Correction du BB 2012 PARTIE NUMERIQUE

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Correction du BB 2012

PARTIE NUMERIQUE Exercice 1

1) 2 -> -4 -> +1 -> 5 2) 3 -> -6 -> -1 -> -5

3) 0 <- 0 <- -5 < 2,5 (effectué en utilisant les opérations inverses). On doit donc partir de 2,5.

4) On développe l’expression et on trouve10x25. Or le programme de calcul est le suivant :

^x           ^{2 x 2 x 5 5}  ^{2 x 5}  ^{10 x}  ²⁵

. Le résultat du programme de calcul s’exprime donc bien par la proposition d’Arthur.

Exercice 2

x

9 4 25

x

2 ^{81 16 625}

x

^{3 2 5}

Exercice 3

1) Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on utilise l’algorithme d’Euclide : étape A B Reste Division

1 186 155 31 186 155 1 31   2 155 31 0 155  31 5 0

Le reste étant nul, l’algorithme est terminé et le PGCD est le dernier reste non nul, donc 31.

2) Le nombre maximal de colis doit être un diviseur du nombre de pralines et être un diviseur du nombre de chocolats. Il est donc un diviseur commun de 186 et 155. Par ailleurs, on cherche à réaliser le nombre maximal de colis donc on cherche le plus grand diviseur commun soit le PGCD de 186 et 155.

a) D’après la remarque précédente, on pourra réaliser 31 colis.

b) Chaque colis contiendra

186

31  6

pralines et

155

31  5

chocolats.

Exercice 4

1)

^{A }  ^{8 ² 14 x  x  4 x   7}   ^{4 ² x  4 x  1} 

4 ² 14 8 A x  x

2) ^A



^2x1

 

^_ ^{4x 7}

 

^2x1



^_

 ^{2 1 2}  ⁸   ^{2 2 1}  ⁴ 

A  x  x   x  x 

3) Un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul donc on résout les équations suivantes :

2x 1 0 et 2x 8 0. On trouve comme solution

1 2 ; 4 S      

 

^.

PARTIE GEOMETRIE Exercice 1

1) AB étant le plus grand côté, on calcule AB² = 6,25²

AB² = 39,0625

AC² + BC² = 5² + 3,75²

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AC² + BC² = 25 + 14,0625

D’où AB² = AC² + BC². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on déduit que le triangle ABC est rectangle en C.

2) La droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AC) d’après la question précédente et par ailleurs, la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AC) d’après la figure. Deux droites perpendiculaires à une troisième droite sont parallèles donc (BC) est parallèle à (DE).

3) Les points B, E, A, D et C sont en configuration de Thalès puisque les droites (BE) et (CD) sont sécantes en A et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Ainsi d’après le théorème de Thalès, on déduit que

AE AD ED

AB  AC  BC

soit 3, 2

6, 25 5 3, 75

AE DE

  . On en déduit 5DE3, 2 3, 75 soit

3, 2 3, 75

DE   5

donc DE = 2,4.

4)

4

5 AM

AC 

et 5 4 1, 25 4

6, 25 5 1, 25 5 AN

AB

   

 . Les points B, N, A et C,M, A sont alignés dans le même ordre et de plus

AM AN

AC  AB

donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Exercice 2

2) [AD] est un diamètre du cercle donc le triangle ABD est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté. ABD est donc rectangle en B.

3) A et B appartiennent au cercle de centre E donc EB = EA. Le triangle EAB est donc isocèle en E. De plus son angle principal est 60° donc les deux autres angles également.

Finalement, le triangle EAB est un triangle équilatéral.

Donc EA = AB = 4,5 cm

4) Le triangle ABD est rectangle en B donc d’après le théorème de Pythagore, on a

AD

²

 AB

²

 BD

² soit

9²BD²4,5² ; on a donc

² 81 20, 25

BD   et BD²60, 75donc

60, 75

BD 

(on a

BD  7,8

cm)

6) Dans le triangle ABD, E est le milieu de [AD] et (EF) est parallèle à (AB). D’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, F est donc le milieu de [BD] et [EF]

mesure la moitié de [AB] donc EF = 2,25 cm.

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PARTIE PROBLEME

PREMIERE PARTIE

1) ABC est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore, on a

² ² ²

BC AB AC soit BC²  3² 4² 25et finalement BC5cm.

