Anderson Santos Nunes
MODELAGEM DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS UTILIZANDO UMA ABORDAGEM HÍBRIDA ENTRE O MÉTODO
DE REDE DE RELUTÂNCIAS (MRR) E O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE FACE (MEFF)
Florianópolis 2018
MODELAGEM DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS UTILIZANDO UMA ABORDAGEM HÍBRIDA ENTRE O MÉTODO
DE REDE DE RELUTÂNCIAS (MRR) E O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE FACE (MEFF)
Tese submetida à Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obtenção do Grau de Doutor em En-genharia Elétrica.
Orientador: Prof. Dr. Patrick Kuo-Peng, Universidade Federal de Santa Catarina Coorientador: Dr. Olivier Chadebec, Uni-versité Grenoble Alpes / CNRS
Florianópolis 2018
Nunes, Anderson
Modelagem de dispositivos eletromagnéticos utilizando uma abordagem híbrida entre o Método de Rede de Relutâncias (MRR) e o Método de Elementos Finitos de Face (MEFF) / Anderson Nunes ;
orientador, Patrick Kuo-Peng, coorientador, Olivier Chadebec, 2018.
159 p.
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós
Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2018. Inclui referências.
1. Engenharia Elétrica. 2. Método de Elementos Finitos (MEF). 3. Método de Redes de Relutâncias (MRR). 4. Elementos Finitos de Face. I. Kuo-Peng, Patrick. II. Chadebec, Olivier. III. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. IV. Título.
Agradeço aos meus pais, Rosane e Ayrton, por me darem a vida e me ensinarem o caminho correto a seguir. A minha irmã, Alexandra, por ser um norte, um exemplo e por me dar a alegria de ser tio do Pedro.
Agradeço pela compreensão, paciência e apoio infinitos da minha es-posa Silvia durante todos estes anos e, principalmente, ao longo deste traba-lho.
Gostaria de agradecer aos meus orientadores, Patrick Kuo-Peng e Oli-vier Chadebec por compartilharem seus conhecimentos e me brindarem com a oportunidade de desenvolver deste trabalho.
De forma especial, gostaria de agradecer ao Patrick Dular (in memo-riam) por todo o apoio prestado durante o período sanduíche em Liège, por todas as orientações e discussões e, principalmente, por me ensinar que a humildade é a mais bonita das virtudes.
Agradeço aos professores e colegas do GRUCAD (Grupo de Análise e Concepção de Dispositivos Eletromagnéticos), por compartilharem seus co-nhecimentos durante as aulas e conversas informais.
Agradeço também a empresa ESSS pelo apoio durante este trabalho. Obrigado ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientí-fico e Tecnológico) pela bolsa durante o período sanduíche na Universidade de Liège. Da mesma forma, sou grato a todos os membros do ACE (Ap-plied and Computational Electromagnetics) que me acolheram durante este período.
Agradeço a todos que, de uma forma ou de outra, me auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho.
Agradeço ao Dharma, por propiciar conhecimentos tão valiosos que me ajudam diariamente a tentar ser uma pessoa melhor.
E toda a dor que há neste mundo Vem do desejo que eu mesmo seja feliz
Resumo da Tese apresentada à UFSC como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Elétrica.
MODELAGEM DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS UTILIZANDO UMA ABORDAGEM HÍBRIDA ENTRE O MÉTODO DE
REDE DE RELUTÂNCIAS (MRR) E O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE FACE (MEFF)
Anderson Santos Nunes
Abril/2018
Orientador: Prof. Dr. Patrick Kuo-Peng, Universidade Federal de Santa Catarina
Coorientador: Dr. Olivier Chadebec, Université Grenoble Alpes, CNRS Área de Concentração: Eletromagnetismo e Dispositivos Eletromagnéticos Número de Páginas: 159
Palavras-chave: Método de Elementos Finitos (MEF), Método de Redes de Relutâncias (MRR), Elementos Finitos de Face.
Este trabalho tem como objetivo converter malhas 2 e 3-D do Método de Elementos Finitos (MEF) em redes de relutâncias através de uma formula-ção magnetostática original baseada em funções de base de face, as quais são utilizadas para interpolar a indução magnética. Esta rede é acoplada com uma rede externa clássica (MRR - Método de Rede de Relutâncias), carac-terizando um sistema 0-D que pode ser resolvido através de técnicas para solução de circuitos. Desta forma, usufrui-se de vantagens específicas de am-bos os lados, ou seja, as regiões do domínio com comportamento magnético conhecido podem ser simplificadas através do MRR e aquelas regiões mais complexas podem ser devidamente malhadas e resolvidas no mesmo sistema. Os resultados obtidos são comparados entre si e com aqueles obtidos através do MEF clássico.
