Représentations linéaires des tresses infinitésimales

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Ivan Marin

To cite this version:

Ivan Marin. Représentations linéaires des tresses infinitésimales. Mathématiques [math]. Université

Paris Sud - Paris XI, 2001. Français. �tel-00005386�

N Æ d'ordre: 6488 UNIVERSIT  E DE PARIS-SUD CENTRE D'ORSAY Repr 

esentations lin

 eaires des tresses infinit  esimales TH  ESE

presentee pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSIT  E PARIS XI-ORSAY spe ialite: MATH  EMATIQUES par Ivan MARIN

Soutenan e publique le30 mars 2001 devantle jury ompose de

Pierre CARTIER Dire teurde these.

Fran ois DIGNE

Mi hel DUFLO

Alain LASCOUX

ValentinPO



ENARU Presidentdu jury.

Vladimir TURAEV Invite.

Rapporteurs:

Gunter MALLE

Representations lineaires

des tresses infinit



esimales

de tressesB n

qui proviennentdel'integrationdesystemesdeKnizhnik-Zamolod hikov(KZ),

vus omme representations de l'algebre des tresses innitesimales. Nous utilisons la

te h-niquedesbasesde Gelfand-Tsetlinpouretudier ertainesrepresentationsde ette algebre,et

montrons omment onstruireexpli itementlesrepresentationsdugrouped'Artin

orrespon-dantes. Nous lassions ompletementlessystemesKZquisontirredu tiblespourl'a tiondu

groupesymetriqueet onstruisonslesnouvellesrepresentationsdeB

n

quiapparaissenta ette

o asion. Nous obtenonsd'autre part des riteres d'irredu tibilite sur les representations de

B n

obtenues par onstru tion tensorielle.Nous obtenons ennd'autres resultats utilesdans

e adre,notamment unede ompositionpartiellede l'algebredeLie engendree parles

trans-positions dans l'algebre de groupe du groupe symetrique. Cette de omposition partielle est

en rapportave les omposantesirredu tiblesde larepresentation deJones.

Mots les: representations, groupes de tresses, Knizhnik-Zamolod hikov, tresses innit

esi-males, bases deGelfand-Tsetlin, groupessymetriques,toursd'algebres.

Abstra t. This work ontributes to the general study of linear representations of Artin's

Braid group B

n

that arise as monodromy of KZ-systems. We onsider these systems as

re-presentationsoftheHopfalgebraofinnitesimalbraids,andapplythete hniqueof

Gelfand-Tsetlin basis. The purpose is twofold: thiste hnique gives a good insight into the

represen-tation theory of this algebra, and we show that it helps in the expli it onstru tion of the

orresponding braid group representations. We give a omplete lassi ation of KZ-systems

thatareirredu ibleforthea tionofthesymmetri group,and buildthenewrepresentations

ofB

n

that ariseat thisstage.Among other results thatare usefulinthis setting,we obtain

irredu ibility riteriaon tensorprodu tsand related onstru tions,and get apartial

de om-positionoftheLiealgebrageneratedbytranspositionsinthegroupalgebraofthesymmetri

group.This partialde ompositioninvolvessummandsof theJones representation.

Keywords: representations, braid groups, Knizhnik-Zamolod hikov, innitesimal braids,

Je ne saurais trop remer ier mes parents pour tout l'amour qu'ils m'ont donne,

et qui m'a permis de surmonter les doutes inherents a tout travail de these. Dans le

m^eme ordred'idees,madette al'egardde mes amis de toujours,Eri Jaligot,Nathalie

Montard etVin ent Domeyne n'a pas de prix.

Jeremer ie lespersonnes quionteuun r^olepredominantdansmaformationmath

e-matique. Monprofesseur de mathematiquessuperieures DanielGoÆnetquim'a appris

que l'inter^etdes mathematiquesne residait pas uniquementdans les livresdejae rits;

mon ami et professeur de mathematiques spe iales Pierre-Jean Hormiere qui m'a au

ontraireapprisl'inter^etdestheoriesbienfaites,enparti ulieraevoluerdansl'en hev^

e-trementdes theoremes dejaexistantsetalesutiliserde fa onadequate;mon dire teur

de DEAAdrienDouadyquiest al'originede moninter^etpourlestressesetm'aappris



a etudier pour eux-m^emes les objets geometriques fondamentaux; ennPierre Cartier

quiaa ompagne e travailde theseen mefaisantproterdesa omprehension anulle

autre pareille de l'algebre moderne, de son go^ut pour les formules expli ites et de ses

lumieressouvent de isives{en m'aiguillantd'autrepart sur e quel'algebrequantique

apporte a l'etudedes representations de stru tures plus lassiques.

Outremondire teurdethese,jedois devifs remer iementsauxmathemati iensqui

m'ontapporteuneaideprolongeedans etravail.EnpremierlieuJorgeGonzalez-Lor a

qui m'a mis le pied a l'etrier lors de la premiere annee de these, et m'a fait proter

de sa onnaissan edes tressesinnitesimales.Ce travailpreliminaireen ommun aete

de isif dans l'appro he nalement developpee i i. Au terme de e periple, je remer ie

tres haleureusement Gwendal Le Bouant et Christophe Cornut d'avoir onsa re un

temps importantalarele ture de ertains hapitres, ainsi queBrunoKlinglerpour les

onversations que nous avons eu lorsde laderniere ligne droite.

Jeremer iede nombreuses personnes ratta hees al'equipe\Groupesnis"de

l'uni-versiteParisVII,notammentGunterMalleetRaphaelRouquierquionta epted'e rire

un rapportsur e volumineuxmemoire,apresm'avoirl'un ommel'autreapporteleurs

lumieres sur lesgroupesde re exion omplexes. Je remer ie Jean Mi hel qui m'a

om-munique latoute derniere version d'un logi ielde al ul sur es groupes, David Bessis

et Mi hel Broue pour les reponses a mes questions. Je remer ie enn Fran ois Digne

pour son inter^et envers mon travail et sa presen e dans le jury, et je remer ie Mar

Cabanes dem'avoirinviteaexposer unepremierefois ertainsresultatsde e memoire.

Je suis tres heureux de la presen e dans le jury de mathemati iens re onnus dans

des domainesattenants etdivers. Les remarques etsuggestions de ha un, notamment

au moment de la soutenan e, m'ontbeau oup apporte. Je remer ie don , outre Pierre

Cartier etFran ois Digne,Mi hel Du o,AlainLas oux, ValentinPoenaru etVladimir

Turaev.

Parmi les spe ialistes qui onttresgentimentrepondu a mes questions,de vivevoix

oupar ourrierele tronique,jeremer ieparti ulierementArunRam,ToshitakeKohno,

BenjaminEnriquez,Eri Vasserot,YvetteKosman-S hwarzba h,InnaSysoeva,Patri k

bien s'amuser un peu, la voi i dans l'ordre lexi ographique inverse sur le prenom.

Mes remer iements ordiaux, don , a: Vitia Tourt hine, Vin ent Laorgue, Sylvain

Bruiltet, Stephane Ai ardi, Paul Zinn-Justin, Patri k Popes u-Pampu, Olivier

S hi-mann, Olivier Glass, Louis Granboulan, Lo Grenie, Julo Chrobo zek, Julien Jalon,

JoelBella he,Jean-Fran oisDat,Jean-ChristopheNovelli,HuguesRandriambololona,

Herve Henry, Georges Ra inet, Gaetan Chenevier, Frederi Chapoton, Fran ois

Pier-rot,FlorentHivert,FaroukBou ekkine,DenisPetrequin,DenisAuroux,DavidMauger,

David Madore, Alban Moreau.

Jeremer ieleServi edesPrestationsInformatiquesdel'ENS,enparti ulierJa ques

Beigbederpour sagentillesse,sadiligen eetsa ompeten ehorsdu ommun, ainsique

le personnel de laBibliothequede Mathematiquesde l'ENS, LilianeZweig, Chantalde

GaalonetAlainDuysenparti ulier.Del'autre otedelafrontiere,jeremer ieRoberto

FerrettietGisbertWustholz,al'ETHdeZuri h,pourm'avoirpermisde on lure ette

these dans de bonnes onditions.

Je remer ie enn les amis qui m'ont aide a preparer la soutenan e, notamment

Stephane Ai ardi, Herve Henry, Celine Eymard et Joel Bella he, ainsi que eux qui

sont venus ou ont tente de venir a ette soutenan e, en depit de la greve des hemins

de fer.

Defa onplusparti uliere,jeremer ielesauteursdes uvresmagistrales,math

ema-tiques ounon,qui,au oursde es dernieresannees,m'ontdonneesenviede travailler

1 .

Unremer iementspe ial aVin entMaillot, quisaitpourquoi,eta OlivierLambin,

qui l'ignore, devraient me permettre de n'avoir, je l'espere, oublie personne.

1.Je remer ie don I.M. Gelfand et J.-P.Serre, M. Gromov etV.G. Drinfeld, A. Grothendie k et W.P.

Thurston, mais aussi Lu Moullet et J.-L. Godard, J.M. Straub et D. Huillet, Ja ques Tourneur et Jean

Introdu tion

Le groupe de tresses sur n brins B

n

a ete de rit formellement pour la premiere fois en

1925. Des laperiode 1923-1936 sontdefri hes dierents aspe ts essentielsde e groupe:

- les tresses omme motsen n 1 generateurs

- les interpretations geometriquesdes tresses

- le lienentre tresseset nuds

- les representations dugroupeB

n

Le lien entre tresses et nuds estelu ide par Alexander (1923) et Markov (1935), une

des- ription de B

n

par generateurs et relations est de ouverte par Artin, et enn Burau (1936)

onstruitunerepresentationnontrivialeetirredu tiblededegren 1deB

n

,quidepuisporte

sonnom.Lepolyn^omed'Alexander,premierd'uneseried'invariantspolynomiauxdesnuds,

est quanta luidire tementlie a ette representation de Burau.

