November 9, Un alphabet ni permet de denir (sur les mots engendres par cet alphabet) une fonction

Bernard GERMAIN-BONNE

November 9, 1994

Introduction

Un alphabet ni permet de denir (sur les mots engendres par cet alphabet) une fonction

"description". Decrire un mot consiste a enoncer le nombre de caracteres successifs identiques de ce mot. Un mot autodescriptif (un ensemble de mots co-descriptifs) est un point xe (cycle xe) de la fonction description.

Apres avoir rappele (section 1) les proprietes d'espace metrique de l'ensembleA¹p (des mots nis ou innis), nous denissons des ensembles particuliers, les multimots (section 2) et exam- inons les proprietes de la fonction description, appliquee aux multimots (section 3).

Dans la section 4 nous examinons en detail le cas d'un codage a valeurs dans A¹ : nous montrons que l'existence de cycles xes (ou points xes) est toujours assuree et que les cas de non unicite sont lies a l'existence de codages de longueur 1. Enn, dans la section 5 nous montrons que cycles et points xes peuvent ^etre decrits a l'aide d'un autre alphabet : l'alphabet des "atomes".

1 Denitions - Proprietes

A : alphabet ni (card (A)2) p : entier 1

Denition 1.1

Ap, A!p, A¹p

Ap est l'ensemble des mots nis de la forme :

s = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱk^k avec sj ²A ij p

k1 (sj ⁶=sj⁺¹) Par convention, le mot vide appartient a A_p.

A!p est l'ensemble des mots innis de la forme :

s = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k::: (ousk ⁶=sk⁺¹ etik p)

A¹p = Ap ^[A!p est l'ensemble des mots nis ou non (ne comportant pas plus de p lettres successives identiques).

Pour touts = sⁱ¹¹:::sⁱk^k de Ap, ^js^j=i¹+i²+::: + ik est la longueur de s.

Laboratoire d'Analyse Numerique et d'Optimisation, Universite des Sciences et Technologies de Lille, F- 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France.

1

Denition 1.2

p

-codage

^.

Un p-codage est une application C de ^f1;2;:::;2p + 1^g dans Ap.

Remarque

Par la suite nous nous donnerons simultanement un p-codage a valeurs dans Ap, et un alphabetA. L'alphabet A designera l'alphabet minimum permettant de coder les entiers de 1 a 2p + 1.

Denition 1.3 La fonction "description"

La fonction "description" est l'application ' de A²_p^+1!A²_p⁺¹ telle que : sis = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱk^k;alors

'(s) = C(i¹)s¹C(i²)s²:::C(ik)sk

(convention : '() =)

Propriete 1.1

s²A²p^+1?!'(s)²A²p⁺¹

Demonstration 1.1

Le sous mot de s : sⁱj^{j ?1?1}sⁱj^jsⁱj^{j +1+1} a pour image par ' le sous mot de '(s) : C(ij^?1)sj^?1C(ij)sjC(ij⁺¹)sj⁺¹ et, compte tenu de sj ⁶= sj^?1, sj ⁶= sj⁺¹, C(ij) ² Ap, C(ij⁺¹)²A_p, C(ij)sj C(ij⁺¹)ne peut comporter un sous mot de la forme s²j^p+1 que dans le cas particulier :

C(ij) =x^l11:::x^lnⁿs^pj

et C(ij⁺¹) =s^pj

Donc '(s) ²A²p⁺¹

Propriete 1.2

Pour tout

p

,

A¹_p

est un espace metrique complet.

Demonstration 1.2

Utilisons la notation developpee pour un mot de Ap : s = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱk^k =s|¹s¹{z:::s¹}

i¹ s|²:::s{z ²}

i² :::s|k:::s{z k}

i^k

x etant un mot de Ap, x se developpe de la m^eme maniere en : x = x¹x²:::xl

(xi peut ^etre egal a xi⁺¹ mais dans x ne peuvent appara^tre plus de p occurrences successives de la m^eme lettre. Cette notation est donc moins explicite que la precedente). On peut noter de cette facon tout mot de A¹p .

Posons d(x;y) = 0 si x = y.

Si x⁶=y soit m(x;y)l'entier tel que

2

8nm xn =yn

(x^etyconcident pour leurs m premieres lettres ) xm^{+1 6}=ym⁺¹

Posons d(x;y) = 1m + 1^.

