Systèmes d’Euler pour les tours de courbes de Shimura

DE SHIMURA

par

OlivierFouquet

Résumé. Soit

F

^{unorpsdenombrestotalementréel.Nous}onstruisons danse quisuit unefamille analytique

T

^dereprésentations

p

^{-adiquesordi-}

nairesdugroupedeGalois

Gal( ¯ F /F )

^{àpartirdelaohomologieétaledetours}

deourbesdeShimuraquaternioniques.Nousonstruisonsensuiteunsystème

delassesdeohomologieéquivariantessousl'ationdel'algèbredeHekeet

des groupesde Galois d'extensions diédrales de

F

^{bien hoisies. Cesystème}

induitun systèmed'Eulerpour

T

^ettoutessesspéialisations,don enpar- tiulier pourles représentations

p

^{-adiquesassoiéesauxformes}automorphes quaternioniquesdepoidssupérieursà2.

Abstrat. Let

F

^{be a totally real eld. From the étale ohomology of}

towersofShimuraurves,wemanufatureananalytifamily

T

^ofordinary

p

^-

adirepresentationoftheGaloisgroup

Gal( ¯ F /F )

^{. Wethenonstrutasystem}

ofohomologylassesequivariantundertheationoftheHekealgebraandof

theGaloisgroupsofwell-hosendiedralextensionsof

F

^{. Thissystemindues}

an Euler system for

T

^{and all its} speializations, and inpartiular for the Galois representationsattahedtoquaternioniautomorphiformsof weight

greaterthan2.

1. Introdution

1.1. Motivation. Soit

X

^{un shéma projetif lisse sur un orps de}

nombres

K

^{. À}

X

^{et un entier}

n

^est onjeturalement assoié un motif

M = h ⁱ (X)(n)

^qui interviendra ii par ses réalisations ohomologiques étale, deBettietdedeRhamainsiquepar lesstruturessupplémentairesetisomor-

phismes de omparaisons aérents. Soit

p

^{un nombre premier. La} réalisation étale

M _p

^de

M

^{est une} représentation du groupe de Galois absolu

G _K

^de

Classiation mathématiquepar sujets (2000). 11R23,14G35,11F80,11 F33 .

Motslefs. Systémesd'Euler.CourbesdeShimura.ThéoriedeHida.

K

^{. Fixons un plongement de}

K

^dans

C

^{et un ensemble}

S

^{ni de plaes}

nies ontenant toutes les plaes de

K

^{au-dessus de}

p

^{ettoutes les plaes de}

mauvaise rédution de

M

^{. La fontion}

L

^{omplexe partielle de}

M _p

^{est alors}

déniepar leproduitinni :

L(M _p , K, S, s) = Y

l / ∈ S

det _{K p} (1 − Fr(l)X | M _p ^{I l} )

En

l / ∈ S

^,leshéma

X

^{abonnerédutiondonlefateur}

det _{K p} (1 − Fr(l)X | M _p ^{I p} )

appartientà

K[X]

^.Soit

L ^∗ (M p , K, S)

^{letermeprinipaldu}développement de Taylor de

L(M _p , K, S)

^en

0

^.

Lareformulationde [Kat93a℄et[FPR94℄desonjeturesde Bloh-Kato sur

lesvaleursspéiales desfontions

L

^{prédit l'existened'unedroite fondamen-}

tale

∆(M)

^{dénieàpartirde laohomologie motiviquede}

M

^{etde sonespae}

tangent.Par onstrution,la droite fondamentale

∆(M) ⊗ K C

^{est anonique-}

mentisomorpheà

C

^.Enpartiulier, le

C

^{-espaevetoriel}

∆(M) ⊗ K C

^ontient

L ^∗ (M p , K, S)

^{.C'estuneonjetureprofondede[Del79℄et[Be84℄quelapré-}

image des valeurs spéiales dans

∆(M ) ⊗ K C

^{provient en fait d'un élément}

ζ _M (K, S)

^de

∆(M)

^{.Lesonjeturesde Bloh-Katoprédisentalorsquel'image}

de

ζ _M (K, S)

^dans

∆(M ) ⊗ K K _p

^{engendreunestrutureentièredansunertain}

omplexede ohomologie à supportompat.

Supposons maintenant que

M

^{soit muni d'une ation} supplémentaire d'une

Q

^-algèbresemi-simpleommutative

A

^,ouenoreque

M

^{estàoeientsdans}

A

^.Laphilosophie desonjetureséquivariantessurles nombresde Tamagawa

préditquelaonstrutionpréédentede

ζ _M (K, S)

^estéquivariante,equisigni- e enpartiulier que les

ζ _M (K, S)

^{vérient desrelations de systèmes d'Euler.}

Supposons par ailleursque la représentation résiduelle de

M _p

^{est absolument}

irrédutible.La théorie de la déformation de [Maz89℄implique alors que

M _p

estunespéialisationd'unereprésentationgaloisienneuniverselle

M ^univ

^àoef-

ientsdansunanneau universeldedéformation

R ^univ

^{.Sil'onserestreint aux}

déformation vériant ertaines onditions, il est souvent possible d'identier

l'anneau

R ^univ

^aveunanneau

T

^dont

A

^estunespéialisation.Danseas,le systèmedes

{ ζ _{M n} (K, S) }

^pour

M _n

^dansunsous-ensemblebienhoisidedéfor- mationsde

M

^{donne naissaneà un système}équivariant pour ladéformation universelle

M ^univ

^.

