(”TUNED SLOSHING DAMPER”)

ETUDE EXP´ ´ ERIMENTALE D’AMORTISSEURS DYNAMIQUES DE TYPE TSD

(”TUNED SLOSHING DAMPER”)

EXPERIMENTAL STUDY OF TUNED SLOSHING DAMPERS

B. MOLIN*, F. REMY*

* Aix Marseille Universit´e, CNRS, Centrale Marseille, IRPHE UMR 7342 13451 Marseille cedex 13, France

[email protected], [email protected]

R´ esum´ e

On consid` ere un amortisseur dynamique constitu´ e d’une cuve rectangulaire, remplie d’eau, munie d’un ´ ecran perfor´ e en son milieu. Des essais de mouvements forc´ es sont r´ ealis´ es sur Hexapode. On teste plusieurs types d’´ ecrans, ` a trous, puis ` a fentes verticales.

On diminue progressivement le nombre de fentes sur la largeur, le taux de porosit´ e ´ etant maintenu constant ` a 18 %. Les coefficients de masse ajout´ ee et d’amortissement, tir´ es des essais, sont compar´ es ` a des valeurs calcul´ ees via un mod` ele num´ erique o` u l’´ ecran est d’abord suppos´ e cr´ eer une perte de charge proportionnelle au carr´ e de la vitesse. L’ac- cord se d´ egrade lorsque on diminue le nombre de fentes. L’ajout d’un terme d’inertie ` a la condition de perte de charge permet d’am´ eliorer significativement l’accord entre calculs et essais.

Summary

Forced motion experiments are reported on a Tuned Sloshing Damper that consists

in a rectangular tank, filled with water, with a perforated screen in its middle. Different

types of screens are tested : a steel plate with circular openings, then vertical slatted

screens, the open-area ratio being kept equal to 18 %. Experimental added mass and

damping coefficients are compared with calculations where the screen is first assumed to

induce a loss of head proportional to the square of the traversing velocity. The agreement

deteriorates when the number of slats, over the width of the tank, is reduced from twelve

down to two. An inertia term is then added up to the discharge law, resulting into an

improved agreement.

I – Introduction

Depuis quelques ann´ ees une vaste litt´ erature est apparue sur des amortisseurs dy- namiques ”liquides”, ”Tuned Liquid Dampers” (TLD) en anglais, avec des applications essentiellement dans les bˆ atiments terrestres, pour limiter leurs vibrations sous l’effet du vent ou des tremblements de terre. Une sous-esp` ece est le TSD, ”Tuned Sloshing Dam- per”, consistant en une cuve avec une surface libre, dont la fr´ equence du premier mode de ballottement est mise en co¨ıncidence avec la fr´ equence propre du mode de la structure que l’on souhaite amortir. La dissipation d’´ energie est assur´ ee par des ´ ecrans perfor´ es, plac´ es par exemple en milieu de cuve. Ces syst` emes se rapprochent de certaines citernes anti-roulis utilis´ ees dans le naval. Une diff´ erence est que les p´ eriodes d’int´ erˆ et sont as- sez ´ eloign´ ees, typiquement de l’ordre de 3 secondes pour les ´ edifices terrestres (tours de contrˆ ole, gratte-ciel, etc.) et de l’ordre de 10 ` a 20 secondes pour les navires. Cet ´ ecart de p´ eriode a des r´ epercussions importantes sur les dimensions de la cuve et peut conduire ` a pr´ ef´ erer, pour les navires, d’autres g´ eom´ etries (tubes en U).

On consid` ere ici le cas simple d’une cuve rectangulaire, munie d’un seul ´ ecran perfor´ e en son milieu, en mouvement de translation horizontale. Ce cas a ´ et´ e largement ´ etudi´ e, de mani` ere th´ eorique, num´ erique et exp´ erimentale. On renvoie le lecteur int´ eress´ e ` a Warnit- chai & Pinkaew (1998), Tait (2008), Faltinsen & Timokha (2009), Faltinsen et al. (2011), Crowley & Porter (2012b), Molin & Remy (2013), o` u il pourra trouver de nombreuses autres r´ ef´ erences.