On peut verier que, muni de cette metrique A¹p est un espace metrique (et m^eme ultra metrique : d(x;z)Max^fd(x;y);d(y;z)^g)).

Pour montrer que cet espace est complet, pour tout element x²Ap, notons ^S(x) l'ensemble des mots de A¹_p qui prolongent x (c'est a dire de la forme y = xw, w ² A¹_p , w pouvant ^etre eventuellement le mot vide).

Si x = x¹x²:::xq, ⁸y;z^2S(x) d(y;z) 1 1 +q^.

Soit maintenant x⁽¹⁾ un mot quelconque de A_p. Posons ^S1 =^S(x⁽¹⁾).

Choisissons x^(2)2S1 ; posons ^S2 =^S(x⁽²⁾)::: et formons la suite decroissante (au sens de l'inclusion) des ensembles

Sn::: ^{S2 S1}

Posons x = ^\1i^=1Si. On denit ainsi un mot (ni ou non) tel que lim_i d(x;x⁽ⁱ⁾) = 0.

Tout element deA¹_p peut ^etre considere comme la limite de ses tronquees (x = x¹x²:::xn::: = limx⁽ⁱ⁾ avec x⁽ⁱ⁾=x¹:::xi). Il est facile de verier que toute suite de Cauchy^fs^(n)gd'elements de A¹p denit un element s = lims⁽ⁿ⁾.

Remarque

SurA¹p , il existe une autre metrique, regulierement equivalente a celle introduite ci-dessus : Reprenons la notation factorisee pour tout mot deA¹p :

x = xⁱ¹¹xⁱ²²:::xⁱ_k^k ij p y = y^1j1y^2j2:::

Posons D(x;y) = 0 si x = y. Sinon soit M(x;y) l'entier tel que ⁸n M xⁱnⁿ = yn^jn et xⁱM^{M+1+1 6}=yM^jM+1+1 . Posons D(x;y) = 1

M(x;y) + 1.

Soientx et y tels que M(x;y)1

x = xⁱ¹¹ :::xⁱM^M?1?1 xⁱM^M xⁱM^M+1+1:::

y = y^1j1 :::::: yM^jM yM^jM+1+1 :::

On a :

m(x;y)i¹+i²+::: + iM M

m(x;y)i¹+i²+::: + iM +pMp + p

M + 1m(x;y)+ 1 Mp + p + 1(M + 1)(p + 1)

?!

p + 1D(x;y)1 d(x;y)D(x;y) 3

(Inegalites veriees aussi dans le casM(x;y) = 0)

Pour tout mot de Ap (ou A²p⁺¹) de la forme s = sⁱ¹¹:::sⁱk^k, desormais la longueur de s est denie par^js^j=k.

Propriete 1.3

La fonction description

'

denie par un

p

-codage est une application

continue sur

A²p⁺¹

et se prolonge par continuite en application continue sur

A¹²p⁺¹

Demonstration 1.3

Soient s et t deux mots de A²p⁺¹ concidant sur l elements : s = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱ_l^lsⁱ_l^l+1+1 :::

t = sⁱ¹¹::::::sⁱ_l^lt^j_l^+1l+1::: sⁱ_l^{l+1+1 6}=t^j_l^+1l+1 D(s;t) = 1l + 1

'(s) = C(i¹)s¹:::C(il^?1)sl^?1 C(il)slC(il⁺¹)sl⁺¹:::

'(t) = C(i¹)s¹:::::: C(il)slC(jl⁺¹)tl⁺¹:::

Comme s¹;s²;:::sl sont identiques dans '(s) et '(t), on peut armer que '(s) et '(t) concident au moins surl^?1elements :

D('(s);'(t)) 1

l^?1 + 1 = 1 l 1

l (l + 1)D(s;t) = (1 +1

l )D(s;t) D('(s);'(t))2D(s;t)

Ceci prouve la continuite de ', sur A²p⁺¹. Cette inegalite etant veriee pour s;t²A¹²p⁺¹, ' se prolonge en application continue sur A¹²p⁺¹.

Propriete 1.4

Soit

'

une fonction description denie par un

p

-codage et

s²A²p⁺¹

j'(s)^jjs^j

Demonstration 1.4

^Soit s = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱk^k (sj ²A;ij 2p + 1) '(s) = C(i¹)s¹C(i²)s²:::C(ik)sk:

Il est possible d'exprimerC(i¹)sous la forme : C(i¹) =z¹s^l11, ouz¹ est un mot (eventuellement vide) dont la derniere lettre est distincte de s¹, et ou l¹ peut eventuellement ^etre nul.