Les travaux des de ennies suivantes peuvent ^etre onsideres omme une etude poussee

de es onstru tions fondamentales. Ilest montre que la representation de Burau de B

3 est

dele.Lepolyn^omed'Alexanderestde ortique,et onmontrequ'ilnedepend,parunpro ede

expli ite, que du groupe fondamental du omplementaire du nud (Fox). Ren ontrant le

groupede tressespuresou olorees-un sous-groupefondamentalde B

n

-danssonetudedes

singularites,Arnoldendeterminel'algebrede ohomologierationnelle.Lesdeveloppementsde

latopologiealgebrique et de la geometrie abstraite dans l'apres-guerre permettent en outre

de mieux omprendre le groupe de tresses B

n

omme groupe fondamental d'un espa e de

ongurations de Ma Lane (Fadell et Neuwirth): l'etude approfondie des omplementaires

d'hyperplans notamment par Deligne et Brieskorn-Saito, l'etude des groupes de re exions

par Coxeter et Tits degagent la nature geometrique profonde des groupes de tresses. Dans

le m^eme mouvement, on t^a he de generaliser la notionde tresse,en onsiderant des groupes

de tresses asso ies aux surfa es - le groupe de tresses rebaptise \groupe d'Artin" n'etant

plus alorsque le as parti ulierasso ie au plan.L'apparition dansles annees 70 d'un objet,

l'espa eM

g;n

desmodulesdessurfa esdegenreganpointsmarques,quijoueunr^ole entral

en geometrie et en arithmetique, et dont Grothendie k onje ture qu'iladmet unestru ture

remarquablementsimple, estl'aboutissementde ette tendan e: legroupede tressesd'Artin

on erne le as parti ulier g = 0, et il semble que l'on gagnerait a essayer de omprendre

globalementlastru turedeM

g;n

,plut^otquede\s'a harnersur e pauvregroupedetresses"

[43 ℄.

Laperiode modernedansl'etude dugroupe detressesdebuteparl'apparitionr

plus ri he que le polyn^ome d'Alexander. Ce polyn^ome appara^t don a la surprise generale

de fa on purement algebrique, et ses interpretations topologiques ne sont toujours pasaussi

satisfaisantesque ellesdupolyn^omed'Alexander.Jonesmontreegalementquesonpolyn^ome

est lie a ertainesrepresentationsdes groupesde tresses, qui sefa torisent parunepartie de

l'algebrede He ke generiquede typeA.Cesalgebresalorsdejabien onnuessonten eetdes

quotientsdesalgebresde groupe desgroupesde tresses.Cetteremarque tressimpleamenea

onsiderer de pluspresles representationsde es algebres de He ke,de ritesmatri iellement

parHoefsmit en 1974. Dupoint de vuede la theorie des nuds,les relations \skein",

intro-duitespar Conway omme generalisation des methodes d'Alexander, sont re onnues omme

undesoutils essentiels dansla onstru tion desinvariantsdes nuds.

Suivant esdierentesidees, ilest onstruitunnouveaupolyn^ome,ditHOMFLYapartir

des initialesde sessixauteursoÆ iels,qui prenddesormais en omptel'algebre deHe ke de

type A dans son integralite. Une nouvelle etape importante est alors due a Kauman, qui

introduit un troisieme polyn^ome, issu ette fois de la me anique statistique, et qui englobe

d'une ertaine fa on les pre edents. Birman, Wenzl et Murakami montrent alors que e

po-lyn^ome est en ore issud'un quotient de l'algebre de groupe du groupe de tresses: 'est une

nouvellealgebresemi-simplede dimensionnie,dontles algebresdeHe kedetypeAnesont

qu'unquotient.

Deuxetudesfondamentalesvont alorsinstaller esnouvellesmethodesdansune

perspe -tive pluslarge, sous l'in uen e notablede la physique. Ons'est aper u que les methodes de

theorie onforme des hamps en physiquetheorique permettent de onstruire des repr

esen-tations du groupe de tresses par monodromie des equations dierentielles introduites par

Knizhnik et Zamolod hikov. T. Kohno montrera que e pro ede est systematique, et qu'il

permet de onstruire au voisinage de la representation triviale toutes les representations du

groupedestressespures.Une ertainealgebre,ditedestressesinnitesimalesetlieeal'algebre

de ohomologiede riteparArnold,sembleeneetjouerdanslatheoriedesrepresentationsdu

groupe detressesun r^ole omparableaux algebres deLie danslatheorie desrepresentations

desgroupesdeLie.Enn, estressesinnitesimalesagissentnaturellementsurlespuissan es

tensoriellesde representations desalgebresde Lie simples.Lesdeux travaux qui font rentrer

es nouveauxresultatsdansuneperspe tivegeneralesont alors:

- DrinfeldpoursuivantleprogrammedeGrothendie kins rit esnouveauxpointsdevue

dansuneetudegeometriquedeM

0;n

,quiprenden omptelestravauxd'Iharareliantle

groupede tressesave Gal(Q=Q). Ilmontre omment esa tionsissues de laphysique

sont reliees a des defauts de ommutativite dans les ategories monodales introduites

par Ma Lane. Il introduit enn sous le nom de groupes quantiques des deformations

des algebres enveloppantes des algebres de Lie, qui permettent de de rire dire tement

l'a tiondugroupedetresses-etnonplusdestressesinnitesimales-surdespuissan es

tensoriellesde representations d'algebresde Lie.

- Vassiliev a generalise la notion de relations \skein" dans le but de determiner

expli- itement un invariant des nuds, universel parson prin ipe m^eme. Par uneetude du

dis riminantdel'espa edes ourbeslissesfermeesdeR

3

,ilamontrequel'onpouvaiten

un ertainsensappro herd'uninvariant universeldesnudsparuneseried'invariants

desnuds,appelesinvariantsdeVassilievouinvariantsdetypeni.Cesinvariantssont

liesaunealgebredeHopf,dite algebre desdiagrammesde ordes,quiestextr^emement

ave les idees de Drinfeld on ernant l'a tion des tressessur les ategories monodales

a alorsete faitparCartier [30 ℄.

Lors de es dix dernieres annees, deux elements nouveaux ont retenu notre attention

omme utilesal'etude desrepresentations dugroupede tresses.

Enpremier lieules travauxde Vershiket del'universitede Leningrad-Saint Petersbourg,

poursuivant ertaines idees de Jones, ont montre omment ree rire la theorie des repr

esen-tations de ertaines algebres muniesd'une ltrationnaturellea partir de leurdiagramme de

Bratteli. Ilesten fait remarquablequ'ungrand nombred'algebreslieesau groupede tresses

sont parti ulierement adapteesa un teltraitement indu tif.Parexemple, sil'on onsiderela

ltrationnaturelledugroupesymetriqueS

n

,lediagrammedeBratteliasso ieasesrepr

esen-tations irredu tiblesest sansrami ations (deuxsommets sont reliesparau plusunear^ete),

e quipermetd'avoir unenotionde basenaturellepour etterepresentation,appelee basede

Gelfand-Tsetlin.

Lamethodegeneraleemployeei ipour onstruiredesrepresentationsdugroupedetresses

onsistera ainsi a faire appara^tre des representations irredu tibles du groupe de tressespar

leur diagramme de Bratteli: une fois e diagramme obtenu, nous t^a herons de onstruire

expli itementunerepresentationdu groupede tresses orrespondant a e diagramme.

Endeuxiemelieu,l'equipe\groupesnis"del'universiteParisVIIamontrequel'on

pou-vaitasso ierauxgroupesdere exions omplexes,desalgebresdites y lotomiquesanalogues

aux algebres de He ke des groupes de re exions. Il se trouve que inq de es algebres sont

desquotientsde l'algebre de grouped'un groupe de tresses a 3,4 ou 5 brins.L'etude de es

algebrespermetde fa iliterlades riptiondesrepresentations dugroupede tressesasso iees.

Rappelonsque siles representations que l'on her he a onstruire asso ient aux generateurs

d'Artin des endomorphismes semi-simples admettant generiquement deux valeurs propres,

e sont des representations des algebres de He ke de type A. Dans le adre de trois valeurs

propres,les representations deB

3

, B

4

et B

5

sont pardenition desrepresentationsde es

al-gebres deHe ke y lotomiques.Un diagramme de Brattelietant donne, ela nous permettra

de de rire rapidementl'a tiondesgenerateurs de B n

pourn5, ommeetape initialed'une

des riptionindu tive.

Cememoire se omposede troisparties.Pourdistinguerleslemmes,propositionset th

eo-remes onnusderesultatsquinoussemblentnouveaux,nousutilisonsla onventiondenepas

numeroterles premiers.

Cette these prend omme point de depart l'opinion generale selon laquelle la plupart

des representations de B

n

proviennent de la monodromie d'un systeme de type KZ ( f. par

exemple Kohno[50 ℄). Nous onsiderons les systemesKZ omme desrepresentations V d'une

ertaine algebrede HopfB

n

, qui ontient l'algebrede groupeCS

n

dugroupesymetrique,et

notons R

h

V la representation de B

n

asso iee, qui dependd'un parametre h.

