Résolution accélérée du problème de tenue à la mer appliquée à l'étude paramétrique de fermes de récupérateur d'énergie des vagues

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appliquée à l’étude paramétrique de fermes de

récupérateur d’énergie des vagues

Bruno Borgarino

To cite this version:

Bruno Borgarino. Résolution accélérée du problème de tenue à la mer appliquée à l’étude paramétrique

de fermes de récupérateur d’énergie des vagues . Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Ecole

Centrale de Nantes (ECN), 2011. Français. �tel-01207480�

Ecole Centrale de Nantes

É

COLE

D

OCTORALE

Sciences pour l’ingénieur, Géosciences, Architecture

Année 2010-2011

N° B.U. :

_{(laisser l’espace prévu(((}

Thèse de D

OCTORAT

SPECIALITE : DYNAMIQUE DES FLUIDES ET TRANSFERTS

Présentée et soutenue publiquement par :

BRUNO

BORGARINO

le 19/10/2011

à l’Ecole Centrale de Nantes

T

ITRE

R

ESOLUTION ACCELEREE DU PROBLEME DE TENUE A LA MER APPLIQUEE A L

'

ETUDE PARAMETRIQUE

DE FERMES DE RECUPERATEURS DE L

'

ENERGIE DES VAGUES

J

URY

Président : Frédéric DIAS, Professeur, CMLA ENS Cachan, Cachan

Rapporteurs : Michel BENOIT, HDR, Laboratoire d’Hydraulique Saint-Venant, EDF R&D, Chatou

Frédéric DIAS, Professeur, CMLA ENS Cachan, Cachan

Examinateurs : Jean-Luc ACHARD, Docteur HDR, LEGI, Grenoble

Aurélien BABARIT, Docteur, Laboratoire de Mécanique des Fluides, Ecole Centrale de Nantes, Nantes

Christian BERHAULT, Docteur, PRINCIPIA, Nantes

Pierre FERRANT, Professeur, Laboratoire de Mécanique des Fluides, Ecole Centrale de Nantes, Nantes

Membre invité : Gerard DELHOMMEAU, Docteur, ex-Laboratoire de Mécanique des Fluides, Ecole Centrale de Nantes, Nantes

Directeur de thèse : Pierre FERRANT

Laboratoire : Laboratoire de Mécanique des Fluides, UMR 6598 CNRS Ecole Centrale de Nantes

Co-encadrant : Aurélien BABARIT

iii

Résumé en français (obligatoire)

Ce travail de thèse porte sur la résolution du problème de tenue à la mer pour le cas des fermes de récupérateurs d'énergie des vagues. La

résolution de ce problème pour un système seul par méthodes potentielles est bien maîtrisée. Dans le cas des fermes, des interactions

hydrodynamiques ont lieu entre systèmes, dues aux vagues diffractées et rayonnées par chacun des systèmes flottants ; la résolution du

problème de tenue à la mer doit donc être menée sur la ferme dans son ensemble. Le problème numérique présente un nombre important

d'inconnues, étant donné qu'une ferme comportera plusieurs dizaines de systèmes, chacun étant représenté par plusieurs centaines

d'inconnues.

Une méthode d'accélération est indispensable pour résoudre ce problème en un temps de calcul raisonnable. Ce travail de thèse

porte donc sur l'implémentation de l'algorithme multipolaire rapide dans le logiciel de diffraction/radiation Aquaplus. La première étape

est d'obtenir le développement multipolaire de la fonction de Green à surface libre. Les formulations issues de la littérature sont

généralisées et validées de manière exhaustive.

Une distribution open-source de l'algorithme multipolaire non-adaptatif est ensuite mise en place dans Aquaplus. Celle-ci ne

donne pas satisfaction pour le cas des fermes, la distribution spatiale des inconnues étant trop inhomogène. On implémente alors une

version simplifiée de cet algorithme, mieux adaptée au cas des fermes.

L'outil obtenu est utilisé pour une étude paramétrique sur des fermes composées de REV génériques. L'influence de la distance

de séparation entre corps sur la production d'énergie annuelle en un site donné est étudiée. Cette étude révèle le rôle prépondérant du

power take-off sur les interactions hydrodynamiques. Elle montre aussi l'existence de configurations de fermes « optimales » qui

permettent de limiter de manière significative les interactions destructives. A partir de ces configurations, on étudie les états de mer dans

le sillage de petites fermes.

Mots-clés :

récupération de l'énergie des vagues, fermes, algorithme multipolaire rapide, fonction de Green à

surface libre

Titre et résumé en anglais (très recommandé)

An accelerated resolution of the radiation/diffraction problem, applied to the parametric study of arrays of wave energy

converters

This thesis presents the implementation of an acceleration method for solving the diffraction/radiation problem for arrays of

wave energy converters. The resolution of this problem by numerical models based on linear potential flow theory is now standard for

isolated bodies. When the floating bodies are grouped into an array, wave interactions occur between systems, due to radiated and

diffracted waves. The resolution of the diffraction/radiation must then be carried on considering the whole array. This numerical problem

involves a large number of unknowns, given that an array is made of several tens of systems, each system being modelled by several

hundred of unknowns.

An accelerated method is thus mandatory to carry on computations in a reasonable amount of time. This thesis describes the

implementation of a fast multipole algorithm in the radiation/diffraction software Aquaplus. The first step is to get a flexible formulation

of the multipole expansion of the free-surface Green's function. Formulations from the literature have been extended and validated in a

systematic way.

An open-source distribution of the non-adaptative multipole algorithm has then been implemented in Aquaplus. This method

did not prove satisfactory for the study of arrays of floating bodies, as the spatial distribution of the unknowns is too inhomogeneous in

this case. A simplified version of the fast multipole algorithm, more suited to the study of arrays, is then implemented.

The developed tool has been used for a parametric study of arrays made of generic wave energy converters. The influence of the

separating distance between bodies on the yearly energy production of the array at a specific site has been investigated. This study

revealed that the power take-off plays a significant role on hydrodynamic interactions. It also showed that optimal array layout can be

found, limiting significantly the destructive interactions in the array. The reduction of the significant wave height in the lee of such an

array has been studied.

Mots-clés : wave energy conversion, arrays, fast multipole algorithm, free-surface Green's function.

Jetiensàremer iertoutd'abordlesrapporteursde ettethèse,MessieursMi helBenoitetF ré-déri Dias,pourleurrele turedétailléede emanus rit.Jeremer ieégalementlesautresmembres dujury,Jean-Lu A hard,ChristianBerhaultet GérardDelhommeau.

Mes remer iementsvontbien entendu àMessieursPierre Ferrant,dire teurde ette thèse, et AurélienBabarit, o-en adrant,pourleur onan e,toutaulongde eprojet.Jelesremer ie éga-lementpourleur disponibilité, grâ eàlaquellenotre ollaborationaété fru tueuse,malgrénotre étalementgéographiquesur troispaysdiérents(Fran e,Irlande, Norvège)lorsdeladernière an-née.Mer i tout parti ulièrementàAurélien pourses ompéten es d'en adrant.J'aipu appré ier sonsuiviattentif etses onseils.

Jesouhaited'autrepartexprimertoutemagratitudeàJohnRingwood,professeurau Depart-mentofEle troni EngineeringdelaNationalUniversityofIrelanddeMaynooth(NUIM)pourson hospitalité et son a ueil haleureuxdans sondépartement.Même si des di ultés dans la mise enpla e de laméthode multipolairen'ontpas permis in ne de réaliserle travail d'optimisation envisagéàNUIM,l'intérêt deM.Ringwood et sonpointdevuepertinent surleprojetm'ont in- ontestablementguidé.Un grandmer iàJean-ChristopheGilloteauxd'avoirétabliunpontentre l'ECNet NUIM.

J'ai béné ié de nombreux soutiens s ientiques et te hniques au ours de es trois années. Mer itoutd'abordàGérardDelhommeaupoursonaideindéfe tiblepourtout e quitou heaux fon tionsdeGreenetàAquaplusengénéral,etpoursaréa tivitésurnaturellepourrépondreaux questions poséesparemail. Mer iaussi àFrédéri Dias, pourses onseilssur lamise enpla e de l'algorithmeDPMTA.

D'un point devuete hnique,mer i àtoutel'équipedu LMFpourlesinnombrables oups de maininformatiques,qu'ils'agissentd'installation,programmation, ompilation...jepense notam-mentàGuillaumeDu rozet,Féli ien Bonnefoy,MatthieuWeber,YvesPérignon.

D'unpointdevuehumain,mer iauxéquipesduLMFetdeNUIMpourleura ueil,leurbonne humeur,etpourl'ensembledesdis ussionss ienti o-marinesquenousavonseu.Mer iàl'équipe desskippersCNRS(Aurélien,Chadi,Charles,Féli ien,François,Mathieu,Hakim)dem'avoirfait dé ouvrirlesjoiesetlesdouleursdelarégate.Mer iàHakimet Maximedem'avoirinitiéausurf dansles onditionspropi esdela tebasqueespagnole.

Pournir,mer iàtous,parents,familleetamis,pourm'avoirsoutenutoutaulongde eprojet. Untrès, trèsgrandmer iàStéphanie,mabulle d'oxygènependant estrois années.