De m^eme exprimonsC(i²) =s^j11z²s^{l22 ou}z² est un mot (eventuellement vide) dont la premiere lettre est distincte de s¹, la derniere lettre distincte de s² (et j¹, l² eventuellement nuls).

Procedons de m^eme pourC(i³):::C(ik).

Avec ce changement d'ecriture, '(s) s'exprime sous la forme '(s) = z¹s^l11s¹s^j11z²s^l22:::s^lk^{k ?1?1}sk^?1s^jk^{k ?1?1}zks^lk^ksk

Lessi etant distincts les uns des autres, '(s) est necessairement de longueur superieure ou egale a k.

j'(s)^jjs^j 4

2 Ensembles stables. Multimots

Denition 2.1 Ensemble stable.

Un ensemble ^S A¹²_p⁺¹ est stable pour une fonction description ' denie par un p-codage si :

8s^2S '(s) ^2S

Denition 2.2 Multimot.

^Soit s ^{un mot de} A²p⁺¹. L'ensemble de tous les mots de A¹²p⁺¹

qui prolongent s (donc de la forme z = sy, y²A¹²_p⁺¹) est par denition un multimot

Notation explicite

Un multimot sera toujours note (de facon explicite) a l'aide d'un "^.", selon la convention suivante :

Pours = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱ_k^k :

(i) Le multimot sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱk^k. designe l'ensemble de tous les mots sy tels que la premiere lettre de y est dierente de sk (y pouvant eventuellement ^etre le mot vide)

(ii) Le multimot sⁱ¹¹:::sⁱ_k^{k ?1?1}sⁱ_k^ksk designe l'ensemble de tous les mots de la forme sy, ou y debute par sxk (avec x + ik 2p + 1;x1)

(iii) Le multimotsⁱ¹¹:::sⁱk^k.i designe l'ensemble de tous les mots de la forme sy, ou y debute par aⁱ (a ²A;a⁶=sk)

Notation generale

Lorsqu'on ne peut designer explicitement un multimot, on utilisera des lettres majuscules.

Quelques multimots particuliers

! . : c'est l'ensemble de tous les mots prolongeant le mot vide. Donc c'estA¹²_p⁺¹ :

. =A¹²p⁺¹

! Il existe d'autre part des multimots qui contiennent un seul element de A¹²p⁺¹ : ce sont les multimots denis par un mot inni s. Dans ce cas la nous utiliserons : s = S.

! A et B etant deux multimots A B signie : A prolonge B

! A etant un multimot et y ²A¹²p⁺¹, y²A signie : y prolonge A.

Denition 2.3 La fonction associee a

'

A toute fonction description ' denie par un p-codage, associons une fonction denie ainsi :

(i) Pour le multimot S = sⁱ¹¹:::sⁱk^k.

(S) = C(i¹)s¹:::C(ik)s_k (ii) Pour le multimot S = sⁱ¹¹:::sⁱk^{k ?1?1}sk

(S) = C(i¹)s¹:::C(ik^?1)s_k^?1 5

(iii) Pour le multimot S = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k.i.

Supposons que C(i) = a^j11a^j22:::a^jnⁿ (n2). Par denition

(S) = C(i¹)s¹:::C(ik)ska^j11a^j22 :::a^jn^n?1?1an

Supposons que C(i) = a^j. Par denition

(S) = C(i¹)s¹:::C(ik)ska

Propriete 2.1

Soit

S

un multimot

y²S ^?!'(y)²(S)

Demonstration 2.1

(i) Considerons le cas ou le multimot S est donne explicitement par : S = sⁱ¹¹sⁱ²²:::sⁱk^k.

On a alors (S) = C(i¹)s¹:::C(ik)sk.

Posons s = sⁱ¹¹:::sⁱk^k (s²A²p⁺¹) .Tout y²S est de la forme y = sz ^{avec :} z = z^j11 :::zq^jq z^{1 6}=sk

'(y) = '(sⁱ¹¹:::sⁱk^kz^1j1:::zq^jq) = C(i¹)s¹:::C(ik)skC(j¹)z¹:::C(jq)zq

Manifestement '(y) appartient a (S) (Cette propriete est egalement veriee lorsque z est le mot vide)

(ii) Supposons S = sⁱ¹¹:::sⁱk^{k ?1?1}sk. On a alors (S) = C(i¹)s¹:::C(ik^?1)sk^?1. Posons s = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^{k ?1?1} et soit y²S.

y est de la forme y = sz avec z = s^jk^k:::s^jq^q

(q k;1jk 2p + 1), et on a :

'(y) = '(sⁱ¹¹:::sⁱk^{k ?1?1}s^jk^k:::s^jq^q) =C(i¹)s¹:::C(ik^?1)sk^?1C(jk)sk:::C(jq)sq

et l'on constate que '(y)appartient a (S). (iii) Supposons S = sⁱ¹¹:::sⁱk^k.i.