Abstract of Thesis presented to UFSC as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor in Electrical Engineering
ELECTROMAGNETIC DEVICES MODELING USING AN HYBRID APPROACH BETWEEN THE RELUCTANCE NETWORK METHOD
(RNM) AND THE FACET FINITE ELEMENT METHOD (FFEM)
Anderson Santos Nunes
April/2018
Advisor: Prof. Dr. Patrick Kuo-Peng, Universidade Federal de Santa Cata-rina
Co-advisor: Dr. Olivier Chadebec, Université Grenoble Alpes, CNRS Area of Concentration: Electromagnetism and Electromagnetic Devices Number of Pages: 159
Keywords: Finite Element Method (FEM), Reluctance Network Method (RNM), Facet Finite Elements.
This work aims to convert 2 and 3-D Finite Element Method (FEM) meshes into a reluctance networks through an original magnetostatic formulation ba-sed on facet shape functions, which are uba-sed to interpolate the magnetic induction. This network is coupled with a standard reluctance network (RNM -Reluctance Network Method), characterizing a 0-D system that can be solved by a circuit solver approach. In this way, the FEM and RNM are coupled, taking advantage of specific potentialities of both sides, i.e. the regions of the domain where the magnetic behavior is known can be simplified using the RNM and those more complex regions can be meshed properly and solved in the same system. The results obtained are compared between them and with results obtained with the classical FEM.
Figura 1 Analogia entre os métodos atuais e o método proposto. . . 32
Figura 2 Domínio em estudo e suas superfícies externas complementa-res. . . 37
Figura 3 Superfície Σ entre dois meios contínuos Ω1e Ω2. . . 38
Figura 4 Domínio Ω e suas definições. . . 40
Figura 5 Domínios conexo e multiplamente conexo. . . 41
Figura 6 Diagrama de Tonti para magnetostática - Forma dual. . . 42
Figura 7 Entidades geométricas. . . 46
Figura 8 Função de face para elemento tetraédrico. . . 48
Figura 9 Função vetorial K em um problema contínuo. . . 53
Figura 10 Função K em um domínio discreto. . . 56
Figura 11 O domínio completo Ω com suas superfícies externas Γ = ΓH∪ ΓBe dois elementos adjacentes Ωle Ωm, com suas faces Γle Γm. . . 59
Figura 12 Inversão do sentido das funções B0. . . 62
Figura 13 Malha convertida em rede de relutâncias, com as possíveis condições de contorno. . . 62
Figura 14 Condição de contorno n × H|Γ H= 0. . . 64
Figura 15 Conexão entre redes de relutâncias. . . 65
Figura 16 Fluxograma geral para programas baseados em métodos nu-méricos. . . 69
Figura 17 Fluxograma para a etapa de pré-processamento. . . 70
Figura 18 Exemplo de arquivo para o setup. . . 71
Figura 19 Fluxograma para o processamento - Parte 1. . . 73
Figura 20 Fluxograma para o processamento - Parte 2. . . 74
Figura 21 Fluxograma para o processamento - Parte 3. . . 75
Figura 22 Fluxograma para o pós-processamento. . . 76
Figura 23 Tubo de fluxo ideal e a malha. . . 77
Figura 24 Circuito magnético obtido para a malha ilustrada na Figura 23b. . . 78
Figura 25 Distribuição de indução magnética no tubo de fluxo. . . 80
Figura 26 Dispositivo com espraiamento de fluxo magnético. . . 81
Figura 27 Malha para o dispostivo magnético. . . 82 Figura 28 Distribuição de indução magnética obtida para modelo
comFigura 30 Distribuição de indução magnética na região do entreferro
-malha triangular . . . 85
Figura 31 Malha mista e a distribuição de indução magnética na região do entreferro. . . 85
Figura 32 Comparação da convergência obtida com os métodos MEF e MEFF. . . 88
Figura 33 Geometria com enrolamento horizontal. . . 90
Figura 34 Malha refinada para a geometria com enrolamento horizontal. 91 Figura 35 Distribuição de indução magnética - MEFF (formulação em B). . . 92
Figura 36 Distribuição de indução magnética - MEF (formulação em A). 92 Figura 37 Bzao longo da linha de prova. . . 93
Figura 38 Acoplamentos MRR + MEFF em 3-D. . . 94
Figura 39 Malhas para as regiões discretizadas (em corte). . . 95
Figura 40 Bzao longo das linhas de prova. . . 96
Figura 41 Comparação relativa de Bz. . . 96
Figura 42 Distribuições de indução magnética dos domínios resolvidos com o MEFF, com aproximação na região do entreferro. . . 97
Figura 43 Geometria com enrolamentos verticais. . . 98
Figura 44 Malha da geometria com enrolamentos verticais. . . 98
Figura 45 Acoplamento MRR + MEFF - Enrolamentos divididos. . . 99
Figura 46 Distribuição de indução magnética - Enrolamentos divididos. 99 Figura 47 Bzao longo da linha de prova - Enrolamentos divididos. . . 100
