Chapitre 21

Chapitre 21

Déterminants

Kdésigne le corps Rou Cetn, pdésignent deux entiers naturels non nuls.

I - Dénitions

I.1 - Déterminant d'une matrice carrée Définition 1 (Déterminant d’une matrice).

Soit A = (a_ij)_16i,j6n ∈ Mn(K) une matrice carrée. Le déterminant de A, noté det(A), le scalaire déni pardet(A) = P

σ∈Sn

ε(σ)a_σ(1)1· · ·a_σ(n)n. On note

det(A) =

a₁₁ · · · a_1n

... ...

a_n1 · · · a_nn

Exercice 1.

1. Déterminer le déterminant d'une matrice d'ordre 2 puis d'une matrice d'ordre 3. Interpréter ces quantités en termes d'aire et de volumes.

2.Déterminer le déterminant des matrices diagonales, deIn, deλInet des matrices triangulaires supérieures.

Propriété 1 (Déterminant et Transposée).

Soit A∈Mn(K). Alors, det(^tA) = det(A).

Exercice 2.Déterminer le déterminant des matrices triangulaires inférieures.

Propriétés 2 (Multilinéarité). Soit A= [C₁,· · · , C_n]∈Mn(K).

(i). Pour tout i ∈ J1, nK, l'application ϕ_i, dénie pour tout X ∈ Mn,1(K) par ϕ_i(X) = det([C₁, . . . , Ci−1, X, C_i+1,· · ·, C_n]) est une forme linéaire.

(ii). S'il existe i, j ∈J1, nKtels quei6=j etC_i =C_j, alorsdet(A) = 0.

(iii). Soient i, j ∈ J1, nK tels que i 6= j et λ ∈ K. Alors, det([C₁, . . . , C_n]) = det([C1, . . . , Ci−1, Ci+λCj, Ci+1, . . . , Cn]).

(iv). Pour toute permutation σ ∈S_n,det([C_σ(1), . . . , C_σ(n)]) =ε(σ)det([C1, . . . , Cn]).

Ces propriétés sont valables pour des opérations sur les lignes.

Exercice 3.Calculer, à l'aide d'opérations élémentaires 1.

1 2 3

1 −1 1

1 0 1

. 2.

1 0 4 5 1 2 2 3 1 .

Théorème 1 (Déterminant et Inversibilité).

Soit A∈Mn(K). La matrice A est inversible si et seulement sidet(A)6= 0. Exercice 4.Soit A=

a b

c d

. Déterminer une condition nécessaire et susante pour que A soit inversible.

Propriété 3.

Soient A, B ∈Mn(K). Alors,det(AB) = det(A)det(B). En particulier, si A ∈G`n(K), alors det(A⁻¹) = _det(A)¹ .

Stanislas A. Camanes

Chapitre 21. Déterminants MPSI 1

I.2 - Généralisations

Définition 2 (Déterminant d’un endomorphisme).

Soient u∈L(E) etB une base deE. Alors det(M_B(u)) est indépendant de la base choisie.

On le note det(u). Propriétés 4.

Soientu, v ∈L(E), λ∈K.

(i). det(u)6= 0si et seulement siu∈G`(E).

(ii). det(IdE) = 1.

(iii). det(u◦v) = det(u)det(v).

(iv). det(λu) =λⁿdet(u).

(v). Siu∈G`(E),det(u⁻¹) = det(u)⁻¹.

Définition 3 (Déterminant d’une famille de vecteurs).

Soit B une base de E et (u₁, . . . , u_n) une famille de n vecteurs de E. Le déterminant dans la base B de la famille (u₁, . . . , u_n) est le scalaire det(M_B(u₁, . . . , u_n)). On le note det_B(u1, . . . , un).

Propriétés 5.

Soit B une base deE et(u1, . . . , un)une famille de nvecteurs deE.

(i). (u1, . . . , un) est une base deE si et seulement si det_B(u1, . . . , un)6= 0.

(ii). Soitσ ∈S_n. Alors, det_B(u_σ(1), . . . , u_σ(n)) =ε(σ)det_B(u1, . . . , un).

(iii). Soienti∈J1, nKetλ∈K. Alors,

det_B(u₁, . . . , ui−1, u+λv, u_i+1, . . . , u_n) =det_B(u₁, . . . , ui−1, u, u_i+1, . . . , u_n) +λdet_B(u₁, . . . , ui−1, v, u_i+1, . . . , u_n).

(iv). det_B(B) = 1.

Propriété 6 (Changement de base).

SoientB,B⁰ deux bases de E et(u1, . . . , un) une famille den vecteurs deE. Alors, det_B⁰(u₁, . . . , u_n) = det_B⁰(B)·det_B(u₁, . . . , u_n).

Définition 4 (Orientation d’unR-espace vectoriel de dimensionn).

SoitE l'ensemble des bases deE. On noteR la relation binaire dénie surE parB1R B2 si et seulement sidet_B1(B2)>0.

Propriété 7 (Relation d’équivalence).

R est une relation d'équivalence et il y a exactement deux classes d'équivalence.

Définition 5 (Orientation).

E est orienté si on choisit une des deux classes d'équivalences. Les bases de cette classe sont orientées dans le sens positif (ou direct), les autres le sont dans le sens négatif (ou indirect).

Stanislas A. Camanes

Chapitre 21. Déterminants MPSI 1

II - Développement des déterminants On suppose dans cette partie quen>2.

II.1 - Développement selon les lignes / colonnes Définition 6 (Cofacteurs).