Faltinsen et al. (2011) pr´ esentent des r´ esultats exp´ erimentaux et num´ eriques pour une cuve longue de un m` etre, avec une hauteur d’eau de 40 cm. L’´ ecran perfor´ e consiste en une succession de fentes horizontales, larges de 3 mm, s´ epar´ ees de parties pleines de hauteur variable de mani` ere ` a obtenir diff´ erents taux de porosit´ e, de 5 ` a 50 % (le taux de porosit´ e

´

etant d´ efini comme le rapport de la surface des ouvertures ` a la surface totale). Les essais sont r´ ealis´ es en mouvement forc´ e harmonique. Les r´ esultats pr´ esent´ es ne concernent que l’´ el´ evation de surface libre ` a la paroi, les efforts hydrodynamiques ne sont pas mesur´ es.

Un mod` ele num´ erique est propos´ e, bas´ e sur la th´ eorie potentielle lin´ earis´ ee, o` u les fentes de l’´ ecran sont mod´ elis´ ees. Crowley & Porter (2012b), comme Molin & Remy (2013), recourent ´ egalement ` a la th´ eorie potentielle lin´ earis´ ee mais mod´ elisent l’´ ecran comme une paroi poreuse o` u la composante normale de la vitesse est continue et o` u se produit un saut de pression. Molin & Remy (2013) s’inspirent de travaux ant´ erieurs (Molin, 2011) pour ´ ecrire le saut de pression sous la forme :

P

− P

= ρ 1 − τ

2 µ τ

V

| V

| , (1)

τ ´ etant le taux de porosit´ e, V

la vitesse relative de l’´ ecoulement (par rapport ` a la paroi), et µ un coefficient de perte de charge d´ ependant de la nature des perforations et du nombre de Reynolds. Cette id´ ealisation, et le recours ` a la th´ eorie potentielle pour l’´ ecoulement ext´ erieur, se justifient asymptotiquement quand l’´ epaisseur de la paroi est nulle et quand le nombre de perforations tend vers l’infini (donc que leur taille devient infiniment petite).

Molin & Remy (2013) proc` edent ` a des essais avec une cuve longue de 80 cm, pour une hauteur d’eau de 32 cm (soit donc le mˆ eme ratio h/L que Faltinsen et al., 2011). L’´ ecran perfor´ e consiste en une plaque d’acier, ´ epaisse de 2 mm, avec des ouvertures circulaires de diam` etre 4 mm, pour un taux de porosit´ e de 18 %.

Alors que Faltinsen et al. (2011) font varier le taux de porosit´ e, ` a amplitude de mou-

vement constante, Molin & Remy (2013) font varier l’amplitude du mouvement, ` a taux

de porosit´ e constant. D’apr` es leur th´ eorie, seul importe le param` etre (1 − τ) A/(2 µ τ

L), A ´ etant l’amplitude du mouvement impos´ e : il est ´ equivalent de faire varier τ ou A si ce param` etre est conserv´ e, ceci dans le respect des hypoth` eses de d´ epart, en particulier que le mouvement de la surface libre reste mod´ er´ e et bien d´ ecrit par la th´ eorie lin´ eaire.

Molin & Remy (2013) obtiennent des coefficients hydrodynamiques (masse ajout´ ee et amortissement) en bon accord avec leurs valeurs calcul´ ees, tant que les hypoth` eses de comportement lin´ eaire de la surface libre restent remplies. Les fonctions de transfert de l’´ el´ evation de surface libre ` a la paroi, mesur´ ees et calcul´ ees, sont aussi en bon accord, et voisines de celles obtenues par Faltinsen et al. (2011) sur les cas comparables.

Comme on l’a ´ ecrit, le recours ` a la th´ eorie potentielle est justifiable de mani` ere asymp- totique, lorsque la taille des ouvertures devient infiniment petite. L’´ ecoulement est suppos´ e se s´ eparer ` a leur travers´ ee (ce qui implique donc des angles vifs), mais les sillages s’ho- mog´ en´ eisent rapidement, ` a une distance de l’ordre de l’espacement, ou du diam` etre, des perforations, donc n´ egligeable vis ` a vis de la longueur de la cuve.