Lapremierepartiede ettetheseest onsa reeauxgeneralites.Lepremier hapitreexpose

les objetsprin ipaux ouelementaires utilesi i, et poseles bases d'uneetude des repr

d'irredu tibilite, d'inde omposabilite, et de ompatibilite par rapport aux ltrations

natu-relles des representations de B

n

se transposent aux representations de B

n

. Nous etudions

es questions dans un adre \analytique" qui nous sera utile i i, ainsi que dans un adre

\formel". Nous exposons es resultats sous la forme d'un theoreme (Theoreme 1) dans le

deuxieme adre,et sous laforme de plusieurspropositionsqui serontinvoquees ensuitedans

le premier.

Le deuxieme hapitre est la formulation dans un adre general des notions algebriques

de ette these. Si V est un k-espa e ve toriel, nous ommen ons paretudier un ertain type

de sous-algebres de End(V), dont l'irredu tibilite de l'a tion sur V se lit aisement sur un

graphe(I.2.1).Nousdenissonsensuitelesespa esve torielsetalgebresasso iesadesgraphes

niveles,graphesparti uliersdontlesdiagrammesdeBratteli,introduitsensuite,sontlestypes,

et qui sont parti ulierement adaptes au traitement des representations des algebres ltrees.

Nous isolons alors la notion d'algebres lo ales, qui s'applique aux dierentes algebres utiles

i i. Enn, nous obtenons des resultats d'irredu tibilite pour l'a tion d'algebres lo ales sur

des modules asso ies a des graphes niveles, et nous presentons en se tion 7 les appli ations

prin ipales de e formalisme a notre etude. La theorie presentee i is'inspire destravaux de

Vershiket Kerov [74 ℄ d'unepart,des ideesd'algebresde graphes exposeespar Goodman,de

laHarpe et Jones [11℄ d'autre part.L'apport originalest onstitue d'abord parl'uni ation

de es deuxpointsde vue,mais surtoutparl'a ent missurles riteres d'irredu tibilite.

Les hapitres3 et 4 montrent omment des theories lassiques, elle desrepresentations

dugroupesymetriqueet ellede l'a tionde B

n

surles puissan estensoriellesde repr

esenta-tionsd'algebres de Lie, s'inserent dans le adre du hapitre 2. On y met en pla e ertaines

onventions utiles.

La deuxieme partie est onsa ree a l'etude de representations parti ulieres de B n

qui

proviennent de representations de B

n

. Les representations de B

n

qui se fa torisent par les

algebres de He ke generiques de type A, 'est-a-dire les deformations elementaires de CS n

,

proviennent tressimplement d'unerepresentationde B

n

dont larestri tionau groupe sym

e-triqueestirredu tible.Dans etteoptique,il sembleraitnaturelde onje turerlare iproque,



a savoir que, si la restri tion a S

n

d'une representation V de B

n

est irredu tible, alors la

representation R

h

V de B

n

asso iee sefa toriseparl'algebrede He ke detype A.Au unedes

representations jusqu'apresent onnuesde B n

n'inrmait ette hypothese. Le theoreme 2 de

II.1reponda ettequestion,enmontrantquelare iproquen'admetqu'uneuniqueex eption,

unerepresentationque nousappelonssporadique.

Pour onstruireexpli itement larepresentation deB

n

qui est asso iee a ette repr

esenta-tionsporadique,nous utilisonsun algorithme quenousavonsdetaille enI.2.7, et quipermet

de determiner les matri es d'une representation de B

n

, une fois donnes son diagramme de

Bratteli et quelques donnees omplementaires. Nous employons une premiere fois et

algo-rithme au hapitre II.3, montrant omment il permet de systematiser l'etude, auparavant

menee parBroueetMalle[28 ℄,desrepresentationsdesalgebresde He ke y lotomiques

asso- ieesa ertainsgroupesdere exions omplexes,quisontdesquotientsdeB n

.Nousl'utilisons

ensuiteen II.4pour obtenir desmatri es expli ites de larepresentation de B

n

asso iee a la

representationsporadiquede B

n .

Les deux algorithmesexposes en I.2.7, a savoir, d'une part ladetermination expli ite de

matri esapartird'undiagrammedeBratteli,et d'autrepartla lassi ationdesrepr

esenta-tionsdeB

n

dontlarestri tionaugroupesymetriqueestunerepresentationsansmultipli ites

nombred'equationspolynomialesexpli ites.

On applique une deuxieme fois es algorithmes, ette fois a l'etude des representations

de B

n

qui se fa torisent par le groupe symetrique etendu

f S

n

. Ces representations, qui

ap-paraissent au hapitre II.2, sont ara terisees par le fait que l'image du groupe de tresses

puresP

n

est ommutative.Nous lassionsdans e hapitrelesrepresentations dedimension

n deB

n

, et onstruisonsunerepresentationirredu tiblequel'on peuta bon droitappelerla

\representation naturelle"de f S

n .

Danslatroisiemepartie,nousmontrons(theoreme3,III.1)quelespuissan esalterneesde

ette representationsontirredu tibles,al'instar despuissan es alternees desrepresentations

\de re exions" desgroupesde Coxeter ( f. Kilmoyer[35 ℄). Ennnousobtenons unegen

era-lisation de esnouvellesrepresentationsirredu tibles de f S

n

, parl'introdu tiond'unnouveau

parametre,etnousenexposonsun ertainnombredemodeles ombinatoiresparti ulierement

simples (theoreme 4,III.1).

De fa on plusgenerale, latroisieme partie developpe un point de vueoppose a elui qui

inspiraitladeuxieme:au lieude her hera onstruiredesrepresentationsdeB n

dontonsait

paravan equ'ellessontirredu tibles,nous onsideronsdesrepresentations onnuesdeB

n qui

proviennent de B

n

, notamment elles qui sefa torisent par les algebres deHe ke generiques

detypeA,etleurappliquonsles onstru tionstensoriellesstandard.Lebutestalorsd'obtenir

des riteres d'irredu tibilite pourles representations ainsi onstruites.

Dansle hapitreIII.2,nousmontrons omment es onstru tionstensoriellesapparaissent

naturellement dans l'etude du bimodule sl

p n

pourle \ as stable", 'est-a-dire lorsque n est

granddevant p.Dans e adre parti ulier,l'a tion essentielle est fourniepar lasous-algebre

de Lie de CS

n

engendree par les transpositions, qui est une algebre de Lie redu tive notee

H n

.L'etudede etobjet,essentielpour omprendrel'a tionde B

n

surles produitstensoriels

de deuxrepresentationsd'unem^emealgebredeHe ke,estentameedansle hapitreIII.3.On

y determinenotamment letype de H

n

pourn6.

Le dernier hapitre de ette these montre que l'on peut isoler un ertain type de

re-presentations irredu tibles de B n

, que nous appelons ses representations nodales et dont

nous presentons une axiomatique. Le premier theoreme (theoreme 5, III.4) dit que, dans

dessituations generiques, larepresentationproduittensorield'unefamillederepresentations

nodales est irredu tible, et elle-m^eme nodale. Comme la notion de representation nodale

ouvre la plusgrande partie des representations irredu tibles onnues de B

n

, a l'ex eption

notablederepresentations quisefa torisent par

f S

n

, e theoreme illustreunphenomene tres

general, qui n'estsans doute passans relations ave un phenomene analogueobserve sur les

Yangiens ( f.[65℄).

D'autre part, dans e m^eme hapitre nous etudions le produit tensoriel de deux repr

e-sentations de H

n

d'un ertain type.A partir de la methode que nous avons publiee ailleurs

[61 ℄,nous en deduisonsdes fa teurs simplesde H

n

, pour toutn2 (theoreme 7,III.4). En

onsequen e, nousasso ionsatoutefamillede ardinalauplusn=2defon teursdeS hurune

representationirredu tiblede B n

NOTATIONSET CONVENTIONSGENERALES 7

Notations et onventions generales

Un orps k sera toujours suppose ommutatif et de ara teristique 0.Un anneau et une

algebre seronttoujourssupposesintegres et unitaires.Sik estun anneauet Gungroupe,on

adoptera les notations suivantes: on note kG l'algebre de groupe de G, k[[h℄℄ l'anneau des

seriesentieres formelles,Cfhg l'anneaudesfon tionsentieres. Enn,suivantlatraditiondes

groupesquantiques,nousnoterons k[h

1

;h℄℄ l'anneaudes series deLaurent en h.

Les modules ou les representations sur k d'une k-algebre ou d'un groupe seront sauf

mention expli ite du ontraire supposesde dimension nie sur k. Les groupes de Lie seront

toujourssupposesde dimensionnie.Si Aet B sont deux algebres(resp. deuxgroupes)tels

que A B, on notera, pour un B-module M, R es

A

M la restri tion de M a A. Suivant les

situations etudiees, on notera une representation d'une algebre (ou d'un groupe) A omme

unA-module M, ou ommeun ouple(V;), ouV estunespa e ve torieletun morphisme

de A vers l'algebredes endomorphismesde V.

Si(e 1 ;e 2 ;:::;e n

) onstitueunebased'unespa eve toriel,onnotera(e

 1 ;e  2 ;:::;e  n )sabase duale.OnnoteÆ ij

lesymboledeKrone ker.Si estunendomorphismed'unespa e ve toriel

de dimension nie, on notera Sp() le spe tre de , det() son determinant, et 



(x) son

polyn^ome ara teristique det( x). Sii et j sont deux entiers,on notera [i;j℄ =fk2Z j

ik jg. SiV est unespa e ve toriel, on notera Id

V

l'identite deV, GL(V) legroupedes

automorphismes lineaires, End(V) l'algebre des endomorphismes lineaires de V. Si de plus

V estmunid'une a tion d'une algebre A,on notera End

A

(V) l'espa e des endomorphismes

lineaires de V qui ommutent a l'a tion de A. Pour des espa es ve toriels V, W, on notera

V W leproduittensoriel deV et W,V n =V V :::V,  n (V),S n (V) lespuissan es

tensorielles (resp. alternees, symetriques) n es

de V. Si V et W sont munisde l'a tion d'une

bigebre,on munirade m^eme es nouveaux espa esde l'a tionasso iee.