2) Dans le quadrilatère APMQ, les angles

PAQ APM , et AQM

sont des angles droits. Or un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle donc APMQ est un rectangle.

3) Puisque APMQ est un rectangle, les droites (PM) et (AQ) sont parallèles. Les droites (PM) et (AC) sont donc parallèles tandis que les droites (AP) et (CM) sont sécantes en B. On peut donc appliquer le théorème de Thalès :

BP BM PM

BA  BC  AC

soit

3 5 4

BP BM PM

  .

DEUXIEME PARTIE

4) D’après la question précédente, on a

2

3 5 4

BP PM

 

, ce qui permet d’écrire les deux égalités suivantes :

5 2 4

5 2 3

PM BP

  

    



, ce qui permet de conclure que 8 6

5 et 5 PM  BP . Or on a AP AB BP donc 9

5 1,8 AP  5) On a

A

₁

 AP PM 

donc ₁

9 8 72

5 5 25

A   

soit

A

₁

 2,88 cm²

TROISIEME PARTIE

6) D’après la question 3), on a :

3 5 4

BP x PM

 

, ce qui permet d’écrire les deux égalités suivantes :

5 3

5 4

BP x

PM x

  

    



, ce qui permet de conclure que ³



^{0, 6}



BP5x  x et

 

4 0,8 PM 5x  x

7) On en déduit que APAB BP soit

AP   3 0, 6 x

.

8) APMQ sera un carré si APPMsoit 0,8x 3 0, 6x. Cette équation a pour solution

3 15

1, 4 7 x  

9)

^{A x}   ^{ AP PM }

^donc

^{A x}    ^{  3 0, 6 x}  ^{ 0,8 x}

soit, après simplification

^{A x}   ^{ 2, 4 x  0, 48 ² x}

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Barème

Partie Numérique : Exercice 1 3,5 points 1) 0,5 (juste ou faux) 2) 0,5 (juste ou faux)

3) 1 (0,5 pour démarche d’écrire le calcul à l’envers ; 0,5 pour résultat)

4) 1,5 (0,5 écriture littérale du programme de calcul et 1 pour développement et réduction) Exercice 2 1,5 points

0,5 par colonne correcte (les deux résultats ok) Exercice 3 3 points

1) 0,5 nom méthode 0,5 calculs 0,5 résultat justifié (dernier reste non nul) 2) a) 0,5 pourquoi PGCD 0,5 réponse

b) 0,5 réponse Exercice 4 4 points 1) 1 point

2) 1,5 points

3) 1,5 points (dont 0,5 phrase réponse) Partie Géométrie

Exercice 1 5,5 points

1) 0,5 égalités séparées 0,5 réciproque 0,5 rectangle en C 2) 1 point

3) 0,5 droites parallèles 0,5 Thalès 0,5 calcul

4) 0,5 calcul fractions séparées 0,5 réciproque 0,5 conclusion Exercice 2 6,5 points

1) 1 triangle ABD et cercle

2) 0,5 triangle inscrit dans cercle et 0,5 diamètre

3) 0,5 EAB isocèle car rayon et 0,5 équilatéral car 60° donc AB=EA

4) 0,5 ABD rectangle en B 0,5 Pythagore et 0,5 résultat (exact ou approché) 5) 0,5 tracé de la parallèle

6) 0,5 (AB)//(EF) et (AE) et (BF) sécantes en D ; 0,5 Théorème Thalès ; 0,5 calcul.

PROBLEME

PREMIERE PARTIE 4 points

1) 0,5 ABC rectangle en A ; 0,5 Pythagore ; 0,5 calcul 2) 1 3 angles droits d’un quadrilatère

3) 0,5 droites parallèles et droites sécantes ; 0,5 Thalès ; 0,5 3 fractions avec lettres DEUXIEME PARTIE 3,5 points

4) 1 BP ; 1 PM et 0,5 AP 5) 1 aire

TROISIEME PARTIE 4,5 points 6) 1 BP ; 1 PM

7) 0,5 AP

8) condition/équation : 0,5 ; résolution : 1 9) 0,5 aire

TOTAL 36 points auxquels s’ajoutent 4 points sur la présentation, l’orthographe, la syntaxe, la qualité de la rédaction, le tout proportionnel à la longueur du travail rendu.