Introdu tion 1

I Résolution a élérée du problème de tenue à la mer 5

1 Modélisationdes fermes de ré upérateurs de l'énergiedes vagues 7

1.1 Modélisationàl'é helledelaferme . . . 8

1.1.1 Modèlesanalytiques . . . 8

1.1.2 Méthodesdessingularités(ouméthodesdesélémentsfrontières) . . . 10

1.2 Modélisationàl'é hellerégionale . . . 11

1.3 Con lusion . . . 12

2 Des riptionmé anique d'un ensemble de orps ottants 15 2.1 Modélisationdel'é oulement . . . 15

2.1.1 Hypothèses . . . 15

2.1.2 Problèmeauxlimites. . . 15

2.2 Equationsmé aniquesd'un orps ottant . . . 16

2.2.1 Repèreetnotations . . . 16

2.2.2 Bilandeseorts . . . 16

2.3 Casd'unensemblede orps . . . 18

2.4 Con lusion . . . 19

3 Résolution du potentiel des vitesses 21 3.1 Prin ipederésolution . . . 21

3.1.1 Rappelduproblème,hypothèses,notations . . . 21

3.1.2 Deuxième formuledeGreen . . . 21

3.1.3 TroisièmeformuledeGreen . . . 22

3.1.4 Fon tiondeGreen . . . 23 3.1.5 Distributiondesingularités . . . 24 3.1.6 Equationintégrale . . . 24 3.1.7 Ré apitulatif . . . 24 3.2 Fon tionnementd'Aquaplus . . . 25 3.2.1 Systèmelinéaire . . . 25

3.2.2 Cal uldelafon tiondeGreen . . . 25

3.2.3 Méthodesderésolutionet limites . . . 25

3.3 Utilisationdel'algorithmemultipolairerapide . . . 27

3.3.1 L'emploiduFMAenhydrodynamique . . . 27

3.3.2 PositionnementduFMAdanslarésolution . . . 28

3.3.3 Prin ipeduFMA. . . 29

4 Formulationsmultipolaires de la fon tionde Green 33 4.1 Fon tiondeGreen . . . 33 4.1.1 Notations . . . 33 4.1.2 Champpro he

G1

. . . 33 4.1.3 Champlointain

G2

. . . 35 4.1.4 Ré apitulatif . . . 37 4.2 Opérateursdetranslation . . . 38 4.2.1 Prin ipe . . . 38 4.2.2 MomenttoLo al (M2L) . . . 38 4.2.3 MomenttoMoment(M2M) . . . 39 4.2.4 Lo alto Lo al(L2L) . . . 40

4.2.5 Cal uldelafon tiondeGreen . . . 40

4.3 Dérivéenormaledelafon tiondeGreen . . . 40

4.4 Validation . . . 41

4.4.1 Modi ationdelafon tiondeGreen . . . 41

4.4.2 ComparaisonentreAquapluset formulationsmultipolaires. . . 42

4.4.3 Comparaisonentrelesformulationsanalytiqueset multipolaires. . . 45

4.4.4 Inuen edes ritèresde onvergen e . . . 45

4.5 Con lusion . . . 45

5 Implémentationet performan esde l'algorithmemultipolairerapide 49 5.1 CouplageAquaplus-DPMTA . . . 49

5.1.1 PrésentationduDPMTA . . . 49

5.1.2 Détailsdel'implémentation . . . 50

5.1.3 Résultatssurun orps . . . 51

5.1.4 Résultatssurunensemblede orps . . . 56

5.2 Limites duFMAnon-adaptatifpourunjeu departi ules trèsinhomogène . . . 59

5.3 Algorithmemultipolairesimplié . . . 62

5.3.1 Prin ipe . . . 62

5.3.2 Résultats . . . 63

5.3.3 EmploiduFMASpourévaluerl'élévationdelasurfa elibre. . . 67

5.4 Con lusion . . . 68

II Etude paramétrique de fermes de ré upérateurs d'énergie des vagues 71 6 Inuen e de la onguration des fermes sur leur produ tion énergétique 73 6.1 Obje tifs. . . 73

6.2 Cara téristiquesdesfermesétudiés . . . 73

6.2.1 Ré upérateursdel'énergiedesvagues onsidérés . . . 73

6.2.2 Paramètresdesfermes . . . 75

6.3 Modèle. . . 77

6.3.1 Cal uldelaprodu tiond'énergie . . . 77

6.3.2 Résolutiondesproblèmesdedira tion/radiation. . . 77

6.4 PTO alibréspouruneprodu tionannuellemaximale . . . 80

6.4.1 Fermesàbase triangulaire. . . 80

6.4.2 Fermesàbase arrée . . . 85

6.4.3 Réglagede

bpto yr

àl'é helledelaferme . . . 87

6.5 PTO alibréspourunepuissan emaximaleàlarésonan e . . . 87

6.5.1 Fermesàbase arrée . . . 87

6.5.2 Fermesàbase triangulaire. . . 92

7 Fermes onstruites en sous-unités 95

7.1 Méthodenumériqueemployée . . . 95

7.2 Fermesdedeux unitésdanslesillagel'une del'autre . . . 95

7.2.1 Modèle . . . 95

7.2.2 Unitéisolée . . . 96

7.2.3 Unitésenintera tion . . . 96

7.3 SillagederrièreuneunitédeREV. . . 99

7.3.1 Evaluationdelahauteursigni ativedesvagues . . . 99

7.3.2 Résultats . . . 100

7.3.3 Comparaisonave lesmodèlesdepropagation . . . 103

7.3.4 Inuen edesmodesderésonan etransverse. . . 103

7.4 Fermededeuxunitésdé alées. . . 106

7.5 Con lusion . . . 107

Con lusion etperspe tives 109 A Cal uldu développementmultipolairede lafon tion de Green 119 A.1 Elémentsde al ulpour

G4

. . . 119

Laré upérationdel'énergiedesvagues,ainsiquel'ensembledesEnergiesMarinesRenouvelables (EMR),fonta tuellementl'objetd'unfortintérêtindustriel.Le ontexteénergétiquemondialest en eet di ile et tendu, entre raréfa tion des ressour es pétrolières, ammoindrissement de la onan e a ordéeàl'énergie nu léaire, et ré hauement limatique. Nombrede payseuropéens souhaitentfaireunusagea rudesénergiesrenouvelables,enespérantentirer plusieurstypesde béné es:

 réduireleurempreinte arbone,

 renfor erleurindépendan eénergétique,

 réerunelièreindustrielle vertegénératri ed'emploi[55℄,anderelan erleurs é ono-mies.

Lespolitiquespubliqueset lespolitiquesdere her hesetournentdon verslepassageàl'é helle industrielledelalièredesEMR, ara tériséparlamiseenpla e de"fermes"enmer, omposées deplusieursdizainesdesystèmesderé upérationd'énergie.Lesprojetsàgrandeé hellesontvoués àsedévelopper,demanièreàa roîtrelapartdesEMRdanslemixénergétique,et àréaliserdes é onomiesd'é helle( onnexionauréseau,maintenan e...)permettantderéduirele oûtdukWh. Cettedynamiqueest déjàlargementlan éeenEurope(en ours dedémarrageenFran e)pourle se teur del'éolien oshore.La lière del'énergie des vagues est moins mature, ar plusré ente. Néanmoinsla questiondu regroupementde plusieursdizainesde systèmes houlomoteurs au sein de"fermes"(à l'imagedespar s éoliens)sepose déjà;ellefaitl'objet deplusieursétudes,que e soitdelapartdesbureauxd'études,desdéveloppeursdelogi ielsdesimulation,desdéveloppeurs desystèmes,oudumilieua adémique([15,39,40℄,parexemple).

De même que lesautres énergiesrenouvelables (à l'ex eption dela géothermie),l'énergie des vaguesestunedérivéedel'énergiesolaire.Leterme on entréd'énergiesolaireseraitd'ailleurs plusapproprié.L'énergiesolaireaeneetunedensitéénergétiquede

0.1 − 0.3 kW/m

2

desurfa e terrestre; lorsque elle- i est onvertie en énergie éolienne par le jeu des diéren es de pression, la densité de l'énergie éolienne mise en jeu atteint

0.5 kW/m

2

dans la dire tion perpendi ulaire auvent. Enn,le venttransmet une partiede sonénergieàl'élément liquidelorsqu'ilsoue sur l'o éan, equientraîneune on entrationsupplémentairedel'énergie,quiatteint

2−3kW/m

2

dans ladire tionperpendi ulaireàlapropagationdesvagues[49℄.Lorsquelaprofondeurestimportante, lesvaguesneressententpaslaprésen edufondmarin. En l'absen ede frottements,l'énergieest alorstransportéequasimentsanspertessurdetrèslonguesdistan es.Elleestpartiellementdissipée lorsqu'elleatteint les tes. Le potentiel mondial sur les tesest estiméà

1 T W

. Bien évidem-ment,seuleune inmepartie de etteénergiepeutêtreré upérée. Latendan e a tuelleest don audéveloppementdesystèmesottantsouimmergés,éloignésdes tes,làoùlaprofondeurd'eau estgrande etoùlepotentielénergétiqueest plusimportant(voirparexemplelesystèmePelamis [1℄).