SoientA= (aij)_16i,j6n∈Mn(K)eti, j ∈J1, nK. On note∆ij le déterminant de la matrice de Mn−1(K)obtenue à partir de Aen supprimant la ligne iet la colonnej.

(i). Le mineur d'indice i, j deA est ∆_ij.

(ii). Le cofacteur d'indice i, j de A est(−1)^i+j∆ij.

Théorème 2 (Développement selon une ligne / colonne). Soit A= (aij)_16i,j6n∈Mn(K).

(i). Pour tout j∈J1, nK,det(A) =

n

P

i=1

a_ij(−1)^i+j∆_ij. (ii). Pour tout i∈J1, nK,det(A) =

n

P

j=1

aij(−1)^i+j∆ij. Exercice 5.

1. Soienta, b, c, d, α, β, γ, δdes réels. Calculer

a b 0 0

c d 0 0

0 0 α β

0 0 γ δ

.

2.SoientT1, . . . , Tp∈Mn(K)des matrices carrées d'ordrenetA= Diag(T1, . . . , Tp)∈Mnp(K). ExprimerdetAen fonction des déterminants des matricesT₁, . . . , T_p.

II.2 - Comatrice Définition 7 (Comatrice).

Soit A∈Mn(K). La comatrice de A, notée^cA, est la matrice de terme général(−1)^i+j∆_ij. Théorème 3.

Soit A∈Mn(K). Alors, A^t(^cA) =^t(^cA)A= det(A)In.

Exercice 6.Determiner l'inverse des matrices carrées d'ordre2 inversibles.

Corollaire 4 (Formules de Cramer).

Soit A= (a_ij)_16i,j6n ∈G`_n(K) etB = (b_j)_16j6n ∈Mn,1(K). Soit X = (x_j)_16j6n ∈Mn,1(K) la solution du systèmeAX =B. Alors,

∀ j∈J1, nK, x_j =

a11 · · · a1,j−1 b1 a1,j+1 · · · a1n

... ... ... ... ...

an1 · · · an,j−1 bn an,j+1 · · · ann

a11 · · · a1,j−1 a1j a1,j+1 · · · a1n

... ... ... ... ...

an1 · · · an,j−1 anj an,j+1 · · · ann

Exercice 7.Déterminer la complexité d'un algorithme naïf résolvant un système linéaire à l'aide des formules de Cramer.

Stanislas A. Camanes

Chapitre 21. Déterminants MPSI 1

II.3 - Déterminant de Vandermonde Théorème 5 (Déterminant de Vandermonde).

Soientn>2 etλ1, . . . , λn∈C. Alors,

V(λ₁, . . . , λ_n) =

1 . . . 1

λ1 · · · λn

... ... ...

λⁿ⁻¹₁ ... λⁿ⁻¹_n

= Y

16i<j6n

(λ_j−λ_i).

Exercice 8.Soient A∈Mn(K) et λ1, . . . , λp ∈Kdes valeurs propres distinctes de Ade vecteurs propres respectifsX₁, . . . , X_p, i.e. pour tout i∈J1, pK, il existeX_i ∈Mn(K)\{0}tel que AX_i= λiXi. Montrer que (X1, . . . , Xp)est une famille libre.

Propriété 8 (Interpolation de Lagrange). Soient n ∈ N et ((a_i, b_i))_i∈

J0,nK ∈ (R²)ⁿ⁺¹. Il existe un unique polynôme P ∈ Rn[X] tel que pour tout i∈J0, nK,P(ai) =bi si et seulement si les (ai)i∈J0,nK sont deux à deux distincts.

III - Applications multilinéaires

Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul, E, F deux K-espaces vectoriels et f : Eⁿ→F.

Définition 8 (Applicationn-linéaire).

Soit (u₁, . . . , u_n) ∈ Eⁿ. Pour tout i ∈ J1, nK, on note f_i : E → F, x 7→

f(u1, . . . , ui−1, x, ui+1, . . . , un). L'applicationf estn-linéaire si pour touti∈J1, nK, les appli- cationsfi sont linéaires. Si F =K, l'applicationf est une forme n-linéaire.

Exercice 9.Soit A ∈ Mn(R). Montrer que ϕ : Mn,1(R)×Mn,1(R) → R,(X, Y) 7→ ^tXAY est bilinéaire.

Définition 9 (Symétrique, Antisymétrique). (i). f est symétrique si

∀σ ∈S_n,∀ (u1, . . . , un)∈Eⁿ, f(u_σ(1), . . . , u_σ(n)) =f(u1, . . . , un).

(ii). f est antisymétrique si

∀σ ∈S_n,∀ (u1, . . . , un)∈Eⁿ, f(u_σ(1), . . . , u_σ(n)) =ε(σ)f(u1, . . . , un).

Exercice 10.En utilisant les notations de l'exercice précédent, trouver une condition nécessaire et susante pour que ϕsoit symétrique ? antisymétrique ?

Définition 10 (Alternée).

f est une application alternée si pour tous (x1, . . . , xn)∈Eⁿ etλ1, . . . , λn∈K, f x1, . . . , xi−1, xi+ P

k6=i

λkxk, xi+1, . . . , xn

!

=f(x1, . . . , xn). Propriété 9 (Alternée et Antisymétrique).

Toute application n-linéaire alternée est antisymétrique.

Théorème 6.

Soit E unK-espace vectoriel de dimension n. L'ensemble des formesn-linéaires alternées sur E est un espace vectoriel de dimension1.

Stanislas A. Camanes