Conjeturalement, il est don possible sous ertaines hypothèses d'assoier à

une représentation galoisienne géométrique

M

^{des systèmes d'éléments spé-}

iauxéquivariantsreliésauxvaleursspéialesdesfontions

L

^{et quis'étendent}

en unsystème spéialéquivariant pour ertaines déformations universelles de

M

^.

1.2. Exemples fondamentaux. Les onjetures évoquées i-dessusa-

quièrent unsens très onret danslesexempleslassiquessuivants.

1.2.1. Théorie d'Iwasawa lassique. Soit

M

^{le motif}

Q (1)

^et

p

^un

nombre premier impair. Pour

L

^{un extension abélienne de}

Q

^{, soit}

X _L = Q (1) × Spec Q Spec L

^et

M _L

^{lemotif assoié.Le motif}

M _L

^{estmunid'uneation}

de

Q [Gal(L/ Q )]

^.La réalisation étale de

M L

^en

p

^{est la}représentation

lim ←− _n µ _p ⁿ ( ¯ L) ⊗ Z Q

qui est de dimension 1, don absolument irrédutible, et admet la struture

entière

T _L = lim

←− _n µ _p ⁿ ( ¯ L)

Supposons

L

^{totalement réelle et non-ramiée en dehors de}

S

^{. Il est montré}

dans[Kat93a, Kat93b℄5.14 et 3.3.5 respetivement (voir aussi [BG03℄5.1

et [Fla04℄ théorème 5.9) que l'image de

ζ(L, S )

^dans

H _et ¹ (Spec[ Z , 1/S], T _L )

s'identie ave l'image d'unités ylotomiques bien hoisies. Dans e as, la

propriétéd'équivariane des

ζ(L, S)

^{setraduit par lefaitque lesunités ylo-}

tomiquesforment un systèmed'Euler au sensde [Rub00, Kat04℄.

Soit

Q ∞ / Q

^la

Z ^p

^{-extensionylotomiquede}

Q

^et

Λ

^l'anneau

Z ^p [[Gal( Q ∞ / Q )]]

^.

Ladéformation universelle de

T

^{est le}

Λ

^-module

T ⊗ Z ^p Λ

^{. Il estonnu quele}

systèmed'Euler desunités ylotomiques s'étenden un systèmed'Euler pour

T ⊗ _Z p Λ

^.

1.2.2. Toursdeourbesmodulaires. Soit

M

^{lemotifd'uneformemodulaire}

f ∈ S ₂ (Γ ₁ (N p ^{s 0} ), χ)

^{propre, nouvelle etordinaire en}

p

^.Laréalisation étale de

M _p

^{peuts'érire souslaforme}

H _et ¹ (X 1 (N p ^{s 0} ) × Q Q ¯ , Q ¯ ^p ) _m

pour

m

^{un idéal maximal de l'algèbre de Heke}

h ^ord (N p ^{s 0} )

^{. Supposons que}

lareprésentation résiduelle

ρ ¯ _f

^{est une} représentation absolument irrédutible de

Gal( ¯ Q / Q )

^{. Pour}

s

^{plus grand que}

s 0

^{, soit}

M s

^{le motif modulaire dont la}

réalisationétale est

H _et ¹ (X ₁ (N p ^s ) × _Q Q ¯ , Q ¯ p ) _m

Les motifs

M _s

^{sont munis d'une ation de la limite inverse}

h ^ord (N p ^∞ )

^en

s

des algèbres de Heke ordinaires. Les éléments

ζ _s ( Q , S)

^{assoiés à}

M _s

^sont

onstruitsdans[Kat04℄etvérientlarelationd'équivarianevouluesousl'a-

tion de

h ^ord (N p ^∞ )

^{: la projetion de}

ζ _s ′ ( Q , S)

^dans

∆(M s )

^{induite par la}

projetionde

X ₁ (N p ^{s ′} )

^sur

X ₁ (N p ^s )

^estégaleà

ζ _s ( Q , S)

^.Éventuellementsous quelqueshypothèsestehniques de théorie de déformation, l'anneau de défor-

mationuniverselle ordinaire de

M _p

^{s'identie à}

h ^ord (N p ^∞ )

^{, voir par exemple}

[Wil95℄ et [SW01℄, si bien que le système des

ζ s ( Q , S)

^{dénit un système}

d'Euler pour ladéformation universelle ordinairede

M _p

^.

