Cours
Physique-P07
Circuits RL
1- La bobine en convention récepteur
1-1- Représentation symbolique
Une bobine est constituée d'un enroulement serré de fil conducteur enrobé d'un matériau isolant. Ce fil conducteur présente le plus souvent une résistance r de faible valeur.
Une bobine d’inductance
L
et de résistancer
est équivalente à l'association en série d'une bobine d’inductanceL
de résistance nulle et d'un conducteur ohmique de résistancer
.Son symbole est donc celui de l'association d'une résistance
r
et d'une bobine d’inductanceL
de résistance nulle.En convention récepteur, la tension
u
Let l’intensitéi
du courant sont en sens opposé.Une bobine est considérée comme étant idéale (inductance pure) si la valeur de sa résistance interne est nulle (
r=0
), ce qui n’est pas le cas dans la réalité.1-2- Etude expérimentale
On réalise le montage schématisé ci-contre, constitué d'un générateur basse fréquence de fréquence
f
et de tensionE
(en mode triangulaire), d'une bobine d'inductanceL
(avec un noyau en fer doux) et d'une résistanceR
.i
L r
uL
uL
i
L , r
uL
uR
GBF K
L R
Voie 1 Voie 2 i
Pour visualiser les tensions on utilise une interface d’acquisition informatisé.
La voie 1 permet de visualiser la tension
u
Laux bornes de la bobine.
La voie 2 permet de visualiser la tension
u
Raux bornes de la résistance (donc l’intensité
i
du courant dans le circuit).1-3- Inductance et tension aux bornes de la bobine
On suppose avoir une bobine idéale, de résistance interne nulle (
r=0
).Pendant une demi-période le courant i est de la forme
i=a.t+b
et de ce fait,di
dt =a=cte
. La tensionu
Laux bornes de la bobine étant constante, elle peut s'écrireu
L=L. di
dt
.Le coefficient
L
correspond à l’inductance de la bobine et s'exprime en Henrys (H
).La tension aux bornes d’une bobine idéale d’inductance
L
est proportionnelle à la dérivée, par rapport au temps, de l’intensitéi(t)
du courant qui la traverse.u
L= L . di dt
u
L: Tension aux bornes de la bobine (V
)L
: Inductance de la bobine (H
)i
: Intensité du courant traversant la bobine (A
)Si la résistance de la bobine n'est pas négligeable, celle-ci peut-être considérée comme l'association série d'une résistance et d'une bobine idéale.
La tension aux bornes de la bobine s'écrit alors:
u
L= r . i + L . di dt
t (s)L
0
i (A), uL(V)
uL
L r
i
L . di dt
r . i
En régime permanent, le courant est constant (
i = cte
etdi
dt = 0
), et la bobine se comporte comme un conducteur ohmique. La tension aux bornes de la bobine s'écrit alors:u
L= r . i
.1-4- Energie stockée dans une bobine
Une bobine d'inductance
L
traversée par un couranti
stocke de l'énergie magnétiqueE
L.E
L= 1
2 . L . i
2E
L: Energie stockée dans la bobine (J
)L
: Inductance de la bobine (H
)i
: Intensité du courant traversant la bobine (A
)2- Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
On suppose que la résistance de la bobine est négligeable.
2-1- Etude expérimentale
On réalise un montage comprenant un générateur de tension continue de f.e.m.
E
, unebobine d’inductance
L
et une résistanceR
.On étudie la tension aux bornes de la résistance afin d’étudier la variation de l’intensité
i
du courant dans le circuit.On rappelle que l’on a:
i = u
RR
.Un système d’acquisition informatisé permet de tracer la courbe
i = f(t)
.A l’instant
t=0s
on ferme l'interrupteurK
, on l'ouvre à un instantt=t
1, lorsque le régime permanant est atteint.i(t) (A)
t (s)
0 t1
E R
E K
L R
i uL
uR
uL
Lorsqu'on ferme l'interrupteur, l'intensité
i
croît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur maximale.Le courant s'installe progressivement, sans la bobine, il aurait instantanément la valeur finale. La bobine s'oppose à l'apparition du courant.
Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, l'intensité
i
décroît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur minimale.Le courant diminue progressivement, sans la bobine, il s'annulerait instantanément, la bobine s'oppose à la disparition du courant.
Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit.
2-2- Etude théorique
2-2-1- Intensité du courant et tension lors de l'établissement du courant La loi d’additivité des tensions donne:
u
R+ u
L= E
D’où l’équation différentielle:
R.i + L. di
dt = E
La solution de cette équation différentielle est de la forme:
i = A + B.e
-k.tavec:
di
dt = -B.k.e
-k.tPar substitution on obtient la relation, valable quelque soit l’instant:
A.R + B.(R-L.k).e
-k.t= E
On en ainsi déduit que:
k = R
L
etA = E R
De plus, à l’instant initial (t=0s) on a i = 0. On en déduit que:
B = - E R .
Lors de l’établissement du courant dans le circuit, son intensité a pour expression:
i = E
R . (1 - e
-t/)
La grandeur
= L
R
correspond à la constante de temps du circuit. Son unité est la seconde.On peut retrouver l'expression de la tension aux bornes de la bobine de deux manières différentes.
u
L= L . di
dt = L . E R . 1
t . e
-t/= E . e
-t/u
L= E - u
R= E - R.i = E - R. E
R . (1 - e
-t/) = E . e
-t/Lors de l’établissement du courant dans le circuit, la tension aux bornes de la bobine a pour expression:
u
L= E . e
-t/2-2-2- Intensité du courant et tension lors de la rupture du courant En procédant d'une façon similaire on retrouve les expressions de l'intensité du courant et de la tension lors de la rupture du courant.
Lors de la rupture du courant dans le circuit, son intensité a pour expression:
i = E
R . e
-t/Lors de la rupture du courant dans le circuit, la tension aux bornes de la bobine a pour expression:
u
L= - E . e
-t/2-2-3- Détermination graphique de la constante de temps
On peut trouver la valeur de la constante de temps
du circuit RL en utilisant la méthode de la tangente à l'origine ou la méthode des63%
(pour l'établissement du courant) ou des37%
(pour la rupture du courant).Remarque: Après une durée égale à
5
, l'intensité est égale à99%
de sa valeur maximale.i(t) (A)
t (s) 0
2
3
4
5
E R
0,37.E R i(t) (A)
t (s) 0
2
3
4
5
E R 0,63.E
R