Posons s = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k et soit y²S.

y est de la forme y = sz avec z = s_ik⁺¹:::s^j_q^q sk^{+1 2}A

'(y) = C(i¹)s¹:::C(ik)skC(i)sk⁺¹:::C(jq)sq

et on a : '(y) inclus dans (S)

6

Denition 2.4 Multimot stable d'ordre

k

.

Soit la fonction associee a une fonction '. Un multimot est stable d'ordrek si ^k(S) S et si cette propriete n'est veriee par aucun entier k⁰< k

Remarquons que cette denition devra ^etre anee car un multimot peut ^etre stable d'ordre k au sens large (^k(S) = S) au sens strict (^k(S) prolonge eectivement S).

Propriete 2.2

Soit

S

un multimot stable d'ordre

k

; alors il existe

k

multimots dierents denissant un ensemble

^S

stable pour

'

.

Demonstration 2.2

Posons S⁰ =S ; S¹ = (S⁰) ; Si = (Si^?1) i = 1:::k^?1 (On sait que Sk concide avec S⁰, ou bien prolonge S⁰). Posons ^S =S^0[S¹:::^[Sk^?1.

Il est evident que ^S est stable pour la fonction '. (Par la suite on dira que ^S est un ensemble stable d'ordrek).

Denition 2.5 Cellules associes a un multimot stable d'ordre

k

.

Soit S⁰ un multimot stable d'ordre k ^et Si = ⁱ(S⁰) i = 1:::k ^?1. Lorsque les k multimotsSidebutent tous par une lettre appartenant a un sous-ensemble strictAd, de l'alphabet de base (A = Ad^[Af Af ⁶==0), alors on appelle cellule tout mot de A²p⁺¹ prolongeant l'un des Si et dont la lettre nale appartient a Af.

Propriete 2.3

Si

c

est une cellule alors

'(c)

est une cellule.

Demonstration

cetant une cellule, appartient necessairement a l'un des k ^multimots Sk

9Si :c²Si

D'apres la propriete 2.1'(c)²(Si). D'autre part la derniere lettre de '(c) est identique a la derniere lettre de c, qui appartient aAf. D'ou'(c) est une cellule.

Notons ^C l'ensemble des cellules associe a un ensemble ^S de multimots stables d'ordre k (^S =S^0[S¹:::^[Sk^?1)

Propriete 2.4

8c^{2C 8}X ^S; (cX) = '(c)(X) Demonstration immediate.

Propriete 2.5

8c;d^2C '(cd) = '(c)'(d)

Denition 2.6 Longueur d'un multimot.

Soit S un multimot donne explicitement par :

S = sⁱ¹¹:::sⁱk^k.

ou S = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^ks_k⁺¹ ou S = sⁱ¹¹:::sⁱk^k.i

7

Par denition^jS^j (longueur de S) est k.

(Tout multimot de longueurk prolonge eectivement un mot de longueur k qu'il est possible d'expliciter.)

Propriete 2.6

Soit

S

un multimot de longueur

k

debutant par

sⁱ¹¹

. Soit

l

la longueur de

C(i¹)

.

j(S)^jk + l^?2

Demonstration

On peut armer

(S)C(i¹)s¹:::C(ik^?1)sk^?1.

Supposons C(i¹) =a^j11:::a^jl^l

(S)a^j11:::a^jl^ls¹C(i²)s²:::C(ik^?1)sk^?1.

Il est possible queal =s¹ ; commeai ⁶=ai⁺¹ et si ⁶=si⁺¹

'(S) l^?1 +k^?1 = k + l^?2

Corollaire.

Soit

S

un multimot de longueur

k

, prolongeant

s = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k

Posons

l¹ =^jc(i¹)^j

;

lk =^jc(ik)^j

;

L =^Xk

i⁼¹li

On a :

j(S)^jL^?k

Propriete 2.7

Soit

S

un multimot de longueur

k

et soit

T

un multimot de longueur

k⁰> k

prolongeant

S

.

