Démonstration d’un théorème de A. J. Kempner
B
AKIRFARHI
Département de Mathématiques Université de Béjaia
Algérie
Béjaia, le 10 novembre 2013
Théorème (A. J. Kempner - 1914).La série numérique :
∑
n∈N∗
nne contient aucun chiffre 9 dans sa représentation décimale
1 n
est convergente et sa sommeSest<28.
Démonstration.AppelonsΛl’ensemble des entiers strictement positifs qui ne comportent aucun chiffre 9 dans leurs représentations décimales, de sorte qu’on ait :
S= ∑
n∈Λ
1 n.
Désignons aussi, pour toutk ∈N∗, parΛk l’ensemble fini des entiers stricte- ment positifs dont la représentation décimale comporte exactementkchiffres, aucun d’entre eux n’est égale à 9. Enfin, pour toutk∈N∗, définissonsSkcomme étant la somme finie :
Sk:= ∑
n∈Λk
1 n.
Il est évident que la famille des ensemblesΛk (k∈N∗) constitue une partition de l’ensembleΛ. On a par conséquent :
S=∑∞
k=1
Sk.
Nous allons maintenant estimer (c’est-à-dire majorer) chaqueSk+1en fonction deSk(k∈N∗).
1
BAKIRFARHI Démonstration d’un théorème de A. J. Kempner
Etant donnék∈N∗, un élémentNdeΛk+1est un nombre à (k+1) chiffres dont aucun n’est égale à 9. Ce nombre s’écrit donc :
N = a0+a110+a2102+ ··· +ak10k = a0+10 (
a1+a210+ ··· +ak10k−1 )
, avecai∈{0, 1, . . . , 8} (pour 0≤i≤k) etak̸=0.
Cette écriture deN∈Λk+1équivaut à :
N = a+10b, aveca∈{0, 1, . . . , 8} etb∈Λk.
Inversement, étant donnék∈N∗, pour touta∈{0, 1, . . . , 8} et toutb∈Λk, il est clair quea+10b∈Λk+1. On a donc pour toutk∈N∗:
Λk+1 = {a+10baveca∈{0, 1, . . . , 8} etb∈Λk} . En utilisant cet important fait, on a pour toutk∈N∗:
Sk+1 = ∑
n∈Λk+1
1
n = ∑
0≤a≤8 b∈Λk
1
a+10b ≤ ∑
0≤a≤8 b∈Λk
1
10b = 9 10
∑
b∈Λk
1 b = 9
10Sk. Soit
Sk+1 ≤ 9
10Sk (∀k∈N∗).
Il s’ensuit par récurrence que l’on a : Sk ≤
( 9 10
)k−1
S1 (∀k∈N∗).
En utilisant ces majorations, il en résulte que : S = ∑∞
k=1
Sk ≤ ∑∞
k=1
( 9 10
)k−1
S1 = S1
∑∞ k=1
( 9 10
)k−1
= S1 1
1−109 = 10S1. Enfin, commeS1=11+12+ ··· +18=2, 717 . . . , on en conclut que :
S ≤ 10×2, 717 . . . = 27, 17 . . . < 28.
Ce qui achève cette démonstration. ■
2
