Définition d’un champ de force central

PCSI 1

PROGRAMME DE COLLE DE PHYSIQUE Semaine du 18/03 au 23/03

Loi du moment cinétique Tout exercice sur le sujet.

Mouvement dans un champ de force centrale conservative. Cas particulier du champ newtonnien (cours + exercices).

– Définition d’un champ de force central. Force gravitationnelle, force électrostatique, force élas- tique et énergies potentielles associées.

– Conservation du moment cinétique et ses conséquences :

• la trajectoire est plane

• on définitC =r²θ˙constante aréolaire : le mouvement suit la loi des aires.

– Conservation de l’énergie mécanique : énergie potentielle effective.

E_m = 1

2mr˙²+E_peff(r) = 1

2mr˙²+ 1 2mC²

r² +E_p(r) – Cas particulier du champ de force newtonnienF~ =−^k

r²~u_raveck=Gm₀mouk=−_4πε^q0q

0 suivant que l’on considère l’interaction gravitationnelle ou l’interaction électrostatique. Énergie potentielle associéeEp(r) =−^k_r avec (Ep(∞) = 0).

Discussion qualitative du mouvement radial à partir de l’énergie potentielle effective : états liés, états de diffusion.

– Lois de Kepler : énoncé. Transposition au cas de l’étude du mouvement d’un satellite autour de la Terre.

– Mouvement circulaire de rayon r₀ d’une masse m autour d’un astre sphérique de masse M_A : uniformité du mouvement, calcul de la vitesse circulairev₀ =

qGMA

r0 .

Établissement de la troisième loi de Kepler, dans le cas d’un mouvement circulaire

r³₀

T² = GM_A 4π² Énergie du mouvement circulaireEm =−^GM_2r^Am

0 =−E_c= ¹₂Ep. Calcul de la vitesse circulaire à partir de l’énergie potentielle effective

– Quelques notions sur les satellites terrestres : vitesse circulaire, vitesse de libération. Connaître les ordres de grandeur de ces vitesses pour une orbite basse.

Position et altitude d’un satellite géostationnaire. En connaître l’ordre de grandeur36000km.

Satellite en orbite elliptique : apogée, perigée, vitesses en ces points. La conservation du moment cinétique entraîner_minv_P =r_maxv_A. En utilisant l’expression

Em= 1

2mr˙²+Epeff(r) = 1

2mr˙²+1 2mC²

r² −GMTm r

aux pointsAetP oùr˙= 0 on montre que l’énergie du mouvement elliptique vaut :E_m=−GM_Tm 2a . – Mise sur orbite d’un satellite. On considère la mise sur orbite d’un satellite depuis un pointM0

avec une vitesse orthoradiale ~v = v~u_θ. Tracé de l’allure des trajectoires obtenues pourv = v0 (avec v₀ vitesse circulaire), v < v₀,v₀ < v <√

2v₀,v=√

2v₀ etv >√ 2v₀.

1

THERMODYNAMIQUE (cours) Généralités : (cours)

– Système thermodynamique : définition, système ouvert, système fermé.

– Paramètre d’état intensif ou extensif.

– Équilibre thermodynamique.

– Définition macroscopique de la pression.

– Approche macroscopique de la température : principe zéro de la thermodynamique : deux sys- tèmes en équilibre avec un même troisième sont en équilibre thermique entre eux. Ce principe permet le repérage des températures. Principe d’un thermomètre. Échelles centésimales à deux points fixes.

Passage d’une grandeur repérable à une grandeur mesurable : définition de la température à partir du gaz parfait. Choix d’une unité : le Kelvin.

Description microscopique de la matière (cours) – Échelle macroscopique, microscopique, mésoscopique.

– L’agitation thermique : le mouvement brownien est une manifestation de l’agitation thermique.

Libre parcours moyen ; définition, ordre de grandeur du libre parcours moyen dans un liquide et dans un gaz (dans les conditions usuelles). Estimation à partir du modèle des sphères dures.

– Loi de distribution des vitesses : cette loi est homogène etisotrope.

– Définition deu vitesse quadratique moyenne.