(T)

prolonge

(S)

et de plus

^j(T)^j>^j(S)^j

(sauf cas particulier) Demonstration

(i) Soit S = sⁱ¹¹:::sⁱk^k.

Tout multimot de longueur k⁰> k, prolongeant S est inclus dans T = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^ksⁱ_k^{k +1+1.} (S) = C(i¹)s¹:::C(ik)sk

(T) = C(i¹)s¹:::C(ik)skC(ik⁺¹)sk⁺¹

8

(T) prolonge (S)

Quel que soit C(ik⁺¹), on s'apercoit que dans (T) sk gurera explicitement. Donc

j(T)^j>^j(S)^j (Propriete veriee pour tout multimot qui prolonge T⁾ (ii) Soit S = sⁱ¹¹:::sⁱ_k^ks_k⁺¹

Tout multimot de longueur k⁰> k prolongeant S est inclus dans T = sⁱ¹¹:::sⁱk^ksⁱk^{k +1+1.}. De m^eme que pour (i), (T) ^prolonge (S) ^{et j}(T)^j>^j(S)^j

(iii) Soit S = sⁱ¹¹:::sⁱk^k.i

Tout multimot de longueur k⁰> k prolongeant S est inclus dans T = sⁱ¹¹:::sⁱk^ksik^+1.

(S) = C(i¹)s¹:::C(ik)ska^j11:::a^jn^n?1?1an (avec C(i) = a^j11a^j22:::a^jnⁿ) (T) = C(i¹)s¹:::C(ik)ska^j11:::a^jn^n?1?1a^jnⁿsk⁺¹

Si sk^{+1 6}=an alors (T)prolonge (S) et ^j(T)^j> (S) ou :

Lorsque sk⁺¹ =an (T) = (S) (C'est le seul cas particulier ou ^j(T)^j=^j(S)^j).

3 Cycles et points xes

Soit p un entier1 et ' une fonction description associee a un p-codage.

Nous nous interessons aux points xes de' (elements de A¹²p⁺¹veriants = '(s)) et aux cycles de' (un cycle d'ordre k est un ensemble de k elements s⁰; s¹;:::; sk^?1 tels que si⁺¹ ='(si) et s⁰ ='^k(s⁰)).

Plus particulierement nous etudierons les zones d'attraction de ces cycles ou points xes (t appartient a la zone d'attraction du point xe s si s = lim_i 'ⁱ(t)).

A priori, on peut s'attendre a 3 types de situations :

1.

Points xes (ou cycles) constitues d'elements de

A²p⁺¹(mots de longueur nie).

D'apres la propriete 1.4 la zone d'attraction doit ^etre recherchee parmi les mots de longueur inferieure ou egale. Il faut donc s'attendre a ce que cette zone d'attraction soit constituee par un nombre ni d'elements.

2.

Points xes (ou cycles) constitues d'elements de

A^!2_p⁺¹(mots innis)

S'il est possible d'exprimerun point xes commeune limite de multimots (s = lim_i ⁱ(S)), alors d'apres les proprietes 1.3 et 2.1, la zone d'attraction de s est le multimot S.

3.

Points xes (ou cycles) constitues de mots innis et dont la zone d'attraction est constituee par un nombre ni de mots de

A¹²p⁺¹

Nous verrons qu'il s'agit d'une situation se presentant rarement (points xes ou cycles xes isoles).

Une derniere question que nous essaierons de resoudre est celle du nombre de points xes (ou cycles) et la possibilite d'exprimer A¹²_p⁺¹ comme une union d'ensembles disjoints : A¹²p⁺¹=^[i^Si ^Si : zone d'attraction d'un point xe (ou cycle).

9

Quelques proprietes nous seront utiles dans la suite de ce travail :

Propriete 3.1

Soit

S⁰

un multimot stable d'ordre

k

(deni de maniere explicite par

S⁰ =sⁱ¹¹:::sⁱl^l.

ou

S⁰ =sⁱ¹¹:::sⁱ_l^lsl⁺¹

).

Si

^k(S⁰)

prolonge strictement

S⁰

, alors il y a existence d'un cycle xe d'ordre

k

pour

'

et

S⁰

est inclus dans la zone d'attraction de ce cycle xe.

