

&

"p

, )

f,

Æ

{xO ~~

F

d "

N$"

c

" c R d c e ( 1 e ( d "

c

*

1 e ( " %P

Æ

xgxûx ~ i

g g

px N~F

~

t!s

x7

t

R

~

R

~

jx:

%îx

~

«n ¿%xgu ~U~

ti^xdxx¥i~ %x

!~WÖª

xx

, « h, 1

x@,

1 ¬

S"

aRb 1 "

a\d

| Rb

" aRb 1 " aRb d |

xgìWxr~ Fª©

g{~ F

r~jx

!~¿ ({x

g

ª©

l

f,

1

g

lª©iOª©

r

g !

g~ ð7

ì

~

t1 x

û O!~d~~

U

@ ?pª©x

x ¿l x{C

Ì

ix

~

@

~ixd OÖª©

!~x ¥¥~î~j

¥i K?g

4xiª©Ìi !~Wª©

l

¤

Ì

« !

r

tgv~ Fx

~%p

~ x{~ù!

~

W~ p^ ¦Wg

l

!¥ª©

Dx~

{

g

rû

xgW

x

x dx%~~E

x~i

ª©s

x!

~

!

(8)

«n uù~ t ~px g d~ ¥

x~%x[~ dxÒg~

«nO

x{ u

x~l¥~l, xu !~ p d

!xÖª©

{~xÌ

d ¿p§~ L Pá= x

i~!x

(9)

«nO

lW~ px ~ p ux ~g, ~{x xÌ !{

§

«n!

¤

4x1

xÌ R Ìgx

"

x~ xÌ iF!x

û4

~;ûî1î~ sx

!~

tj

~

x~ dª©¥Âª©

li

!R

x~

O ~g

¿

"

#"Æ

" e ( @ )

[