La lière de la ré upération de l'énergie des vagues n'étant pas en ore arrivée à maturité, denombreuxsystèmeshoulomoteurssonten oursde on eptionoudevalidation.Cesétapes s'ap-puientenpartiesurlasimulationnumériquedessystèmes. Cessimulationsnesontpasdestâ hes aisées,et fontappelàdesméthodesde al ul diérentesselonlesystème onsidéréet l'obje tifde lasimulation,qui peutêtre:

 d'estimerl'énergieproduiteparunsystème,  d'évaluerlarésistan eauxétatsdemerextrêmes,

(a) SEAREV[2℄ (b)PELAMIS[3℄

( ) CETO[4℄

Figure1Vuesartistiquesdefermes dediérentssystèmeshoulomoteurs.

 detesterdiérentes stratégiesde ontrlepouroptimiserlefon tionnementdusystème,  d'estimerl'impa td'unsystème surlesétatsdemerautourdelafermeetsurladynamique

sédimentaire.

Etant donné la variété des systèmes mis en jeu, il est impossible d'avoir un outil de simula-tion générique pour l'ensemble des ré upérateurs de l'énergie des vagues. Le typed'intera tions uide/stru ture peut en eet varier d'un système à l'autre. On distingue habituellement trois grandesfamillesdesystèmes.Unepremièrefamilledesystèmes onvertitenénergielemouvement parrapportàuneréféren exed'un orpsex itéparlesvagues(systèmesos illants);lase onde familleré upèregrâ eàuneturbineleuxd'airdépla éparlemouvementdelasurfa elibredans une avité(systèmesà olonned'eauos illante);latroisièmefamilletireprotdudéferlementdes vaguessurunerampepouramenerl'eaudansunréservoirsurélevéeetutiliserl'énergiepotentielle ainsisto kée(systèmes àfran hissement).Lapremièrefamilleest ellequi omporteleplus d'in-dividus; 'est sur elle- i que porte e travailde thèse. On s'intéressera don àla résolution du problèmedetenueàlamerde orpsnon-déformables.

Le asdesfermesprésentedesproblématiquesspé iquesquidoiventêtreétudiées.Seposeen premier lieu le problème des intera tions entre systèmes houlomoteurs.Dans le as de systèmes os illantsex itésparlahoulein idente,lesvagues rééesparlaprésen e dessystèmes (rayonnées du fait de leurs mouvements, ouréé hies) doivent être onsidérées.Ces vagues vont en eet se propagerd'unsystèmeàl'autre,modiantlaprodu tiond'énergiedanslaferme.Onparleraalors d'intera tions onstru tivessi laprodu tion moyennepar orps danslaferme est plusélevée que elled'un orpsseul,et d'intera tionsdestru tivesdansle as ontraire.L'autrequestion est elledel'impa tdesfermessurlesétatsdemerdansleursillageetsurlespro essus tiers.S'il est ommunémentadmis quel'extra tiond'énergie parunsystème seulest insusantepour mo-dierlesétatsdemer,laquestionfaitplusdébatdansle asdefermesdeplusieursdizainesd'unités.

de paramètres mis en jeu est très élevé, et il n'est pas envisageable de résoudre es problèmes parl'expérimentation, saufpourquelquessituations parti ulières. Lefon tionnementdelaferme dépend eneet:

 delagéométriedessystèmesmisenjeu,

 deleurstratégiede ontrle(quijouesurleurréponseàlahoulein idente),  deladispositiondessystèmesauseindelaferme,

 del'environnement(états demer,bathymétrie).

Lesquestionsposées on ernentle asdelafermedanssonfon tionnementopérationnel(àl'inverse des asdesurviedessystèmesaux onditionsdemerextrêmes),l'obje tifétantdedéterminerdes ongurations de fermes minimisant les intera tions destru tivesentre systèmes et/ou ayant un impa tlimité. Dans e as, lamodélisationnumérique peutsebaser sur deshypothèses simpli- atri es; on sepla era dans le adre de la théorie des uides parfaits, qui onsidère la vis osité duuide ommenulle. Cetteapproximationest valideen l'absen ed'impa ts oudemouvements violentsàmêmedegénérerdelaturbulen e.L'é oulementestsupposéirrotationnel, equipermet dese rameneràun problèmepotentiel.D'autrepart, onajoute plusieurshypothèsespermettant delinéariserleproblème:

 faible ambruredelahoule,

 dépla ementsdefaibleamplitudedessystèmesottantsautourdeleurpositiond'équilibre,  systèmed'extra tiond'énergielinéaire, 'est-à-direexer antune for ederappel

proportion-nelleaudépla ementdu orpset unefor ed'amortissementproportionnelleàsavitesse. Dans le adre de es hypothèses,il est alors possible derésoudre numériquement leproblème de tenueàlamerd'unensemblede orpsparuneméthodedessingularitésprenanten omptela pré-sen edelasurfa elibre. La onnaissan edesmouvementsdes orpsottantspermetderemonter àl'énergieproduiteparlafermeàunétatdemerdonné.

Le logi iel Aquaplus, développé au Laboratoire de Mé anique des Fluides (LMF) de l'E ole Centrale deNantes (ECN)depuis1988, permet larésolution de e problème parlaméthode des singularités[41℄. Cetteméthode,baséesurleséquationsd'Euler,évaluelavitesseduuidesurla surfa eimmergéedes orpsottantsuniquement.Seulunmaillagesurfa iqueestalorsné essaire, e quipermetderéduirelenombred'in onnues;en elalaméthodedessingularitésestuneméthode rapide.LesméthodesbaséessurleséquationsdeNavier-Stokes,plus omplètes,exigenteneetune résolutiondanstoutledomaineuide.Employeruneméthoderapideestintéressantd'unpointde vue"bureaud'étude", ar elapermet detesterungrandnombrede ongurationsdefermes en untempsde al ulraisonnable.Lesfermesdesystèmeshoulomoteursétantunobjetnouveaupour lequellasomme des onnaissan es est limitée, il n'existe paspourlemoment derèglesgénérales de on eptionpourlespar s.Laréalisationd'un grandnombred'étudesnumériques n'enest que plusné essaire.

Néanmoins,letempsde al ulliéàlaméthodedessingularitésévolueave le ube(méthodede résolutiondire te) oule arré(méthode de résolutionitérative) dunombred'in onnues. Ces mé-thodes,rapideslorsqu'un orpsseulesttraité(maillagefaisantintervenirde250à500in onnues), peuventdevenirdi ile àutiliseràl'é helled'uneferme, notammentsiunbalayageparamétrique estréalisésurlagéométrieoulepositionnementdes orps.Ilestdon indispensabled'a élérerla résolutionduproblèmedetenueàlamerparuneméthodeappropriée.

C'est l'objet de e travail de thèse. La première partie détaille l'implémentation d'un algo-rithmemultipolairerapidepourl'a élérationdelarésolutiondel'équationintégrale.

Les diérentes méthodes de modélisation de fermes sont tout d'abord passées en revue. On détaille lesmodèlesanalytiques existants; es modèles sont fondamentaux, ar ils ontpermis de prouverl'existen ed'intera tions onstru tives.Néanmoins,ilsfont ha unappelàdeshypothèses simpli atri es, equi onstitueunelimitation.D'autrepart, esmodèlesmanquentdeexibilité dansl'optiquedudéveloppementd'unoutildesimulationaussigénériquequepossible,permettant dereprésenter des orpsde formearbitraire.On s'intéressedon auxdiérentes méthodes numé-riquesutilisables,quiserépartissententreméthodesdessingularitésetméthodesdepropagation. Lalimitationdesméthodesdepropagationdanslareprésentationdesintera tionsuide/stru ture est miseen éviden e. Diérentes méthodesdes singularités, présentantplusieursniveaux de non-linéarités, sont présentées. Etant donné la omplexité du problème envisagé, il apparaît omme

raisonnabled'utiliser uneméthode omplètementlinéaire.

Onrappelleleséquationsquirégissentlemouvementd'un orpsex itéparunehoulerégulière, endressantlebilandesfor esmisesenjeu.Ceséquationssontensuiteexpli itéespourle asd'un ensemblede orpsottantsayant ha ununseuldegrédeliberté.

Le al ul desfor es hydrodynamiques né essitelarésolution dupotentiel desvitessesen tout pointdessurfa esdes orps.Onétablitleproblèmeauxlimites orrespondant.L'utilisationdes for-mulesdeGreenpermetderéduireleproblèmevolumiqueàunproblèmesurfa ique.La inématique dumouvementdes orpsestreprésentéeparunedistributiondesingularitésappelées"sour es"sur la surfa edes orps. Onintroduit une fon tionde Green harmonique et satisfaisantla ondition desurfa elibre;onobtientalorsune équationintégraleàrésoudrepour onnaîtrelesdensitésde sour es, àpartirdesquelles lepotentieldes vitessespeutêtre al ulé en n'importe quel pointdu domaineuide. Lelogi ielde tenue àlamer Aquaplus[41℄ dis rétiselessurfa es enun ensemble de panneaux et résout la forme matri ielle de ette équation intégrale. Pour ela, lafon tion de Green et sesdérivées partielles sont préalablement al uléespour haquejeu dedeux panneaux. Ilapparaît d'aprèslalittératureque lorsque ungrandnombredepanneaux est misenjeu, ette résolutionpeutêtrea éléréeparl'algorithmemultipolairerapide[58℄(FastMultipoleAlgorithm, FMA).Cetalgorithmemènedemanière onjointele al uldelafon tiondeGreenetlarésolution del'équationmatri ielle,à onditiond'êtreutiliséauseind'unsolveuritératif.Unsolveurdetype GMRes[81℄est don implémenté.