En pratique il peut ˆ etre plus commode d’utiliser un syst` eme ` a fentes, horizontales ou verticales, et de chercher ` a minimiser leur nombre, et il se pose donc la question de la pertinence du mod` ele th´ eorique lorsqu’on utilise des fentes plutˆ ot que des trous circulaires, et qu’on en diminue le nombre, ` a taux de porosit´ e constant.

Cette question a motiv´ e les essais que l’on rapporte ici, o` u l’on a repris le montage d´ ecrit dans Molin & Remy (2013), et remplac´ e la plaque perfor´ ee par des fentes, verticales, en diminuant progressivement leur nombre sur la largeur de la cuve.

Dans la premi` ere partie on rappelle bri` evement le mod` ele num´ erique d´ ecrit dans Molin

& Remy (2013). Puis on pr´ esente les essais, effectu´ es sur l’Hexapode de Centrale Mar- seille, et les coefficients hydrodynamiques obtenus, compar´ es ` a leurs valeurs num´ eriques de r´ ef´ erence. Lorsque le nombre de fentes diminue on observe une certaine variation de ces coefficients que l’on attribue ` a des effets de masse ajout´ ee. Une modification ad hoc de la relation (1) permet de rendre compte de l’´ evolution observ´ ee.

II – Le mod` ele num´ erique

b b

h z

y

Figure 1 – G´ eom´ etrie.

La figure 1 illustre la g´ eom´ etrie du probl` eme. On utilise un syst` eme de coordonn´ ees

Oyz centr´ e au milieu de la cuve, ` a la surface libre. La cuve est de longueur L = 2b, la

hauteur d’eau est h. La cuve est soumise ` a un mouvement de translation harmonique,

suivant y, d’amplitude A et de pulsation ω. On se place dans le cadre de la th´ eorie potentielle lin´ earis´ ee, le potentiel des vitesses Φ(y, z, t) ´ etant exprim´ e sous la forme :

Φ(y, z, t) = ℜ

φ(y, z) e

(2) Le potentiel φ(y, z) v´ erifie l’´ equation de Laplace dans le domaine fluide − b ≤ y ≤ b

− h ≤ z ≤ 0, l’´ equation de surface libre lin´ earis´ ee g φ

− ω

φ = 0 en z = 0, et des conditions de glissement aux parois :

φ

( ± b, z) = A ω φ

(y, − h) = 0 (3) A l’´ ecran poreux la lin´ earisation de Lorenz appliqu´ ee ` a la relation (1) conduit ` a :

i ω (φ

− φ

) = 4 3 π

1 − τ

µ τ

∥ φ

− A ω ∥ (φ

− A ω) (4) Le potentiel φ est exprim´ e sous la forme :

φ(y, z) = A ω y +

∑∞ m=1

A

cos λ

(y − b) cosh λ

(z + h) cosh λ

h

± B

cos k

(y ± b) cosh k

(z + h) cosh k

h ±

n=1

B

cosh k

(y ± b)

cosh k

b cos k

(z + h) (5) o` u λ

= (2 m − 1) π/(2 b), A

= 2 A ω

/(λ

(ω

− ω

) b), ω

= g λ

tanh λ

h et ω

= g k

tanh k

h = − g k

tan k

h.

Dans (5), par ± on entend + dans le compartiment gauche − b ≤ y ≤ 0, et − dans le compartiment droit 0 ≤ y ≤ b. De cette mani` ere l’´ egalit´ e des vitesses horizontales en y = 0 est assur´ ee. En l’absence d’´ ecran poreux B

≡ B

≡ 0.