PourN un entiernaturel,one rira `N quand est unepartitionde l'entierN, et on

notera 

0

la partition duale. On note S

N

le groupe symetrique sur N lettres, et on utilise

lanotation traditionnelle(i 1 i 2 ::: i m

) pourles m- y les.Quand il ne s'agira pas d'indi es,

on notera i et j les nombres omplexes habituels, denis par i;j 6= 1, i

2

= 1, j

3

= 1, et

Imj>0.

Enn, pour g une algebre de Lie, on notera Ug son algebre enveloppante universelle,

et, lorsque l'on onsiderera un groupe ou une algebre de Hopf parti ulier, on notera 1 sa

representationtriviale.

Notations

Notations du hapitre I.1 B n I:1:1:1  i I:1:1:1 C n  I:1:1:1 B + n I:1:1:1 n I:1:1:1 Æ n I:1:1:1 s i I:1:1:2 P n I:1:1:2 G 4 ;G 8 ;::: I:1:1:2 BWM n I:1:1:2 f S n I:1:1:2 T n I:1:2:1 t ij I:1:2:1 B n I:1:2:1 T n I:1:2:1 t n I:1:2:1 V z I:1:2:2 R h V z I:1:2:2 R h V I:1:2:2 R  M I:1:2:6 H  M I:1:3:1 K n

(q;t) I:1:3:1 L(t) I:1:3:2 R (t) I:1:3:2

S(t) I:1:3:2 V(M) I:1:3:2 V s (M) I:1:3:2  a I:1:3:2 S I:1:3:2 H  M I:1:3:2 I r  () I:1:3:2  u;v I:1:3:2 B  s;p I:1:3:2

Notations du hapitre I.2

kS I:2:1 e

a;b

I:2:1 D(S) I:2:1 =(S;A;b;s) I:2:1

=(S;A) I:2:1 I:2:1 x!y I:2:1 A( ) I:2:1

D;B

(M) I:2:2

D;

(M) I:2:2

D;

(M) I:2:2 G=(S;A;b;s;niv) I:2:3:1

G=(S;A;niv) I:2:3:1 n 1 I:2:3:1 x%y I:2:3:1 G x ;G x ;G (n) ;::: I:2:3:1 T G I:2:3:2 kG I:2:3:2 l o I:2:3:2  s℄ ; [r ; [r;s℄ I:2:3:2 M(G) I:2:3:2 M l o (G) I:2:3:2 0 l o I:2:3:2 Top r (G) I:2:3:3 A=A n I:2:4  I:2:4 z r I:2:5 A I:2:6:1 0 A I:2:6:4

Notations des autres hapitres

T n

I:3:1 J

n

I:3:1 jj I:3:2 t() I:3:2

h() I:3:2 Æ() I:3:2 Æ(;) I:3:2 

0 I:3:2  i I:3:2 ~  i I:3:2 Surf n (V) I:4:2:1 Tot n (V) I:4:2:1 S  II:1:2 Spor (n) (;) II:1:6:2 L n II:2:2 L n (h) II:2:2 L n (q) II:2:2 R (n) 1 (x;y) II:4:1:1 R (n) 2 (x;y) II:4:1:1 R (n) 2 (X;Y) II:4:2 R (n) 1 (X;Y) III:1:2  p n (X;Y;Z) III:1:4:1 (D 1 ;D 2 ) n III:2:1 H n III:3 S n III:3

Premiere partie

Chapitre 1

Tresses et tresses innitesimales

Dans e hapitre,nousexposonslesprin ipesfondamentauxquinousserontutiles

on er-nant les tresses et les tressesinnitesimales. La se tion 1 presente les aspe ts du groupe de

tressesqui nousinteressent,lase tion2 introduitl'algebreB n

ditedestressesinnitesimales

dont lesrepresentations orrespondentauxsystemesKZ,et metenpla e les orrespondan es

entre les proprietes des representations de B n

et des representations de B

n

asso iees par

\integration". Enn la troisieme se tion de e hapitre denit les representations les plus



elementaires de esstru tures.

1.1 Le groupe d'Artin

1.1.1 Denition

Le groupe de tressesa nbrinspourn1 sera pournous legroupe d'ArtinB

n

engendre

par n 1generateurs 

1 ;:::;

n 1

soumisauxrelations

 i  j = j  i sijj ij2  i  i+1  i = i+1  i  i+1 pour1in 2:

La premiere relationestappelee relation de lo alite, ladeuxiemerelation de tresse.

Ilest lassiqued'identierB

n

au groupe fondamentaldu quotient de

C n  =f(z 1 ;:::;z n ) j z i =z j ssii=jg; 'est-a-direde C n

prive de sesdiagonales, parle groupe symetriqueS

n .

On peut d'autre part symboliser la denition par generateurs et relations de B

n par le

diagramme de Coxeter

1

2

3

4

n-2

n-1

dans lequel haque er le symbolise un des generateurs 

i

: deux er les i et j non relies

induisentlarelationde lo alite  i  j = j  i

, deux er les reliesiet i+1induisentlarelation

detresse entre

i et 

i+1 .

La symetrie que presente e diagramme re ete le fait que l'appli ation

i

7! 

n i d

et relations ou par l'intermediairedu diagramme, qu'il existe un morphismenaturel, lassi-quement inje tif, de B n 1 vers B n , le generateur  i de B n 1

etant envoye sur legenerateur

 i

de B

n

. Cette in lusion sera essentielle dans notre travail. Enn, on peut asso ier a un

tel diagramme ou au systeme de generateurs et relations asso ie un monode unitaire: nous

asso ions ainsi au diagramme pre edent le monode unitaire des tresses positives, note B

+ n

.

Iln'estpasimmediatmaisneanmoins lassiquequeB

+ n

s'inje te anoniquement,entant que

monode,dans B

n

. Un element de B n

qui appartient a l'image de B

+ n

sera ainsi appele une

tresse positive.

D'apres esdenitions, B 1 =B + 1 =f1g,B 2 =Z,B + 2

=N.Ona de plusuneltration

f1g=B 1 Z=B 2 B 3 :::B n 1 B n :

En general, les in lusions B

n 1

,! B

n

n'admettent pas d'inverse a gau he. Une ex eption

merited'^etre signalee,l'homomorphisme spe ial B 4 !B 3 denipar  1 7!  1  2 7!  2  3 7!  1 

etant uninverse agau he de l'inje tionnaturelleB

3

B

4 .

Unepresentation utilede B

3 s'obtient en posantu = 1  2 , v= 1  2  1 : laseulerelation

entre es deux generateurs est alors u

3 = v 2 . En fait u 3 engendre le entre de B 3 , don le quotient de B 3

parson entre estisomorphe aPSL

2 (Z).

Nous allons maintenant introduire ertains elements parti uliers de B

n

qui nous seront

utiles.Onpose,pourn1,

n = ( 1 ::: n 1 ) n Æ n = ( n 1 ::: 1 )( 1 ::: n 1 ) et Æ 1 = 1 = 1 Æ 2 = 2 =  2 1 : Onaalors, pourn2, n = n 1 Æ n = Æ n n 1 Æ n =  n 1 Æ n 1  n 1 :

Proposition. (Chow [34 ℄) Pour n3, le entrede B

n

est y lique inni.

n

estson unique

generateur positif.

OnposeÆ 0 2 = 1 . Corollaire. < Æ 2 ;Æ 3 ;:::;Æ n >=< 2 ;:::; n > et < Æ 0 2 ;Æ 3 ;:::Æ n >=<  1 ; 3 ;:::; n > sont

deux sous-groupes ommutatifs deB

n pour n2. Preuve | Pour n > k  2, Æ k = k 1 k 1 appartient au entralisateur de B k 1 dans B k , don , si r<k, Æ k Æ r =Æ r Æ k , et de m^emeÆ 0 2 Æ k =Æ k Æ 0 2 pourk >2. qfd.

LeselementsÆ 2

;:::;Æ n

etleurlienave n

sont onnusdepuislongtemps.C'estenrevan he



a Arun Ram ( f. [66 ℄) que l'on doit, a notre onnaissan e, d'avoir le premier souligne leur

r^ole primordialdans latheoriedes representations de B n

. Nous appellerons eselements les



1.1.2 Quotients remarquables

Le groupe symetrique

On note s

i

= (i i+1) pour 1  i  n 1 les transpositions onse utives du groupe

symetrique S

n

, 'est-a-dire ses generateurs de Coxeter. Les relations que verient es gen

e-rateurs sont alors la relation de lo alite s

i s j = s j s i si ji jj  2, la relation de tresse s i s i+1 s i =s i+1 s i s i+1 , ainsi ques 2 i

=1pourtout indi ei.

Un epimorphisme de B

n

sur S

n

, que nous designerons par , est uniquement deni par

 i

7! s

i

, et son noyau note P

n

est appele groupe des tresses pures sur n brins. On rappelle

que P n = 1 (C n  ):

Defa on diagrammatique,lesrelations denissant legroupesymetriquesontsymbolisees

par

1

2

3

4

n-2

n-1

2

2

2

2

2

2

oule hirerpresent al'interieurd'un er leimposeaugenerateurasso ied'avoirpourordre

r.

Onxe un orps k, y lotomiquede ara teristique 0.