L'algorithmemultipolaire rapide sebase sur le développement multipolaire de lafon tion de Green.Lesformulationsde edéveloppementexistantesdanslalittérature[90℄sontétenduespour pouvoirles employerausein d'unalgorithme multipolairetridimensionnel, e quisera né essaire si des systèmes de forme allongés verti alement sont représentés. Ces formulations sont validées de manièresystématique, par omparaisonave lesformulationsd'origined'Aquapluset ave des formulationsanalytiques.

Une distribution pré-éxistante de l'algorithme multipolaire est implémentée dans Aquaplus. L'outil obtenu est de nouveau validé à l'aide de résultats numériques et analytiques. Cet outil montre des performan es entemps de al ul qui ne sont passatisfaisantes,ainsi que des limita-tionssérieusesentermedepré isionlorsquele asdesfermesest traité.Ces problèmestiennentà plusieurs auses:une onvergen edi iledelapartie os illantedudéveloppementdelafon tion de Greenpourlespetitespériodes dehoule; l'emploid'uneimplémentationduFMAquinepeut pas s'adapter lo alement à la densité spatiale des in onnues (alors que dans le as des fermes, les in onnues sont distribuées de manière très dispersée et inhomogène); la taille des problèmes onsidérés,troppetitspourqueleFMAsoitpleinemente a e.Uneimplémentationsimpliéedu FMA,adaptéeau asdesfermes,estdon réalisée.Lesperforman essontbienmeilleures,enterme de pré ision, detemps de al ul et de besoin de mémoire,même si elles peuvent en ore s'avérer insusantesselonlasimulation onsidérée.

Danslase ondepartie,l'outilobtenuestmisen÷uvrepourl'étudeparamétriquedefermesde ré upérateursdel'énergiedesvagues.

La premièreétude réaliséeévalue l'inuen ede la distan e de séparationentre orps au sein d'une ferme sur sa produ tion d'énergie annuelle. Deux types de ré upérateurs de l'énergie des vagues sontétudiés, ha un n'ayant qu'un seul degré de liberté. Cette étude souligneles prin i-paux phénomènes mis en jeu dans laferme (masquages,fo alisations,résonan es) et la manière dontils dépendentdeladistan e entre orps,de ladisposition des orps danslafermeet deleur nombre. On identie des ongurations pour lesquelles les intera tions à l'é helle annuelle sont légèrement onstru tivesenhouleirrégulièremonodire tionnelle.

Dansunese ondeétude,onévaluel'impa tdes ongurationslespluse a essurlesétatsde merdansleursillage.Cetteétuderévèleunimpa ttrèslimité,inférieurà eluigénéralementestimé parlesméthodesdepropagation; elaestdûàunemodélisationplus omplèteetplusréalistedes intera tionsuide/stru ture.Ons'intéresseauxintera tionsentrepetitesunitésdequelques orps situéesdanslesillagel'unedel'autre.Ilapparaîtqu'uneferme omposéedeplusieurspetitsgroupes de systèmeshoulomoteurs éloignéslesunsdes autresest pluse a equ'uneferme onstruiteen unseulgrandgroupe.

Résolution a élérée du problème de

Modélisation des fermes de

ré upérateurs de l'énergie des vagues

Le se teur de la ré upération de l'énergie des vagues n'ayant pas en oreatteint le stade in-dustriel,ilexisteunetrèsgrandevariétédesystèmesd'extra tionproposés.Fal ao[45℄résumede manièrequasi-exhaustivelesdiérentes familles de ré upérateursde l'énergiedes vagues(REV). Unedesnombreusesmanièresde lassier es systèmesestlasuivante :

 "Terminators": e terme désignelessystèmes degrandes dimensionsdans ladire tion per-pendi ulaireà elledelapropagationdesvagues.Ilsfontdon "barrage",etonattendd'eux qu'ilsmodientsigni ativementlesétatsde merdansleursillage. Onpeutdonner omme exempledesystème os illantle élèbre" anarddeSalter"[82, 78℄.Lessystèmes par déver-sement(WaveDragon[5℄,SSG [6℄)fontaussipartiede ettefamille.

 "Lineators": essystèmesontuneformeélan éeparallèlementàladire tiondepropagation delahoule.Leplus élèbresystèmede ette familleest Pelamis[1℄.

 "Point-absorbers" : es systèmes sont des otteurs de petites dimensions par rapport à la longueurd'ondedelahoulein idente(Wavebob[7℄,PowerBuoy[8℄,CETO[9℄...). Leniveau deprodu tiond'unotteurindividuelestfaible;pouravoiruneprodu tiond'énergie signi- ative,ilestdon né éssairederegrouperungrandnombredesystèmesauseind'uneferme. L'ordre de grandeur des espa ements envisagés entre systèmes est de 10 fois leur taille. Il existe ependant ertains on epts(WaveStar[10℄,Man hester Bobber[22℄)quimettenten jeu desdistan esbeau oupplus ourtesentreotteurs.

Lesméthodesdemodélisationdesfermeshoulomotri esvarientselonlessystèmes onsidéréset le stadedu projet. Lamanièredontl'énergie est extraite parlessystèmes onditionneenpartie les intera tionsuide/stru ture.Une modélisationadaptéeausystèmed'extra tion(PowerTake-O, PTO)doitdon être hoisie.L'appro heusuellepourlessystèmesos illantsestde onsidérerque ledépla ementdusystème oud'undesesélémentsparrapportàuneréféren eestamortiparun systèmedetype"piston".Ce pistonpeutêtreungénérateuréle trique,unmoteurhydraulique... Selonle niveaude réalismeet de omplexité requisdans lamodélisation,le omportement de e pistonpeutêtrelinéaireounon-linéaire,notammenten fon tiondelastratégiede ontrle. Dans e dernier as, une modélisation desintera tions uide/stru ture dans ledomaine temporel sera indispensable.

Danslasuitede e hapitre,onprésentesu in tementlesdiérentesméthodesdisponiblesen modélisationnumériquepourtraiterdesintera tionsdevaguesdanslesfermeshoulomotri es,ainsi queleurslimitations.Cesont eslimitationsquisontàl'originede etravaildethèse. L'ensemble de es méthodes a pour obje tif de représenter les REV dans le adre de leur fon tionnement opérationnel, et non pour les as d'évènements extrêmes. Les eets liés à la vis osité ou à la turbulen esontdon onsidérés ommenégligeables.

Ces méthodes sont présentées selon les é helles auxquelles elles s'appliquent, et selon leurs obje tifs. A l'é helle dela ferme, l'obje tif est d'évaluer l'eetdes intera tions sur laprodu tion globaled'énergie.Ceteetest souventdé ritparle"q-fa tor",quiestleratiosuivant:

q =

Produ tiond'unefermede

N

ré upérateurs

N ×

Produ tiond'unré upérateurisolé

(1.1)

Si

q > 1

,lesintera tionssont onstru tivesetpermettentàl'eetdegroupedelaferme d'augmen-terlaprodu tiond'énergiepar orps.Cefa teurvarieave lalongueurd'ondeetl'organisationde laferme.Si

q < 1

,alorslesintera tionsdestru tivesdeviennentprédominantes, ertainssystèmes masquantlahouleauxautres.

Al'é hellerégionale,on her heraàévaluerlerledelafermedanslamodi ationdesétatsde mer danssonsillageet soninuen e surl'hydrodynamiqueet lespro essus tiers.Ils'agitdon laplupart dutemps d'uneappro heenvironnementale.Cependant, ette mesurede l'atténuation delaressour esurungranddomainepeutaussipermettredetraiterdemanièreapproximativeles intera tionsentre"grands"REV (detype"terminator")ouentrefermes.

1.1 Modélisation à l'é helle de la ferme

1.1.1 Modèles analytiques

Leterme analytique renvoie i ià l'absen e dedis rétisationdes orps ottants et deleur en-vironnement (fond, surfa e libre) en ensemble d'in onnues. Il est à noter que si la modélisation des fermes est analytique, elle sebase parfois sur desrésultats on ernantle orps isolé obtenus par une méthode numérique. Ces modèles s'appuient sur la théorie linéaire et harmonique des é oulements potentiels (se tion 2.1), en y ajoutantdes hypothèsesspé iques. Leur prin ipe est d'évaluerlepotentieldesvitessesauniveaudes orpsottants,and'endéduirelesfor esquileurs sontappliquées.Larésolutionduprin ipefondamentaldeladynamique,mettantenjeu lesfor es hydrodynamiques et la for e appliquée par le power take-o, permet de onnaître la puissan e produite pour haquepériode de houle. On pourra se référer à Falnes [48℄ pour de plus amples détails.

Demanièregénérale, es modèles ontpermis dedémontrer lepotentield'extra tiond'énergie que l'on peut atteindre en regroupant les orps en fermes, ainsi que la possibilitéd'intera tions onstru tives[33, 44,46℄. Néanmoins, étantdonné leur omplexité de formulationset les restri -tionsqu'ilsimposent,au unoutilgénéralisteetutilisabledansl'industrien'aétédéveloppéàpartir de esmodèles.

1.1.1.1 Multiples attering method

Cetteméthode,développéeparOhkusu [76℄, estune méthodeexa te pourévaluerles intera -tionsentre orps.Ellepermet detraiterun nombrequel onque de orps axisymétriquesdisposés demanièrearbitraire,etsebase surlespropriétéshydrodynamiquesd'un orps isolé.Leprin ipe est desuperposer lahoule in identeave un ertainnombredehoulesrayonnéeset dira téesde plusieursordres;il est bien entendu né éssaire detronquer àunordredonné. Cetteméthode est utiliséeparMavrakosetM Iver[71℄ ommeréféren epourévaluerlapré isiondesapproximations dé ritesdanslesse tions1.1.1.2et1.1.1.3.