L’expression (5) satisfait ` a toutes les ´ equations du probl` eme hormis la condition de perte de charge (4), qui est non-lin´ eaire. Pour vaincre cette difficult´ e on suit un processus it´ eratif, o` u on ´ ecrit, ` a l’it´ eration (j ) :

i ω (φ

− φ

) = 4 3 π

1 − τ

µ τ

∥ φ

− A ω ∥ (φ

− A ω) (6) qui conduit ` a :

B

cos k

b + k

sin k

b f

(z)

cosh k

(z + h) cosh k

h +

n

B

1 − k

tanh k

b f

(z)

cos k

(z + h) = f

(z) g(z) (7) o` u

g(z) = ∑

m

λ_m(−1)^(m+1)A_m coshλ_m(z+h) coshλmh f^(j)(z) = − 2 i

3π ω 1−τ

µ τ²

g(z)−k₀B₀^(j) sink₀b coshk₀(z+h) coshk0h +∑

n

k_nB_n^(j) tanhk_nb cosk_n(z+h)

Dans (6) et (7) (j − 3/2) signifie que les valeurs moyenn´ ees des coefficients B

, aux

it´ erations (j − 2) et (j − 1), sont utilis´ ees pour calculer f (z). De cette mani` ere on introduit

de la relaxation dans le sch´ ema it´ eratif et la convergence est plus rapide.

Les s´ eries A

et B

sont tronqu´ ees ` a des ordres M et N , respectivement, et on construit le syst` eme lin´ eaire suivant :

B^(j)₀

∫ 0

−h

cosh²k0(z+h)

coshk0h dz+∑

n

B^(j)n

∫ 0

−h

1−kn tanhknb f^(j−3/2)(z)

cosk0b+k0 sink0b f^(j−3/2)(z) coskn(z+h) coshk0(z+h) dz

=

∫ 0

−h

f^(j−3/2)(z)g(z)

cosk0b+k0 sink0b f^(j−3/2)(z) coshk0(z+h) dz

B^(j)₀

∫ 0

−h

cosk0b+k0 sink0b f^(j−3/2)(z) 1−kmtanhkmb f^(j−3/2)(z)

coshk0(z+h)

coshk0h coskm(z+h) dz +B^(j)m

∫ 0

−h

cos²km(z+h) dz+∑

n̸=m

B^(j)n

∫ 0

−h

1−kntanhknb f^(j−3/2)(z)

1−kmtanhkmb f^(j−3/2)(z) coskm(z+h) coskn(z+h) dz

=

∫ 0

−h

f^(j−3/2)(z)g(z)

1−kmtanhkmb f^(j−3/2)(z) coskm(z+h) dz

r´ esolu par une m´ ethode de Gauss. La convergence est atteinte en 10 ` a 20 it´ erations, les coefficients B

´ etant initialis´ es ` a z´ ero.

L’effort hydrodynamique s’obtient en int´ egrant la pression lin´ earis´ ee i ω ρ φ sur les parois solides et sur l’´ ecran poreux. On l’´ ecrit sous la forme

F

= ℜ

2 i ρ A ω

b h (C

+ i C

) e

(8) o` u

A ω b h [C

+ i C

] = A ω b h +

∑M

m=1

A

tanh λ

h

λ

+ B

(cos k

b − 1) tanh k

h k

+

∑N

n=1

B

(

1 − 1

cosh k

b

)

sin k

h

k

(9)

C

est le coefficient de masse ajout´ ee et C

le coefficient d’amortissement.

III – Campagne exp´ erimentale

Les essais ont ´ et´ e r´ ealis´ es ` a l’aide d’une plateforme Stewart ”Hexapode Mistral” de Sym´ etrie

. La photo (figure 2) montre l’hexapode et la cuve utilis´ ee (avec un niveau de remplissage diff´ erent de celui consid´ er´ e ici). On distingue un cloisonnement int´ erieur, s´ eparant la cuve en quatre compartiments sur sa longueur. Ce compartimentage permet d’´ eviter les ´ eventuelles instabilit´ es transverses (swirling ou autres) et, surtout, assure la rigidit´ e des ´ ecrans. Les dimensions int´ erieures de la cuve sont : longueur 80 cm, largeur 50 cm (soit environ 12 cm pour chaque compartiment), la hauteur d’eau dans les essais rapport´ es ici ´ etant de 32 cm.

Comme indiqu´ e sur la photo, l’hexapode est ´ equip´ e de capteurs d’effort plac´ es en tˆ ete de chacune de ses six jambes. Un logiciel int´ egr´ e restitue le torseur des efforts de liaison entre l’ensemble cuve + plaque support et les jambes de l’hexapode. Pour am´ eliorer la d´ etermination de la partie purement hydrodynamique des efforts les essais sont men´ es deux fois, cuve pleine, et cuve vide, et les deux s´ eries temporelles des efforts sont retranch´ ees.