Figura 48 Geometria 2-D. . . 106
Figura 49 Campo magnético obtido ao longo de Γ. . . 107
Figura 50 Distribuição de indução magnética ao longo de Ω. . . 107
Figura 51 Campo de correção - problema q. . . 108
Figura 52 Comparação ao longo da linha de prova. . . 109
Figura 53 Comparação ao longo da linha de prova - aproximação. . . 109
Figura 54 Campo fonte Hpcalculado somente nas regiões ativas. . . 110
Figura 55 Solução dos problemas p e q. . . 111
Figura 56 Indução magnética ao longo da linha de prova. . . 112
Figura 57 Solução dos problemas p e q para o problema acoplado. . . 113
Figura 61 Elemento de referência - elementos tetraédricos. . . 137
Figura 62 Mapeamento de campos vetorias div-conform. . . 141
Figura 63 Domínios para integração da equação de Biot-savart. . . 145
Figura 64 Composição de um ramo para análise nodal. . . 152
Figura 65 Composição de um ramo. . . 154
Figura 66 Circuito magnético e respectivo grafo. . . 156
Figura 67 Matriz de incidências. . . 156
Figura 68 Matriz de incidência após o algoritmo de Welsch. . . 157
Tabela 1 Operadores diferenciais e seus domínios. . . 43
Tabela 2 Operadores adjuntos e seus domínios. . . 43
Tabela 3 Coordenadas dos nós da malha. . . 77
Tabela 4 Matriz de relutâncias. . . 79
Tabela 5 Matriz de incidências. . . 79
Tabela 6 Matriz de fluxos magnéticos . . . 80
Tabela 7 Comparação entre os resultados. . . 87
Tabela 8 Comparação da convergência obtida com os métodos MEF e MEFF - Valores. . . 89
Tabela 9 Esforço computacional dos acoplamentos MRR + MEFF com-parados com o modelo completo MEFF. . . 95
Tabela 10 Precisão dos acoplamentos MRR + MEFF comparados com o modelo completo MEFF. . . 95
Tabela 11 Comparação do tempo computacional para a obtenção do campo fonte. . . 114
Tabela 12 Funções de interpolação de face - elementos triangulares. . . 135
Tabela 13 Pontos para integração - elementos triangulares. . . 135
Tabela 14 Funções de interpolação de face - elementos quadrangulares. . 136
Tabela 15 Pontos para integração - elementos quadrangulares. . . 137
Tabela 16 Funções de interpolação de face - elementos tetraédricos. . . 138
Tabela 17 Pontos para integração - elementos tetraédricos. . . 138
Tabela 18 Fuxos magnéticos desconsiderando-se as relutâncias mútuas. 158 Tabela 19 Fuxos magnéticos considerando-se as relutâncias mútuas. . . . 159
Siglas
A Potencial vetor magnético [W b/m]
A0 Função de teste vetorial para elementos de aresta ¯
A Conjunto de arestas da malha B Indução magnética [T ]
B0 Função de teste vetorial para elementos de face Bf Fonte superficial de indução magnética [T ] Br Indução magnética remanente [T ]
C Conjunto dos números complexos D Densidade de fluxo elétrico [C/m2] dl Elemento diferencial de comprimento ds Elemento diferencial de área
dv Elemento diferencial de volume E Campo elétrico [V /m]
fmm Força magnetomotriz [A]
G Matriz de incidências nodais (considerando o nó de referência) Ga Matriz de incidências nodais (desconsiderando nó de referência) H Campo magnético [A/m]
Hc Campo magnético coercitivo [A/m] Hr Campo magnético de reação [A/m] Hs Campo magnético fonte [A/m] I Corrente elétrica [A]
I Vetor de fontes de corrente i Índice de cada face do elemento
i Vetor de correntes nos elementos resistivos ˆi Vetor de correntes nos ramos
ik Corrente através do elemento resistivo k Il Vetor de correntes de laço
Jc Densidade de corrente conduzida (impressa e induzida) [A/m2] Js Densidade de corrente superficial [A/m]
K Dado elemento geométrico da malha
M Relutância magnética mútua [A/W b]
n Campo de vetores unitários normal à superfície nf Quantidade de faces de um elemento
PK Espaço de funções definidas em K R Resíduo vetorial
Rk Resistência do elemento k R Conjunto dos números reais ℜ Relutância magnética [A/W b] Si Área de uma face i [m2]
t Campo de vetores unitários tangente à superfície T Matriz de incidências ramo-laço
V Potencial escalar elétrico [V ] V Vetor de fontes de tensão
v Vetor de tensões nos elementos resistivos ˆv Vetor de tensões nos ramos
vn Vetor de tensões entre cada nó e o nó de referência
vk Diferença de potencial entre os terminais do elemento resis-tivo k
Ve Volume de um dado elemento [m3] Wa,W1 Funções base de aresta
Wf,W2 Funções base de face Wn,W0 Funções base nodais W3 Funções base de volume x Ponto no espaço Yb Matriz de admitâncias Zb Matriz de impedâncias Siglas gregas
α Caminho entre dois pontos em um espaço contínuo
γ Curvas redutíveis a um ponto por deformação contínua ao longo de Γ
Γ(∂ Ω) Fronteira de Ω
