INP Bordeaux.

Feuille d'exercices n ^◦ 3 Diagonalisation

INP Bordeaux.

Exercice 1.

Déterminer les puissances n ^ième des matrices suivantes : 1) A =

cos t − sin t sin t cos t

. 2) B =

0 1 1 1

Exercice 2.

Soit A =





0 1 1 0 0 1 1 0 0



 . On note λ l'unique valeur propre réelle associée à A . 1) Montrer que le projecteur spectral associé à A vérie

π _λ = 1 3λ ² − 1





λ ² λ λ ³ 1 λ ⁻¹ λ λ 1 λ ²





2) Vérier que les deux valeurs propres complexes conjuguées de A sont de module strictement infé- rieur à 1 et en déduire que

λ ² = lim

n→+∞

A ⁿ _1,3 A ⁿ _1,2 . Exercice 3.

Résoudre les systèmes : 1) On donne u 0 , v 0 . Résoudre

( 5u _n = 2u _n−1 + 3v _n−1 5v n = 3u _n−1 + 2v _n−1 .

2) On u 0 et u 1 . Etudier la suite dénie par u n+2 = (1 + a)u n+1 − au n . 3)



 

 

x ⁰ = 2y + 2z y ⁰ = −x + 2y + 2z z ⁰ = −x + y + 3z.

Exercice 4.

Soit (M n ) une suite de points dans le plan, de coordonnées (x n , y n ) dénies par la relation de récur-

rence :

x n+1 = −x n + 2y n

y n+1 = −3x n + 4y n . 1) Montrer que, quel que soit M 0 , les points M n sont alignés.

2) Étudier la suite (M _n ) quand n tend vers l'inni.

15 octobre 2014 1 Thierry Sageaux

INP - Bordeaux Diagonalisation Solutions des exercices

Exercice 1.

1) Ecrire

A = e ^−it

1 −i i 1

+ e ^it

1 i

−i 1

. Alors A ⁿ = e ^−int

1 −i i 1

+ e ^int

1 i

−i 1

=

2 cos nt −2 sin nt 2 sin nt 2 cos nt

2) On peut chercher les projecteurs spectraux ou directement on trouve B ^k = 1

√ 5

α ^k−1 − β ^k−1 α ^k − β ^k α ^k − β ^k α ^k+1 − β ^k+1

avec α = 1 + √ 5

2 et β = 1 − √ 5 2 . Exercice 2.

1) On trouve pour polynôme caractéristique χ A (X) = X ³ − X − 1 qui possède une seule racine réelle que l'on note λ . On a alors χ A (X ) = (X − λ)(X ² + λX + λ ² − 1) . La décomposition en éléments simples donne :

1 χ _A (X) =

1 3λ

−1

X − λ + R(X ) X ² + λX + λ ² − 1 . Donc Q _λ (X) = X ² + λX + λ ² − 1 et U _λ (X ) = _3λ

¹ ₋₁ . Ainsi,

π λ = (Q λ U λ )(ϕ) = 1

3λ ² − 1 (ϕ ² + λϕ + λ ² − 1) = 1 3λ ² − 1





λ ² λ λ ³ 1 λ ⁻¹ λ λ 1 λ ²



 .

2) On commence par calculer ∆ = 4 − 3λ ² qui doit être négatif. Les racines complexes sont donc z 1 = −λ + i √

3λ ² − 4

2 et z 2 = −λ − i √ 3λ ² − 4

2 . On calcule alors le module (qui est le même car elles sont conjuguées) : |z 1 | ² = 1 − ^λ ₂

< 1 .

Exercice 3.

1) 2u _n = u ₀ + v ₀ +

− 1 5

n

(u ₀ − v ₀ ) , 2v _n = u ₀ + v ₀ −

− 1 5

n

(u ₀ − v ₀ ) . 2) On interprète le problème matriciellement :

u n+1

u n+2

= 1 5

0 1

−a 1 + a u n

u n+1

. On trouve χ A (X ) = X ² − (1 + a)X + a et le discriminant associé : ∆ = (1 − a) ² . Deux cas donc à considérer :

• Si a 6= 1 , alors A est diagonalisable et Spec (A) = {1, a} . D'où P = 1 1

1 a

et P ⁻¹ = 1

a − 1

a −1

−1 1

. Ce qui donne au nal

u _n = 1

a − 1 [(a − a ⁿ )u ₀ + (a ⁿ − 1)u ₁ ] .

2 Thierry Sageaux

INP - Bordeaux Diagonalisation

• Si a = 1 , alors A n'est pas diagonalisable et on la jordanise via la matrice de passage P =

1 0 1 1

dont l'inverse est P ⁻¹ =

1 0

−1 1

. On calcule alors u n = u 0 + n(u 1 − u 0 ) . 3) χ _A (X) = (X − 1)(X − 2) ² . La matrice de passage avec jordanisation donne P =





2 2 −1 0 1 0 1 1 0



.

x = 2αe ^t + (2γt + 2β − γ)e ^2t , y = (γt + β)e ^2t , z = αe ^t + (γt + β)e ^2t . Exercice 4.

1) Diagonaliser ^t M ⇒ y n − ³ ₂ x n = cste.

2) y n − x n = 2 ⁿ (y 0 − x 0 ) donc si y 0 6= x 0 alors M n > ∞ sinon la suite est constante.

3 Thierry Sageaux