Une analyse de Fourier permet de restituer les coefficients C

et C

.

1. http ://www.symetrie.fr/

Figure 2 – La cuve sur l’hexapode.

Dans les essais de la campagne pr´ ec´ edente (Molin & Remy, 2013) la paroi perfor´ ee consistait en une plaque d’acier, de 2 mm d’´ epaisseur, perc´ ee d’ouvertures circulaires de 4 mm de diam` etre, pour un taux de porosit´ e de 18 %. Dans les nouveaux essais rapport´ es ici, les perforations consistent en des fentes verticales. Trois ´ ecrans sont test´ es successivement o` u, ` a taux de porosit´ e maintenu constant (18 %), on diminue progressivement le nombre de fentes : douze, puis quatre puis deux sur la largeur (figure 3) (dans ce dernier cas le nombre de compartiments est r´ eduit ` a deux).

IV – R´ esultats obtenus

Les figures 4 et 5, reproduites de Molin & Remy (2013), pr´ esentent les coefficients de masse ajout´ ee et d’amortissement calcul´ es pour des amplitudes de mouvement allant de 1 mm ` a 32 mm et pour des pulsations allant de 3 rad/s ` a 13 rad/s. Le coefficient de perte de charge µ a ´ et´ e pris ´ egal ` a 0.5, suivant notre exp´ erience avec ce type de perforations (Molin, 2011). Les coefficients de masse ajout´ ee sont aussi donn´ es pour la cuve nue (sans

´

ecran, ”no wall” sur la figure), et pour la cuve avec un ´ ecran opaque (”solid wall”). Ces deux cas sont asymptotiques lorsque le coefficient (1 − τ) A/(2 µ τ

L) tend vers z´ ero ou vers l’infini, soit, ` a taux de porosit´ e donn´ e, lorsque l’amplitude du mouvement tend vers les mˆ emes limites.

Les trois premiers modes de ballottement de la cuve nue ont pour pulsations propres, respectivement, 5.72 rad/s, 8.72 rad/s et 10.74 rad/s. La pulsation propre du mode 2 (8.72 rad/s) est aussi celle du mode 1 de la demi-cuve. Dans le cas de la cuve nue le coef- ficient de masse ajout´ ee est singulier aux pulsations des modes 1 et 3, et passe localement de + ∞ ` a −∞ . Le mˆ eme comportement s’obtient pour celui de la cuve avec ´ ecran opaque,

`

a la pulsation du mode 2. Il est frappant que les diff´ erentes courbes, donnant le coefficient

de masse ajout´ ee, semblent se croiser exactement aux pulsations des deux premiers modes

Figure 3 – Ecrans test´ es : perforations (haut gauche), douze fentes sur la largeur (haut droite), quatre fentes (bas gauche), deux fentes (bas droite).

propres.

On constate sur la figure 4 que, lorsque l’amplitude augmente, le coefficient de masse ajout´ ee passe graduellement du cas sans ´ ecran au cas ´ ecran opaque. Corr´ elativement le coefficient d’amortissement qui, ` a faible amplitude, pr´ esente deux pics aux pulsations des modes 1 et 3, finit par ne pr´ esenter (sur la gamme de pulsations consid´ er´ ee) qu’un seul pic ` a la pulsation du mode 2.

Les figures 6 and 7 pr´ esentent les coefficients de masse ajout´ ee et d’amortissement obtenus pour les diff´ erents ´ ecrans test´ es et pour 4 amplitudes de mouvement : 1 mm, 4 mm, 8 mm et 12 mm. Les valeurs calcul´ ees (toujours avec µ = 0.5) sont aussi incluses.

