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Réflexions sur les formes
RAFFESTIN, Claude, TRICOT, Claude
RAFFESTIN, Claude, TRICOT, Claude. Réflexions sur les formes. Cahiers de géographie de Besançon , 1975, no. 12, p. 33-45
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REFLEXIONS SUR LES FORMES Claude
RAFFESTIN - Claude TRICOT*
Pour comprendre ces réflexions, il n'est pas inutile de montrer succintement leur genèse» A l'occasion d'une
recherche, la nécessité de disposer d'un indice de concentration, permettant d'exprimer les variations d'une distribution, soit dans l'espace, soit dans le temps, s'est imposée à nous. L'élaboration de cet indice a été réalisée par la collaboration entre un statisticien et un géographe : le premier a finalement trouvé une solution élégante et souple après que le second ait posé le problème spécifique qui le préoccupait. De ce modèle d'une distribution qu'est la concentration, nous sommes passés à la forme qui pouvait présenter la répartition de propriétés dans une surface quelconque. Ces réflexions poursuivies sur la forme sont finalement nées d'un malentendu qu'on peut qualifier de
créateur. En effet, lorsqu'un géographe pense à la forme, il lui vient spontanément à l'esprit l'idée, quotidienne et somme toute triviale, de forme géométrique enveloppante. C'est sans doute parce que le géographe est conditionné par la vision zénithale qu'il a de ce document fondamental qu'est la carte qu'il pense à la "forme enveloppante", c'est-à-dire à une surface délimitée par un contour plus ou moins sinueux, par une ligne démarquant une commune, une région administrative ou un pays, par exemple.
Le statisticien, sans méconnaître l'intérêt de la forme géométrique qui, dans les cas cités,
Université de Genève
n'est pas, comme on le pense trop souvent, la conséquence du hasard, a émis l'hypothèse qu'il pourrait être plus fécond de rechercher la forme que des propriétés pouvaient prendre dans l'espace indépendamment de la surface historiquement ou insti- tutionnellement délimitée dans laquelle elles se distribuaient.
Dès lors, on se trouvait dans une perspective qui prolongeait la réflexion originelle sur la concentration qui véhicule
implicitement une notion de forme. Mais, dans ce cas, il ne s'agit plus de la forme externe mais de la forme interne
"dessinée" par la répartition d'un ensemble de points représentant une propriété quelconque.
Ceci étant dit, il nous semble nécessaire de distinguer encore plus précisément les notions de forme externe et de forme interne de manière à montrer ce que leur analyse respective peut apporter. Même si la forme externe est la conséquence de processus dynamiques qui l'ont modelée à travers le temps, processus d'origine politique ou économique, elle ne donne paradoxalement qu'une image statique, figée en quelque sorte. Cependant, la connaissance de cette forme est utile dans la mesure où elle est susceptible de conditionner certains aménagements futurs de cette surface ainsi délimitée. En fait, on ne se trouve presque jamais en présence d'une zone vierge à aménager mais le plus souvent en face d'une zone déjà aménagée et alors la connaissance de la forme interne, non immédiatement visible, est nécessaire. Cette forme masquée, non directement perceptible, est une image de la réalité de nature structurelle.
Si l'on admet que cette forme interne est une structure, cela signifie qu'il peut y avoir autant de structures qu'il y a de systèmes de propriétés. On peut, évidemment, faire l'hypothèse que toute une série de systèmes connaissent la même structure ou tendent vers la même structure. Cela revient à dire que la forme externe peut être le lien de
formes internes multiples selon la. nature des phénomènes
envisagés• Cette existence de structures pose plusieurs types de problèmes. D'abord, il faut trouver un instrument capable de l'appréhender pour faire apparaître cette réalité cachée » Ensuite, il faut pouvoir suivre à travers le temps les changements structurels qui surviennent puisque la forme de distribution de nombreuses propriétés varie diachronique-ment.
Enfin, il faut pouvoir comparer les structures entre elles et éventuellement saisir les corrélations qui pourraient exister entre elles*
Dans l'exacte mesure où ces problèmes sont résolus, on dispose d'un moyen statistique descriptif, commode et fiable.
