Lycée : Souassi Professeur: Fligène Wissem
Date: 25-01-2009 Devoir de Contrôle N°3 Epreuve: Mathématiques
Classe: 2 Ti 1 Durée: 1 heure
- Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie - Exercice 1:(10 points)
1) Soit le polynôme݂définie par :݂(ݔ) =ݔଷ−6ݔ² + 11ݔ−6 a) Quel est le degré de݂?
b) Vérifier que 1 est une racine de݂
c) Déterminer les réelsܽ,ܾetܿpour que݂(ݔ) = (ݔ−1)(ܽݔ² +ܾݔ+ܿ) 2) Dans la suite de l’exercice, on prendܽ= 1 ,ܾ= −5 etܿ= 6
Résoudre dansℝ:݂(ݔ) = 0
3) Soit la fonction rationnelle݃définie par :
݃(ݔ) = ݔ²−1 ݔଷ−6ݔ² + 11ݔ−6 a) Déterminer le domaine de définition de݃
b) Résoudre dansℝ:݃(ݔ) ≤ 0 Exercice 2:(6 points)
Soient [ܣܤ] et [ܣᇱܤᇱ] deux segments parallèles et non isométriques Soitℎl’homothétie tel queℎ(ܣ) =ܣ' etℎ(ܤ) = ܤ'
1) Construire le centreܱde l’homothétieℎ
2) Soient ܧetܧ' deux points de la droite (ܱܣ) privé deܱetܣtel que les deux droites (ܤܧ) et (ܤᇱܧᇱ) sont parallèles
a) Montrer que (ܤᇱܧᇱ) est l’image de (ܤܧ) parℎ b) En déduire queℎ(ܧ) =ܧ'
3) Soitܫle milieu de [ܣܧ] etܫ' le milieu de [ܣᇱܧᇱ]
Soitࣝetࣝ' deux cercles de centre respectifsܫetܫ' et passant respectivement parܤetܤ'.
Montrer queℎ(ࣝ) =ࣝ' Exercice 3:(4 points)
Soit la figure ci-dessous :
ࣝest un cercle de centreܱ.ܦ etܶsont deux droites telle queܦest tangente àࣝenܯ Construire l’image de cette figure par l’homothétieℎde centreܫet de rapport −ଵଶ
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Correction Exercice 1
1. a)݀°(݂) = 3 1
b)݂(1) = 1ଷ−6 × 1² + 11 × 1−6 = 1−6 + 11−6 = 12−12 = 0
donc 1 est une racine de݂ 1,5
b)݂est factorisable par(ݔ−1)donc
݂(ݔ) = (ݔ−1)(ܽݔଶ+ܾݔ+ܿ) =ܽݔଷ+ܾݔଶ+ܿݔ−ܽݔଶ−ܾݔ−ܿ
=ܽݔଷ+ (ܾ−ܽ)ݔ² + (ܿ−ܾ)ݔ−ܿ
ܽ݅݊ݏ݅൞
ܽ= 1
ܾ−ܽ=−6
ܿ−ܾ= 11
−ܿ=−6
⇔൝ ܽ= 1
ܾ=−6 +ܽ=−5
ܿ= 6
⇔൝ܽ= 1
ܾ=−5
ܿ= 6
݈ܿ݊ܿݑݏ݅݊: ݂(ݔ) = (ݔ−1)(ݔଶ−5ݔ+ 6)
2 2. ݂(ݔ) = 0 ⇔ ݔ−1 = 0 ݑݔଶ−5ݔ+ 6 = 0
ݔ−1 = 0 ⇔ݔ= 1
ݔଶ−5ݔ+ 6 = 0 (ܽ= 1;ܾ=−5;ܿ= 6)
∆=ܾ²−4ܽܿ= 25−24 = 1 > 0doncݔᇱ=ିା√∆ଶ =ହାଵଶ = 3etݔᇱᇱ=ିି√∆ଶ =ହିଵଶ = 2
ܵℝ = {1,2,3} 2
3. a)ܦ=൛ݔ∈ℝ/ݔଷ−6ݔ² + 11ݔ−6≠0ൟ=൛ݔ∈ℝ/݂(ݔ)≠0ൟ=ℝ\{1,2,3} 1,5 b) ݃(ݔ) =௫యି௫²ାଵଵ௫ି௫²ିଵ =(௫ିଵ)(௫(௫ିଵ)(௫ାଵ)మିହ௫ା)=௫మ௫ାଵିହ௫ା
x –∞ –1 2 3 +∞
x+1 – + + +
x²-5x+6 + + - +
g(x) - + - +
ܵℝ =]− ∞,−1]∪]2,3[
2
Exercice 2
1. ℎ(ܣ) =ܣ'alorsܱ ∈(ܣܣᇱ)
ℎ(ܤ) =ܤ' alorsܱ∈(ܤܤᇱ) donc {ܱ} = (ܣܣᇱ)∩(ܤܤᇱ) 1 2. a) On aℎ(ܤ) =ܤᇱ݁ݐ(ܤܧ)// (ܤᇱܧᇱ)݀݊ܿℎ((ܤܧ))݁ݏݐ݈ܽܽݎ݈݈ܽè݈݁à (BE) passant par B’ qui est
(B’E’)
1,5 b){ܧ} = (ܤܧ)∩(ܱܣ)donc{ℎ(ܧ)} =ℎ൫(ܤܧ)൯∩ ℎ((ܱܣ)) =⏟
((ை))ୀ(ை)ை∈(ை)(ܤᇱܧᇱ)∩(ܱܣ) = {ܧ'}
doncℎ(ܧ) =ܧ'
1,5
3. ࣝest le cercle de centre I et de rayon IB doncℎ(ࣝ)est le cercle de centreℎ(ܫ)et de rayon la distance ℎ(ܫ)ℎ(ܤ)
Orℎ(ܤ) =ܤ'
D’autre partܫ=ܣ∗ܧ;ܫᇱ=ܣᇱ∗ܧ',ℎ(ܣ) =ܣᇱ݁ݐℎ(ܧ) =ܧ'et comme l’homothétie conserve le milieu alorsℎ(ܫ) =ܫ'
doncℎ(ࣝ)est le cercle de centreܫ'et de rayonܫ'ܤ'qui estࣝ'
2
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Exercice 3 (4 pts)