Laprin ipalelimitationde etteméthodeestqu'ellenepeuts'appliquerqu'àdessystèmes axi-symétriques.D'autrepart,uneétudede onvergen eestné essaire,andes'assurerqu'unnombre susant d'ordres de houles dira tées et rayonnées,ainsi qu'un nombresusant d'intera tions, sontpris en ompte.

1.1.1.2 Plane wave approximation

Le prin ipe de ette approximationest de onsidérer que les vagues rayonnées et dira tées par un orpspeuventêtre représentéesloin de elui- i pardesvaguesmonodire tionnelles.Cette

méthodeestvalablelorsquel'espa emententresystèmesestgranddevantlalongueurd'onde;dans es onditions,lahouleapparaît planelorsque lasour ede sonrayonnementoude sa dira tion esttrèséloignée.LaméthodeoriginaledeSimon[85℄négligeantle hamplo al,il estpossibled'y ajouterdestermes de orre tion[72℄. La omparaisondesrésultatsde ette méthode ave la mé-thodede"multiples attering"aprouvésavaliditédanslaplupartdes as[71℄.Les ara téristiques hydrodynamiquesd'un orpsisolédoiventêtredéterminéesavantd'utiliser etteméthodepourune ferme.

La onditionsurl'espa emententre orpsrenddon etteméthodeinappropriéepourles situa-tionsoùles orps sontrelativementpro hes.Or 'estdans essituationsquelesintera tions sont lesplusforteset méritentleplusd'être étudiées.

1.1.1.3 Point absorber approximation

L'approximation"pointabsorber"supposequeles orpssontpetitsdevantlalongueurd'onde. Par onséquent,les hamps dira tésautour desstru turessontnégligés.On trouveune des pre-mièresutilisations de ette approximationdans [33℄. Ces travauxontpar lasuite été généralisés [50, 47℄. Commesouligné parMavrakoset M Iver [71℄, ette méthode est moins pré ise dans le al ul des intera tions entre orps que la méthode "plane wave approximation". Filtzgerald et Thomas[51℄utilisent etteaproximationpourévaluerrapidementlesintera tionsdansdesfermes desystèmesdisposésdemanièreirrégulière.Celapermet derésoudreunproblèmed'optimisation pour onnaîtrel'organisationidéaledelafermepourunepériodedehouledonnée.

Lorsque l'on étudie les ara téristiques d'un REV, on évalue son omportement sur tout le spe tredehoule,etnonpassuruneuniquelongueurd'onde.Par onséquent ette approximation neserapastoujoursutilisable.DeplusunREVos illantauratendan eàrésonerlorsquesataille etlalongeurd'ondeontlemêmeordredegrandeur.Cetteapproximationnepermetpasdetraiter e as,pourlequellaprodu tiond'énergieestmaximale.

1.1.1.4 Hydrodynami intera tionsmethod

CetteméthodeestbaséesurlestravauxdeKagemotoetYue[64℄. Elleexprimelepotentieldu hampin ident(qui arriveà un ylindre), ainsi que eux des hamps dira téset rayonnés(qui s'enéloignent) ommedesproduitss alairesdedeuxve teurs:

 unve teurdefon tionsdel'espa ereprésentantl'ensemble desvaguesquipeuvent s'appro- her/s'éloignerdu ylindre

 unve teurde oe ientsdepondération

Lesintera tionsentredeux ylindresduesauxvaguesrayonnéesetdira téess'évaluentalorspar l'emploidematri esdetransfert,quipermettentde"propager"leve teurdefon tionsdel'espa e du orpsinuençantau orpsinuen é.Cetteméthodeestdé riteendétailparChildetVenugopal [36℄ qui l'appliquentà une ferme de deux ylindres. Dans [37℄, ette méthode est utilisée sur un ensemblede5 ylindres,andetraiterplusieursproblèmesd'optimisation.Kashiwagi[65℄amisen éviden eunebonne orrespondan eentre ette méthodeetunerésolutionnumériqueparméthode HOBEM(voir1.1.2.1),pourle asd'unensemblede4 ylindres.

Cette méthode est pourle moment di ile àappliquer à un orps de forme arbitraire. Dans [36,37℄elleestuniquementdéveloppéepourun ylindre(leséquationsmisesenjeusontdiérentes surlefonddu ylindreetsursaparoiverti ale).SelonMavrakosetM Iver[71℄,uneautrelimitede etteméthode(en omparaisonave laméthode"multiples attering")est sonbesoindemémoire important,dûausto kagedesdiérentsve teurs.

1.1.1.5 Ferme densede petits orps

Une théorie spé iqueaux fermes de petits orps aété développée par Garnaudet Mei [54℄, dansl'optiquedetraiterlessytèmes omposésdebouéespro heslesunesdesautres.Lesbouéesen questionsontdes ylindrespilonnantsprésentantunfaibleenfon ement.Al'é hellema ros opique,

un "ratio d'o upation" ara térise la densité surfa ique de la ferme (sur la surfa e libre). Les hypothèsessuivantessontfaites:

 l'inertiedespetits orpsest faible

 l'amplitudedesmouvementsest faible,d'oùuneradiationnégligeable

 lesfor esdominantessontalorslafor ederappelhydrostatique,laréa tiondupowertake-o etlafor ed'ex itation.

Alorsune onditionauxlimites peuts'é riresurlasurfa elibre,liantlepotentieldesvitesses,les ara téristiquesdupowertake-o,etle"ratiod'o upation".Celapermetlarésolutiondu poten-tieldanslaferme,enprenanten omptelaprésen edessystèmes.

Cette méthode permet d'avoir fa ilement des informations sur la produ tion de la ferme au niveauma ros opique.Cependantleshypothèsesutiliséesnepermettentpasuneétudedétailléeet pré iseauniveaude ha undes orps.Cetteméthodeestdon pluttunoutildepré-dimensionnement delafermedanssonensemble.

1.1.2 Méthodes des singularités (ou méthodes des éléments frontières)

Tout omme les méthodes de la se tion 1.1.1, es méthodes sont basées sur la théorie des é oulementspotentiels.Elles sonttrès largementutiliséesdansle se teurdel'énergie desvagues, arplusexiblesquelesméthodesanalytiques,pourlesraisonssuivantes:

 ellespermettentdereprésenterlasurfa ede orpsdeformearbitraireparunensemble d'éle-ments(panneauxplansou ourbes),

 ellestraitentindiéremmentlesespa ementsréguliersouirréguliersentre orps,

 ellesn'ajoutentau uneapproximationau adregénéraldelathéoriedesé oulements poten-tiels, e quiélargitleur hampd'appli ation.

Larésolutiondesproblèmesdedira tionetderadiationestfaitesurlasurfa edes orps,etnon dansl'ensembledudomaineuide.Cesontdon desméthodestrèsrapidessionles ompareà elles qui résolvent omplètementleséquationsdeNavier-Stokes, arlemaillaged'unesurfa edemande moins d'in onnues que elui d'unvolume.Cependant, étantdonnéque lesmatri es dessystèmes à résoudre sont denses, es méthodes présentent une omplexité numérique en

O(N

2

_{) − O(N}

3

₎

. Letemps de al ulaugmente don très rapidementave lenombred'in onnues

N

(voirlase tion

3.2.3).

Lorsquelesintera tionsuide/stru turesontlinéarisées,lesdeuxapproximationssuivantessont faites:

 Lesmouvementsdes orpssontsupposésavoirunefaibleamplitude.Onfaitalorsl'hypothèse quelasurfa emouilléedes orpsestlamêmeau oursdutemps;lagéométrie duproblème restedon in hangée.

 La ambruredelahouleestsupposéefaible.

1.1.2.1 Domainefréquentiel

Leshypothèses onsidéréesdans egenredemodèlessontpluslargementdétailléesdansla se -tion2.1.1;lesintera tionsuide/stru turesontlinéaires.Lelogi ielbasésur etteméthodequiest leplusemployéenbureaud'étude estsans ontesteWAMIT [95℄. Denombreusesétudesré entes surplusieurs"point-absorbers"enintera tionl'utilisent[80,22,39, 40℄pourrésoudrelepotentiel desvitessesetendéduirelesmouvementsde orpsottantdanslesvagues.

LeLaboratoiredeMé aniquedesFluides del'E oleCentraledeNantes développequantàlui lelogi ielAquaplus[41,42℄, quifaitl'objetde etravaildethèse.Quelquesétudesparamétriques sur des fermes faisant varier la distan e entre orps ont été réaliséesgrâ e à e logi iel[63, 15℄. Celaestpossiblenotammentgrâ eàsarapiditélorsquelenombredepanneauxn'estpastropélevé (

≈ 10

3

).