Γc Superfície de conexão com circuitos externos µ Permeabilidade magnética [H/m]
Ωs Domínio condutor e filamentar Φ Fluxo magnético [W b]
ψ Potencial escalar magnético [A]
ρ Densidade volumétrica de carga elétrica [C/m3] ρs Densidade superficial de carga elétrica [C/m2] ΣK Conjunto de graus de liberdade de PK
σ Condutividade elétrica [S/m] ∑ Interface entre dois meios contínuos
τ Uma função escalar qualquer ε Permissividade elétrica [F/m] ∂ ∑ Fronteira de ∑
Abreviaturas
CAD Computer Aided Design FV Fonte volumétrica
GRUCAD Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos LKC Lei de Kirchhoff para correntes
LKT Lei de Kirchhoff para tensões
MEF Método de Elementos Finitos clássico (com funções nodais ou de aresta)
MEFF Método de Elementos Finitos (com funções base de face) MRR Método de Rede de Relutâncias
1-D Uma dimensão
2-D Duas dimensões 3-D Três dimensões
× Produto vetorial · Produto escalar rot Rotacional div Divergente grad Gradiente ∈ Pertence a
∪ União dos conjuntos ⊂ Está contido em
1 INTRODUÇÃO . . . 29 1.1 POSICIONAMENTO DO PROBLEMA E MOTIVAÇÃO DA
PESQUISA . . . 29 1.2 OBJETIVOS E PROPOSTA DE TESE . . . 31 1.3 CONTRIBUIÇÕES ORIGINAIS . . . 34 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . 34
2 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E A ESTRUTURA
MA-TEMÁTICA . . . 35 2.1 INTRODUÇÃO . . . 35 2.2 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL EM MEIOS CONTÍNUOS . 35 2.2.1 Condições de contorno . . . 37 2.2.2 Condições de transmissão de campos . . . 37 2.2.3 Superfícies perfeitamente condutoras . . . 39 2.3 ESTRUTURA MATEMÁTICA CONTÍNUA . . . 40 2.3.1 Definições de uma região delimitada . . . 40 2.3.2 Conexidade simples ou múltipla . . . 40 2.3.3 Estrutura base . . . 41 2.4 ESTRUTURA MATEMÁTICA DISCRETA . . . 44 2.4.1 Os elementos finitos . . . 44 2.4.2 Elementos de Whitney . . . 44 2.4.3 Definição da malha . . . 45 2.4.4 Funções de base nodais - Elemento . . . 46 2.4.5 Funções de base de aresta . . . 47 2.4.6 Funções de base de face . . . 47 2.5 CONCLUSÃO . . . 49
3 FORMULAÇÕES PARA MODELAGEM DE CAMPOS
MAG-NETOSTÁTICOS . . . 51 3.1 INTRODUÇÃO . . . 51 3.2 FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL
VE-TOR MAGNÉTICO . . . 51 3.2.1 Forma forte . . . 51 3.2.2 Forma fraca . . . 53 3.2.3 Implementação da condição de calibre . . . 56 3.3 FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL
ES-CALAR MAGNÉTICO . . . 57 3.3.1 Forma forte . . . 57 3.3.2 Forma fraca . . . 57
3.3.5 Fonte externa de indução magnética . . . 64 3.3.6 Acoplamento com circuitos magnéticos externos . . . 65 3.3.7 A solução do circuito magnético . . . 66 3.3.8 Equivalência entre formulações . . . 67 3.3.9 Implementação da metodologia . . . 68 3.3.9.1 Pré-processamento . . . 69 3.3.9.2 Processamento . . . 71 3.3.9.3 Pós-processamento . . . 75 3.4 RESULTADOS . . . 76 3.4.1 Tubo de fluxo ideal . . . 76 3.4.2 Modelos 2-D . . . 81 3.4.3 Modelos 3-D . . . 88 3.4.3.1 Convergência . . . 88 3.4.3.2 Dispositivo magnético . . . 90 3.5 CONCLUSÃO . . . 100 4 SUBPROBLEMAS APLICADOS AO MEFF . . . 101 4.1 INTRODUÇÃO . . . 101 4.2 DEFINIÇÃO DOS SUBPROBLEMAS . . . 102 4.2.1 Correção da condição de contorno não imposta por
Biot-Savart . . . 102 4.2.2 Condição de contorno para condutor perfeito . . . 103 4.2.3 Fonte volumétrica (FV) . . . 104 4.3 APLICAÇÕES . . . 105 4.3.1 Correção da condição de contorno não imposta por
Biot-Savart . . . 105 4.3.2 Condição de contorno para material eletricamente perfeito 108 4.3.3 Fontes volumétricas . . . 110 4.3.4 Fonte volumétrica e acoplamento (MRR +MEFF) . . . 112 4.4 CONCLUSÃO . . . 115
5 CONCLUSÃO E PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS117
5.1 CONCLUSÃO . . . 117 5.2 PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS . . . 119 5.3 ARTIGOS PUBLICADOS . . . 120 REFERÊNCIAS . . . 123 APÊNDICE A -- Funções de interpolação de face e pontos de integração . . . 135 APÊNDICE B -- Transformada de Piola . . . 141 APÊNDICE C -- A equação de Biot-Savart . . . 145 APÊNDICE D -- Métodos de resolução de circuitos . . . 151
1 INTRODUÇÃO
1.1 POSICIONAMENTO DO PROBLEMA E MOTIVAÇÃO DA PESQUISA
Um dos princípios fundamentais do nosso mundo é a busca por um estado ótimo (WEISE, 2009). Tal estado pode ser obtido através de técnicas de otimização, as quais requerem uma população mínima de dados e, em se tratando de modelos com razoável quantidade de variáveis, tais métodos podem requerer uma gama significativa de informações para sua aplicação.