Cet instrument d' analyse ne saurait être une fin en soi, car sa vocation première et essentielle est de faciliter une recherche qui se propose d'identifier des structures non observables directement. Il s'agit d'une possibilité offerte aux sciences humaines confrontées avec des problèmes de distribution de conceptualiser une notion de manière univoque. C'est la
conceptualisation d'une forme qui s'apparente assez étroitement à une structure. Ce concept de forme interne est, par l ' effort de mathématisation, utilisable très largement et surtout
transmissible.
S'il est évident que ce graphe de forme peut s' appliquer à n'importe quelle propriété se distribuant dans l'espace, sa signification est certainement très grande pour* les phénomènes dynamiques susceptibles de varier dans le temps. Un des premiers problèmes auquel peut s'appliquer cet indice est sans aucun doute celui de l' emprise spatiale des sociétés • Comment les populations se répartissent-elles dans l'espace, ou»
plus exactement dans un espace donné ? Quelle est,
effectivement, la structure de l' emprise "territoriale ? Cette emprise a—t—elle la même structure que celle des propriétés données ou créées ? La comparaison de structures multiples permet de faire apparaître les concordances ou les discordances.
Si l ' on fait l'hypothèse, par exemple, que la structure de l' emprise humaine est fondamentale (1), il peut être intéressant de connaître la structure des fonctions dans l' espace, c' est— à—
dire savoir quelle est la forme de distribution des activités. La connaissance de ces structures est finalement fondamentale pour élaborer une stratégie de l'aménagement. La comparaison à, travers le temps devrait faire apparaître la tendance dé ces structures soit à la stabilité, soit au changement.
Moyen d'investigation, l'indice, ici proposé, ne saurait être une explication de la réalité, mais tout simple- ment , comme d'ailleurs toute la statistique descriptive, une possibilité d' entretenir avec la réalité une nouvelle relation qui permet de disposer d'une image sur laquelle la réflexion peut ensuite s' exercer. C'est la spécificité des méthodes que de dégager des images nouvelles auparavant masquées. Ce n'est qu'après l' interprétation de ces images que l'explication est éventuellement possible.
Rappelons les idées principales qui sont à la base de notre indice de concentration.
Considérons un ensemble E de points inclus dans un segment [a,b] ; a et b sont les bornes de E . En divisant [ a,b ] en n parties égales, on forme une grille dont les mailles sont, par exemple, des semi—ouverts à droite.
(1 ) Cf. Pierre Gourou, Pour une géographie humaine, Paris 1973, p. 154.
Soit n1 le nombre de mailles ne comprenant pas de points de E . Il est naturel de dire que l'ensemble a une plus ou moins forte concentration suivant que n1 est plus ou moins grand ; on donnera donc un sens précis au mot concentration en comparant n1 à n . Si E est infini, on sera conduit à considérer une limite qui peut être de la forme :
où f est une fonction croissante. Si E est fini, de cardinal N , on prendra n = N et cette première grille donne l'idée fondamentale de la construction de l'indice que nous avons mis au point (1 ).
Si l'on "habille" l'idée fondamentale, c'est afin que l'indice possède certaines propriétés relatives aux situations extrêmes (système de points concentrés en un point, répartition quasi-homogène de l'ensemble) ou qu'il ait un comportement raisonnable lorsqu'on déplace un point de 1' ensemble.
Une grille permet de ne percevoir volontairement que ce que l'on veut percevoir d'un ensemble, comme la stroboscopie d'un objet en mouvement ; en revanche, lorsque l'on considère, dans les sciences humaines, un ensemble existant, nous ne le percevons qu'à travers des données ;
Voir Claude Tricot, Concentration d'un ensemble de points, Cahiers du Département d'économétrie. Université de Genève, et, Claude Tricot, Claude Raffestin, Daniel Bachmann, Elaboration et construction d'un nouvel indice de concentration, l'Espace géographique, n° 4, 1974, Paris, pp. 303 - 310.
par exemple, la population d'une région nous est connue par des chiffres concernant les communes s nombre d'habitants de la commune, surface de la commune, coordonnées du centre de gravité de la commune. Ces données ne nous permettent qu'une reconstitution approximative du réel, d'ailleurs souvent suffisante. Ainsi, pour mesurer une concentration, on ne placera pas une grille sur une région, ce qui est impossible, mais sur une représentation de la région. Par exemple, on divisera un segment en parties de longueur proportionnelle à la surface des communes et, sur chacune de ces parties on placera un nombre de points proportionnel au nombre des habitants de la commune, ces points étant, par exemple, répartis de façon uniforme. L'ensemble E' de points ainsi obtenu sera l'image de l'ensemble E des habitants de la région et c'est la concentration de E' qui sera mesurée à.
l'aide d'un réseau de grilles.