On constate tout d’abord que les coefficients hydrodynamiques tir´ es des mesures pour l’´ ecran ` a trous sont en raisonnablement bon accord avec les valeurs calcul´ ees sauf, ` a la plus forte amplitude, aux pulsations voisines du mode 2 : le mod` ele num´ erique pr´ edit des cambrures excessives et, pratiquement, la surface libre d´ eferle. Pour l’´ ecran ` a douze fentes les coefficients hydrodynamiques sont relativement voisins mais on note quand mˆ eme quelques diff´ erences. Dans ce cas la largeur des fentes est de 7.5 mm, ` a peu pr` es le double du diam` etre des perforations.

Lorsque le nombre de fentes diminue, on observe que les courbes se d´ ecalent vers la

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

frequency (rad/s)

no wall 1 mm 2 mm 4 mm 8 mm 16 mm 32 mm solid wall

Figure 4 – Coefficients de masse ajout´ ee calcul´ es pour diff´ erentes amplitudes de mouve- ment.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

frequency (rad/s)

1 mm 2 mm 4 mm 8 mm 16 mm 32 mm

Figure 5 – Coefficients d’amortissement calcul´ es pour diff´ erentes amplitudes de mouve- ment.

gauche, vers les plus basses pulsations. Ceci refl` ete la modification des pulsations propres

des modes 1 et 3 sous l’effet des obstructions apport´ ees, par rapport ` a la cuve nue. Une

interpr´ etation intuitive est que, ` a mode g´ eom´ etrique et pulsation donn´ es, les obstructions

augmentent l’´ energie cin´ etique. L’´ energie potentielle ne variant pas, la pulsation propre

doit n´ ecessairement diminuer (voir Faltinsen & Timokha, 2009, section 4.7). Autrement

formul´ e, l’effet de masse ajout´ ee des ´ ecrans n’est plus n´ egligeable, et un terme impliquant

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

Figure 6 – Coefficients de masse ajout´ ee C

pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite).

l’acc´ el´ eration semble manquer dans l’´ equation (1) de perte de charge. D’apr` es la figure 7 la pulsation du mode 1 descend de 5.72 rad/s ` a environ 5.5 rad/s dans le cas 4 fentes et ` a 5 rad/s dans le cas 2 fentes. Il serait ´ evidemment souhaitable de conforter cette observation par des calculs exacts en th´ eorie potentielle. Quant au mode 3, sa pulsation passe de 10.74 rad/s ` a, respectivement, 10 et 9.5 rad/s. Elle se rapproche ainsi de la pulsation propre du mode 2 (qui elle ne se d´ ecale pas puisque l’´ ecran est localis´ e ` a un ventre du mode 2).

Il est frappant que, dans le cas 2 fentes, ` a la plus faible amplitude de mouvement, la hauteur du premier pic de l’amortissement est diminu´ ee (par rapport au cas de r´ ef´ erence), alors qu’elle est tr` es fortement augment´ ee pour le second pic. Cette augmentation est probablement li´ ee au fait que les pulsations des modes 2 et 3 sont devenues tr` es voisines.

Enfin on remarque que les diff´ erences entre les 4 types d’´ ecran tendent ` a se gommer lorsque l’amplitude du mouvement augmente.

V – Modification de la condition de perte de charge

La masse ajout´ ee d’un ´ ecran constitu´ e d’une succession p´ eriodique de parties pleines

et de fentes est discut´ ee dans Molin (2011), o` u il est d´ emontr´ e qu’` a longueur d’´ ecran

et porosit´ e donn´ ees, elle devient nulle asymptotiquement lorsque le nombre d’ouvertures

tend vers l’infini. L’expression donn´ ee dans Molin (2011), sur la base du saut de pression

qu’elle implique, conduit ` a modifier la condition (4) de perte de charge de la mani` ere

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num trous 12 fentes 4 fentes 2 fentes

Figure 7 – Coefficients d’amortissement C

pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite).

suivante :

i ω (φ

− φ

) = 4 3 π

1 − τ

µ τ

∥ φ

− A ω ∥ (φ

− A ω) − i ω (1 − τ )

π C

(τ ) d

4N

(φ

− A ω) (10) o` u d est la largeur de la cuve (ici 50 cm), N

le nombre de fentes sur cette largeur et C

(τ) est donn´ e par (Morse & Ingard, 1968) :

C

(τ ) = 8

(1 − τ)

π

ln

[

1

2 tan π τ 4 + 1

2 cot π τ 4

]

(11) Le terme additionnel est identique ` a celui propos´ e par Crowley & Porter (2012a, leur relation (2.29)).