Demonstration 3.1

^Posons Si = (Si^?1) i = 1:::2k

Sk = (Sk^?1) est un multimot qui prolonge S⁰. D'apres la propriete 2.7 (Sk) prolonge (S⁰) (strictement).

Donc Sk⁺¹ prolonge S¹. D'ou S²k prolonge Sk. Posons = ^k et T⁰=S⁰.

La propriete "T¹ prolonge T⁰" (Sk prolonge S⁰) et la propriete 2.7 ont permis de montrer : T² prolonge T¹.

D'ou par recurrence Ti⁺¹ = ( (Ti)) prolonge Ti. Soit t le mot inni : t = lim_i Ti. On a : t = '^k(t) (proprietes 1.3 et 2.1).

t appartient a un cycle d'ordre k. De plus la zone d'attraction de t est au moins constituee par

S^0[S¹:::^[Sk^?1:

Propriete 3.2

Dans le cas d'un

p

-codage, s'il existe un entier

j (1j p)

tel que

jC(j)^j> 1

et

C(j) = a^j:::

, alors il y a existence d'un point xe pour

'

et le multimot

S = a^j.

appartient a la zone d'attraction de ce point xe . Lemme

Tout multimot de la forme

T = a^jsⁱ²²:::sⁱk^k.

(de longueur

k

) est tel que

j(T)^jk + 1 ExplicitonsC(j) : C(j) = a^jc^j11:::c^jq^q q1

jk p Plusieurs cas sont a envisager :

Cas

k 3

;

q 2

A priori le codage deik est de la forme

C(ik) =x^l11x^l22:::x^lr^r xi ²A li p

(T) = C(j)aC(i²)s²:::C(ik^?1)sk^?1x^l11:::x^lr^rsk

On peut armer (T)C(j)a:::C(ik^?1)sk^?1.

(T)a^jc^j11:::c^jq^qaC(i²)s²:::C(ik^?1)sk^?1.

10

Compte tenu de a⁶=c¹ ; ci ⁶=ci⁺¹ ; a⁶=s² ; si ⁶=si⁺¹ on a :

j(T)^jq + k^?1k + 1

Cas

k 3;q = 1

C(j) s'explicite : C(j) = a^jc^j11. On a de m^eme :

'(T)a^jc^j11aC(i²)s²:::C(ik^?1)sk^?1.

?!j(T)^jk^?1 + 2 =k + 1

Cas

k = 2 T = a^js^i22..

(T) = C(j)aC(i²)s² =a^jc^j11:::c^jq^qaC(i²)s² a^jc^j11:::c^jq^qa^. Compte tenu de a⁶=c¹ et de l'eventualitecq =a, on peut armer

j(T)^jq + 1 (lorsque p2)

j(T)^j3 (lorsqueq = 1) Dans les deux cas ^j(T)^jk + 1

Cas

k = 1 T = a^j.

(T) = C(j)a=a^jc^j11:::c^jq^qa q2 etcq =a

(T)a^j:::c^jq^{q ?1?1 ?!j}'(T)^jq k + 1 q2 etcq ⁶=a

(T)a^j:::c^jq^{q ?!j}'(T)^jq + 1k + 1 q = 1 (C(j) = a^jc^j11)

(T)a^jc^j11.!j(T)^j= 2 =k + 1

Demonstration 3.2

^Posons S⁰ =a^{j. ;} Si = (Si^?1) i1 On a : S¹ =C(j)a =a^jc^j1:::c^j_q^qa

S¹ prolonge S⁰ (strictement d'apres le lemme).

D'apres la propriete 3.1 la suite des multimotsSi converge verss, point xe de'(s²A^!2p⁺¹ : c'est un mot inni). S⁰ =a^j. est donc dans la zone d'attraction de ce point xe.

Propriete 3.3

Soit

S

un multimot stable d'ordre

k

; supposons que les

k

multimots denis par

S⁰ =S

;

Si= (Si^?1) (i = 1:::k^?1)

debutent tous par une lettre appartenant a un sous-ensemble strict

Ad

de

A

.

Soit

^C

l'ensemble des cellules associe a

^S =S^0[S¹:::^[Sk^?1

. Posons

= '^k

et supposons qu'il existe deux cellules

x;y^2C

telles que :

(x) = x:y

Alors les

k

mots innis

s⁰ =xy (y) ²(y):::

;

si ='(si^?1); i = 1:::k^?1

forment un cycle d'ordre

k

pour

'

.