ourbedeShimura. Soit

X

^{unourbe deShimura} quaternionique surunorps de nombre totalement réel

F

^et

M _p

^laréalisation étale dumotif assoiépour

p

^{un nombre premier impair. Nous} onstruisons une déformation ordinaire

de

M

^{à partir de tours de ourbes au-dessus de}

X

^{. Nous montrons ensuite}

que ertains points CM bien hoisis dans ette tour de ourbes fournissent

des lasses de ohomologie vériant les propriétés d'équivariane souhaitées

sous l'ation de l'algèbre de Heke et sous l'ation de

Gal(L/K )

^où

K

^est

une extension totalement omplexe de

F

^et

L

^{une extension abélienne de}

K

diédralesur

F

^.Enpartiulier,nousonstruisonsainsiunsystèmed'Eulerpour ladéformationuniverselleordinairede

M _p

^.Enspéialisantesystèmed'Euler, nousobtenons ainsidessystèmesd'Euler pourlesreprésentationsgaloisiennes

assoiées aux formes automorphes ordinaires de poids supèrieur à 2, e qui

réaliseunegénéralisationommunedusystèmed'Euleronstruitdans[Nek04℄

etdes résultatsde [How07℄.

2. Tours de ourbes de Shimura

2.1. Notations. Pour

K

^{un orps de nombres ou une extension nie de}

Q l

^,nousnotons

G K

^{legroupedeGaloisabsolude}

K

^.Soit

p

^{unnombrepremier}

impairet

O

^{l'anneau desentiersd'une extension niede}

Q p

^.Soit

F

^{un orps}

denombrestotalement réeldedegré

d

^.Soit

τ ₁

^{l'une desesplaes innies.Soit}

S _B

^{unensemble nideplaes} non-arhimédiennes de

F

^{tel que:}

| S _B | ≡ d − 1 (mod 2)

Soit

Ram(B) = { τ _j | j 6 = 1 } ∪ S _B

^et

B

^{l'unique algèbre de} quaternions sur

F

^{dont l'ensemble de ramiation est exatement}

Ram(B)

^{. Soit}

G

^{le groupe}

rédutif sur

Q

^{tel que}

G( Q ) = B ^×

^{et soit}

Z

^{son entre. Soit}

A f

^l'anneau

desadèles niesde

Q

^.Pour

U

^unsous-groupe ompat ouvert de

G( A f )

^,soit

X(U )

^{la ourbede Shimura telleque:}

X(U )( C ) = G( Q ) \ ( C − R × G( A f )/U )

Si

F

^estégalà

Q

^et

B

^est

M 2 ( Q )

^{,nousnotonsenore}

X(U )

^laompatiation lissede

X(U )

^{,si bienquelaourbe}

X(U )

^{esttoujours supposée ompate.}

Si

U ^′

^et

U

^{sont des} sous-groupes ompats ouverts de

G( A ^f )

^susamment

petitsettels que

U ^′ ⊂ U

^{,il existe uneappliation plate nienaturelle :}

X(U ^′ ) −→ X(U )

Enpartiulier, si

g ∈ G( A f )

^,lesous-groupe

U ∩ gU g ^{− 1}

^estinlusdans

U

^don

ilexiste undiagramme

X(U ∩ gU g ^{− 1} ) ^{[ · g] //}

X(g ^{− 1} U g ∩ U )

X(U ) ^{_ _ _ _ T _ (g) _ _ _ _ _ //} X(U )

dénissant la orrespondane de Heke

T(g)

^{. Un élément}

a

^de

A f

^{peut être}

onsidéréommeun élément de

G( A ^f )

^vial'isomorphisme

A f ∼

−→ Z (G( A f ))

et dénit don une orrespondane sur

X(U )

^notée

< a >

^{. Cette ation se}

fatoriseà travers ungroupe ni

G(U )

^{. Si}

g ∈ G( A ^f )

^vérie

g =

1 0 0 ̟ _v

en

v

^{etestégale àl'identité horsde}

v

^,nousnotons

T (g) = T (v)

^{.L'algèbre de}

Heke

h

^estla

O

^{-algèbre engendrée par les}

T (v)

^{et les}

< a >

^.

2.2. Tours deourbes deShimura. Considéronsmaintenant unetour

{ U (s) } s≥1

^de sous-groupesompats ouverts de

G( A f )

^{.Supposonsque}

U (s) _v

soitindépendantde

s

^en

v ∤ (p)

^etque

U (s) _v

^{tendeversl'identitéen}

v | (p)

^.Soit

X(s)

^{la ourbe}

X(U (s))

^et

M (s)

^{son premier groupe de ohomologie étale à}

oeients dans

O

^.Soit

G = lim

←− _s G _s = lim

←− _s G(U (s))

Vu ommesous-algèbre de

End(M (s))

^,l'algèbre

h

^{est une algèbre sur}

O [[G]]

^.