La méthode s'applique à d'autres phénomènes : concentration des revenus dans une population, par exemple ; on a pu l'utiliser également pour étudier des phénomènes de concentration dans des processus ponctuels.
On peut se livrer à d'autres préoccupations concernant la population d'une région.
Parlons maintenant de la forme interne obtenue au moyen d'un diagramme de population.
Une frontière, qui est une vue géométrique, ne rend bien compte de la forme d'une population que dans la mesure où celle-ci est répartie uniformément à l'intérieur de la frontière ; supposons deux cas : dans le premier, la population est répartie uniformément dans un cercle ; dans le
second, un fort contingent est concentré sur un diamètre, le reste étant réparti uniformément dans le cercle ; ce sont là deux modèles extrêmes de même frontière qu'il faut pouvoir distinguer, précisément. Dans le premier cas, si on projette orthogonalement la population sur une droite de direction quelconque, l'indice de concentration de cette projection sera, par hypothèse, indépendant de la direction choisie.
Dans le deuxième cas, nous aurons, pour la direction perpen- diculaire au diamètre sur lequel une partie de la population est concentrée, un indice maximum ; il sera bien souvent minimum pour la direction du diamètre.
Cette remarque nous conduit à l'idée suivante.
Considérons la population d'une région quelconque et un axe polaire permettant de repérer les directions dans cette région. Soit DX la droite formant l'angle X avec l'axe.
l'indice de concentration de la projection orthogonale de la population sur DX sera désignée par CX.
Soit, d'autre part, un plan orienté et un axe polaire Ox dans ce plan ; Xx la demi-droite d'origine 0 et formant avec Ox l'angle x . Sur X et X 3 XXXXXXX
on place les points M et M'^ tels que OM •- = OW^ = C^ . L'ensemble des points M^ et M' constitue le diagramme de la population de la région donnée sur lequel apparaissent,
notamment, les directions de forte ou faible concentration. Ce diagramme représente, par opposition à la frontière, forme extérieure de la population, et qui n'est qu'une enveloppe, ce qu'on peut appeler la forme interne, déterminée par la structure de la population totale. Il est clair qu'en cas de répartition uniforme, les formes extérieures et internes auront des aspects analogues.
Un problème se pose, ici encore, concernant les données au moyen desquelles on perçoit la population : 1' indice C sera calculé sur une représentation de la projec-tion de la population sur D . Ainsi, si (x ,y ) sont les coordonnées du centre de gravité A . de la n-ème commune, et
si p est sa population, x cos a+ y sina sera l'abcisse
n n n
de a , projection de A sur D .On obtient ainsi un
n n et
ensemble de points qu'on peut réindicer, de gauche à droite, par exemple. Il faut placer ensuite autour de a des points en quantité kp proportionnelle à p ; l'ensemble obtenu
n n
est une représentation de la projection de la population. Une difficulté se présente pour placer les kp points autour
n
de a , difficulté qui ne se présente pas lorsqu'on calcule l'indice de concentration d'une région ; comment placer les kp points ? On peut, par exemple, en désignant par I et
n n
J les milieux des segments (a , a ) et (a ,a .. ),
n n — T n n n T i
disposer ces points uniformément sur le segment I J . 11 y a n n
là un élément d'arbitraire auquel on ne peut échapper et qui est lié à l'insuffisance des données.
Dans l'exemple qui suit, on a projeté quatre points de chaque commune et réparti uniformément les kp points sur le plus grand segment formé par ces quatre projections.
On peut encore, si on dispose du diamètre moyen de la commune, placer les kp points sur un segment de
~ n
milieu a et de longueur proportionnelle à ce diamètre, etc., n
On peut, naturellement, déduire de l'analyse du diagramme des renseignements sur la structure interne de la population et, par la comparaison de plusieurs diagrammes, son
évolution au cours du temps. On peut encore en déduire des indices, comme, par exemple, un indice d'allongement qui pourrait être :
A propos de ce dernier indice, on peut remarquer qu'une population peut se disposer suivant une ligne sans pour autant que cette ligne soit droite, ce que l'indice précédent ne fera pas ressortir.