– Description microscopique de la pression : calcul de la force exercée par un gaz sur un élément de surface de la paroi par comptage des chocs d’atomes. On suppose que les atomes se déplacent de manière équiprobable dans une des six directions ~ux, −~ux,~uy, −~uy,~uz,−~uz leur vitesse ayant une norme égale à la vitesse quadratique moyenneu. On montre :

p= 1 3n^∗mu² – définition de la température cinétique :

1

2mu²= 3 2k_BT

– compatibilité avec l’équation d’état des gaz parfaits : on vérifie que les expressions cinétiques de p et T sont en accord la loi des gaz parfaits. On justifie a posteriori le choix de la constante k_B=R/N_A.

– Énergie interne U :

L’énergie interne U d’un système macroscopiquement au repos dans le référentiel d’étude est la somme

• des énergies cinétiques de tous ses composants microscopiques (mouvement d’agitation ther- mique)

• des énergies potentielles d’interaction entre ses composants microscopiques Discussion de l’extensivité de l’énergie interne.

Expression de l’énergie interne d’un gaz parfait monoatomique U = 3 2nRT.

De manière générale,l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température.

On notera qu’à températures égales l’énergie interne d’un gaz parfait polyatomique (GPP) sera supérieure à celle d’un gaz parfait monoatomique (GPM) car les molécules du GPP possèdent des degrés de liberté supplémentaires en rotation et en vibration.

Description macroscopique de la matière – Équation d’état

• équation d’état d’un gaz parfait ; mélange idéal de gaz parfait ; pression partielle. Cette équa- tion d’état suppose que les interactions entre molécules sont négligeables et que le volume propre des

2

molécules est négligeable devant le volume total occupé par le gaz. À titre indicatif, l’équation de van der Waals a été abordée afin d’illustrer le cas où ces deux hypothèses ne s’appliquent plus.

•équation d’état d’une phase condensée (solide ou liquide) idéale. Une phase condensée est idéale si elle est indilatable et incompressible. Dans ces conditions V = nVm avec Vm volume molaire. À titre indicatif, on a introduit le coefficientαde dilatation isobare et le coefficientχ_T de compressibilité isotherme. On a calculé les valeurs de ces coefficients pour un gaz parfait dans des conditions ambiantes et comparé ces valeurs à celles de phases condensées.

– Variation d’énergie interne à volume constant pour un système fermé. À V constant on pose dU = C_VdT où C_V est appelée capacité thermique à volume constant. On définit également C_Vm capacité thermique molaire à volume constant etcv capacité thermique massique à volume constant.

À V fixé, C_V dépend a prioride la température.

Mathématiquement on peut écrire C_V = ^∂U_∂T

V

Calcul de∆U entre un état initial à la températureT1 et un état final à la températureT2 de même volume que l’état initial. Dans le cas où C_V est constant dans le domaine de température[T₁, T₂]on a :

∆U =C_V∆T Cas du gaz parfait :

L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température : pour un gaz parfait U =U(T) etdU =C_VdT.

– Capacité thermique à volume constant d’un gaz parfait monoatomique. On a montré que pour nmoles de GPM :U = ³₂nRT. Ainsi, pour un GPM : CVm = ³₂R et∆U = ³₂nR∆T.

– Capacité thermique à volume constant d’un gaz parfait diatomique. Pour un GP diatomique aux températures usuelles :C_Vm = ⁵₂R. Pourn moles,∆U = ⁵₂nR∆T.

L’évolution de CV m avec la température a été abordée à titre indicatif, pour mettre en évidence la température de rotation et la température de vibration.

Cas d’une phase condensée idéale :

Capacité thermique d’une phase condensée idéale. Par définition, le volume d’une phase condensée idéale étant constant, l’énergie interne ne dépend plus que de T. On a dU = C_VdT avec C_V qui dépenda priori deT. Dans le cas où CV est constant dans le domaine de température[T1, T2]on a :

∆U =C_V∆T.

Pour une phase condensée, C_V est souvent notéeC et simplement appelée capacité thermique de cette phase condensée.

– Quelques observations expérimentales sur les gaz réels : isothermes du plan (P,V) (diagramme de Clapeyron) et du plan (PV, V) (diagrammes d’Amagat).

3