Sipour simplier noussupposonsque

U (s) _v

^{est maximal en dehors de}

(p)

^et

que

U (s) _v = { g ∈ GL ₂ ( O F,v ) | g ≡ ∗ ∗

0 1

mod ̟ _v ^s }

en

(p)

^{, nous voyons que}

G/G tors

^{est isomorphe à}

Z ^1+δ p

^où

δ

^{est le défaut de}

laonjeturede Leopoldt. Ladualité dePoinaré induit un aouplement sur

H _et ¹ (X(s) × F F , ¯ O )

^{pour haqueniveau}

s

^.

< · , · > : H _et ¹ (X(s) × F , ¯ O ) × H _et ¹ (X(s) × F , ¯ O ) −→ O ( − 1)

Cetaouplement n'est pasompatible ave l'ation de l'algèbre de Heke, e

qui est déjà apparent dans le as lassique des ourbes modulaires

X ₁ (N p ^s )

^.

Soit

M

^un

h[G _F ]

^-module

M

^{dont l'ation de}

σ ∈ G _F

^sur

x ∈ M

^{est notée}

σx

^.Le

h[G F ]

^-module

M < n >

^{estdéniégalà}

M

^{entant que}

h

^-moduleettel

que

σ ∈ G _F

^{agisse sur}

x ∈ M < n >

^par

< χ _cyc (σ) >σx

^.Soit

F [s]

^{le orps des}

onstantesde

X(s)

^{dénidans[Del71℄.Leshéma}

X(s) × F F [s]

^estmunid'un

F[s]

^-morphisme

W _s

généralisant l'involution deFrike.

Lemme 2.1. Soit

M(s)

^{le groupe de ohomologie}

H _et ¹ (X(s) × F F , ¯ O )

^{. La}

dualité dePoinaré etl'involution deFrike

W s

^{dénissent un aouplement :}

( · , · ) : M (s) × M (s) −→ O ( − 1)

(1)

(x, y) 7−→ < x, W _s y >

Cet aouplement induit unisomorphisme de

h[G F ]

^{-modules :}

α : M (s) −→ ^∼ Hom _O (M (s), O )( − 1)< − 1 >

Soit

e ^ord

^{le projeteur ordinaire de Hida. Par dénition,} l'opérateur de Heke

T(p)

^{est inversible sur l'image de}

e ^ord

^.Soit

m

^{un idéal maximal de l'algèbre}

semi-loale

h ^ord

^.

M _m ^ord = lim

←− _s e ^ord _m H _et ¹ (X(s) × F F , ¯ O )

Unepartiedelasubtilitédeetteonstrutionprovientdusensexatàdonner

àlalimite

lim

←− _s

.Eneet, l'appliation de transitionnaturelle

X(s + 1)

π

X(s)

induit

π _∗ : H _et ¹ (X(s + 1) × F F , ¯ O ) −→ p ^N H _et ¹ (X(s) × F F , ¯ O )

pour uneertaine puissane

p ^N

^de

p

^{.Lalimite inverse pour}

π _∗

^{estdon nulle.}

Lalimite est don prise relativement à

X(s + 1)

π g

88

[ · g]

// X(s + 1) ^{π //} X(s)

pour

g =

1 0 0 ̟ _v

en

v | p

^{. La projetion sur la partie ordinaire assure que ette onstrution a}

bienunsens.

L'aouplementdulemme2.1estompatibleavelalimiteinverseen

s

^etdéni

donunaouplement sur

M _m ^ord

^{quifaitde edernier un}

O [[G/G tors ]]

^-module

réexif.Supposonsque

F

^{vérie laonjeturedeLeopoldt en}

p

^{.Dans e as:}

G/G _tors −→ ^∼ Z p

Lemodule

M _m ^ord

^{estdonréexifderangnisurunanneau régulierde dimen-}

sion2.Il estdon libre.

Remarque : Cet artilenetraitepourdesraisonsdebriévetéqueduasdes

struturesdeniveau

U (s)

^{detype :}

U (s) _v = { g ∈ GL ₂ ( O F,v ) | g ≡ ∗ ∗

0 1

mod ̟ _v ^s }

Leasd'unestruturedeniveaugénéraleseréduisantàl'identitéen

v

^divisant

p

^{n'est pas}signiativement diérent. Dans e as plus général, la liberté de

M _m ^ord

^sur

O [[G/G _tors ]]

^{sedémontreeninvoquantunthéorèmedeontrleexat,}

voir[Fou07a℄pour unedémonstration.

2.3. Représentations galoisiennes assoiées à

M _m ^ord

^{. La théorie de}

Hidaimpliquequelareprésentation galoisienne

M _m ^ord

^{interpole les}représenta- tions galoisiennes attahées à ertaines formes modulaires de Hilbert propres

ordinaires.Soit

Spec ^arith (h ^ord _m ) ⊂ Spec(h ^ord _m )

^lesous-ensembledensedespoints arithmétiques de

Spec(h ^ord _m )

^{. Soit}

P ∈ Spec ^arith (h ^ord _m )

^{un point} arithmétique et

f _P

^{laformeautomorphe quilui estassoié. La}représentation

(M _m ^ord ) _P / P (M _m ^ord ) _P

est isomorphe à lareprésentation galoisienne assoiée à une forme modulaire

deHilbertordinaire propre, voir parexemple [Hid88℄orollaire3.5. Soit

λ : h ^ord −→ h ^ord _m

lemorphisme anonique assoié à

m

^et

M _m ^ord (s) = e ^ord _m M (s)

^.Soit

ρ ¯ m

^la

G F

^-

représentation résiduelleassoiée àl'idéal

m

^.

