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S 5 2 heures
L
Exerie 1 Résolution d'une équationOn se propose dans cet exercice de résoudre l’équation (E) :
x3−3x+1=0
1. En utilisant la courbe d’équationy=x3, indiquez comment on peut conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) en traçant une droite judicieusement choisie. Localisez ces solutions sur le graphique ci-dessous.
O 1
1
x y
−1
−2
−3 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
y=x3
2. On désigne parf la fonction définie surRparf(x)=x3−3x+1
a) Étudiez le sens de variations def et dressez son tableau de variation.
b) Montrez que l’équation (E) admet exactement trois solutions surRque l’on noteraα1,α2etα3telles queα1<α2<α3. c) À l’aide d’une calculatrice, proposer des valeurs approchées à 10−3près deα1,α2etα3.
L
Exerie 2 Étude d'une fontionOn considère la fonctionf définie surRpar :
f(x)=p x2+ |x|
On noteCf la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère orthonormé³ O;→−
ı ,→−
´
d’unité graphique 2cm.
Partie A : étude def 1. Montrez que la courbeCf est symétrique par rapport à l’axe³
O;→−
´. Qu’en déduisez-vous ? 2. Déterminez la limite def en+∞.
3. Étudiez la dérivabilité def en zéro. Interprétez graphiquement ce résultat.
4. Étudiez le sens de variation def.
5. Dressez le tableau de variation def surR.
Partie B : asymptotes àCf SoitDla droite d’équationy=x+1
2.
1. a) Montrez queCf admetDcomme asymptote au voisinage de+∞.
b) Précisez les positions relatives deCf etD.
2. Prouvez que CRf admet une autre asymptote dont vous donnerez une équation.
3. TracezCf, ses asymptotes et les tangentes importantes sur la feuille jointe.
O 1
1
x y
−1
−2
−3
−4 1 2 3
1 2
1 2 3 4
−1
L
Exerie 3 Un peu de trigoSachant que cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b) et sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a), exprimez cos(3t) uniquement à l’aide de cos(t).
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Exerie 4 Question subsidiaireCommentez cette citation du mathématicien syldave Otto VONMEINUNTERSTRUMPFÜHRERISTDASLICHTMEINERNACHTEN:
«Le monde se sépare en 10 catégories : ceux qui comprennent cette phrase et les autres.»
