Travaux Dirigés n°1

(1)

Université Paris Dauphine Département MIDO

Master 1 – Méthodes de Monte Carlo

2021–2022

Travaux Dirigés n°1

stoehr@ceremade.dauphine.fr

Exercice 1(Estimateur de la variance). Soit (Yn)n∈Nune suite de variablesi.i.d.de moyenneµet de varianceσ². On pose

σb²_2n= 1 2n

n

X

k=1

(Y2k−1−Y2k)²

1. Montrer queσb²_2nest un estimateur fortement consistant deσ² 2. Étudier le biais de l’estimateurσb²_2n.

Exercice 2. On souhaite calculer I=

Z 1 0

Z 2 0

sin¡

x₁³+x2¢ ln¡

1+x²₁¢ exp

Ã

−2x1−x₂² 2

!

dx1dx2.

1. À l’aide d’une suite de variables aléatoiresi.i.d.de lois connues, proposer deux façons différentes d’estimerI par la méthode de Monte Carlo classique. On noteraIbn⁽¹⁾etIbn⁽²⁾ces estimateurs,n≥1.

2. Calculer la variance associée à chacun de ces estimateurs et en déduire un intervalle de confiance asymptotique au niveau 1−α,α∈[0 , 1].

Exercice 3(Une estimation deπ).

1. En utilisant la figure ci-contre, proposer une estimation deπpar la méthode de Monte Carlo classique.

2. Trouver le nombre de tiragenà effectuer pour que l’estimation deπ soit précise à 0.1 près avec une probabilité supérieure à 0.95.

O 1

1

¦ Travail personnel ¦

Exercice 4(Boule en dimension d ).

1. Proposer une estimation du volume de la sphère en dimensiond par la méthode de Monte Carlo classique.

1

(2)

TD n°1 Méthodes de Monte Carlo

2. Trouver le nombre de tiragenà effectuer pour que l’estimation soit précise à 0.1 près avec une pro- babilité supérieure à 0.95.

2