Proposition 2.2. Supposonsque

ρ ¯ _f

^{estabsolument}irrédutible.Supposons deplus l'une des deux onditions suivantes.

1. Il existe un niveau

s

^{tel que :}

dim _F e ^ord _m H _et ¹ (X(S) × F F , ¯ O /̟)[m] = 2

Autrement dit,l'idéal

m

^{est de} multipliité résiduelle 1.

2. L'entier

p

^{est plusgrand que 7. Soit}

L = F(ζ _p )

^{. La} représentation

ρ ¯ _{m | G L}

est absolument irrédutible. Soit

v

^{une plae nie au dessus de}

p

^{. Alors}

l'extension dénie par

ρ ¯ _{m | I v}

^{n'est pas} équivalente à :

0 −→ F −→ ρ ¯ _{m | I v} −→ F ( − 1) −→ 0

Autrement dit,le type dedéformation de

ρ ¯ _f

^{est minimal.}

Alors

M _m ^ord

^{est libre de rang2 sur}

h ^ord _m

^{qui est un anneaude} Gorenstein. Sous l'hypothèse 2, l'anneau

h ^ord _m

^est d'intersetion omplète. De plus, la représen- tation

M _m ^ord

^{est non-ramiée en dehors de}

S _B ∪ { v | p }

^{. Soit}

v

^{une plae n'ap-}

partenant pas à

S _B ∪ { v | p }

^{. Soit}

χ _Γ

^{le aratère à valeurs dans}

O [[G/G _tors ]]

dénipar la omposition :

χ _Γ : G _F ։ Gal(F Q ∞ / Q ) −→ ^∼ Z p ֒ → O [[G/G _tors ]] ^×

Il existe alors un aratère

ω

^{tel que la} représentation

M _m ^ord

^{vérie :}

(2)

det(1 − X Fr(v) | M _m ^ord ) = 1 − λ _m (T (v))X + ω(Fr(v))χ _Γ (Fr(v))N _{F/ Q} ̟ _v X ²

Démonstration. Sousl'hypothèse1,lelemme15.1de[Maz77℄,lethéorème

et la proposition 1.4.19 de [Car94℄ généralisés au ontexte des ourbes de

Shimura montrent que

M _m ^ord

^{est libre de rang 2 sur}

h ^ord _m

^{et que}

h ^ord _m

^{est un}

anneaudeGorenstein.Sousl'hypothèse2,lalibertéde

M _m ^ord

^etlefaitque

h ^ord _m

soitd'intersetionomplète résultent du théorème1 de [Fuj99℄.

Pour obtenir l'assertion (2), ilsut d'établir un résultat omparable pour un

sous-ensemble Zariski dense de

Spec(h ^ord _m )

^{. Pour le hoix}

Spec ^arith (h ^ord _m )

^{, il}

s'agitalors du orollaire3.5de [Hid88℄.

Silearatère

ω

^{restreint à}

G _tors

^{estunarré,alors}

ω

^peuts'érire

ω = χ ²

^.Le

aratère

χ _Γ

^estunarréar

p

^{estimpair.Soit}

χ ⁻ _Γ ^1/2

^{unhoixxédearatère}

dont le arré est égal à l'inverse de

χ _Γ

^{. La} représentation

T = M _m ^ord (1) ⊗ χ ⁻¹ χ ⁻ _Γ ^1/2

^{vérie :}

T −→ ^∼ Hom _{O [[G/G tors ]]} ( T , O [[G/G _tors ]])(1)

−→ ∼ Hom _h ord

m ( T , Hom _{O [[G/G tors ]]} (h ^ord _m , O [[G/G _tors ]]))

L'anneau

h ^ord _m

^{estde Gorensteindon}

T −→ ^∼ Hom _h ord

m ( T , h ^ord _m )(1)

et la représentation

T

^{est don} auto-duale. L'obstrution à e que

ω

^soit

un arré provient de la

2

^{-torsion de}

G _∞

^{. Nous faisons} l'hypothèse que ette onstrution estpossible.

Soit

v

^{unplae au-dessusde}

p

^{.D'après[Wil88℄théorème2,le}

G _{F v}

^-module

T

s'inséredansune suiteexate

0 −→ T v ⁺ −→ T −→ T v ⁻ −→ 0

où

T v ⁺

^{est un}

h ^ord _m

^{-module libre de rang 1 non-ramié. Autrement dit, la re-}

présentation

T

^{estordinaire ausens de Greenberg.}

3. Systèmes d'Euler pour

T

^Iw

3.1. PointsCM dans la tour

X(s)

^{. Soit}

K

^{une extension}quadratique totalement imaginaire de

F

^{seplongeant dans}

B

^par

q : K ֒ → B

Soit

q : A f (K) ֒ → G( A f )

leplongement idèliqueinduit.