A un diagrammede e type,dans lequelr n'est pasfor ement egal a 2,on peut asso ier

unealgebre de He ke y lotomique [29 ℄ sur

~ k = k(a 1 ;:::;a r ), quotient de ~ kB n et denie de

fa on similaire: on imposeaux generateurs s 1

;:::;s

n 1

les relations de tresse et de lo alite,

et larelations r

i

=1, 'est-a-dire dansl'algebre de groupe

r Y m=1 (s i e 2im r )=0;

estrempla ee par

r Y m=1 (s i a m )=0:

Dans le as du groupe symetrique, 'est-a-dire pour r = 2, on obtient l'algebre de He ke

generique de typeA, deformationde kS

n

au sens suivant:

Denition 1. Pour k un orps, on note R une k-algebre ommutative, unitaire et integre,

 un morphisme de k-algebres de R vers k, et

~

k le orps des fra tions de R . Si A est une

k-algebre, on dira qu'une R -algebre ~

A, libreentant que R -module,estune deformationde A

si ~ A  k=A: I i, R = k[a 1 ;:::;a r ℄, ~

k est son orps des fra tions, et le morphisme  est donne par

(a m )=e 2im r .

Le prin ipalresultat general dans e adre estle

Theoreme. (Tits, [6 ℄ h. 4 ex. 26) Ave les notations de la denition pre edente, si A est

semi-simple et dim ~ k ( ~ A R ~ k)<1, alors ( ~ A R

k) estsemi-simple et admetm^eme invariant

numerique que A

k ~

k; en d'autres termes, es deux algebres deviennent isomorphes apres

Tits a lui-m^eme demontre que l'on est dans le adre de son theoreme pour l'algebre de

He ke de type A ( f. Bourbaki [6 ℄ h. 4 ex. 27). Des isomorphismes expli ites ont ete plus

re emmentexhibesparGeorgeLusztig[59 ℄,IvanCherednik[33 ℄etJorgeGonzalez-Lor a[42 ℄.

Enn, unedes ription expli itedes representations de ette algebre de He ke aete obtenue

par P.N. Hoefsmit des le debut des annees 70, dans une these malheureusement toujours

inedite[45 ℄.

Groupes de re exions omplexes

Parmilesgroupesdere exionssimples,seulslesgroupessymetriquesapparaissent omme

quotientsdesgroupesdetresses.Parmilesgroupesdere exions omplexessimples,ilappara^t

en revan he inq groupes supplementaires, ex eptionnels dans la lassi ation de Shephard

et Todd[67℄

3

3

3

3

G

32

3

3

3

3

3

4

4

5

5

G

4

G 8

G

16

G

25

Cesgroupessont desgroupesnis,quotientsd'un groupe de tresses.

Cette situation est ex eptionnelle, dans la mesure ou si l'on onsidere par exemple le

groupe asso ie au diagramme

k

k

pourk 6,il admet unerepresentation dedegre 2 denie pour! =e

2i k par  1 7!  ! 0 1 1   2 7!  1 ! 0 ! 

Ilestalorselementairede verierquel'imagede 1

 1

2

admetdesvaleurspropresnonra ines

de l'unite des que k  6: et element est don d'ordre inni, ainsi que le groupe auquel il

appartient ( et exemplenousaete ommunique parGunter Malle[60 ℄).

Les algebres de He ke y lotomiques asso iees a es groupes de re exions omplexes,



etudiees dans [29 ℄ [28 ℄, sont des deformations des algebres de groupes. Il a ete onje ture

par Mi hel Broue et Gunter Malle [28 ℄ que les algebres de He ke y lotomiques asso iees

aux groupes de re exions omplexes sont de dimension nie, don que le theoreme de Tits

s'applique.

Pour les groupes qui nous interessent i i, ette onje ture n'a ete a notre onnaissan e

demontree quepourG

4 ,G 25 (Broue-Malle,[28℄), G 8 etG 16 (Muller[63 ℄). Le asdeG 32 reste

malheureusement onje turala l'heure a tuelle.

Entoutetat de ause,a partirdupoint devue developpe dans[29 ℄,onpeutmontrer que

ha une des representations irredu tibles de es groupes se deforme, en un sens ompatible

ave la denition1, enunerepresentationirredu tibledel'algebre de He ke orrespondante.

On remarque enn que G

4 s'inje te dans G 25 , G 25 dans G 32 . Il en est evidemment de

L'algebre de Birman-Wenzl-Murakami

Pour la denition de l'algebre de Birman-Wenzl-Murakami, abregee i i en BWM ou

BWM

n

,nousrenvoyonsa[26 ℄[64 ℄.Cettealgebreaeteintroduite ommequotientdel'algebre

de groupedu groupede tressesan de faire appara^trelepolyn^ome deKaumandes nuds

[48 ℄ omme tra e sur ette algebre. CesalgebresBWM

n

dependent de deux parametres let

m, et on a

Theoreme. (Wenzl,[26 ℄) Pour des valeurs generiques del et m,

1) BWM

n

(l;m) est unealgebre semi-simplede dimensionnie.

2) Les representations irredu tibles de BWM

n

(l;m) sont en bije tion ave les partitions

`N pour 0N n.

3) La restri tion a BWM

n 1

(l;m) d'une tellerepresentation asso ieea undiagramme de

Young`N estsansmultipli ites.Ses fa teurssimples orrespondent auxdiagrammes

de Young detaille au plus n 1 deduits de par ajoutou suppression d'une bo^te.

L'algebre de He ke detype A estennunquotient d'unespe ialisationen (l;m)de ette

algebre de Birman-Wenzl-Murakami.

Le groupe symetriqueetendu

Dans [70 ℄, Tits a montre omment asso ier a tout groupe de Coxeter G deni par une

matri e deCartan uneextension

~

G, appelee groupe de Coxeteretendu

1!A! ~ G ~  !G!1

extension de G parun groupe abelien A.Si l'on noteB legroupe de tressesgeneralise de G

au sens de [29℄,et  laproje tionnaturelle

 :B !G;

alors A est isomorphe au groupe derive P=[P;P℄, ave P = Ker , et on a le diagramme

ommutatifexa t 1







//



//



//

//



//



//



//

//



Gest alors extension de G par A, et A estun Z-module libre de rang le nombre

dere exionsde G.La proprieteessentiellede ~

Gestpournousquetoute representationde B

Dans le as parti ulier ouG=S n

, on a ainsi deni unquotient

~ S n remarquablede B n ,

quenousappelleronsgroupesymetriqueetendu,extensiondeS

n

parleZ-modulelibrederang

n(n 1)=2.Nousnoterons

ij

lesgenerateurs dunoyaudel'extension,imagesdesgenerateurs

traditionnelsde P n ( f. Birman[2 ℄)dansP n =[P n ;P n ℄.

1.2 Tresses innitesimales

1.2.1 Denition

Onxe un orps k de ara teristique0.

Denition 2. On noteT

n

l'algebrede Liedeniesur k par generateurst i;j pour 1i;jn et relations t ij =t ji t ii =0 [ t ij ;t kl ℄ = 0 si#fi;j;k;lg=4 [ t ij ;t ik +t kj ℄ = 0:

Le groupe symetriqueS

n agit surT n par s:t ij =t s(i)s(j) :

Cela permet de onstruire

Denition 3. On note B

n

et l'on appelle algebre des tresses innitesimales sur n brins le

produit semi-dire t S n nUT n o uUT n

designel'algebreenveloppante universellede T n

.

Par onstru tion, ha une desalgebresUT

n

et B

n

est anoniquementmunied'une

stru -ture d'algebre de Hopf graduee. En parti ulier, le oproduit
verie, si l'on note s une

permutationquel onque deS n ,
(t ij ) = 1t ij +t ij 1
(s) = ss

et lagraduation estdenie pardeg(t

ij

)=1,deg(s) =0.

Notons ennl'existen e d'unmorphismed'algebresde LieT

n !kS n denipar t ij 7!(ij)

qui seprolongeen unmorphismed'algebresB

n !S n nkS n ou S n

operesursonalgebre de

groupe par onjugaison.

Remarque.L'algebreB

n

peut^etredenie autrement quepargenerateurs etrelations.C'est

parexemple l'algebrenaturellementasso iee auxinvariantsde Vassilievdestresses.Quant a

l'algebreUT n

, 'estladualedeKoszuldel'algebrede ohomologiedugroupedestressespures

sur n brins, de rite par Arnold [22℄. On peut, de ette fa on, interpreter motiviquement T

n

omme l'algebre deLie du 

1 \de Rham"de C n  ( f.Deligne [36 ℄). T n

peutenn^etre denie

sur Z omme la Z-algebre de Lie asso iee a la suite entrale des endante de P

n

, suivant le

pro ede de ritdans Bourbaki[5 ℄, h.2 x4: f.Kohno [49℄.

Nous allons maintenant de rire deselements parti uliersde B

n

, analogues auxelements

Æ de B

n .

1.2. TRESSESINFINITESIMALES 17 Onnote T n = X 1i<jn t ij ave T 2 =t 12 , T 1 =0:

Comme, pourtousiet j, t

ij =t ji et t ii =0,on a T n = 1 2 X 1i;jn t ij :

Sous etteforme,ilestevidentqueT

n

ommuteatoutepermutationdeS

n

, et,d'autrepart,

si 1r;sn, 2[ t rs ;T n ℄ = P 1i;jn [t rs ;t ij ℄ = 2 P n i=1 [t rs ;t ri ℄+[t rs ;t si ℄ = 2 P n i=1 [t rs ;t ri +t is ℄ = 0:

Ondenitalorspourn2,

t n =T n T n 1 = n 1 X i=1 t i;n :

On deduit de ette expression que t

n appartient au ommutant de B n 1 dans B n , et que la sous-algebre de B n engendree par t 2 ;:::;t n

est ommutative. Ces elements verient la

relation s n t n s n +t n;n+1 =t n+1 :

Nousappellerons eselementst k

leselementstoriquesde B n

,etonposerapar onvention

t 1

=0.

