Chap 1. Premier degré Seconde

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Chap 1. Premier degré

Seconde

I. Règles de calcul algébrique

Dans une expression algébrique, on utilise une ou plusieurs lettres 𝑥 ou 𝑡 ou … pour représenter une variable ou une

inconnue :

3𝑥 + 6 ou 10 − 𝑡²

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Seconde

Conventions d'écriture des expressions mathématiques

• La multiplication est la seule opération que l’on n’écrit pas lorsque le calcul contient une lettre ou des parenthèses.

Exemple n°1. La copie d’Alix est-elle correcte ? Si non, corrigez ses erreurs.

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Seconde

• En l’absence de parenthèse, la multiplication et la

division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

• Les calculs entre parenthèses sont prioritaires.

• En l’absence de parenthèse, les additions et les soustractions s’effectuent de gauche à droite.

Exemple n°2. Effectuez les calculs ci-dessous : 𝐴 = 1

2 + 1

2 × 3 𝐵 = 5 − 8 + 3 𝐶 = 5 − (8 + 3)

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Seconde

• En l’absence de parenthèse, la puissance est prioritaire.

Exemple n°3. Loïs a voulu faire l’exercice ci-dessous avec sa calculatrice. Expliquez-lui son erreur.

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Seconde

• Dans une écriture fractionnaire, les parenthèses au numérateur ou au dénominateur sont omises.

Exemple n°4. Réécrivez les calculs ci-dessous en remplaçant le symbole « / » par une fraction. Terminez alors les calculs et vérifiez vos résultats.

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Seconde

Exemples :

 Compléter le tableau pour le 1^er calcul proposé : Expression algébrique 𝟓 + 𝟐𝒙

Etapes du calcul dans l’ordre

Opérations à faire dans l’ordre

Description en français

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Seconde

Exemples :

 Compléter le tableau pour le 1^er calcul proposé : Expression algébrique 𝟓 + 𝟐𝒙

Etapes du calcul dans

l’ordre 𝒙 ⟼ 𝟐𝒙 ⟼ 𝟐𝒙 + 𝟓

1. Multiplier par 2 2. Ajouter 5

Description en français La somme de 5 et du produit de 2 par 𝒙.

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Seconde

 Compléter le tableau pour le 2^e calcul proposé : Expression algébrique

1. Ajouter 7

2. Diviser le résultat par 2 Description en français

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Seconde

 Compléter le tableau pour le 2^e calcul proposé :

Expression algébrique 𝒙 + 𝟕

𝟐 Etapes du calcul dans

l’ordre 𝒙 ⟼ 𝒙 + 𝟕 ⟼ (𝒙 + 𝟕)/𝟐 = 𝒙 + 𝟕 𝟐 Opérations à faire dans

l’ordre

1. Ajouter 7

2. Diviser le résultat par 2

Description en français Le quotient de la somme entre 𝒙 et 7 par 2.

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Seconde

 Compléter le tableau pour le 3^e calcul proposé : Expression algébrique 𝟕(𝒙 − 𝟒)

Description en français

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Seconde

 Compléter le tableau pour le 3^e calcul proposé : Expression algébrique 𝟕(𝒙 − 𝟒)

Etapes du calcul dans

l’ordre 𝒙 ⟼ 𝒙 − 𝟒 ⟼ 𝟕(𝒙 − 𝟒) Opérations à faire dans

l’ordre

1. Soustraire 4

2. Multiplier le résultat par 7

Description en français Le produit entre 7 et la différence entre 𝒙 et 4.

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Seconde

II. Développement et factorisation

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Seconde

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Seconde

𝑘, 𝑎, 𝑏 et 𝑥 sont des nombres quelconques Rappel :

𝒌 × (𝒂 + 𝒃) = 𝒌 × 𝒂 + 𝒌 × 𝒃

On développe lorsque l’on passe d’un produit à une somme.

On factorise lorsque l’on passe d’une somme à un produit.

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Seconde

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes : 𝐴 = 5𝑥 + 2𝑥

𝐵 = 3 − 2(4𝑥 + 3) 𝐶 = (5𝑥)² + 𝑥(4 − 5𝑥)

𝐷 = (3𝑥 + 2)(2𝑥 + 1)

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Seconde

𝐴 = 5𝑥 + 2𝑥

Ici, nous pouvons factoriser par 𝑥 car 𝑥 est un facteur commun 𝐴 = (5 + 2)𝑥

𝐴 = 7𝑥

𝐵 = 3 − 2(4𝑥 + 3)

Ici, nous devons distribuer le nombre −2 sur 4𝑥 puis sur 3 𝐵 = 3 − 2 × 4𝑥 − 2 × 3

