HAL Id: tel-00540175
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Submitted on 11 Dec 2010
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A Probabilistic Numerical Method for Fully Non-linear
Parabolic Partial Differential Equations
Arash Fahim
To cite this version:
Arash Fahim. A Probabilistic Numerical Method for Fully Non-linear Parabolic Partial Differential Equations. Mathematics [math]. Ecole Polytechnique X, 2010. English. �tel-00540175�
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✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✶ ✷ ❆ Pr♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ▼❡t❤♦❞ ❢♦r ❋✉❧❧② ◆♦♥❧✐♥❡❛r P❛r❛❜♦❧✐❝ P❉❊s ✶✶ ✷✳✶ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✷ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✷✳✶ ❚❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✷✳✷ Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❡s✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷✳✸ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛t❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✷✳✹ ❚❤❡ r❛t❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝❛s❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✸ Pr♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❙❝❤❡♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✷✳✹ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❘❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✹✳✶ ▼❡❛♥ ❝✉r✈❛t✉r❡ ✢♦✇ ♣r♦❜❧❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✷✳✹✳✷ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s✲t✐♠❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✸ Pr♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❋✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r ♥♦♥✕❧♦❝❛❧ P❛r❛❜♦❧✐❝ P❉❊s ✹✼ ✸✳✶ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ❛♥❞ ❢❡❛t✉r❡s ❢♦r ♥♦♥✕❧♦❝❛❧ P❉❊s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✸✳✶✳✶ ❚❤❡ s❝❤❡♠❡ ❢♦r ♥♦♥✕❧♦❝❛❧ ❢✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ P❉❊s ✳ ✳ ✹✾ ✸✳✷ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ◗✉❛❞r❛t✉r❡ ✭▼❈◗✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✸✳✷✳✶ ❋✐♥✐t❡ ▲é✈② ▼❡❛s✉r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✸✳✷✳✷ ■♥✜♥✐t❡ ▲é✈② ▼❡❛s✉r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ✸✳✸ ❆s②♠♣t♦t✐❝ r❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✸✳✸✳✶ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶ ✸✳✸✳✷ ❘❛t❡ ♦❢ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸ ✸✳✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✹ ❖♣t✐♠❛❧ Pr♦❞✉❝t✐♦♥ P♦❧✐❝② ✉♥❞❡r t❤❡ ❈❛r❜♦♥ ❊♠✐ss✐♦♥ ▼❛r❦❡t ✼✾ ✹✳✶ ❙♠❛❧❧ ♣r♦❞✉❝❡r ✇✐t❤ ♦♥❡✲♣❡r✐♦❞ ❝❛r❜♦♥ ❡♠✐ss✐♦♥ ♠❛r❦❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾ ✹✳✷ ▲❛r❣❡ ♣r♦❞✉❝❡r ✇✐t❤ ♦♥❡✲♣❡r✐♦❞ ❝❛r❜♦♥ ❡♠✐ss✐♦♥ ♠❛r❦❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✹✳✷✳✶ ▲❛r❣❡ ❈❛r❜♦♥ ❡♠✐ss✐♦♥ ✇✐t❤ ♥♦ ✐♠♣❛❝t ♦♥ r✐s❦ ♣r❡♠✐❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹ ✹✳✷✳✷ ▲❛r❣❡ ❈❛r❜♦♥ ❡♠✐ss✐♦♥ ■♠♣❛❝t✐♥❣ t❤❡ ❘✐s❦✲◆❡✉tr❛❧ ▼❡❛s✉r❡ ✳ ✽✼ ✹✳✸ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✾ ✹✳✸✳✶ ❆ ❧✐♥❡❛r✲q✉❛❞r❛t✐❝ ❡①❛♠♣❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✾ ✹✳✸✳✷ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶ ✹✳✸✳✸ ❘❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶ ✹✳✹ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✸ ✹✳✺ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♦♣t✐♠❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣♦❧✐❝② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺ ❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤② ✾✾◆♦t❛t✐♦♥s
❋♦r s❝❛❧❛rs a, b ∈ R✱ a ∧ b := min{a, b}✱ a ∨ b := max{a, b}✱ ❛♥❞ a+:= max{a, 0}✳