Considerando-se que "modelar"consiste em construir uma estrutura matemática adequada para representar uma determinada parte da realidade (DULAR, 1996), pode-se inferir que estes dados necessários para possíveis otimizações podem ser obtidos através de modelagens numéricas.
Tal fato sugere a necessidade de métodos para simulação numérica capazes de fornecer dados confiáveis com esforço computacional e tempo de simulação menores possíveis. Em aplicações de engenharia, esta pode não ser uma tarefa trivial e, muitas vezes devido as consideráveis relações de aspecto, comuns em aplicações práticas como em máquinas rotativas, transformadores e atuadores.
Muitos métodos numéricos estão disponíveis para um grande número de aplicações (TONTI, 2014), sendo o Método de Rede de Relutâncias (MRR) e o Método de Elementos Finitos (MEF) alguns dos mais utilizados para mo-delagem de dispositivos eletromagnéticos de baixas frequências ( KALTENBA-CHER, 2007).
A grande vantagem do MEF é a sua flexibilidade de aplicação, pois as formulações são aplicadas através da discretização do domínio de estudo em elementos menores (Elementos Finitos), obtidos através de processos de geração de malha que discretizam o domínio de forma automática. Foi ini-cialmente aplicado à mecânica, com as primeiras publicações datadas en-tre as décadas de 1940 e 1950 (ZIENKIEWICZ, 2000; RAO, 2004). Quanto à sua aplicação em eletromagnetismo, sua base física está nas equações de Maxwell (MAXWELL, 1873) e as primeiras publicações remontam a década de 80, podendo-se citar (SILVESTER; FERRARI, 1996). No entanto, obras mais recentes, como (JIN, 2002;BASTOS; SADOWSKI, 2003, 2014), sugerem que o método ainda está em pleno desenvolvimento.
Devido à larga utilização deste método, existe uma série de publica-ções recentes sobre a aplicação deste na otimização de dispositivos eletro-magnéticos. Segundo (TUROWSKI, 2005), em alguns tipos de análise o MEF é o método mais difundido na indústria, porém pode requerer esforço
compu-tacional e tempo de simulação elevado para problemas de maior porte, limi-tando assim sua aplicação em processos de otimização.
Considerando-se agora a análise de sistemas elétricos ou máquinas elétricas em regime transiente, o acoplamento entre circuito elétrico e o equi-pamento em questão se torna de suma importância. Em (MELGOZA et al., 2011), um modelo de transformador implementado através do MEF é aco-plado ao sistema elétrico através da relação entre fluxo concatenado nos en-rolamentos e as tensões nos terminais destes. Nesta referência é mencionado que mesmo para um modelo MEF 2-D, o tempo de simulação pode ser con-siderável, devido ao tamanho do sistema matricial resolvido com o MEF e a quantidade de passos de tempo a serem simulados.
Por outro lado, o MRR é um dos mais antigos métodos para a mode-lagem de circuitos magnéticos e sua aplicação está baseada na construção de uma rede de relutâncias (ROTERS, 1941), ou seja, uma análise baseada em pa-râmetros discretos, também denominada de 0-D. Este método tem se mantido eficiente por apresentar resultados coerentes, com reduzidos custo computaci-onal e tempo de simulação (SYKULSKI, 1995). Tem sido utilizado largamente na modelagem de transformadores, podendo-se citar: (TUROWSKI; KRAJ; KU-LASEK, 2001;TUROWSKI, 2005;LOPEZ-FERNANDEZ; PENABAD-DURAN; TUROWSKI, 2010;SOTO et al., 2008). Também foi utilizado para modelagem de acionado-res magnéticos (ROMAIN, 2006), em máquinas elétricas (PETRICHENKO, 2007; FUKUOKA; NAKAMURA; ICHINOKURA, 2012; TANG et al., 2012) e até mesmo para modelagem de linhas de transmissão (BORMANN; TAVAKOLI, 2012). Po-rém, vale salientar que suas aplicações são baseadas em redes de relutâncias definidas a priori, através do conhecimento preliminar da distribuição das linhas de fluxo magnético, o que limita sua aplicação de uma forma mais ampla. Esta limitação implica em redes com reduzida quantidade de ramos, fazendo com que os resultados obtidos não sejam tão precisos quanto os ob-tidos com o MEF.