De plus

^S

appartient a la zone d'attraction du cycle.

11

Demonstration 3.3

Appliquons la propriete 2.5 : '(xy) = '(x)'(y)

'(x) et '(y)^2C (propriete 2.3) de plus '(y) debute par une lettre de Ad

On a donc 'ⁱ(xy) = 'ⁱ(x)'ⁱ(y). En particulier

(xy) = (x) (y) = xy (y) = ²(x) D'ou

l⁺¹(x) = xy (y)::: ^l(y) (et ceci ⁸l).

D'apres la propriete 1.4

j

l(y)^{jj l?1}(y)^j:::^jy^j> 0 (car la longueur de y est strictement positive).

Comme ^l+1(x) = ^l(x): ^l(y) on a :

j

l⁺¹(x)^j=^{j l}(x)^j+^{j l}(y)^j

j

l⁺¹(x)^j>^{j l}(x)^j

Soit ^S0 l'ensemble des mots de la forme : xys s ^2S

S

1 l'ensemble des mots de la forme :xy (y)s s ^2S

Si l'ensemble des mots de la forme :xy (y)::: ⁱ(y)s s ^2S

On verie immediatement que si t ^{2 S}i (t est de la forme t = xy (y)::: ⁱ(y)s) alors (t)^2Si⁺¹.

Comme^Si^{+1 S}i, le mot inni s⁰ =^\1_i^=1Si(=lim^Si) verie s⁰ = (s⁰).

Donc s⁰ =xy (y)::: ⁱ(y)::: est un mot inni appartenant a un cycle d'ordre k de '.

Il en est de m^eme pour '(s⁰);:::'^k?1(s⁰).

4 Existence de cycles et points xes (cas

^{p = 1}

)

Notations

A : alphabet dont les elements sont notes a, b, c, ou plus generalement si ²A.

La fonction codage sera notee explicitement (on se donnera C(1), C(2), C(3), a valeurs dans A¹).

C(i) sera de la forme C(i) = s¹s²:::sk.

Objectif de ce paragraphe

Exprimer l'ensemble des mots (nis ou non)A¹³ comme une reunion nie de zones d'attraction A¹³ =^[q_i^=1Si

12

Chaque^Si devra ^etre caracterise, ainsi que le point xe (ou cycle) associe.

Une techniquesouvent utilisee (pour rechercherdes zones d'attraction) sera cellede decomposition de l'espace en union d'ensembles disjoints :

A¹³ =^. (ensemble des multimots commencant par toute occurrence de toute lettre de A).

Regles de decomposition

(i) ^. =^.1[.2[.3[ (ii) ^.1 =a^1.[x^1. (x⁶=a) (iii) a =a^1.[a^2.[a^3.

(i) signie : l'espaceA¹³ se decompose en l'ensemble des mots commencant soit par une, soit par deux, soit par trois occurrences d'une lettre quelconque et du mot vide.

(ii) signie : l'ensemble de tous les mots commencant par une occurrence d'une lettre quel- conque est l'union de tous les mots commencant par une occurrence d'une lettre particuliere (ici "a") et celle de tous les mots commencant par une occurrence des autres lettres.

(iii) signie : l'ensemble de tous les mots commencant par une occurrence quelconque de a se decompose en trois sous-ensembles des mots commencant par une, deux ou trois occurrences dea.

Regles de concatenation/decomposition

(i) sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k.=sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k.1[sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k.2[sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k.3[sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k (ii) sⁱ¹¹:::sⁱk^k.1 =sⁱ¹¹:::sⁱk^ka^1.[sⁱ¹¹:::sⁱk^kx^1. (a⁶=sk;x⁶=a;sk) (iii) sⁱ¹¹:::s_k =sⁱ¹¹:::s¹_k^.[sⁱ¹¹:::s²_k^.[sⁱ¹¹:::s³_k^.

(i) signie : le multimot sⁱ¹¹:::sⁱ_k^k. se decompose en quatre sous-ensembles : le mot sⁱ¹¹:::s^ik et trois multimots.

Demarche poursuivie :

Pour prouver l'existence de points (ou cycles) xes, examinons successivement toutes les situ- ations possibles :

1er CAS :

jC(1)^j> 1 2eme CAS :

jC(1)^j= 1 et C(3) debute par la m^eme lettre que C(1) 3eme CAS :

jC(1)^j= 1 et C(3) debute par une lettre dierente de celle de C(1) 13

Dans ces trois cas nous exhiberons un cycle (ou point xe) principal, et eventuellement d'autres cycles (ou points xes) annexes.