Rd∗ := Rd\ {0}✳ Cd ✐s t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ ❜♦✉♥❞❡❞ r❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ Rd✳ M(n, d) ✐s t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ n × d ♠❛tr✐❝❡s ✇✐t❤ r❡❛❧ ❡♥tr✐❡s✳ ❚❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛❧❧ s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ♦❢ s✐③❡ d ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② Sd✱ ❛♥❞ ✐ts s✉❜s❡t ♦❢ ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② S+ d✳ ❇② ✏≤✑ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥❡ S+ d✳ ❋♦r ❛ ♠❛tr✐① A ∈ M(n, d)✱ AT ✐s t❤❡ tr❛♥s♣♦s❡ ♦❢ A✳ ❋♦r A, B ∈ M(n, d)✱ A · B := Tr[ATB]✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❢♦r d = 1✱ A ❛♥❞ B ❛r❡ ✈❡❝t♦rs ♦❢ Rn ❛♥❞ A · B r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t✳ A− ✐s t❤❡ ♣s❡✉❞♦✕✐♥✈❡rs❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① A✳ ❋♦r ❛ s✉✐t❛❜❧② s♠♦♦t❤ ❢✉♥❝t✐♦♥ ϕ ♦♥ QT := (0, T ]× Rd✱ ❞❡✜♥❡ |ϕ|∞:= sup (t,x)∈QT |ϕ(t, x)| ❛♥❞ |ϕ|1 :=|ϕ|∞+ sup QT×QT |ϕ(t, x) − ϕ(t′, x′)| |x − x′| + |t − t′|12 . ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ Lp−♥♦r♠ ♦❢ ❛ r✳✈✳ R ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② kRk p := (E[|R|p])1/p✳
❈❤❛♣t❡r ✶
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
■♥ t❤❡ ❛r❡❛s ♦❢ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s❀ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✜♥❛♥❝❡✱ t❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ❛❧✇❛②s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ♠❡t❤♦❞s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ r❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧✐♥❣✳ ■♥ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❉❊s✱ t❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ♠❡t❤♦❞s ♣❧❛② ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✇❤❡♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❧❛r❣❡✳ ❚❤❡ ✜♥✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞s ✉s✉❛❧❧② ❛r❡ ♥♦t ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✐♥ ❧❛r❣❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❧❡ss s❡♥s✐t✐✈❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦✉❧❞ ♣r♦✈✐❞❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ s❝❤❡♠❡s✳ ❚❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r P❉❊s st❛rts ❜② t❤❡ ❢❛♠♦✉s ❋❡②♥♠❛♥✕❑❛❝ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r ❧✐♥❡❛r P❉❊s✳ ❚❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❋❡②♥♠❛♥✕❑❛❝ t♦ t❤❡ ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r P❉❊s ❝❛♥ ♥♦t ❡❛s✐❧② ❜❡ ❞♦♥❡ ❜② ❛ s✐♠♣❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❢♦r t❤❡ s❡♠✐✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s t❤r♦✉❣❤ ❇❛❝❦✇❛r❞ ❙t♦❝❤❛st✐❝ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭❇❙❉❊s✮✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s s❡❡ ❬✺✶❪✱ ❬✺✷❪ ❛♥❞ ❬✺✸❪✳ ❙❡♠✐✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛✈❡ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ −LXv(t, x)− F (t, x, v(t, x), σ❚Dv(t, x)) = 0 ♦♥ [0, T ) × Rd v(T,·) = g(·) ♦♥ Rd, ✇❤❡r❡ LXϕ := ∂ϕ ∂t + µ· Dϕ + 12a· D2ϕ✐s t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss X ❛♥❞ a := σσ❚✳ ❚❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡♠✐✕❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛ ❞❡❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭❙❉❊✮ ❛♥❞ ❛ ❜❛❝❦✇❛r❞ st♦❝❤❛st✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭❇❙❉❊✮✿ dYt = F (t, Xt, Yt, Zt)dt + ZtdWt YT = g(XT). ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ❛ss✉♠✐♥❣ s✉✣❝✐❡♥t r❡❣✉❧❛r✐t② ❢♦r t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❉❊✱ ♦♥❡ ❤❛s t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ v(t, Xt) = Yt ❛♥❞ Dv(t, Xt) = Zt✳ ❚❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r t❤❡ ❇❙❉❊s ❛r❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❜② t❤❡ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ s❡♠✐✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ P❉❊s ✐♥ ❬✹✾❪✳ ■♥ t❤❛t ✇♦r❦✱ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ✐♠♣♦s❡❞ ❛ r❡str✐❝t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦✈❡r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ s❡♠✐✕❧✐♥❡❛r P❉❊s ✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❉❊s ✇❤✐❝❤ ❛♣♣❡❛rs t♦ ❜❡ ❞✐✣❝✉❧t ✐♥ ❤✐❣❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❇❙❉❊s ♣r♦✈✐❞❡s ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❋❡②♥♠❡♥✕❑❛❝ t♦ t❤❡ s❡♠✐✕❧✐♥❡❛r ❝❛s❡✳ ❚❤❡ ♣✉r❡❧② ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❇❙❉❊s r❡❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss X ❛♥❞ t❤❡♥ t♦ ✜♥❞ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ❇❙❉❊ ❜❛❝❦✇❛r❞ ✐♥ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s t❤❛t ✐t ❝♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ s❡♠✐✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ P❉❊s✳ ❙❡❡ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❈❤❡✈❛♥❝❡ ❬✷✻❪✱ ❊❧ ❑❛r♦✉✐✱ P❡♥❣ ❛♥❞ ◗✉❡♥❡③ ❬✸✷❪✱ ❇❛❧❧② ❛♥❞ P❛❣ès ❬✷❪✱ ❇♦✉❝❤❛r❞ ❛♥❞ ❚♦✉③✐ ❬✶✽❪ ❛♥❞ ❩❤❛♥❣ ❬✺✾❪✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❧❛tt❡r ♣❛♣❡rs ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✏♥❛t✉r❛❧✑ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ♣❛rt✐❛❧ s♣❛❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ L2 ❡rr♦r ♦❢ ♦r❞❡r √h✱ ✇❤❡r❡ h ✐s t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t✐♠❡ st❡♣✳ ❚❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❢✉rt❤❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡s✉❧t ✐♥t♦ ❛♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ s❝❤❡♠❡✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❬✷❪✱ ❬✶✽❪ ❛♥❞ ❬✸✺❪ ❢♦r ❛♥ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ❡rr♦r✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ✉s✐♥❣ P❉❊ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❇❙❉❊✱ ✇❡ ✉s❡ ❇❙❉❊ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❉❊✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ❢♦r ❛ t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ {ti}Ni=0♦❢ [0, T ]✱ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r Y ❛♥❞ Z ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜②✿ ˆ YtNN = g( ˆXTN) ˆ ZtNi = 1 ∆ti+1 Ei[ ˆYtNi+1∆Wi+1] ˆ YtNi = Ei[ ˆYtNi+1]− ∆ti+1F (ti, ˆX N ti, ˆY N ti , ˆZ N ti),
✇❤❡r❡ Ei = E[·|Fti]✱ ∆ti+1= ti+1− ti ❛♥❞ ∆Wi+1= Wti+1− Wti✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s
♦♥ ❡rr♦r ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❇❙❉❊s✱ ✇❡ r❡❢❡r t♦ ❬✶✽❪✱ ❬✸✺❪✱ ❬✺✾❪✱ ❬✻✵❪✱ ❛♥❞ ❬✶✼❪✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❡rr♦r ♦❢ t❤✐s ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s ❢♦r ❢♦r✇❛r❞ ❙❉❊s ❡✳❣✳ |π|1/2 ✇❤❡r❡ |π| := sup{∆t i|i = 1, · · · , N}✳ ❋♦r ❢✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ t❤❡ st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t ✐s ❬✷✺❪ ✇❤❡r❡ t❤❡② ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ s②st❡♠ ❝❛❧❧❡❞ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❇❙❉❊ ✭✷❇❙❉❊✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✲ ✐♥❣ ✜♥❛❧ ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ − LXv(t, x)− F t, x, v(t, x), σ❚Dv(t, x), D2v(t, x)= 0, ♦♥ [0, T ) × Rd, ✭✶✳✵✳✶✮ v(T,·) = g, ♦♥ Rd, ✭✶✳✵✳✷✮ ✇❤❡r❡ LXϕ := ∂ϕ ∂t + µ· Dϕ + 1 2a· D 2ϕ. ❛♥❞ µ ❛♥❞ σ ❛r❡ t✇♦ ♠❛♣s ❢r♦♠ R+× Rd t♦ M(d, d) ❛♥❞ Rd✱ a := σσT ✐s ❛ ♠❛♣ ❢r♦♠ R+× Rd t♦ Sd+✱ ❛♥❞ F : (t, x, r, p, γ)∈ R+× Rd× R × Rd× Sd 7−→ F (x, r, p, γ) ∈ R. ❆ ✷❇❙❉❊ ✐s ❛ s②st❡♠ ♦❢ ❙❉❊s ❣✐✈❡♥ ❜② dYt = F (t, Xt, Yt, Zt, Γt)dt− Zt◦ dWt dZt = Atdt + ΓtdWt YT = g(XT), ✇❤❡r❡ ◦ st❛♥❞s ❢♦r ❙tr❛t♦♥♦✈✐❝❤ ✐♥t❡❣r❛❧✳ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✷❇❙❉❊ ✐s ❛♥ ❛❞❛♣t❡❞ q✉❛❞r✉♣❧❡ (Yt, Zt, At, Γt) ✇❤✐❝❤ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❯♥❞❡r t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐t②