Le demi-plan supérieur admet un unique point xe

z

^{sous l'ation du groupe}

multipliatif de

K

^{. L'ensemble des points CM sur}

X(s)

^{relatif à}

K

^{est l'en-}

semble

CM (X(s), K ) = { x = [z, b] ∈ X(s)( C ) | b ∈ G( A f ) }

D'après la loi de réiproité de Shimura, les points CM sont algébriques sur

desextensionsabéliennes de

K

^{diédrales sur}

F

^{. Nousonsidérons une famille}

depoints

x(c, s) ∈ X(s)(K ^ab )

^danslatour

{ X(s) }

^{déritepar ladonnée d'un}

point CMinitial

x = [z, b]

^{etdemodiations loalesde}

x

^{assoiéesá unidéal}

c

^de

O F

^premierà

Ram(B)

^{,leonduteurde}

x(c, s)

^{,etàunentier}

s

^,leniveau

de

x(c, s)

^{. Lepoint}

x(c, s)

^{estdénipar :}

x(c, s) = [z, bb(c, s)]

Loalement, l'élément

b(c, s) ∈ G( A f )

^{est donnépar :}

1. Endehors de

c(p)

^,

b(c, s) _v

^estl'identité.

2. En

v | c

^et

v ∤ (p)

^:

b(c, s) v =

̟ _v 0

0 1

3. En

v | (p)

^,soit

t = ord _v c

^.

b(c, s) =

̟ ^s+t _v 0

0 1

Ces pointsgénéralisent dansnotre ontexte lespointsde Heegner sur

X ₀ (N )

^.

L'ationde

Gal( ¯ K/K) ^ab

^{sur lafamille}

x(c, s)

^{peut être dérite} expliitement.

La propriété fondamentale des

x(c, s)

^{est la relation de} distribution suivante liant l'ation galoisiennesur

x(c, s)

^{à l'ation del'algèbre deHeke.}

Proposition 3.1. Soit

L

^{l'ensemble des produits d'unepuissane de}

p

^et

de premiers distints

O F

^{inertes dans}

O K

^{, n}'appartenant pas à

S _B

^{et ne di-}

visant pas un idéal dépendant de

x

^{et des éléments de torsion de}

O _K ^×

^(voir

[Fou07b℄proposition1.5.7ou[Nek04℄proposition2.10pourlesdétails).Soit

cl

^{un élément de}

L

^.

(3)

T (l)x(c, s) = u(c) X

σ∈Gal(K(cl,s)/K(c,s))

σ · x(cl, s)

(4)

T (p)x(c, s) = X

σ ∈ Gal(K(c,s+1)/K(c,s))

σ · x(c, s + 1)

Le terme

u(c)

^{est égalà 1 saufsi}

c = 1

^{auquel as}

u(c) = |O _K ^× / O ^× _F |

^.

Aprèsprojetionsurlapartieordinaire, lepoint

x(c, s)

^{peutêtrevuommeun}

élémentsde

CH ¹ (X(s) × F K (c, s)) 0 ⊗ Z O

^.L'appliationd'Abel-Jaobi

p

^-adique

Φ : CH ¹ (X(s) × F K(c, s)) ₀ −→ H ¹ (K(c, s), e ^ord H _et ¹ (X(s) × F , ¯ O )(1))

permet don de onstruire des lasses de ohomologie dans la ohomologie

galoisienne de

H _et ¹ (X(s) × F , ¯ O )(1)

^{à partir de}

x(c, s)

^{. Plus} préisément, la onstrution

e ^ord _m CH ¹ (X(S) × F K(c, s)) ⊗ Z O ^{Φ //} H ¹ (K(c, s), M _m ^ord (s)(1))

∼

H ¹ (K 0 (c, s), M _m ^ord (s)(1) ⊗ χ ^{− 1} χ ⁻ _Γ ^1/2 )

Cor _cs/c

H ¹ (K(c, s), M _m ^ord (s)(1) ⊗ χ ^{− 1} χ ⁻ _Γ ^1/2 )

res ⁻¹

oo

H ¹ (K ₀ (c), M _m ^ord (s)(1) ⊗ χ ^{− 1} χ ⁻ _Γ ^1/2 ) ^{T (p)}

− s

// H ¹ (K ₀ (c), M ^ord _m (s)(1) ⊗ χ ^{− 1} χ ^{− 1/2} _Γ )

fournitdeslasses

z(c, s)

^dans

H ¹ (K ₀ (c), M _m ^ord (s)(1) ⊗ χ ^{− 1} χ ^−1/2 _Γ )

^{.Lapropriété}

(4) montrealors queles

{ z(c, s) } s

^{,ou pluspréisément une trèslégèremodi-}

ationdes

z(c, s)