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Seconde

𝐵 = −8𝑥 − 3

𝐶 = (5𝑥)² + 𝑥(4 − 5𝑥)

𝐶 = 5𝑥 × 5𝑥 + 𝑥 × 4 − 𝑥 × 5𝑥 𝐶 = 25𝑥² + 4𝑥 − 5𝑥²

𝐶 = 20𝑥² + 4𝑥

𝐷 = (3𝑥 + 2)(2𝑥 + 1) 𝐷 = 6𝑥² + 3𝑥 + 4𝑥 + 2 𝐷 = 6𝑥² + 7𝑥 + 2

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Seconde

III. Résoudre une équation

 Ada, Sophie et Maryam* ont à elles trois 60 ans.

Quel est l'âge de chacune, sachant qu’Ada a le double de l'âge de Sophie et que Maryam a cinq ans de moins qu’Ada

?

Ada Lovelace, Sophie Germain et Maryam Mirzakhani

Soit 𝑥 l’âge de Sophie,

l’âge d’Ada peut alors s’écrire : 2 × 𝑥 = 2𝑥

par conséquent, l’âge de Maryam peut s’écrire : 2𝑥 − 5

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Seconde

Traduisons l’énoncé par une équation « Ada, Sophie et Maryam ont à elles trois 60 ans. »

2𝑥⏟

âge Ada

+ ⏟𝑥

âge Sophie

+ 2𝑥 − 5⏟

âge Maryam

= 60 5𝑥 − 5 = 60

J’ajoute 5 de chaque côté de l’équation 5𝑥 = 60 + 5 = 65

Je divise par 5 de chaque côté de l’équation 𝑥 = 65

5 = 13

Sophie a donc 13 ans, Ada a 26 ans et Maryam a 21 ans.

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Seconde

 " Le chapitre des fruits " attribué à Abraham ben Ezra (né en 1090) " Un homme est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits. Mais le verger avait trois portes gardées chacune par un gardien. Cet homme donc partagea les

fruits avec le premier gardien et lui en donna deux de

plus, puis il partagea avec le second et lui en donna deux de plus enfin avec le troisième, lui en donna deux de plus et il sortit en ayant seulement un fruit. Combien de fruits a-t-il cueillis ? "

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Seconde

Soit 𝑥 le nombre de fruits cueillis au départ, Le 1er gardien reçoit 𝑥

2 + 2, il reste donc 𝑥

2 − 2.

Le 2e gardien reçoit 1 2 (𝑥

2 − 2) + 2 il reste donc 1

2 (𝑥

2 − 2) − 2 = 𝑥

4 − 1 − 2 = 𝑥

4 − 3.

Le 3e gardien reçoit 1 2 (𝑥

4 − 3) + 2 il reste donc 1

2 (𝑥

4 − 3) − 2 = 𝑥

8 − 3

2 − 2 = 𝑥

8 − 7 2.

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Seconde

𝑥

8 − 7

2 = 1 J’ajoute ⁷

2 de chaque côté de l’équation 𝑥

8 = 1 + 7

2 = 9

Je multiplie par 8 de chaque côté de l’équation 2

𝑥 = 9

2 × 8 = 36 L’homme a cueilli 36 fruits.

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Seconde

Exemples :

Résoudre

(𝐸₁) 6𝑥 − 3 = 2𝑥 + 7 (𝐸₂) 3(2𝑥 + 1) = 15

(𝐸₃) 3 − 5𝑥

𝑥 − 1 = 0

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Seconde

(𝐸₁) 6𝑥 − 3 = 2𝑥 + 7

Je soustrais 2𝑥 de chaque côté de l’équation 4𝑥 − 3 = 7

J’ajoute 3 de chaque côté de l’équation 4𝑥 = 7 + 3 = 10

4 = 5

2 = 2,5

L’ensemble des solutions est S ={𝟐, 𝟓}

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Seconde

(𝐸₂) 3(2𝑥 + 1) = 15 3 × 2𝑥 + 3 × 1 = 15

6𝑥 + 3 = 15

Je soustrais 3 de chaque côté de l’équation 6𝑥 = 15 − 3 = 12

6 = 2

L’ensemble des solutions est S ={𝟐}

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Seconde

(𝐸₃) 3 − 5𝑥

𝑥 − 1 = 0

Une fraction est égale à 0 si, et seulement si, le numérateur est égal à 0. On en déduit que

3 − 5𝑥 = 0

Je soustrais 3 de chaque côté de l’équation

−5𝑥 = −3

Je divise par −5 de chaque côté de l’équation 𝑥 = −3

−5 = 3

5 = 0,6

L’ensemble des solutions est S ={𝟎, 𝟔}