Dans les se tions I.1.2.2 a I.1.2.5, nous supposerons k = C. En parti ulier, UT

n

et B

n

seront des C-algebres.

1.2.2 Equations KZ et \integration" des representations

OnnoteV unC-espa e ve torieldedimensionnieeton onsiderelebretrivialV C

n 

au-dessus deC

n 

. On onsidere la1-forme, dite deKnizhnik-Zamolod hikov

! = h i X i<j i;j dlog(z i z j )= h 2i X i;j i;j dlog(z i z j )

ouh estunparametres alaire, i;j

=

j;i

unelementdeEnd(V),et

ii

=0.A ette1-forme

sont naturellement asso ieesuneequation dierentielleet une onne tion surle bre trivial,



egalement ditesde Knizhnik-Zamolod hikov,ou KZ. Onaalors ( f.[15 ℄)

Lemme. La onne tion asso iee a ! est plate si et seulement si  : t

ij 7! ij denit une representation de T n

. Si de plus  se prolonge en une representation de B

n

, alors ! denit

une onne tion plate sur le bre ve toriel (V C

n  )=S n au-dessusde C n  =S n .

Or,sila onne tionasso ieea!estplate,elledenitparholonomieapres hoixd'unpoint

base z de C n (resp. C n =S n

) une representation de 

1 (C n ) = P n (resp.  1 (C n =S n ) = B n )

sur V. Onnote V z

labre au-dessusde z(resp. au-dessusde la lasse de z dansC

n  =S n ),et R h V z

larepresentationainsi obtenue.Si z 0

estun autre pointbase, on a

Z h V z ' Z h V z 0:

Suivant un autrepoint de vue,on onsidere lapartiesimplement onnexede C

n  D=f(z 1 ;z 2 ;:::;z n )2R n j z 1 <z 2 <:::<z n g

et sestranslatespars2S

n D s =f(z 1 ;z 2 ;:::;z n )2R n j z s 1 (1) <z s 1 (2) <:::<z s 1 (n) g:

On note D l'image de D dans C

n 

=S n

. Pour toutdomaine U de C

n 

, on designera par (U)

l'ensembledessolutions surU del'equation KZ

dF =!F

ouF estunefon tiondeU versV.Onidentieles (U),pourU unvoisinageouvert

simple-ment onnexede D (resp. D) dans C

n  (resp. C n  =S n

), sous la notation (D) (resp. (D)).

Pourtout z2D, on aun isomorphisme

(D) ! V

F 7! F(z)

donneparletheoreme deCau hy-Lips hitz.Ainsi,sil'onnote

R h V l'a tiondeP n (resp. B n )

ainsiobtenue sur (D) (resp. (D)), on a

8z2C n  Z h V ' Z h V z : Remarquons maintenant

Proposition 1. Soit (V;)unerepresentationdeB

n , n2. Onnote i;j =(t ij ). Si(T n )

estunealgebre de Lie ommutative, alors l'a tion de 

i 2B n sur R h

(V;) est donnee par

 i (h)=(s i )e h i;i+1 : Preuve | Onnotez=(z 1 ;:::;z n

),et l'on onsidere

H(z)= Y i<j (z i z j ) h i ij ;

fon tion lo alement denie de C

n 

vers End(V). Comme la famille des

ij

ommute par

hypothese,lessolutionslo alesdel'equationdierentielleKZsurC n 

sontlesz7!H(z)v,pour

v 2V. La on lusionde oulealorsdu al ul,elementaire, de lamonodromie de(z

i z i+1 ) A , pourA= h i i;i+1 . qfd.

En onsequen e, si (V;) estune representation de B

n

pourn1,on peutdenir pour

tout h 2C la representation

R h V de CB n en denissant l'a tionde  i pour 1 i n 1 omme(s i )exp(h(t i;i+1 )). Enn,on a d'eviden e R h (V W) ' R h V
 R h W
R (V W) ' R V
R W
:

1.2. TRESSESINFINITESIMALES 19

1.2.3 Proprietes lo ales

On note ! =h! 1 , et z = (z 1 ;:::;z n ) 2D un point base de C n  . On rappelleque Cfhg

designe l'anneau desfon tions entieres de h, 'est-a-dire des series entieres en h de rayon de

onvergen einni. Si est un la et de (C

n 

;z),l'a tion, en ore notee [ ℄, de [ ℄ 2P n

surV

z

est donneepar lesintegrales iterees de Chen( f. Chen [32 ℄)

[ ℄ = 1+ R !+ R !!+ R !!!+::: = 1+h R ! 1 +h 2 R ! 1 ! 1 +h 3 R ! 1 ! 1 ! 1 +::::

Il est lassiqueque ette expressionest onvergente en h,de rayon de onvergen e innie: si

l'onnote M =jj  ! 1 jj 1 , ona        Z ! 1 ! 1 :::! 1 | {z } r fa teurs        6 M r r! :

On asso ieainsi a toutelement de P n

unefon tion entiere de h. Dem^eme,si est unla et

deC

n 

=S n

dansla lasse d'homotopie 2B

n = 1 (C n  =S n

),ilse releve enun heminde C

n 

d'origine z et but()(z).L'a tion de l'holonomiede , don de, est ainsidonnee par

(h)=() 1 (1+h Z ! 1 +h 2 Z ! 1 ! 1 + Z ! 1 ! 1 ! 1 +::: );

qui est en ore unefon tionentiere de h.

Considerons parexemple, pour1in 1,le hemin

=( 1 ;:::; n ):[0;1℄!C n  deni par 8 > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > : 1 (t) = z 1 ::: i 1 (t) = z i 1 i (t) = z i +z i+1 2 z i+1 z i 2 e it i+1 (t) = z i +z i+1 2 + z i+1 z i 2 e it i+2 (t) = z i+2 ::: n (t) = z n soit, graphiquement, z 1 ::: z i i

33

uu

Un al ulelementaire montre

Z ! 1 = i;i+1 + 1 i X j6=i;i+1 ( i+1;j i;j )log     z i +z i+1 2z j 1 z i +z i+1 2z j +1     : On a (0) = z, (1) = s i (z). Dans le quotient C n  =S n

, devient un la et de lasse 

i , et omme s 1 i =s i

, on obtient pourl'a tion de 

i s i (1+h Z ! 1 )+o(h):

On en deduit

Proposition 2. Soit z2D, et(V;) unerepresentation de B

n .Si l'on note ij =(t ij ), et (h) l'a tion de  2B n = 1 (C n  =S n ;z) sur R h V z , on a 1)  i

(h) estune fon tion entiere de h.

2)  i (h)=s i (1+h i;i+1 +h P j6=i;i+1 ( i+1;j i;j ) i;j )+o(h)ave  i;j = 1 i log     z i +z i+1 2z j 1 z i +z i+1 2z j +1     : 3)  2 i (h)=1+2h i;i+1 +o(h). 4) Æ i (h)=1+2h(t i )+o(h). 5) i (h)=1+2h(T i )+o(h).

Preuve | Lesproprietes 1) et 2) viennent d'^etre demontrees. De

s i ( i+1;j i;j )=( i;j i+1;j )s i

on deduit3). Ondemontre enn4) puis5) parunere urren eimmediateapartirde Æ

1 = 2 1 et Æ m+1 = m Æ m  m

, le as m=2 de oulant de 3), et l'expression au premierordre de 

i (h)



etant onnue d'apres2). qfd.

A toute representation (V;) de T

n

(resp. de B

n

) et a tout point base z on peut ainsi

asso ier une representation, notee R V z , de P n (resp. B n

) sur Cfhg. Le Cfhg-module

sous-ja entde R V z estCfhg C V z , siz 0

estunautrepointbase

R V z ' R V z

0 et,pourtout 2C,

le morphismede spe ialisation   : Cfhg !C h 7!  induitunmorphismeP n -equivariant (resp.B n -equivariant)surje tif ~   '  Id V : Z V z ! Z  V z :

L'ensembledes zerosd'une fon tionentiereetant un ensemble lo alementni,il estutile

d'adopterla onvention suivante:

Denition 4. Si (V;) estunerepresentation deT

n

(resp.deB

n

), on dira qu'unepropriete

de R

h

V est veriee pour presque tout h s'il existe une partie N de C lo alement nie telle

que R

h

V verie ette propriete pour touth2CnN.

Revenant alapropositionpre edente,onremarquequeletermelineairedansl'expression

de 

2 i

(h) ne depend pas du point base. Il n'en est pas de m^eme pour 

i

(h) mais, si l'on

onsidere parexemplelafon tion, polynomialeenh,

i (h)=1 h X  i;j i+1;j ;

1.2. TRESSESINFINITESIMALES 21

elle estinversibleauvoisinagede 0 et,si l'on pose X

i = P j6=i;i+1  i;j i+1;j , 1 i (h) i (h) i (h)  (1+hX i )s i (1+h i;i+1 +hX i hs i X i s i )(1 hX i )  s i +h(X i s i +s i i;i+1 +s i X i X i s i s i X i )modh soit 1 i (h) i (h) i (h) = s i (1 +h i;i+1

)+o(h) au voisinage de 0. Ainsi, on peut esperer

obtenir apres onjugaison uneexpressionde 

i

quine dependepas dupointbase. Ilest plus

astu ieux et plus lassique de onsiderer la monodromie par rapport a un point a l'inni,

'est-a-direquel'onprend omme pointbase(z

1 ;:::;z

n

)2R

n

et quel'on onsiderelalimite



al'inniobtenuepourz

1 <<z 2 <<:::<<z n ( f.I.1.2.5).