^{,forment unsystèmeprojetif pourlehangement de niveau.}

Don:

(5)

z(c) = lim

←− _s z(c, s) ∈ H ¹ (K ₀ (c), T )

Soit

K ⊂ K 1 ⊂ · · · ⊂ K n ⊂ · · · ⊂ K _∞

latourd'extensionsdénissantla

Z ^d p

^-extensionde

K

^diédralesur

F

^.L'algèbre

degroupe

O [[Gal(K _∞ /K)]]

^{est isomorpheà}

O [[X ₁ , · · · , X _d ]]

^{.Lapropriété(3)}

montre alors que les

{ z(cp ^t , s) } t

^{forment un système projetif pour la ores-}

trition.Don:

(6)

z(c) = lim

←− _t z(cp ^t , s) ∈ lim

←− _t H ¹ (K ₀ (cp ^t ), T )

D'aprèslelemme deShapiro :

lim ←− _t H ¹ (K ₀ (cp ^t ), T ) −→ ^∼ H ¹ (K ₀ (c), T ⊗ _h ^ord _m h ^ord _m [[X ₁ , · · · , X _d ]])

Soit:

T Iw = T ⊗ h ^ord _m h ^ord _m [[X ₁ , · · · , X _d ]]

Lapropriétésuivantevientompléter lapreuvequeles lasses

z(c)

^vérientles

relations aratéristiquesd'unsystmed'Euler.

Proposition 3.2. Soit

cl ∈

^{. Soit}

v

^{une plae de}

K(c)

^{au-dessus de}

l

^et

w

l'unique plae de

K (cl)

^{au-dessus de}

v

^{. Soit}

Fr(l)

^{la lasse deonjugaison du}

morphisme deFrobenius de

l

^{. Alors:}

(7)

loc _w z(cl) = u(1) Fr(l) loc _w z(c) ∈ H ¹ (K(cl) _w , T Iw )

3.2. Propriétés loales des lasses équivariantes. Pour

L

^{une ex-}

tension nie de

K

^{, soit}

H _f ¹ (L, T Iw )

^{le groupe de Selmer de Greenberg déni}

par :

H _f ¹ (L, T Iw ) = ker



H ¹ (L, T Iw ) −→ M

v ∤ p

H ¹ (L ^nr _v , T Iw ) ⊕ M

v | p

H ¹ (L _v , ( T Iw ) ⁻ _v )





Leslassesde

H _f ¹ (L, T Iw )

^sontdonnon-ramiéesendehorsde

p

^{etnullesaprès}

projetion danslaohomologie de

T _Iw ⁻

^{en lesplaes divisant}

p

^.

Théorème 1. Les lasses

z(c)

^{vérient :}

z(c) ∈ H _f ¹ (K(c), T Iw )

Remarque. La démonstrationquisuit estuneadaptation desméthodesde

B.Howard quitraite leas

F = Q

^{dansl'artile [How07℄.}

Démonstration. En dehors de

p

^, l'assertion (6) montre que

z(c)

^{est une}

norme universelle d'une sous

Z ^p

^{-extension de}

K ₀ (cp ^∞ )/K ₀ (c)

^{. La lasse}

z(c)

estdon non-ramiée,par exemple par [Rub00℄orollaire B.3.5.

En

p

^{, on ommene par étudier la} loalisation de

z(c)

^{en un idéal premier}

arithmétique

P

^{de poids 2. Soit}

f _P

^{la forme modulaire propre ordinaire as-}

soiée á

P

^et

V (f _P )

^la représentation galoisienne qui lui est assoiée. Quitte à onsidérer

z(c) _P

^{omme lasse de}

H ¹ (L, T Iw ⊗ R _P )

^{pour une extension}

L

bienhoisie, la lasse

z(c) _P

^{peut-être vue omme lasse de}

H ¹ (L, V (f _P ))

^{. La}

lasse

z(c) _P

^{est par dénition dans l'image de} l'appliation d'Abel-Jaobi

p

^-

adiquedon danslegroupedeSelmerdeBloh-Kato d'après[BK90℄exemple

3.11.D'après[Nek06℄proposition12.5.9.2, lesgroupesdeSelmeretdeBloh-

Kato oïnident pour la représentation attahée à une forme modulaire ordi-

naire. La lasse

z(c) _P

^{appartient don à}

P H ¹ (K ₀ (c), T _Iw ⁻ ) _P

^{pour une innité}

de

P

^{. Cei montre que}

z(c)

^{est un élément de}

H ¹ (K ₀ (c), T Iw ⁻ ) _tors

^{. Le module}

H ¹ (K ₀ (c), T _Iw ⁻ ) _tors

^{est de type ni sur}

R

^{, don} noethérien. La lasse

z(c)

^est

dans l'image de la orestrition d'une

Z p

-extension, don divisible. Elle est donnulle.

admettantunestruturede niveau xenon-triviale

N

^endehorsde

p

^.Danse

as,monrésultat est plusfaible.