Cette méthode présente une version de base appelée Constant Panel Method (CPM) et une versionamélioréeet plusrapide,HigherOrderBoundaryElementMethod (HOBEM,[87℄).Dans laméthodeCPM,lessurfa esdes orpssontreprésentéespardespanneauxquadratiquesplans,sur ha undesquels lepotentieldes vitessesest onstant. Lareprésentation de e potentielest don dis ontinue.Dans laméthodeHOBEM, lessurfa es des orpssontdé oupées en"sous-surfa es",

elles-mêmesreprésentéespardespanneauxquadratiques qui peuventêtre plansou ourbes.Cela permet une représentation de la géométrie plus réaliste, pour un nombre d'in onnues bien plus faible,et apporteune a élérationimportante.Lepotentieldesvitessesestalorsmodéliséde ma-nière ontinue sur le orps,en utilisant des splines [95℄, ou d'autres représentations omme des fon tionsd'interpolationpolynomiales [91℄.Anoterquedans ettedernièreréféren e,laméthode HOBEM est a éléréeparunalgorithme multipolairerapide; onretrouveaussi e prin ipe dans [88℄et [56℄.LaméthodeHOBEMn'estpasimplémentéedansAquaplus.Une méthode d'a éléra-tionpourlesproblèmesàgrandnombredepanneauxn'en estdon queplusné essaire.

Cesméthodespermettentausside onnaîtrel'amplitudedel'élévationentoutpointdelasurfa e libre,moyennantuneétapedepost-traitementbaséesurlesrésultatsdel'équationdumouvement des orpsetsurlespotentiels orrespondantsauxdiérentsproblèmesdedira tion/radiationsur lasurfa ede ha undes orps.

1.1.2.2 Domainetemporel

L'emploi de modèles temporels permet deréaliser des simulations plusréalistes, prenant par exempleen ompte :

 lefon tionnementnon-linéairedupowertake-oet dusystème de ontrle[18℄,

 lesintera tionsuide/stru turenon-linéaires,dansle asdegrandsdépla ements[59℄(mais toujoursdansle adredesuidesparfaits, 'est-à-diresansvis ositéniturbulen e),

 l'inuen edutiragedesphasesaléatoireslorsdel'utilisationd'unehouleirrégulièreenentrée d'unsystèmenon-linéaire[83℄,

 lefon tionnementdesystèmesdesto kagesdel'énergie [14℄.

Dans etteoptique,leLMFadéveloppélelogi ielA hil3D[38℄, quipermet d'obtenirlesréponses impulsionnellesdes orps ottants.Lesintera tionsuide/stu ture sonti iaussilinéaires.Là en- ore,lessurfa es sontreprésentéesparunensemblede panneauxplans. Cetteméthodeest néan-moins très demandeuse en temps de al ul;par onséquent,peu d'études sur plusd'un système ontpuêtreréalisées([16,17℄parexemple).

L'appro he dé rite dans [60, 59℄ est prometteuse pour la modélisation d'intera tions uide/ stru turenon-linéaires.Cetteméthode s'appuiesurlarésolutionentemporelduproblème poten-tielauxlimitesdansunbassindehoulenumérique("numeri alwavetank",NWT).Lesparoisdu bassin(in luantlaplaged'absorption),lasurfa edu orpsimmergéetlasurfa elibresont dis réti-séespardesélémentsd'ordreélevé.Iln'yadon pasd'hypothèsesrestri tivesquantàl'amplitude desmouvementsdu orps.Dans etteméthode, seuleunepetitepartie desin onnuesestdédiéeà lareprésentation dela surfa edu orps.Modéliserune ferme au lieu d'un orps seul demandera don untempsde al ulsupplémentaireminime;pourlemoment,seulesdesfermesdedeux orps ontétéétudiées endeuxdimensions.Ilest intéressantdenoterqu'unbassinnumérique dumême typearé emmentété a élérégrâ eàl'emploi d'uneméthodemultipolaire [52, 53℄, pourétudier lapropagationdevaguessurunfond omplexe.

Ces méthodes apportent ungainde réalisme important.Cependant, ellessont bien plus oû-teuses en temps de al ul que les méthodes fréquentielles. Elles sont don adaptées aux études réaliséespourdesprojetsenphaseavan ée,unefoislaplupart desétudesparamétriquesou d'op-timisationee tuées.

1.2 Modélisation à l'é helle régionale

L'extra tion d'énergie par un système seul est en général perçue omme sans impa t sur les pro essus tiers.Iln'envapasdemêmelorsquedesfermesétenduessontenvisagées,notamment lorsqu'ellessont omposéesdesystèmes "terminators".Lesméthodesdites"de propagation"sont alorsutiliséesand'évaluerlamodi ationdesétatsdemersinduiteparlaprésen ed'uneferme oud'unREVdegrandesdimensions.

Commedé ritdans[20℄, esmodèlesserépartissentendeux atégories:

 Lesmodèlesspe traux,dontleplusemployéestsansdouteSWAN(SimulatingWAves Near-shore,[11℄).Lesmodèlesde etypeévaluentl'évolutionduspe tredehouleenfon tiondes

diérentsmé anismesde roissan e(vent)et dedissipation(frottementsurlefond, déferle-ment,moutonnement).

 Lesmodèlestemporels baséssurleséquationsdeBoussinesq[69℄ ousurleséquations Mild-Slope[23℄,quidé riventl'évolutiondesvagueseneaupeuprofonde,enmodélisantla dira -tionet laréfra tion.

L'extra tion d'énergie parles REV peut être implémentéede diérentes manières.Dans les pre-mières études [73, 93℄ l'inuen e des systèmes est représentée par l'utilisation de oe ients de transmission et d'absorption sur leurs frontières. Il s'agit là d'une appro he di ilement justi-able, qui ne prend pas en ompte laphysique desintera tionsuide/stru ture. Onest don en droitdesedemanderquelleestlavaliditédesrésultatsobtenusave egenredeméthodes,d'autant qu'iln'existepasde omparaisonave desdonnéesexpérimentales.

Beelset al. [21℄ proposentune appro he amélioréepour le as d'une fermede WaveDragons (systèmesàfran hissement).Lesdiérentes partiesdusystèmesontreprésentéesparunjeu d'élé-mentséponges ara tériséspardes oe ientsderéexionetd'absorption.L'absorptiond'énergie reproduitlaphysiqueduWaveDragonparunefon tiondéterminantlaquantitéd'eau"montant" dans leréservoir ( ette fon tion a été évaluée expérimentalement). Cette grandeur est supposée indépendantedelapériodedelahoule,ainsiquel'énergieproduite.

Dans[94,77℄, desos illateursrésonantssontétudiésmaisen oreunefois ave uneabsorption d'énergie indépendante dela période, equi est in orre tpour e typede système. Pour amélio-rer etteappro he,Alexandreet al. [13℄ présentent l'implémentationdans SWAN d'unefon tion d'absorption"analytique"baséesurlapériode.Cettefon tionpermetdemodéliseruneabsorption d'énergieoptimale:onsupposeque

75%

del'énergieestextraite;lapériodepropredusystèmeest a ordéeàlapériodedepi del'étatdemer onsidéré.

Néanmoins esméthodesne permettentpasune représentation orre tedelamodi ationdu hampdevaguesdueàl'absorptiond'énergie, arlesintera tionsuide/stru turenesontpas plei-nementmodélisées.Les hamps rayonnéset dira tésnesontdon pasreprésentés. Ilendé oule unmauvaise estimationdelarépartitiondelaressour ehoulomotri edanslaferme; l'estimation del'énergieproduiteest don probablementerronée.

Uneappro heplusappropriée pour prendreen ompte l'aspe t résonantdesystèmes detype FO3estprésentéeparBeels[20℄. LesFO3sontdesplateformessupportant21bouéespilonnantes ( haquesystème peutdon être onsidéré ommeune "mini-ferme").Une fermede9plateformes est étudiée,en ombinantméthodeBEM etméthodedepropagation:

 l'absorptiond'énergied'unFO3 estévaluée enutilisantWAMIT

 lesFO3sontimplémentésdansunmodèleMild-Slopeensupposantquelesvaguesrayonnées par haquesystèmesontpurement ir ulaires.Ledéphasageetl'amplitudede esvaguessont obtenusàpartirdeWAMIT.

 les hampsdevaguesrayonnésetdira téssontsuperposés.L'énergie produiteparunFO3 est al uléeparrègledetroisentrelahauteurdesvaguesdevantleFO3etlaprodu tiond'un FO3isolépourunehouleunitaire.

Cetteappro he omportedeuxlimitations.Toutd'abordle hamprayonnéparunFO3est proba-blement plus omplexe qu'unehoule ir ulaire, étantdonné lenombrede otteurset leurs inter-a tions.D'autrepart,seulementunnombrelimité desuperpositionssontréalisées, e qui onduit àunlégerbiaisdansl'estimationdelahouledevant haquesystème.

1.3 Con lusion

La modélisation de fermes de REV par méthodes analytiques a démontré, dès le début de e se teur de re her he, l'intérêt de onstituer des fermes. Ces méthodes manquentnéamoins de exibilitépourêtreutiliséesdemanière ouranteenbureaud'études.Quantauxméthodesde pro-pagation, elles ne permettent pas de résoudre orre tement la physique du problème. Elles sont don inadaptées,àmoinsquel'onpuisseyimplémenterles ara téristiquesdesREVdelamanière laplus omplète possible: hampdira té, hamprayonné,fon tiond'extra tiondel'énergie.

L'appro he qui semble laplusappropriée pourestimerlaprodu tion d'uneferme deREV en intera tions, tout en réduisant le nombred'hypothèses simpli atri es, est l'emploi de méthodes

des singularités. Ces méthodes sontdéjà largement employées dans le domaine fréquentiel; elles présentent ependantdestempsde al ulen oretroplongslorsqu'unefermeestétudiée;lenombre totald'in onnuesest proportionnel au nombre de orps enjeu. Orle temps de al ul évolue gé-néralement ave le arré ou le ube du nombre d'in onnues. Une a élérationsigni ative de la résolutiondesproblèmesdedira tionet deradiationest don indispensable.