✸ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❤❡ ✜♥❛❧ ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✶✳✵✳✶✮✕✭✶✳✵✳✷✮✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❢✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r P❉❊ ❛♥❞ t❤❡ s②st❡♠ ♦❢ ✷❇❙❉❊ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Yt = v(t, Xt) Zt = σ❚Dv(t, Xt) Γt = D2v(t, Xt) At = LXDv(t, Xt). ❇② ❞✐s❝r❡t✐③✐♥❣ t❤❡ ✷❇❙❉❊✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ♣r♦♣♦s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❝❤❡♠❡✿ ˆ ΓNti = 1 ∆ti Ei[ ˆZtNi+1∆Wi+1] ˆ ZtNi = 1 ∆ti+1 Ei[ ˆYtNi+1∆Wi+1] ✭✶✳✵✳✸✮ ˆ YtNi = Ei[ ˆYtNi+1]− ∆ti+1F (ti, ˆX N ti, ˆY N ti , ˆZ N ti, ˆΓ N ti). ❚❤❡ ♠❛✐♥ s✉❜❥❡❝t ♦❢ t❤✐s t❤❡s✐s ✐s t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r t❤❡ ❢✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ P❉❊ ✭✶✳✵✳✶✮✕✭✶✳✵✳✷✮ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✭✶✳✵✳✸✮✳ ❋✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r P❉❊s ❛r✐s❡ ✐♥ ♠❛♥② ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❛♣♣❧✐❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✜♥❛♥❝❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❜② ❝✉r✈❛t✉r❡✱ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡ ♦❢ ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ♦♣t✐♦♥ ♣r✐❝✐♥❣ ✉♥❞❡r ✐❧❧✐q✉✐❞✐t② ❝♦st✱ ❡t❝✳ ◆♦♥✕❧♦❝❛❧ ❢✉❧❧② ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r P❉❊s ❛r✐s❡ ❢r♦♠ st♦❝❤❛st✐❝ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s ❢♦r ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❥✉♠♣✕❞✐✛✉s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s ❡✳❣✳ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ▲é✈② ♠❛r❦❡ts✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② ❢❡✇ ❡①❛♠♣❧❡s ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t ❛♥❞ q✉❛s✐✲❡①♣❧✐❝✐t s♦❧✉t✐♦♥❀ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ s❡❡ ❬✽❪ ♦r ❬✾❪✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❧♦❝❛❧ P❉❊s ❛♥❞ ♥♦♥✕❧♦❝❛❧ P❉❊s ❝❛s❡ s❡♣❛r❛t❡❧② ✐♥ t✇♦ ❝❤❛♣t❡rs✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ❜r✐❡✢② ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❝♦♥t❡♥ts ♦❢ ❡❛❝❤ ❝❤❛♣t❡r t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❛ r❡✈✐❡✇ ♦♥ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ❧✐t❡r❛t✉r❡s✳ ❈❤❛♣t❡r ✷ ■♥ t❤✐s ❈❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ s❝❤❡♠❡ ♦❢ ❬✷✺❪ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ♥❛t✉r❛❧❧② ✇✐t❤♦✉t ❛♣♣❡❛❧✐♥❣ t♦ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝❦✇❛r❞ st♦❝❤❛st✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s ✐s s❤♦✇♥ ✐s ❙❡❝t✐♦♥✷✳✶ ✇❤❡r❡ t❤❡ s❝❤❡♠❡ ✐s ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ t❤r❡❡ st❡♣s✿ ✭✐✮ ❚❤❡ ▼♦♥t❡ ❈❛r❧♦ st❡♣ ❝♦♥s✐sts ✐♥ ✐s♦❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ s♦♠❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✱ s♦ ❛s t♦ s♣❧✐t t❤❡ P❉❊ ✐♥t♦ t❤✐s ❧✐♥❡❛r ♣❛rt ❛♥❞ ❛ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♥♦♥✕ ❧✐♥❡❛r ♦♥❡✳ ✭✐✐✮ ❊✈❛❧✉❛t✐♥❣ t❤❡ P❉❊ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❜② ✉s✐♥❣ ❛ ❦✐♥❞ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♥♦♥✕❧✐♥❡❛r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ✭✐✐✐✮ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❞✐s❝r❡t❡✕t✐♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❛❜♦✈❡ st❡♣s ✭✐✮✲✭✐✐✮ ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡ ✐♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✳ ❆♥ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ t❤❡r❡❢♦r❡ r❡q✉✐r❡s
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