Sendo assim, uma metodologia capaz de unificar as vantagens de am-bos os métodos MEF e MRR seria de grande valia, pois parte do domínio poderia ser descrita através de parâmetros concentrados, ou seja pelo MRR, e as regiões com comportamentos magnéticos mais complexos poderiam ser discretizadas automaticamente através de malhas convenientemente refina-das, isto é, pelo MEF. Este tipo de abordagem é conhecida por fornecer um bom compromisso entre precisão e dimensões do sistema numérico, reque-rendo menores tempos de simulação se comparados às abordagens clássicas, nas quais os domínios são completamente discretizados (GERSEM; HAMEYER; WEILAND, 2004).
Neste âmbito, em (DULAR et al., 2005), foi apresentado um método para acoplar as formulações clássicas de MEF 3-D com redes de relutâncias. No
entanto, tal metodologia requer cortes ao longo dos tubos de fluxo para mode-lar as variações de potencial escamode-lar magnético e uma condição de calibre do tipo árvore/co-árvore. Além disso, em (LEHIKOINEN; ARKKIO, 2015), é apre-sentado um método para acoplar redes de relutâncias com uma formulação em potencial escalar magnético, a qual requer cortes nos domínios multipla-mente conexos.
Outra alternativa para este acoplamento seria a conversão de uma ma-lha gerada para o MEF em uma rede de relutâncias, o que facilitaria o acopla-mento com redes externas. Neste sentido, em (DEMENKO; SYKULSKI, 2002; DEMENKO, 2008;WOJCIECHOWSKI; DEMENKO; SYKULSKI, 2010) é apresentada uma possível metodologia para esta conversão, utilizando-se elementos no-dais, de aresta e de face. O MEFF (MEF com funções Whitney de face) é também aplicado em (VISHNEVSKY; LAPOVOK, 2000;VISHNEVSKY; KALIMOV; LAPOVOK, 2002) para modelar campos estáticos e pode ser uma solução apro-priada para o acoplamento com o MRR, uma vez que, considerando-se a formulação magnetostática, a sua aplicação pode ser interpretada como um circuito magnético (ARAUJO, 2015;ARAUJO et al., 2015).
1.2 OBJETIVOS E PROPOSTA DE TESE
Considerando-se o exposto na seção anterior, podem-se levantar al-guns pontos importantes de ambos os métodos, tais como:
• A complexidade de aplicar algumas formulações clássicas para o MEF 3-D em domínios complexos;
• O acoplamento destas formulações com redes de relutâncias externas; • O esforço computacional requerido pelo MEF;
• A limitação de aplicabilidade do MRR devido às redes definidas ma-nualmente;
• A grande quantidade de simulações necessárias para otimização de dis-positivos eletromagnéticos em geral;
Considerando-se tais aspectos, este trabalho propõe uma solução al-ternativa. Uma vez que a matriz de rigidez do MEFF pode ser interpretada como um circuito magnético e desta maneira, permitindo um acoplamento relativamente fácil com MRR, este sistema completo e compatível com am-bas as abordagens numéricas (MEFF e MRR) pode ser resolvido através de um simples solucionador 0-D de circuitos, o qual impõe inerentemente a livre divergência da indução magnética, B.
Esta rede pode ser resolvida considerando fontes de forças magneto-motrizes ( f mm) provenientes de ímãs permanentes, enrolamentos ou de cir-cuitos magnéticos externos. Fontes de fluxos magnéticos são possíveis, tanto interna quanto externamente ao domínio discretizado. Neste último, utiliza-das para impor induções magnéticas nas fronteiras do domínio.
Ou seja, de uma forma geral, esta tese propõe um método híbrido en-tre MEF e o MRR, que englobe as principais vantagens de cada um deles, conforme apresentado na Figura 1.
Figura 1: Analogia entre os métodos atuais e o método proposto.
Rede de relutâncias Elementos finitos
Métodos atuais Método pr oposto Y ZX Fonte da rede de relutâncias: (PETRICHENKO, 2007).
Por conseguinte, a metodologia proposta poderá ser aplicada em uma ampla gama de modelagens. Em um extremo, modelos completamente defini-dos através do MRR, aproveitando todas as suas vantagens, como os diversos tipos de tubo de fluxo disponíveis (NUNES; KUO-PENG; VANTI, 2013;NUNES, 2013;ROMAIN, 2006;ROTERS, 1941). No outro extremo, pode-se discretizar os modelos integralmente através de malhas e resolvê-los por meio do MEFF. No entanto, percebe-se que a metodologia proposta permite avaliar e definir o modelo ótimo em termos de precisão e custos computacionais, que se encontra entre estes dois limites. Desta maneira, contribuindo para a
mo-delagem de dispositivos eletromagnéticos reais, em 2 e 3-D, com resultados coerentes obtidos com tempos de simulação inferiores, se comparados às me-todologias clássicas, nas quais o domínio é completamente discretizado. Em consequência da redução dos domínios e da quantidade de graus de liberdade inerentes à formulação, a quantidade necessária de memória RAM é redu-zida, permitindo que as análises possam ser realizadas em computadores com capacidades menores.