Depuis quelquesannées,l'emploi desméthodes multipolairess'étendàl'a élérationde la ré-solutiondediérentsproblèmesen hydrodynamique.Ce travail dethèse aura don pour obje tif l'implémentation et l'utilisation d'une méthode de e type au sein du ode potentiel Aquaplus, dansledomainefréquentiel.

Des ription mé anique d'un

ensemble de orps ottants

Ce hapitreposelesprin ipaleshypothèsesutiliséesdanslamodélisationdesintera tionsuide/ stru turedansledomainefréquentieletdé ritlesfor esauxquellessontsoumislessystèmesex ités parune houleharmonique.

2.1 Modélisation de l'é oulement

2.1.1 Hypothèses

On se pla e dans le adre de la théorie linéarisée des é oulements potentiels. Le uide est dit"parfait", 'est-à-direquel'on onsidèresa vis osité ommé négligeable.Cettethéoriepermet lamise enoeuvre de méthodes numériques rapides; on évalue en eet lesmouvementsde orps ottantsen déterminant la pressionsur la surfa edes orps seulement (et non pas dans tout le domaineuide).Cetteméthodeestadaptéepourle asdeREVsdansdes onditionsdeprodu tion normale,maisnedoit pasêtreutiliséepourdes as non-linéaires, ar leserreurspeuventdevenir signi ativeslorsquelesnon-linéaritéssontimportantes.

L'eauestmodéliséeparunuideetin ompressible.Lesvitessesdériventalorsd'unpotentiel

Φ

. Onsupposequelesmouvementsontuneamplitudefaiblerelativementàlalongueurd'ondedela houlein idente.De même,la ambruredesvaguesest onsidérée ommefaible. L'é oulementest alorssupposéirrotationnel.Dans es onditions,onutiliserala onditiondesurfa elibrelinéarisée (équation2.4).Toutaulongde etravaildethèse,les orps onsidérésnesontpasdéformables.

Onsepla edansle adredefermesdeREVsengrandeprofondeur.Dansle adrede ettethèse, onsituedon leproblèmeenprofondeurinnie.Leproblèmeayantétélinéarisé,ons'intéresseàla réponsestationnaire,depulsation

ω

.Lepotentieldesvitessesautemps

t

peutdon s'é rire:

Φ = Re[φe

−iωt

_]

(2.1)

ave

i

2

_{= −1}

.

2.1.2 Problème aux limites

Selon eshypothèses,l'é oulementestrégiparl'équationdeLapla e(équation2.2).Onajoute à etteéquationles onditionsauxlimitesquipermettentd'obtenirleproblème omplet(voir[74℄):

∆Φ

= 0

danstoutledomaineuide (2.2)

∂Φ

∂n

=

−

→

V

k

.−

→

n

entoutpointdelasurfa e

S

k

de haque orps

k

(2.3)

∂

2

_Φ

∂t

2

+ g

∂Φ

ave

g

l'a élération de la pesanteur,

−

→

_V

k

la vitesse du point onsidéré sur la surfa e

S

k

, et

−

→

_{n = (n}

_x

_{, n}

_y

_{, n}

_z

₎

la normale au orps au point onsidéré. Dans l'hypothèse des faibles mouve-ments,la surfa e

S

k

est lasurfa eimmergéedu orps

k

moyenneau oursdutemps ( 'est-à-dire lasurfa eimmergéede e orpsàlaposition d'équilibreautourdelaquelle ilos ille).

2.2 Equations mé aniques d'un orps ottant

Cettese tion dé rit les notations et les eorts pour le as d'un orps ottant. Les grandeurs introduitesi iserontensuitegénéraliséespourunensemblede orps.

2.2.1 Repère et notations

Le système onsidéré est un orps ottant mis en mouvement par la houle, repéré dans un repère artésien

(−

→

_e

_x

_{, −}

→

_e

_y

_{, −}

→

_e

_z

₎

parla position deson entre de arène.L'axe verti al

−

→

_e

_z

pointe versle haut. Lasurfa e libreest située àla te

z = 0

quand elle est au repos.Les 6degrés de libertédusystèmesontdénisdemanière lassiqueparleve teurposition

X

ommesuit:

 troistranslationsselonlesaxesdurepère:

X

1

( avalement),

X

2

(embardée),

X

3

(pilonnement)  troisrotationsautourdesaxesdurepère:

X

4

(roulis),

X

5

(tangage),

X

6

(la et)

Lesinerties orrespondantessontdé ritesparlamatri ediagonale

6 × 6 M

.Si

i ∈ [1, 3]

,

M

ii

= m

, ave

m

lamassedu système.

X

˙

et

X

¨

sont respe tivement lesve teurs vitesseet a élérationdu système.

2.2.2 Bilan des eorts

Leseortsimposésausystèmeparleuideà haquepulsation

ω

s'exprimentpour haquedegré deliberté

i

:

F

i

= −

Z Z

S

p(M, ω)N

i

(M )dS(M )

(2.5)

où

p(M, ω)

estlapressionenunpoint

M (x, y, z)

appartenantàlasurfa emouillée

S

du orps.La normalegénéralisée

N

estdéniepar:

(n

x

, n

y

, n

z

, y.n

z

−z.n

y

, z.n

x

−x.n

z

, x.n

y

−y.n

x

)

.Larelation deBernoullidonnantlapressions'é rit enthéorielinéarisée:

p = p

0

− ρgz − ρ

∂Φ

∂t

= p

0

− ρgz + ρωiΦ

(2.6)

ave

p

0

lapressionsurlasurfa elibre(pressionatmosphérique).Celapermetd'identierunterme statique(

p

0

− ρgz

)et unterme dynamique(

ρωiΦ

).

2.2.2.1 Eortshydrostatiques

L'intégration sur lasurfa e

S

du orps du terme hydrostatique

p

0

− ρgz

revientàla poussée d'Ar himède

F

P

,ave

F

P

i

= ρgV

si

i = 3

et

F

P

i

= 0

sinon(

V

est levolumed'eaudépla é parla présen e du orps).Cependantle orps est supposé pro hede saposition d'équilibre(les mouve-mentsayantunefaibleamplitude),par onséquent

ρV ≈ m

.Lapousséed'Ar himèdeetl'attra tion de lapesanteurse ompensentdon mutuellementàl'équilibre. Leseortshydrostatiques

F

H

se résumentalorsàunefor ederappel:

F

H

= −K

H

.X

(2.7)

ave

K

H

lamatri ederaideurhydrostatiquedontlesseuls oe ientsnon-nulssont

K

H ij

, ∀(i, j) ∈

2.2.2.2 Eortshydrodynamiques

L'eorthydrodynamique

F

D

selon

i

s'é rit:

F

D i

= ρiω

Z Z

S

φ(M, ω)N

i

(M )dS(M )

(2.8)

Il né essitela résolution du potentiel

φ(M, ω)

en tout point

M

de la surfa emouillée pour être al ulé. Le potentiel est dé omposé de manière lassique en potentiel de la houle in idente

φ

0

, potentiel

φ

d

dira téparlaoulesstru turesetpotentiels

φ

R

i

, i ∈ [1, 6]

liésauxvaguesrayonnées parlesmouvementsdu orpsselonsessixdegrésdeliberté:

φ = φ

0

+ φ

d

+

6

X

i=1

φ

R

i

(2.9)

Ondé omposedon l'eorthydrodynamique enfor e d'ex itationet for ederadiation.

For ed'ex itation Lafor ed'ex itationrésultedel'intégraledespotentielsin identetdira té:

F

e i

= iωρ

Z Z

S

(φ

0

+ φ

d

)N

i

(M )dS(M )

(2.10)

Elle dépend don fortement del'environnement danslequel le système est positionné : systèmes environnants,présen ed'unmur,bathymétrie.Enprofondeurnie onstante,lepotentielin ident d'unehoulelinéraireenunpoint

M (x, y, z)

estdonnéparlaformulesuivante :

φ

0

= −

i

_gA

ω

cosh [ν(z + h)]

cosh (νh)

e

iν(x cos β+y sin β)

(2.11)

ave

h

laprofondeur,

β

l'angled'in iden e delahoule,

ν

lenombred'onde,

A

l'amplitude.

