PCSI 2 Description macroscopique d’un système
2021 – 2022 1/3
DESCRIPTION MACROSCOPIQUE D’UN SYSTEME
I Étude d’un gaz réel de Van Der Waals
Soit un gaz réel monoatomique dont l’équation molaire est !𝑃 +"!
!"$ (𝑉#− 𝑏) = 𝑅𝑇 où R = 8,314 J.K-1.mol-1 est la constante des gaz
parfaits, et a et b des constantes positives caractéristiques de ce gaz.
1) Donner l’équation d’état correspondante pour une quantité quelconque (n moles).
2) Laquelle des deux constantes a ou b est-elle associée à l’existence d’un volume propre pour les molécules ? Quelle autre hypothèse constitutive du modèle du gaz parfait est-elle mise en défaut par la présence de l’autre constante ?
3) Montrer que dans l’approximation b/Vm << 1 des volumes élevés, on a 𝑃𝑉#= 𝑅𝑇 !1 +$(&)"
!$ avec A(T) une fonction que l’on exprimera en fonction des données du problème. On pourra utiliser la relation approchée (1 + 𝑥)(≈ 1 + 𝛼𝑥 pour x << 1.
4) Dans le cadre de l’approximation de la question précédente, montrer qu’il existe une température TM, appelée température de Mariotte, pour laquelle ce gaz se comporte comme un gaz parfait.
Calculer TM pour le diazote de coefficients a = 0,137 J.m-3.mol-2 et b = 3,87.10-5 m3.mol-1.
Réponse : !𝑃 +)"""!$ (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 ; A(T) = b – a/(RT) ; TM = a/(Rb).
II Comment bien faire sécher son linge ?
On introduit une masse m = 100 g d’eau liquide dans une enceinte indéformable de volume V = 2,00 m3 maintenue à la température constante T0 = 303 K (30°C). La pression de l’air dans l’enceinte est égale à Pair = 1,00 bar. La pression de vapeur saturante de l’eau à la température absolue T est donnée avec une bonne précision pour des températures d’ébullition comprises entre 0°C et 100°C par la formule de Rankine 𝐿𝑛*#$%*(&)
& = 𝐴 −+& avec A = 13,7 ; B = 5,12.103 K ; P0 = 1,00 bar.
La vapeur d’eau et l’air sont assimilés à des gaz parfaits, et leur mélange est supposé idéal. On donne R = 8,31 J.K-1.mol-1 la constante des gaz parfaits, M = 18,0 g.mol-1 la masse molaire de l’eau et r = 1,00 kg.L-1 la masse volumique de l’eau liquide.
1) Que se passe-t-il dans l’enceinte après introduction de l’eau liquide ? Montrer qu’il reste de l’eau liquide dans l’enceinte à l’état final.
2) Calculer à l’équilibre la pression partielle Pair de l’air, la pression partielle Peau de l’eau vaporisée et la pression totale P.
3) Déterminer la composition exacte du système à l’équilibre. Montrer qu’on peut se contenter d’un calcul approché en utilisant des hypothèses simplificatrices dont on commentera la légitimité.
4) Ces m = 100 g d’eau sont en fait initialement « emprisonnés » dans les fibres du linge mis à sécher dans un placard. Comment optimiser le séchage du linge ?
Réponse : P = 1,04 bar ; x = 0,585.
III Pression dans les pneumatiques.
En hiver, par une température extérieure de -10°C, un automobiliste règle la pression des pneus de sa voiture à une valeur P1* = 2,0 bar, pression préconisée par le constructeur. Cette valeur P1* est affichée sur un manomètre qui mesure l’écart entre la pression des pneumatiques et la pression atmosphérique, de valeur Patm= 1,0 bar.
Sur l’ensemble du sujet, les pressions manométriques seront notées par un astérisque *. L’air sera considéré comme un gaz parfait. On donne la conversion de température T(K) = T(°C) + 273
1) Quelle sera la pression P2* mesurée par le manomètre en été à 30°C, si l’on suppose qu’entre temps il n’y a eu aucune fuite d’air (et que le volume du pneu n’a pas varié) ?
2) Calculer la variation relative de pression due au changement de température et conclure.
3) Estimer la surface de contact de chacun des pneus avec le sol pour la pression P1. Indication : le véhicule a une masse m = 1,2 tonnes et comporte 4 roues. Pour la pesanteur, on prendra g = 9,8 m.s-2.
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4) L’automobiliste constate en fait une perte de pression dans ses pneus. Prévoyant un voyage en surcharge (passagers, bagages...), il est amené à augmenter la pression de Pi*= 1,9 bar à Pf*= 2,3 bar. Pourquoi doit-il gonfler les pneus à une valeur supérieure à la pression habituelle ?