Para o desenvolvimento e implementação desta metodologia, parte-se das equações de Maxwell para campos magnetostáticos, bem como uma estrutura matemática contínua base, que dá suporte às equações de Maxwell e à estrutura matemática discreta. Esta última torna-se de suma importância, pois permite compreender as relações entre as diversas funções base aplicadas no MEF.
Existem diversas formulações magnetostáticas disponíveis na litera-tura. No entanto, a formulação baseada na indução magnética B com inter-polação através das funções base de face, o MEFF, é utilizada por ser mais adequada ao propósito desta tese. Esta é similar à formulação em potencial vetor magnético A, com a qual é comparada em termos computacionais e de acurácia.
Sabendo-se de antemão que a formulação magnetostática para o MEFF requer uma solução "a priori" para o campo fonte, esta tese propõe também uma forma mais eficiente para esta solução, que é a aplicação da técnica de subproblemas. Esta técnica vem sendo aplicada através de formulações em A (DULAR et al., 2014, 2015, 2015, 2016), porém, neste trabalho esta é aplicada na formulação em B, bem como com o acoplamento proposto.
Além dos conceitos físicos e matemáticos, faz-se importante analisar uma possível forma de implementação do MEFF e do seu acoplamento com o MRR. Assim, apresenta-a os fluxogramas com a sequência lógica dos códigos desenvolvidos.
Em termos práticos de implementação, o solucionador magnetostá-tico proposto é desenvolvido em linguagem de programação Python ( GAR-RIDO, 2016;SHAW, 2013;DRISCOLL, 2014;LANGTANGEN, 2010). No entanto, considerando-se o custo computacional necessário para a solução da equação de BS em domínios 3-D, programa-se esta parte em linguagem C++ ( STROUS-TRUP, 2014).
Os resultados obtidos são, na maior parte dos casos de teste, compa-rados àqueles obtidos através do MEF clássico e resolvidos com o programa GetDP (DULAR et al., 1998a, 1999). As geometrias e malhas destes casos de teste são geradas através do programa Gmsh (GEUZAINE; REMACLE, 2009).
1.3 CONTRIBUIÇÕES ORIGINAIS
Este trabalho visa contribuir para a modelagem de dispositivos ele-tromagnéticos em geral, podendo-se citar máquinas elétricas rotativas, trans-formadores, atuadores magnéticos, etc. Sendo que as contribuições originais são:
• Implementação de um método capaz de resolver a formulação magne-tostática 3-D sem a necessidade de aplicação de condições de calibre especiais ou cortes no domínio e seu acoplamento com o MRR; • Solução do sistema completo com um simples solucionador de
circui-tos;
• Técnica de subproblemas aplicada ao MEFF.
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Este trabalho está dividido em cinco capítulos. Neste primeiro, são expostos a revisão bibliográfica, os objetivos da tese e a proposta de como tais objetivos serão alcançados.
No Capítulo 2, são revisados alguns conceitos importantes associados ao eletromagnetismo, como equações de Maxwell, condições de contorno e de transmissão de campos. Após, apresenta-se uma revisão sobre a estrutura matemática necessária para compreender as bases do MEF e as relações entre as diversas funções de interpolação.
No Capítulo 3, a formulação em potencial vetor magnético A é de-talhada. Então, a formulação em indução magnética B é apresentada, bem como suas condições de contorno e o acoplamento entre o MEFF e o MRR. Desta maneira, ambas as formulações podem ser comparadas de forma mais precisa. Após apresentar como esta metodologia foi implementada, são apre-sentados os casos de teste e os resultados obtidos.
No Capítulo 4, é apresentada uma forma de aplicar a técnica de sub-problemas no MEFF, bem como alguns casos de teste que vão desde um caso limite simples até uma aplicação mais complexa em 3-D acoplada com o MRR.
Finalmente, no Capítulo 5, apresentam-se as conclusões finais, bem como propostas de trabalhos futuros e os artigos elaborados durante esta tese.
2 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E A ESTRUTURA MATEMÁTICA
2.1 INTRODUÇÃO
Nesta seção são apresentadas as equações de Maxwell, as quais des-crevem as grandezas físicas tratadas neste trabalho, bem como as leis de comportamento dos materiais, as condições de contorno e de transferência de campo entre meios com propriedades distintas. Tais equações são a forma canônica das formulações que serão apresentadas no decorrer deste trabalho. Após, é apresentada uma introdução à estrutura matemática contínua. Então, é exposta a estrutura matemática discreta, a qual origina da estrutura contínua e descreve as conhecidas funções base dos elementos finitos.
2.2 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL EM MEIOS CONTÍNUOS
A teoria eletromagnética, a qual descreve um conjunto amplo de fenô-menos, pode ser convenientemente expressa através das Equações de Maxwell,
rot H = Jc+ ∂ D ∂ t (2.1) rot E = −∂ B ∂ t (2.2) div B=0 (2.3) div D = ρ (2.4) onde: • H é o campo magnético;
• Jcé a densidade de corrente conduzida; • D é a densidade de fluxo elétrico; • E é o campo elétrico;
• B é a indução magnética ou densidade de fluxo magnético; • ρ é a densidade volumétrica de carga elétrica.
