Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie \ 15 novembre 2012 Génie mécanique,énergétique, civil
EXERCICE1 5 points
1.
z2−4z+8=0.
∆=16−32= −16=(4i)2: l’équation a donc deux solutions complexes conjuguées : z1=4+4i
2 =2+2i etz2=2−2i.
2. a.
zA=2+2i, zB=2−2i, etzC=4.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−1
−2
−3 1 2 3
−
→u
−
→v
bb b
b
b
b A
B
C O
E D
b. • |zA|2=22+22=8, donc|zA| =p 8=2p
2=OA;• |zb|2=22+(−2)2=8, donc|zB| =p 8= 2p
2=OB
c. On a aussi AB2=(2−2)2+(−2−2)2=16, d’où AB=4.
• OA=OB=2p
2, donc OAB est isocèle en O.
• OA2+OB2=8+8=16=AB2, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.
d. −−→
OB (2 ;−2) et−−→
AC (4−2 ; 0−2), donc−−→
OB=−−→
AC , ce qui montre que le quadrilatère OBCA est un parallélogramme.
Comme il a un angle droit, c’est un rectangle ; comme il a deux côtés consécutifs [OA° et [OB] de même longueur, c’est aussi un losange et finalement un carré.
3. On a donc E(1 ; 1).
zD=izAentraînezD=i(2+2i)= −2+2i, donc D(−2 ; 2).
Le milieu de [CD] a donc pour coordonnées
µ4+(−2) 2 ; 0+2
2
¶
=(1 ; 1). On retrouve bien les coordonnées de E.
EXERCICE2 5 points
Question 1
L’équation caractéristiquer2+4=0 a deux solutions 2i et−2i ; on sait que la solution générale est de la formef(x)=Acos 2x+Bsin 2x; réponse C.
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique,
énergétique, civil A. P. M. E. P.
Question 2
On af′(x)=2e3x+1+3×(2x+1)e3x+1=e3x+1(2+3(2x+1))=e3x+1(6x+5) ; réponse B.
Question 3 On aE(X)= −5× 3
25−2× 2
25+0×15 25+1× 2
25+6× 3
25=−15−4+2+18
25 = 1
25>0 ; réponse C. On consi- dère que le jeu est favorable au joueur si l’espérance mathématique de la variableXest strictement positive, équitable si elle est nulle, et défavorable au joueur si elle est strictement négative.
Réponse A: le jeu est défavorable au joueur Réponse B: le jeu est équitable Réponse C: le jeu est favorable au joueur Réponse D: on ne peut pas savoir Question 4
On a [g(x)]2=¡ x2+1¢2
=x4+2x2+1.
DoncV=π Z1
0
¡x4+2x2+1¢ dx=π
·x5 5 +2x3
3 +x
¸1
0
=π µ15
5 +2×13 3 +1
¶
=π µ1
5+2 3+1
¶
=π×3+10+15
15 =
28π
15 ; réponse D.
Question 5
Réponse A évidente.
PROBLÈME 10 points
Partie A - Exploitation d’informations graphiques
1. A(0 ; 4) appartient à la courbe représentative, doncg(0)=4.
Le coefficient directeur de la tangente en A est le nombre dérivéf′(0). Il est nul, doncf′(0)=0.
2. g(0)=4=b+e−0=b+1, d’oùb=3.
3. On ag′(x)=a−e−x.
Org′(0)=0 signifiea−1=0, d’oùa=1.
On a doncg(x)=x+3+e−x.
Partie B - Étude d’une fonction
1. a. On remarque quef(x)=g(x).
On sait que lim
x→+∞e−x=0 et que lim
x→+∞x+3= +∞, donc par somme de limites, lim
x→+∞f(x)= +∞.
b. On a f(x)−(x+3)=e−x, donc d’après le résultat précédent lim
x→+∞(f(x)−(x+3))=0 ; ce résultat signifie que la droiteDdont une équation esty=x+3 est asymptote àC au voisi- nage de plus l’infini.
Commef(x)−(x+3)=e−xet que cette dernière expression est supérieure à zéro quel que soit le réelx, ceci signifie que la courbe est au dessus de son asymptoteDquel que soitx.
2. a. On af(x)=x+3+e−x=xe−x×ex+3e−x×ex+e−xet en factorisant e−x: f(x)=e−x[xex+3ex+1]=e−x(1+xex+3ex).
b. On sait que lim
x→−∞ex=0, donc lim
x→−∞xex= lim
x→−∞3ex=0 et par somme lim
x→+∞1+xex+3ex= 1.
D’autre part lim
x→−∞e−x= +∞, d’où par produit de limites limx
→−∞e−x¡
1+xex+3ex¢
= +∞.
3. Soitf′la fonction dérivée de la fonctionf. a. On af′(x)=g′(x)=1−e−x.
• On a 1−e−x>0 si 1>e−xsoit en prenant le logarithme 0> −xoux>0 ;
• On a 1−e−x<0 si 1<e−xsoit en prenant le logarithme 0< −xoux<0 ;
• On a 1−e−x=0 six=0.
Nouvelle-Calédonie 2 15 novembre 2012
Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique,
énergétique, civil A. P. M. E. P.
b. La fonctionf est donc décroissante surR−de plus l’infini àf(0)=3+1=4, puis croissante surR+de 4 à plus l’infini.
4. Voir à la fin.
5. L’asymptoteDa pour coefficient directeur 1 ; il faut donc résoudre l’équation :
f′(x)=1 soit 1−e−x=1. Or on sait que e−xn’est jamais nul quel que soit le réelx; il n’y a donc pas de tangente à la courbeC parallèle à la droiteD.
Partie C - Calcul d’une aire plane
1. Une primitiveFde la fonctionf surRest : F(x)=x2
2 +3x−e−x. 2. Voir à la fin.
3. On sait que surR, f(x)>4>0, donc l’aireAest égale à l’intégrale : Z3
1 f(x)dx=[F(x]31=F(3)−F(1)=32
2 +3×3−e−3− µ12
2 +3×1−e−1
¶
=9 2+9−1
2−3−e−3+e−1= 10−e−3+e−1≈10, 318, soit 10, 32 cm2au mm2près. (Ce résultat peut se contrôler graphique- ment)
0 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
D
Nouvelle-Calédonie 3 15 novembre 2012