5) Il emploie pour cette opération un réservoir mobile d’air comprimé, qui a préalablement été rempli d’air sous une pression Pr* = 6,0 bar. Son volume est de Vr = 60 L.
L’intérieur des pneus à un volume Vp = 0,10 m3 par pneu. Quelle est la pression résiduelle du réservoir P’r* après le gonflage des quatre pneus, réalisé à 30°C ?
Réponse : 2,5 bar ; + 17% ; 98 cm2 ; 3,3 bar.
IV Étude d’un corps pur sous deux phases
1) Préliminaires
Le diagramme simplifié des phases de l’eau est représenté en coordonnées P et T sur le schéma ci-contre.
a) Reproduire sommairement le diagramme ci-contre. Compléter ce diagramme en précisant les domaines d’existence des différentes phases. Nommer les points caractéristiques E et B sur le diagramme et indiquer brièvement ce qu’ils représentent.
b) Définir la pression de vapeur saturante.
De quel(s) paramètre(s) dépend cette grandeur ?
c) On souhaite faire passer à température constante un corps pur de l’état vapeur à l’état liquide. Quel est le nom donné à cette transformation ?
Représenter dans un diagramme en coordonnées P et V la transformation correspondante. On fera apparaître et on nommera sur le diagramme la courbe de rosée et la courbe d’ébullition.
Préciser sur le diagramme les trois domaines qui interviennent et décrire les trois parties de l’isotherme tracée.
2) Étude du changement de phases de l’eau
On considère une enceinte cylindrique et diathermane de volume initial V = 10 L. Le volume de cette enceinte peut être modifié en déplaçant sans frottement un piston. L’ensemble est maintenu dans l’atmosphère à la température T = 373 K par un thermostat.
On donne la constante des gaz parfaits R = 8,314 J.K-1.mol-1.
La vapeur sèche et la vapeur saturante seront considérées comme des gaz parfaits.
On considère que le volume occupé par la phase liquide est négligeable devant le volume occupé par la phase vapeur. Par conséquent, le volume occupé par la phase vapeur est égal à la totalité du volume de l’enceinte.
Soit PS la pression de vapeur saturante de l’eau à la température T = 373 K : PS = Psat (373 K) = 1, 0 bar.
Soit M = 18 g.mol-1 la masse molaire de l’eau.
a) Le cylindre est initialement vide. Le piston étant bloqué, on introduit dans le cylindre une masse m d’eau.
Déterminer la masse maximale mmax d’eau que l’on peut introduire dans le cylindre pour que l’eau soit entièrement sous forme de vapeur. On exprimera mmax en fonction de R, T, V, PS et M. Calculer numériquement mmax.
b) On considère que la masse m d’eau introduite dans le cylindre est inférieure à mmax (m < mmax).
Sous quel état se trouve l’eau introduite ?
On modifie le volume du cylindre en déplaçant le piston. Faut-il augmenter ou diminuer le volume V du cylindre pour que l’eau puisse être simultanément sous forme liquide et vapeur ?
Déterminer le volume Vlim à partir duquel l’eau contenue dans le cylindre se trouve simultanément sous forme liquide et
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vapeur. On exprimera Vlim en fonction de R, T, m, PS et M.
Application numérique pour m = 5,0 g.
c) On a introduit dans le cylindre de volume V une masse d’eau m’ telle que l’on ait simultanément de l’eau sous forme liquide et sous forme vapeur.
Déterminer en fonction de PS, V, m’, R, T et M la fraction massique xvap de l’eau à l’état vapeur (xvap est définie comme le rapport de la masse d’eau à l’état vapeur sur la masse totale d’eau présente dans le cylindre).
Application numérique pour m’ = 10 g.
Évaluer numériquement le volume d'eau liquide dans cette situation et commenter. On donne le volume massique de l'eau liquide vliq = 1,0.10-3 m3.kg-1.
d) On introduit m" = 20 g d'eau dans un volume V/10 = 1,0 L initialement vide. On obtient alors un mélange diphasé, dans les mêmes conditions de pression et de température P = 1,0 bar et T = 373 K. Déterminer le titre massique en vapeur et le titre massique en liquide du système.
Évaluer numériquement le volume de liquide présent dans le système et comparer au volume total.
Réponse : 𝑚#!,= 5,8𝑔 ; 𝑉-.#= 8,6𝐿 ; 𝑥/!0= 58% ; "'()" = 4,2. 1012≪ 1 ; 𝑥/!0= 2,9% ; 𝑥-.3= 97% ; "'()" = 1,9. 1014≪ 1.