A

est priségalà

1 m

parlasuite.Quand

h → ∞

, ette expressionsesimplie:

φ

0

=

i

_gA

ω

e

iν(x cos β+y sin β)

(2.12)

For ederadiation Cesfor esdé oulentdesvagues rééesparlesmouvementsdusolide.Comme expliquéparFalnes[48℄, lelien entrelavitesse dumouvement du orps et lepotentiel s'exprime parun oe ientdeproportionnalité

ϕ

(étantdonnéesleshypothèsesde linéaritésouslesquelles onsetrouve):

φ

R

i

= ϕ

i

X

˙

i

(2.13)

Le orps étant rigide,

X

˙

i

est onstante et peut être sorti de l'intégrale lors de l'intégration du potentiel

φ

R

i

sur la surfa e du orps. La omposante

i

de la for e de radiation

F

R

due à un mouvementselon

j

s'e ritdon :

F

R

i

= −Z

ij

X

˙

j

(2.14)

ave

Z

lamatri ed'impédan eenradiationdetaille

6 × 6

.Leséléméntsde

Z

sontexpriméspar:

Z

ij

= −iωρ

Z Z

S

ϕ

j

n

i

dS

(2.15)

D'aprèsla ondition2.3,

n

i

= ∂φ

i

/∂n

.Cettequantitépourledegréde liberté

i

s'é rit don ainsi enunpoint

M

:

 n

i

= −

→

e

i

.−

→

n (M )

si

i = 1, 2, 3

n

i

= (−

→

e

i

∧

−−→

OM ).−

→

n (M )

si

i = 4, 5, 6

(2.16)

Ondé omposeusuellement

Z

selonsapartieréelleet sapartieimaginaire:

Lamatri e

B

est l'amortissement orrespondantàl'énergie rayonnéeparlemouvementdu orps. Cettequantitévientenfa teurdelavitesse

X

˙

dansl'équationdumouvement.Lamatri e

AM

est appelée"massed'eauajoutée".Entantquetelle,elleintervientenfa teur del'a élération

X

¨

.Le double indi e

ij

dans l'équation 2.15 traduitle ouplageentre lesdiérentsdegrés de libertédu système : un mouvementselon

j

vagénérerun hampde pressionqui inuen erale mouvement selon

i

.

Les quantités

φ

d

et

ϕ

R

i

doivent être évaluées numériquement, an d'évaluer

B

,

AM

et

F

e

. L'objetde e travailde thèse est leurévaluation dans le as deproblèmes omprenantun grand nombrede orps,agissant ommeautantdesous-systèmeset ouplésentre eux.

2.2.2.3 Réa tion du power take-o (PTO)

La ré upération de l'énergie mé aniquea lieu grâ e ausystème d'extra tiond'énergie (PTO pour"powertake-o"),qui tireprotdes mouvementsdu orps parrapportàune référen exe (le fondmarin, parexemple).L'a tion duPTO estdé rit par lasommed'une for ede rappel et d'unamortissement:

F

P T O

= −K

P T O

.X − B

P T O

. ˙

X

(2.18)

Dans lapratique ependant, l'extra tiond'énergie alieu laplupartdutemps selonunseuldegré deliberté;seulunterme diagonaldesmatri es

B

P T O

et

K

P T O

estnon-nul.

2.2.2.4 Eortsd'an rage

Laproblématiquesdesan ragesest omplexe.Eneet, eux- idoiventêtresusamentexibles pournepasrestreindrelesmouvementsdusystème,maissusamentraidespourévitersadériveet lereteniren asdetempête.Ilexistedeslogi ielsdédiésàla on eptiond'an rages.Dansnotre as nousnous ontenteronsdelesmodéliserparunefor ederappeletunamortissementenparallèle:

F

A

= −K

A

.X − B

A

. ˙

X

(2.19)

2.3 Cas d'un ensemble de orps

Dansunensemblede orps ottants, haqueotteur interagitave lesautresparleseetsde dira tionetderadiation:

 Ladira tiondépenddel'ensembledesstru turesprésentes.Par onséquent,lafor e d'ex i-tationappliquéeà haque orpsest modiéeparlaprésen edesautres orps.Larésolution duproblèmededira tionpermetde onnaîtrelafor ed'ex itationappliquéeà ha undes orps.Ceproblèmeest don résoluune seulefoispour haquedire tion dehoulein idente.

 Lemouvementd'un orpsrayonnedesvaguesquisepropagentaux orps voisinsetleur ap-pliquentdesfor es.Cesintera tionss'exprimentpardestermesde ouplageenamortissement etenmassed'eauajoutée.Lavitesseetl'a élérationd'un orpsaurontdon unimpa tsur lemouvementd'un autre orps àtravers es termes. On al ule es termes de ouplageen appliquantunmouvementd'amplitudeunitairesurunseul orps,lesautres orpsétantxes. Ilfautdon résoudreunproblèmederadiationpour haquedegrédelibertéde haque orps.

Le problème de nombreux orps ottants ayant ha un 6 degrés de liberté en intera tion dans les vagues est omplexe. De fait, la plupart des études réaliséessur les fermes de ré upérateurs d'énergie des vagues simplient e problème en onsidérantqu'un seul degréde liberté est a tif, eluiselonlequellePTOextraitl'énergie.

Nous introduisons i i les notations utiliséespar lasuite, orrespondant àun ensemble de

N

b

orps ottants ayant ha un un seul degré de liberté. Au un an rage n'est onsidéré. Le PTO de haquesystème est modélisépar unamortissementlinéaire(

b

pto

)en parallèle ave un ressort linéaire(

k

pto

).A haquepulsation

ω

,l'équation dumouvements'é ritalors:

ave :



X(x

1

, ..., x

N

b

)

leve teurpositionpourl'ensembledes orpsselonledegrédelibertéa tif.

X

˙

et

X

¨

sontlesve teursvitesseeta élération.



M

est la matri e massedu sytème. Cettematri e est diagonalesi l'on ne onsidère qu'un seuldegrédelibertépar orps.



K

H

estlamatri ehydrostatiquedusystème.Cettematri eestdiagonalesil'onne onsidère qu'unseuldegrédelibertépar orps.



K

P T O

et

B

P T O

sont les matri esdiagonales orrespondantes auPTO.

∀i

,

K

P T O

ii

= k

pto

,

B

P T O

ii

= b

pto

.



AM (ω)

and

B(ω)

sontlesmatri eshydrodynamiques de massed'eau ajoutée et d'amortis-sement.Ces matri esdetaille

N

b

× N

b

sontpleines.Onpeutmontrerque esdeuxmatri es sontsymétriques[48℄.



F

e

(F

e 1

, ..., F

e N

b

)

estleve teurdelafor ed'ex itation.

Lesystèmelinéaireàrésoudre(équation2.20)estdepetitesdimensions(aumaximum,

N

b

≈ 100

). Il est don simplement résolupar inversion. La di ulté prin ipale du point de vue numérique résidedansl'évaluationdestermes

AM

,

B

et

F e

.Cetteévaluationparlaméthodedessingularités implique une eortde al ul importantlorsque lenombre de orps est grand, pour deux raisons simples:toutd'abord,ilyaplusdeproblèmesderadiationàrésoudre;d'autrepart,lagéométrie globaleduproblèmedel'ensemblede orpsné essited'êtrereprésentéeparungrandnombre d'in- onnues.

2.4 Con lusion

Ce hapitre résume tout d'abord les prin ipales hypothèses utilisées pour modéliser les in-tera tions uide/stru ture,dans le adre d'une théoriepotentielle linéarisée. Un bilan des for es appliquéesàunré upérateurd'énergiedesvaguesisoléestdressé.Lesnotationssontensuite éten-duesau asd'unensembledeREV ayant ha ununseuldegrédeliberté.

Lesfor eshydrodynamiquess'obtiennentàpartirdupotentieldesvitessesdel'é oulement.Le hapitresuivantdé rit laméthode utiliséeparAquapluspourrésoudre epotentiel,ainsi queles limitesren ontrées.

Résolution du potentiel des vitesses

Ce hapitrerappellele prin ipedelaméthodedes singularités.Ilétablit lesystèmelinéaireà résoudre pour évaluernumériquement lepotentieldes vitessessur lasurfa edes orpspour ha- undesproblèmes dedira tionetde radiation.Lerle del'algorithmemultipolairerapidedans l'a élérationdelarésolutionestexpli ité.

3.1 Prin ipe de résolution

3.1.1 Rappel du problème, hypothèses, notations

Leproblèmeàrésoudreest eluiprésentéàlase tion2.1.2.Parsou ide larté,onne onsidère dans ettese tionqu'unseul orpsottant.Ceproblèmedoitêtrerésoluautemps

t

,entoutpoint

M

du volume uide.La onditionsur lefondn'est pas onsidérée, ar on hoisitde travailleri i enprofondeurinnie:

∆Φ(M, t)

= 0

danstoutledomaineuide (3.1)

∂Φ(M, t)

∂n

=

−

→

_V

_{(M, t).−}

_→

_n

entout pointdelasurfa e

S

du orps (3.2)

∂

2

_{Φ(M, t)}

∂t

2

+ g

∂Φ(M, t)

∂z

= 0

surlasurfa elibreaurepos,en

z = 0

(3.3) On suppose le problème omme étant harmonique, de pulsation

ω

. Les variables de temps et d'espa epeuventdon êtredé oupléesdansl'é rituredupotentieldel'é oulement

Φ

:

Φ(M, t) = Re



φ(M )e

−iωt



(3.4)

L'ensemble des autres quantités du problème (vitesse, pression ...) sont elles-aussi harmoniques. Sousleshypothèsesdelinéarité,leproblèmeselimitedon àlarésolutiondesquantitésdépendantes del'espa e.Leproblèmepré édentpeutdon seréé rire ommesuit:

∆φ(M )

= 0

danstoutledomaineuide (3.5)

∂φ(M )

∂n

=

−

→

_{V (M ).−}

_→

_n

entout pointdelasurfa e

S

du orps (3.6)

−ω

2

φ(M ) + g

∂φ(M )

∂z

= 0

surlasurfa elibreaurepos,en

z = 0

(3.7) Lagure3.1résumelesnotationsemployées.

3.1.2 Deuxième formule de Green

Soit

τ

un domaine volumique fermé par une surfa e

S

de normaleextérieure

−

→

_n

. La formule d'Ostrogradskydonne:

Z Z Z

τ

div

−

→

V dτ =

Z Z

S

−

→

_{V .−}

_→

_{n dS}

(3.8)