On peut songer, pour mettre ce phénomène en évidence, à utiliser la proposition suivante.
Proposition
Soit un ensemble S de points, inclus dans le carré [O,1] ; on divise [ 0,1 ] en n parties égales, ce qui
2
permet de recouvrir le carré par une grille de n mailles.
Soit n (n.) le nombre de mailles comprenant au moins un r T 2 g n2 point de E . Si E est dense sur [ 0,1 ] , lig _____
log n existe et est égale à 2. Si E est l'ensemble des points d'un arc de courbe rectifiable, lim ____ 2 existe et est
n«o ---
égale à 1. log n
La première partie de la proposition est évidente.
évolution au cours du temps. On peut encore en déduire des indices, comme, par exemple, un indice d'allongement qui pourrait être :
A propos de ce dernier indice, on peut remarquer qu'une population peut se disposer suivant une ligne sans pour autant que cette ligne soit droite, ce que l'indice précédent ne fera pas ressortir.
On peut songer, pour mettre ce phénomène en évidence, à utiliser la proposition suivante.
P r o p o s i t i o n
Soit un ensemble S de points, inclus dans le carré [ O,1 ] ; on divise [ 0,1 ] en n parties égales, ce qui
2 permet de recouvrir le carré par une grille de n mailles.
Soit n2(n.) le nombre de mailles comprenant au moins un.
2 log rt2
point de E , Si B est dense sur [ 0,1] , lim _____
log n existe et est égale à 2. Si E est l'ensemble des points d'un arc de courbe rectifiable, lim ___ 2 existe et est
n ---
égale à 1. log n
La première patrie de la proposition, est évidente.
En ce qui concerne la seconde, soit l la longueur de l'arc ; on le divise en arc de longueur 1, l'un, d'eux pouvant être de longueur plus petite ; on obtient au plus [ni] +1 arcs. Le milieu d'un arc est centre d'un carré de côté _ incluant l'arc. Il est lui-même inclus dans quatre mailles au plus, donc :
D'autre part, soit A et B deux points de l'arc A'B' , de longueur u , la plus grande projection de l'aro AB sur un c8té du carré ; soit k le nombre de mailles
n qui recouvre A'B1. On a :
On peut remarquer que, si l'un des côté du carré est divisé en n parties et l'autre en m parties, on obtient une grille formée de mailles rectangulaires.
Si E est l'ensemble des points d'un arc de courbe rectifiable, la proposition deviendra :
Ceci étant, soit N le nombre des habitants d'une région inscrite dans un rectangle. Je suppose, de plus, que la projection de la population sur chacun des côtés du rectangle est quasi-dense.
Il existe encore ici un problème relatif aux données. Si l'on dispose d'une carte des communes, on pourra, placer sur la n—ème commune un nombre de points proportionnel au nombre d'habitants de la commune ;. pour le calcul de l'indice de dimension, N sera le nombre de points ainsi construits,
F I G U R E 1
Le graphe résulte de l'application de l'indice à la population du Pays de Gex. NS indique la direction Nord-Sud. On constate que le graphe se compose de plusieurs rayons sur chacun desquels est portée une longueur propor- tionnelle à l'indice de concentration de la population projetée sur la direction perpendiculaire au rayon. La ligne continue correspond à l'année 1920, celle en point et tiret correspond à l'année 1960 et celle en pointillé . correspond à l'année 1968. Les formes dessinées par les segments reliant les rayons sont relativement régulières, ce qui indique une forme de répartition homogène de la population du Pays de Gex. Les variations qu'on peut observer au Nord et au Sud sont dûes à la présence de communes dont le développement s'est accéléré durant la période considérée. Cependant, dans l'ensemble, la forme générale tend vers le demi-cercle ce qui est caractéristique d'une forme intérieure rendant compte d'une distribution homogène, ce qui, d'ailleurs, est confirmé par l'indice d' allongement qui s'établit de la manière suivante : 0,19, en 1920 ; 0,14, en 1960 et 0,17, en 1968. Cet indice est d' autant plus grand que le rapport du plus grand indice de concentration au plus petit est plus grand.