Théorème 2. Il existe un élément régulier

λ ∈ R _{T Iw}

^{tel que pour tout}

c ∈ L

^{, la lasse}

λz(c)

^{soit dans}

H _f ¹ (K(c), T Iw )

^{. Si toutes les plaes divisant}

N

^se

déomposent dans

K

^{, alors}

λ = 1

^onvient.

Lorsque

F

^estégalà

Q

^etque

B = M 2 ( Q )

^{,erésultataétéétabliparBenjamin}

Howard dans[How07℄.

Les théorèmes 1 et 2 ainsi que les assertions (3 )et (7) montrent que les

z(c)

forment un systèmed'Euler pour

T Iw

^.

3.3. Conséquenes. Soit

R = h ^ord _m [[X ₁ , · · · , X _d ]]

^{. Soit}

S

^{l'anneau des}

entiersd'uneextensionniede

Frac( O )

^.Soit

Sp

^unespéialisationde

R

^,'est-

à-dire unmorphismede

O

^-algèbre

Sp : R −→ S

de onoyau ni. La spéialisation

Sp

^{induit une} spéialisation

T _Sp

^de

T Iw

déniepar :

T _Sp = T Iw ⊗ R,Sp S, A _Sp = T Iw ⊗ R,Sp Frac(S)/S

L'existene d'un système d'Euler pour

T Iw

^{implique l'existene d'un système}

d'Eulerpourhaque

T _Sp

^{.Silesystème}

z(c)

^estnon-trivial,ilinduitunsystème non-trivial quenous notonségalement

z(c)

^{pour presquetoutes les spéialisa-}

tions de

Sp

^{. Soit}

v

^{une plae de}

F

^divisant

p

^{. Une} spéialisation

T _Sp

^vue

omme représentation de

G _{F v}

^{s'insère danslasuite exateordinaire}

0 −→ (T _Sp ) ⁺ _v −→ T _Sp −→ (T _Sp ) ⁻ _v −→ 0

Unespéialisation

T _Sp

^estditeexeptionnelles'ilexisteuneextensionnie

L _w

de

F _v

^telleque

H ⁰ (G _{L w} , (T _Sp ) ⁻ _w )

^{soit non-nul.}

Parmi les spéialisations de

T Iw

^{setrouvent en partiulier les} représentations galoisiennes assoiées aux formes automorphes de représentation résiduelle

ρ ¯

éventuellement tordue par un aratère de

Gal(K _∞ /K)

^{.Le fait que de telles}

représentations admettent un système d'Euler était déjà onnu dans le as

où

F = Q

^et

B = M 2 ( Q )

^{par [Kol90, Nek92, How07℄ et pour les formes}

automorphessur

F

^{totalement réelde poids parallèles}

2, · · · , 2

^etdearatère

entral trivial par [Nek04℄.

Commedans[Kol90, Nek92, How04a℄,nouspouvonsonsidérer les lasses

κ(c)

^{dérivéesde Kolyvaginde}

z(c)

^.

Proposition 3.3. Supposons la représentation

ρ ¯

non-diédrale.Il existe un entier

n

^{tel que les lasses dérivées}

p ⁿ κ(c)

^{forment un système de Kolyvagin}

pour

T Sp

^{. Autrementdit, il existe un systèmede onditions loales tel que}

p ⁿ κ(c) ∈ H _f(c) ¹ (K, T _Sp /I _c T _Sp )

ettel quesi

l ∤ c

^:

loc _l κ(c) = − Fr(l) loc _l κ(cl)

Remarque : Une étude ne des propriétés des lasses dérivées et de leurs

images dansla ohomologie de

G K v

^{permet de démontrer la}proposition pré- édente sanslapuissane de

p

^{superue, voir pour ela[Fou07a℄.}

Corollaire 3.4. Supposonsque l'imagede

ρ ¯

^{ontienneassez}d'homothéties et que la spéialisation

T _Sp

^{ne soit pas} exeptionnelle. Supposons que l'image de

z(1)

^dans

H _f ¹ (K, T _Sp )

^{nesoit pas detorsion. Alors :}

H _f ¹ (K, A _Sp ) = Frac(S)/S ⊕ M ⊕ M

Et :

ℓ(M ) ≤ ℓ(H _f ¹ (K, T _Sp )/S · p ⁿ z(1))

Démonstration. Ceirésultedel'existened'unsystèmede Kolyvaginnon-

nul pour

T _Sp

^{et de la méthode dessystèmes d'Euler telle que présentée dans}

[Nek92℄etaxiomatiséedans[How04a, How04b℄.

Des tehniques de desente sur les groupes de Selmer, ou mieux sur les om-

plexesdeSelmer,permettentdedéduireduorollairepréédentdesdivisibilités

entreidéauxaratéristiquesdanslathéoried'Iwasawa diédraledesformesau-

tomorphesquaternioniques ordinaires.

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^E-mail: olivier.fouquetpolytehnique.or g Url:http://math.jussieu.fr/

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olivierfo uquet x/