1.2.4 Irredu tibilite et restri tions

Soit M un T

n

-module (resp. un B

n

-module) simple orrespondant a unerepresentation

(V;) irredu tible.Nous allons montrer que, pour presque touth,

R

h

M :=

R

h

V estirr

edu -tible.Pour e faire, nousxonsunpoint base zet, pour2CB

n , nousnotons (h)2Cfhg C End(V) l'a tionde 2CB n sur R V z . Onrappelleque B n

est muni d'unegraduation denie par deg t

ij

=1 et deg s=0 pour

s2S

n

. Ona alors

Lemme 1. Pour toutelement homogene ade B

n

, il existeun element  deCB n tel que lim h!0 h deg a (h)=a: Preuve| CommeB n

estengendreepardeselementsdedegre0et1,ilsuÆtdemontrer ette

propositionpoura2S

n

et a=t

12

.Or,siaestunepermutation, ondeduitdelasurje tivite

de laproje tion : B n !S n un element  2B n

tel que() =a, soitlim

h!0 (h) =a. Si a=t 12 , deg a=1et t 12 =lim h!0 h 1  2 1 (h) 1 2 : qfd. Onen deduit Proposition 3. Si M est un T n

-module (resp. un B

n

-module) simple, pour presque tout h

la representation de P

n

(resp.de B

n

)asso ieeest irredu tible.

Preuve| Onsupposedon queM estunB

n

-modulesimple.D'apresletheoremede

Burn-side, elasigniequelemorphismeB

n

!End

C

(M)estsurje tif.CommeB

n

estgraduee,les



elementshomogenesenformentunebase,et,sim=dimM,ilexisteunefamillea

1 ;a 2 ;:::;a m 2

d'elementshomogenesdeB n

dontl'imageengendreEnd

C

(M).CommedimEnd

C

(M)=m

2 ,

on en deduitquedet(a

1 ;:::;a

m 2

)6=0.A eselements orrespondentparle lemmepre edent

des elements  (1) ;:::; (m 2 ) de l'image de CB n dans Cfhg C End C ( ~ M), et des naturels  1 ;:::; m 2 telsque lim (i) h  i =a i :

Onnote alors Q 1 (h)=det( (1) ;:::; (m 2 ) )2Cfhg et  = P m 2 i=1  i Q 2 = h  Q 1 (h) = det(h 1  (1) ;:::;h  m 2  (m 2 ) ): On aQ 2 (h)2Cfhget Q 2 (0)=det(a 1 ;:::;a m 2 )6=0.Ainsi,Q 2 6=0,don Q 1 6=0.En dehors

d'un ensemble lo alement nion a don Q

1

(h)6=0,et R

h

M est simple. Le as ou M est un

T n

-module sedemontre dela m^eme fa on. qfd.

Comme onsequen eimmediate, on obtientle

Corollaire. Si M est un T

n

-module (resp. un B

n

-module) semi-simple, pour presque tout h

la representation de P

n

(resp.B

n

)asso ieeest semi-simple.

D'autre part,ona

Proposition 4. Soient(V;

A

) et(V; B

)deux representations deB

n

sur unespa eve toriel

de dimensionp, ave 1 p <1. On suppose que, pour presque tout h suÆsamment pro he

de 0, on a R h (V; A )' R h (V; B ). Alors, R es S n (V; A )'R es S n (V; B ): Preuve | Onnote  A i (h)(resp.  B i (h)) l'a tionde  i 2B n sur R h (V; A ) (resp. R h (V; B )). On a lim h!0  A i (h)= A (s i ) lim h!0  B i (h)= B (s i ):

D'autre part, pourpresque tout h suÆsamment pro he de0, ilexiste P(h)2GL(V) tel que

P(h) 1  A i (h)P(h) =  B i

(h). Comme l'ensemble des jjP(h)

1

jjjjP(h)jj est majore de fa on

independantede h, sijj:jj designe lanormed'operateurs,on en deduit

lim h!0 P(h) 1  A (s i )P(h)= lim h!0 P(h) 1  A i (h)P(h)= lim h!0  B i (h)= B (s i ): Puisque la restri tion de  A  a S n

, omme toute representation de S

n

, est semi-simple, sa

lasse de onjugaison est fermee ( f. Lubotzky et Magid [58 ℄), et on a bien la on lusion

voulue. qfd.

Uneautre proprieteremarquable estque e pro ede d'integrationest ompatible ave les

ltrations B n 1  B n  B n+1 B n 1  B n  B n+1 :

Proposition 5. Si(V;)estunerepresentationdeB

n

ave n3,alors pourhsuÆsamment

petit R es Bn 1 Z V ' Z R es Bn 1 V:

1.2. TRESSESINFINITESIMALES 23

Preuve| OnappelleKZ

n

l'equationdierentielleKZsurC n 

.Nousrenvoyonsi ialathese

de Jorge Gonzalez-Lor a [42 ℄, quidetaille desarguments deDrinfeld[38 ℄.

Sil'on onsiderel'equation KZ n

, non plusavaleursdansV ouEnd(V),maisdans

d

UT

n ,

on a lo alement un isomorphisme entre les solutions F(z

1 ;:::;z n ) de KZ n et les solutions G(z 1 ;:::;z n 1 ) de KZ n 1 , donne par F(z 1 ;:::;z n )=f(z 1 ;:::;z n )G(z 1 ;:::;z n 1 ) ouf(z 1 ;:::;z n )est, pourz 1 ;:::;z n 1

xes,l'unique solutionde l'equation dierentielle

df dz n = X 1i<n t in z n z i f  a valeursdans d UT n telleque f(z 1 ;:::;z n )(z n z 1 ) tn :

LesargumentsdeJorgeGonzalez-Lor a(premier orollairedutheoreme2.1)restentvalablessi

l'onspe ialiselesseriesformellesenlest ij

en

ij

=(t

ij

).LaseulediÆ ulteestla onvergen e

dessolutionsformellespourhsuÆsammentpetit,pourlaquellenousrenvoyonsau2

e

memoire

de Lappo-Danilevskii[17 ℄, en parti ulierau theoreme VI.

La monodromie d'une telle fon tion f parrapport aux

i

, pour 1 i<n 1, est alors

triviale, et l'on en deduitimmediatement l'isomorphismedel'enon e. qfd.

Corollaire. Si(V;)estunerepresentationdeB

n

et

ij

=(t

ij

), pourtouth 2C lespe tre

ompte ave multipli ites de l'a tion de  i

sur R

h

V estegal a eluide

(s i )exp(h i;i+1 ): Preuve | Chaque  i

pour 1  i  n 1 etant onjuque dans B

n  a  1 , et haque (s i )exp(h i;i+1 ) etant onjugue a (s 1 )exp(h 12

), il suÆt de montrer ette assertion pour

i=1.D'apres e qui pre ede,pourh suÆsamment petit,

R es B2 Z h V ' Z h R es B2 V: Comme T 2

est une algebre de Lie ommutative, il de oule de la proposition1 que l'a tion

de  1 sur R h R es B 2 V est egale a (s 1 )exp(h 12

). L'isomorphisme pre edent donne alors le

resultat voulupourh suÆsamment petit.

Si z est un point base de C

n  , l'a tion de  1 sur R h V z

est une fon tion entiere de h, que

nousnotons provisoirement 

z

1

(h). Les oeÆ ients des polyn^omes ara teristiques respe tifs

de  z 1 (h)et (s 1 )exp(h 12

)sontdesfon tionsentieresdeh,egalespourhsuÆsammentpetit.

Onen deduitque lespolyn^omes ara teristiques sontegaux pourtouth, d'oula on lusion.

qfd.

L'inter^etdu orollairepre edentresidebienevidemmenten e ques i

et t i;i+1

ommutent,

et qu'ainsi lespe tredesgenerateurs d'Artinsededuitimmediatementd'une diagonalisation

1.2.5 Monodromie a l'inni

Dans ette se tion, on onsidere des representations (V;) de B

n

, et on introduit une

hypothesede diagonalisabilitedeselementstoriques

(TDIAG) 8i (t

i

) est semi-simple:

Sous ette hypothese, on peut onsiderer l'a tion par monodromie de B

n

par rapport au

\point a l'inni" note symboliquement z 1 = (z 1 << z 2 << ::: << z n ). Cela onsiste a

ee tuer le hangement de variables

u n = z 1 +z 2 +:::+z n u n 1 = zn 1 zn z n 2 z n 1 . . . . . . . . . u 2 = z2 z3 z 1 z 2 u 1 = z 1 z 2

dansl'equationKZ,etaetudierle omportementdessolutionsdeKZquandu=(u

1 ;u 2 ;:::;u n )

tend vers 0.Pour n=3,l'equation KZs'e rit en esvariables

F u 1 = 0 F u 2 = h  12 u 2 + 23 1+u 2  F F u 3 = h 12+13+23 u 3 F:

De fa on plusgenerale, on obtient( f. [8 ℄ lemme 8.2.3)

F u 1 =0 et F u k =h (t 2 +t 3 +:::+t k ) u k F +R k (u)F pourk 1, ou R k

est une fon tion rationnellede u a valeurs dans End(V), qui est reguliere en u =0.

On en deduit, d'apresle theoreme 8.2.6 de [8 ℄, que si(V;) verie(TDIAG),il existe r >0

telque,pourtout0<jhj<r et ':D !V solutionde l'equation KZ,

lim u!0 n 1 Y i=1 u h(t 2 +:::+t i ) i '(u )='^ existe, et l'appli ation (D) ! V ' 7! '^

est un isomorphismed'espa esve toriels.

