Exercice 59 et 68 pages 105-106
N°59 page 105 :
Remarque avant de commencer : Les angles étudiés dans cet exercice seront exprimés en radian.
Détachez-vous petit à petit de vos habitudes du degré.
1) Tout d’abord, observons que le triangle ADM est isocèle en D : En effet, DCM étant équilatéral, DC=DM et ABCD est un carré donc DC=DA, ainsi DA=DM.
De plus, l’angle = (MDC est équilatéral) et = (ABCD est un carré) On déduit que = − =.
Les angles à la base du triangle ADM isocèle en D sont égaux : 2 = − = et donc = Il reste à déterminer l’angle souhaité : = − =− =− =
2) (IM) est la médiane issue de M dans la triangle équilatéral MDC, elle est aussi une hauteur : ainsi DIM est rectangle en I.
On lui applique le théorème de Pythagore :
= − = − = − =⇒ =√ = − = −√ = √
Enfin, dans le triangle AMJ rectangle en J, d’après le théorème de Pythagore :
= + = + √ = +√ =+ √ = !√
= 2 − √3⇒ = #2 − √3
3) cos = cos = ')'( = #√* =#√ qui se simplifie mais avec de lourds calculs, la calculatrice donne √+√
sin = sin ='))( = #√.√/* = #√ √ qui se simplifie aussi, la calculatrice donne √√
OUF !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
N°68 page 106 :
1) On sait que la fonction cosinus est 2-périodique, on s’en inspire pour répondre à cette question : Pour tout réel 0, 120 + 23 = 2 cos20 + 23 − 1 = 2 cos203 − 1 = 1203
Donc 1 est elle aussi 2-périodique.
2) a) Voici l’affichage de l’écran d’une calculatrice :
Il semble que 1 est paire (le graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) b) Pour tout réel 0, 12−03 = 2 cos2−03 − 1 = 2 cos203 − 1 = 1203
Donc 1 est bien paire.
3) −1 ≤ cos203 ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2 cos203 ≤ 2 ⇒ −3 ≤ 2 cos203 − 1 ≤ 1 ⇒ −3 ≤ 1203 ≤ 1 On pouvait le remarquer graphiquement …
4) L’affichage de la calculatrice ci-dessus donne un encadrement de 0 entre −2 et 2.
On trace en plus la droite d’équation 6 = −2, on observe deux solutions sur l’intervalle souhaité :
5) On veut résoudre l’équation 1203 = −2 :
2 cos203 − 1 = −2 ⇔ 2 cos203 = −1 ⇔ cos203 = −1 2 En s’aidant d’un cercle trigo, on trouve les réels et .
Au vu des valeurs approchées de ces deux réels (environ 2 et 4), les solutions correspondent à l’affichage de la calculatrice.