On pr´ esente sur les figures 8 et 9 les nouveaux coefficients de masse ajout´ ee et d’amor-

tissement obtenus, compar´ es ` a leurs valeurs exp´ erimentales, dans les cas 4 fentes et 2

fentes. Les r´ esultats num´ eriques initiaux (sans ajout du terme d’inertie) sont aussi repro-

duits pour comparaison. A la plus faible amplitude d’oscillation (1 mm) l’accord entre

num´ erique et exp´ erimental est tr` es bon, le d´ ecalage en fr´ equence et la modification de la

hauteur des pics sont bien reproduits. L’accord num´ erique exp´ erimental se d´ egrade lorsque

l’amplitude augmente, mais il subsiste quand mˆ eme un certain progr` es par rapport au cal-

cul initial. Cette d´ egradation est probablement due ` a plusieurs facteurs. Notre ´ equation

de perte de charge s’apparente ` a la formule de Morison o` u on combine un terme d’inertie

tir´ e de la th´ eorie potentielle, et un terme de traˆın´ ee li´ e ` a la s´ eparation de l’´ ecoulement,

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

Figure 8 – Coefficients de masse ajout´ ee C

pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite). Condition de perte de charge modifi´ ee.

combinaison notoirement incoh´ erente. La formule de Morison est asymptotiquement jus- tifiable lorsque le nombre de Keulegan-Carpenter tend vers z´ ero (inertie dominante) ou vers l’infini (traˆın´ ee dominante), elle est tr` es imparfaite lorsque les deux composantes ont un poids comparable

. Outre ce probl` eme, les hypoth` eses d’´ ecran poreux ´ equivalent, et d’´ ecoulement redevenu irrotationnel ` a tr` es faible distance de l’´ ecran, sont ´ evidemment de moins en moins bien satisfaites lorsque la taille des fentes et leur espacement augmentent.

Enfin, comme on l’a d´ ej` a ´ ecrit, les ´ ecarts que l’on observe aux hautes pulsations sont principalement dus aux non-lin´ earit´ es de surface libre (d´ eferlement).

R´ ef´ erences

Crowley S., Porter R. , 2012a. The effect of slatted screens on waves, J. Engineering Mathematics, 76, 33-57.

Crowley S., Porter R. , 2012b. An analysis of screen arrangements for a tuned liquid damper, J. Fluids and Structures, 34, 291–309.

Faltinsen O., Firoozkoohi R., Timokha A.N. , 2011. Steady-state liquid sloshing in a rectangular tank with a slat-type screen in the middle : Quasilinear modal analysis and experiments, Physics of Fluids, 23, 042101.

Faltinsen O., Timokha A.N. , 2009. Sloshing, Cambridge University Press.

2. Le nombre de Keulegan-Carpenter qu’il faudrait ici introduire serait bas´e sur l’amplitude de l’´ecoulement `a travers les fentes et sur leur espacement.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

omega (rad/s)

num. initial num. 4 fentes exp. 4 fentes num. 2 fentes exp. 2 fentes

Figure 9 – Coefficients d’amortissement C

pour A = 1 mm (haut gauche), 4 mm (haut droite), 8 mm (bas gauche), 12 mm (bas droite). Condition de perte de charge modifi´ ee.

Molin B. , 2011. Hydrodynamic modeling of perforated structures, Applied Ocean Re- search, 33, 1–11.

Molin B., Remy F. 2013 Experimental and numerical study of the sloshing motion in a rectangular tank with a perforated screen, J. Fluids and Structures, 43, 463–480.

Morse P.M. & Ingard K.U. 1968 Theoretical Acoustics. New-York : McGraw-Hill.

Tait M.J. , 2008. Modelling and preliminary design of a structure-TLD system, Enginee- ring Structures, 30, 2644–2655.

Warnitchai P., Pinkaew T. , 1998. Modelling of liquid sloshing in rectangular tanks

with flow-dampening devices, Engineering Structures, 20, 593–600.