1er CAS

C(1) est un mot de longueur > 1; C(1) debute par la lettre a C(1) est de la forme :

C(1) = as¹:::sn si ²A n 1

D'apres la propriete 3.2, il y a existence d'un point xe et le multimotS = a^. appartient a la zone d'attraction de ce point xe.

Notons le point xe : ce sera le point xe principal.

Etude du point xe principal

En accord avec la denition 2.5, appelons cellule tout mot commencant para et terminant par une lettre dierente dea.

Propriete 4.1

Il existe des cellules

x

et

y

telles que

xy = '(x)

(d'ou

= xy'(y):::'^k(y):::

)

Demonstration 4.1

Cas C(1) = as¹:::sn ; n > 1 ; ⁹i < n tel que si =a. Soit x la premiere cellule constituant C(1) [elle existe car s^{1 6}=a]

Cas C(1) = as¹:::sn ; n > 1 ^{; 8}i < n^, si ⁶=a

! Si sn =a , posons x = as¹:::sn^?1aaas¹:::sn^?1

! Si sn ⁶=a ; posons x = as¹:::snaas¹:::sns¹

Cas C(1) = ab

! Si C(2) est de longueur > 1, on peut ecrire C(2) sous la forme C(2) = zaw (ou C(2) = z), z etant un sous-mot de C(2) ne contenant pas la lettre a (z pouvant ^etre eventuellement le mot vide).

Posons x = abaabbz

! Si C(2) = a et C(3) contient la lettre a : C(3) = zaw (z : mot ne contenant pas la lettre a).

Posons x = abaabbaaabz ^(cas w⁶=?^{) ou} x = abaabbaaabzaaabb ^(cas w = ?⁾

! Si C(2) = a et C(3) ne contient pas la lettre a : C(3) = z

14

Posons x = abaabbaaabzaabb

! Si C(2) = b

Si C(3) ne debute pas par la lettre a^{, posons} x = abaabbb^. Si C(3) = a^{, posons} x = aba²b³a²b²

Si C(3) = ac¹c²:::cq posons x = abaabbbaac¹c²:::cqbbaac¹ (casc^{2 6}=a) Si C(3) = ac¹a:::cq posons x = abaabbbaac¹

Si C(3) = ac¹ posons x = aba²b³a²c¹b²a²bc¹b³a²b² (casc^{1 6}=b, cas c¹ =best exclus).

! Si C(2) = c Posons x = abaabbc

On peut constater que dans tous les cas '(x) = xy. D'ou la propriete.

Existence d'autres points xes (ou cycles xes)

L'hypothese ^jC(1)^j > 1 a permis d'assurer l'existence du point xe et a aussi permis de preciser la forme de ce point xe ( = xy'(y)'²(y):::; x et y etant des cellules).

Mais pour denir exactement la zone d'attraction de , et pour pouvoir se prononcer sur l'eventuelle existence d'autres points xes (ou cycles), nous sommes obliges de nous donner C(2) et C(3) [sous une forme plus ou moins explicite].

Ainsi nous allons ^etre amenes a distinguer une quinzaine de cas particuliers. La technique de demonstration utilisee est celle de la decomposition de l'space A¹³ en union d'ensembles disjoints.

Nous allons illustrer cette technique sur deux exemples, avant de fournir le resultat general.

Exemple 1

Si

C(2)

et

C(3)

sont de longueur

> 1

alors le seul point xe est et sa zone d'attraction est

^S =A¹³

Demonstration

D'apres la propriete 3.2, a^. appartient a la zone d'attraction du point xe .

Or nous constatons que (^.1) =as¹s²:::sna^1..

Donc^.1 appartient a la zone d'attraction du point xe. Comme l'espace A¹³ se decompose en A¹³ =^.1[.2[.3, il ne reste plus qu'a examiner ^.2[.3.

Or (^.2) =c¹c²:::cq (si on pose C(2) = c¹c²:::cq;q2). On constate que : (^.2)^.1 ; de m^eme (^.3)^.1.

Donc (^.1[.2[.3)^.1

Comme (^.1) a^1. on en conclut que ^S est l'espace tout entier (Dont on retire le mot vide ?, qui est par convention un autre point xe de ').

Exemple 2

Si la fonction codage est donnee par

C(1) = as¹:::sn n > 1 15