Cette onstru tionpresentel'avantage,d'unepartdeselibererdeladependan eaupoint

base, et d'autrepartde rendreuniformesles isomorphismes

Z R es B n 1 V 'R es B n 1 Z V:

L'etudedelamonodromieparrapportaupointbaseal'inniaeteee tueeparDrinfeld[38 ℄,

dansle asouhest onsideree ommeunevariableformelle.Lesproblemesde onvergen eque

posent ette appro he sortent du adre de e travail.Il esten parti uliervraisemblableque,

lorsquelesrepresentationssurC[[h℄℄obtenuesparDrinfeldsontentieres,ellessontisomorphes

1.2. TRESSESINFINITESIMALES 25

1.2.6 Integration formelle et proprietes lo ales

On onsidereanouveau un orps kde ara teristique0.Onnote

~

k =k[[h℄℄et, pourM un

k-espa eve toriel(resp.unek-algebre),onnote

~ M =M[[h℄℄ munidelastru turede ~ k-espa e ve toriel(resp. ~

k-algebre) asso iee. D'autre part,nous onsiderons B

n et T

n

omme denies

pargenerateurs et relations nonplussur C,maissur e m^eme orps k.

Nous ne denirons pasi i les asso iateurs de Drinfeld. Pourune denition pre ise, nous

renvoyonsparexempleaKassel[15 ℄,ouatoutautreouvragetraitantdesgroupesquantiques.

IlnoussuÆradesavoirqu'unasso iateurdeDrinfelda oeÆ ientsdansk estl'exponentielle

d'une serie de Lie en deux variables A et B, dont le terme de degre zero vaut1 et le terme

lineaireestnul, quipermetde denirdesmorphismes d'algebresde Hopf

~ kB n ! ~ B n  r 7!  1 r s r exp(ht r;r+1 ) r ou  r =(ht r ;ht r;r+1

). De ette maniere, un asso iateur etant hoisi,on peut asso ier a

touterepresentationR de degrenisur k de B

n

unerepresentationnotee R  R de B n sur ~ k. Ona alorsleresultat

Theoreme. (Drinfeld, [38 ℄) La monodromie universelle de l'equation KZ par rapport au

point base a l'inni estexprimee par un asso iateur 

KZ 

a oeÆ ients dans C. Il existe un

asso iateur a oeÆ ients rationnels,don pourtout orps de oeÆ ients de ara teristique 0.

Le pro ede d'integration formelle des representations que nous venons de de rire peut

don ^etre denisurun orps k de ara teristique0.Fixonsuntelasso iateur a oeÆ ients

dansk et remarquonsque,dans e adre, ertainesdesproprietesquenousavonsdemontrees

on ernant R

h

M sont bien plusevidentes pour

R  M. En parti ulier, si l'image de T n dans End k

(M) est ommutative,pourtoutil'operateurde onjugaison

i vaut1etl'a tionde  i est s i exp(ht i;i+1

).Dem^eme,il est lair que

R es ~ k B n 1 Z  M ' Z  R es Bn 1 M:

Enn, a l'ordre1 en h,les expressionssesimplientparrapporta

R

h V :

Proposition 6. Si M estune representation de B

n , et  un asso iateur de Drinfeld, on a sur R  M au premier ordreen h 1)  k =s k (1+ht k;k+1 )+o(h): 2)  2 k =1+2ht k;k+1 +o(h): 3) Pour k 2, Æ k =1+2ht k +o(h): 4) Pour k 2, k =1+2hT k +o(h):

Preuve | La propriete 1) de oulede

 k =  1 k s k exp(ht k;k+1 ) k = (1+o(h))s k (1+ht k;k+1 +o(h))(1+o(h)) = s (1+ht )+o(h):

L'equation 2) est alors immediate, d'ou 3) pour k = 2. Pour k > 2, on demontre 3) par re urren e: Æ k+1 =  k Æ k  k = s k (1+ht k;k+1 )(1+2ht k )s k (1+ht k;k+1 )+o(h) = 1+2h(t k;k+1 +s k t k s k )+o(h) = 1+2ht k+1 +o(h)

et 4) de ouleimmediatement de3) apartirdesrelationsreliant respe tivement

k  aÆ k , k 1 et T k  a t k , T k 1 . qfd. 1.2.7 ~ kB n

-modules: equivalen es et inde omposabilite

Soit M un k-espa e ve toriel de dimension nie. On note

~

k = k[[h℄℄,

~

M = M[[h℄℄℄ le

~

k-module des series formellesen h. On rappelle( f. Gui hardet [12 ℄ p.55, lemme 1.2.1) que

siN estegalement de dimensionnie,

Hom ~ k ( ~ M; ~ N)=Hom k (M;N)[[h℄℄= ^ Hom k (M;N) :

Onaalors, d'une part,

Lemme2. Soitk un orpsde ara teristiquedierentede2.Toutproje teur (resp.symetrie)

deEnd

k

(M)[[h℄℄ est onjuguea unproje teur (resp.une symetrie) de End k

(M).

Preuve | Les formules de passage entre symetries et proje teurs (S = 1 2P, P =

1 S

2 )

permettent de serestreindreau asd'une symetrie S. Sil'one ritS =S

0 +o(h), on a S 2 =1)S 2 0 =1: Posons alors m= 1+S0S 2

. Ona m=1+o(h), don m est inversible, et

mS = S+S 0 S 2 2 = S+S 0 2 = S 0 +S 2 = S 0 +S 2 0 S 2 =S 0 m d'ou S=m 1 S 0 m. qfd.

Et,d'autre part,

Lemme 3. Pour tous B

n

-modules de dimensionnie M et N,

Hom ~ k Bn ( ~ M; ~ N)=(Hom B n (M;N))[[h℄℄:

En parti ulier, d'une part End

~ k B n ( ~ M) = (End Bn

(M))[[h℄℄, et d'autre part M et N sont

isomorphes si etseulement si

~

M et

~

N sont isomorphes.

Preuve | L'in lusion de droite a gau he est immediate ar les oeÆ ients de 

i

appar-tiennent aB n

. Soitdon maintenant e2Hom

~ k B n ( ~ M; ~ N).Ona e= P 1 k=0 e k h k . Onsuppose e 0 ;:::e p 1 2 Hom Bn

(M;N), et on peut des lors, quitte a rempla er e par e

P p 1 k=1 e k h h , supposer e=e p h p +o(h p ). Comme i =s i +O(h), [ i ;e℄=0)[s i ;e p ℄=0: Deplus, 2 1 =1+2ht 12

+o(h), don omme ar k6=2,

[ 2 1 ;e℄=0)[t 12 ;e p ℄=0: Commet 12 et less i engendrentB n , onendeduite p 2Hom B n (M;N).La on lusions'ensuit

1.2. TRESSESINFINITESIMALES 27

De es deuxlemmesde oule

Proposition 7. M est inde omposable (pour l'a tion de B

n

) si et seulement si M[[h℄℄ est

inde omposable (pour l'a tion de B

n ).

Preuve | SiM est de omposable, omme 

i = P 1 p=0  (p) i h p ave  (p) i 2B n , ilest evident

que M[[h℄℄ l'estegalement.

Supposons desormais M[[h℄℄ de omposable. Cela signie que le ommutant de k[[h℄℄B

n

dansEnd

k[[h℄℄

(M[[h℄℄) ontient un idempotent non trivial. Soit maintenant un idempotent e

deEnd(M)[[h℄℄.D'apreslepremierlemme, etidempotentest onjugueasonterme onstant

e 0

2End(M).D'apresledeuxiemelemme,e

0

ommuteaB

n

, don siM estinde omposable,

ilvaut0ou 1.On endeduitque eestlui-m^emetrivial,don que M[[h℄℄ estinde omposable.

qfd.

Onpeutresumer esresultatssous laforme suivante:

Theoreme 1. Si  est un asso iateur de Drinfeld, a oeÆ ients dans un orps k de

ara -teristique 0, il denit un fon teur

^ :B n -mod!R ep ~ k B n :

Ce fon teurest pleinement dele, etpreservel'inde omposabilite des objets.

L'irredu tibilite ne s'integre pas aussi fa ilement. En eet, outre que les sous-espa es

h p

M[[h℄℄ sont toujours stables, si N est un sous-espa e S

n -stable de M, h p N +h p+1 M[[h℄℄

estegalement stable. Ona neanmoins

Proposition 8. R es

Sn

M est irredu tible si et seulement si les seuls sous-espa es k[[h℄℄B

n

stables deM[[h℄℄ sontles h

p

M[[h℄℄ pourp0.

Preuve| OnadejavuquesiM

0 estunsous-espa eS n -stable proprede M, M 0 +hM[[h℄℄

eststable( ar 

i =s i +o(h)). Inversement, siR es Sn

M estirredu tible,soitN unsous-espa eproprek[[h℄℄B

n

-stable de

M[[h℄℄. Soitp minimaltelque N 6h

p M[[h℄℄.On aalors N :=N +h p M[[h℄℄6=h p M[[h℄℄ don h p M[[h℄℄N =N+h p M[[h℄℄h p 1 M[[h℄℄;

lapremierein lusionetantstri te.OnaN h

p 1

M[[h℄℄,don d'apreslelemmedeNakayama

applique a l'anneau lo al k[[h℄℄ et au k[[h℄℄-module h

p 1

M[[h℄℄, si la deuxieme in lusion est

uneegalite, N =h

p 1

M[[h℄℄, d'ou la on lusion. Nous allons demontrer que 'est le as: on

onsidere laproje tion

: h p 1 M[[h℄℄!h p 1 M[[h℄℄=h p M[[h℄℄=M: Comme i (N)N et  i =s i +o(h), on a s i

((N))(N), don (N) est stable parS

n .

D'apresl'hypothese, (N)2ff0g;Mg,et on a bienN =h

p 1