As relações constitutivas dos materiais são:
B = µH + Br (2.5)
D = εE (2.6)
J = σ E (2.7)
onde:
• Bré a indução magnética remanente; • µ é a permeabilidade magnética; • ε é a permissividade elétrica; • σ é a condutividade elétrica.
Em uma primeira análise, modelagem de campos magnetostáticos pa-rece relativamente limitada quanto a aplicações, pois a maioria dos dispositi-vos são alimentados através de sinais com forma de onda sinusoidal. Porém, quando a estrutura é concebida de uma forma tal que os efeitos da variação da indução magnética no tempo, ∂ B/∂ t, em materiais condutores possam ser ignorados, pode-se aplicar a formulação magnetostática. Mesmo que a estru-tura esteja em movimento, esta pode ser modelada como várias modelagens magnetostáticas, sendo uma para cada passo de tempo, obtendo assim uma solução dinâmica (BASTOS; SADOWSKI, 2003).
Desta maneira, reescrevendo-se as equações de Maxwell a serem re-solvidas para campos magnéticos e estáticos, tem-se:
rot H = Jc (2.8)
div B=0 (2.9)
juntamente com a relação constitutiva para materiais magnéticos,
B = µH + Br (2.10)
ou
H = νB + Hc (2.11)
2.2.1 Condições de contorno
Dado um domínio Ω, Figura 2, para resolver as equações da Seção 2.2 é necessário definir condições de contorno adequadas ao longo de Γ para assegurar a unicidade da solução.
Figura 2: Domínio em estudo e suas superfícies externas complementares.
ΓB ΓH Ω
(a) Grandezas magnéticas.
ΓD ΓE Ω
(b) Grandezas elétricas.
As condições homogêneas aplicadas ao longo das regiões complemen-tares de Γ= ΓH∪ ΓBpara campos magnéticos são:
n × H|Γ
H = 0 (2.12)
n · B|Γ
B= 0 (2.13)
enquanto que para as grandezas elétricas, com as regiões complementares Γ= ΓE∪ ΓD, as condições de contorno são:
n × E|Γ
E= 0 (2.14)
n · D|Γ
D= 0 (2.15)
Tais condições são aplicadas em basicamente duas situações, sendo elas: a) físicas: materiais com características perfeitas, por exemplo, condu-tividade ou permeabilidade infinitas e b) simetria: para impor determinada direção aos campos (LUZ, 2003).
2.2.2 Condições de transmissão de campos
Os campos eletromagnéticos sofrem descontinuidades nas superfícies entre meios com propriedades constitutivas diferentes. Sendo assim, ao
in-tegrar as equações (2.1), (2.2), (2.3) e (2.4) ao longo dos meios Ω1e Ω2ou ao longo da superfície Σ entre estes meios (Figura 3), e aplicando-se os te-oremas de Stokes e da divergência, obtém-se as condições de transmissão, ou condições de interface, que seguem (SADIKU, 2001; DULAR, 1996; LUZ, 2003): n × (H2− H1)|Σ= Js (2.16) n × (E2− E1)|Σ= 0 (2.17) n · (B2− B1)|Σ= 0 (2.18) n · (D2− D1)|Σ= −ρs (2.19) onde:
• Jsé a densidade de corrente superficial; • ρsé a a densidade de carga superficial,
sendo que ambas as grandezas Jse ρssão definidas de forma concentrada ao longo da superfície Σ.
Figura 3: Superfície Σ entre dois meios contínuos Ω1e Ω2.
Ω1 Ω2
Σ n
Vale ressaltar que Jse ρspodem ser definidas através das descontinui-dades das componentes tangenciais ao longo de Σ. No entanto, definindo-se agora que Jsé nula e reescrevendo-se H1e H2dados na Eq. (2.16) em termos das suas componentes normal e tangencial, tem-se que:
n × (H2nn + H2tt − H1nn − H1tt)|Σ= 0 (2.20)
n × [n (H2n− H1n) + t (H2t− H1t)]|Σ= 0 (2.21)
ou seja, a componente tangencial dos campos magnéticos são contínuas ao longo de Σ. O mesmo é válido para o campo E.
Desta mesma forma, pode-se reescrever a Eq. (2.18) como:
n · (B2nn + B2tt − B1nn − B1tt)|Σ= 0 (2.23)
n · [n (B2n− B1n) + t (B2t− B1t)]|Σ= 0 (2.24)
B2n− B1n|Σ= 0 (2.25)
concluindo-se que para o campo B há continuidade na componente normal. O mesmo é valido para o campo D, desde que ρs= 0.
Esta análise é de suma importância para o estudo das formulações de elementos finitos, mais precisamente para a definição das funções de teste a serem utilizadas, pois algumas destas funções possuem continuidade da com-ponente tangencial e são propícias para a modelagem de grandezas do tipo campo (H e E) e outras possuem continuidade da componente normal, sendo propícias para a modelagem de grandezas do tipo fluxo (B e D).
2.2.3 Superfícies perfeitamente condutoras
Mesmo denotando uma modelagem magnetodinâmica, uma superfície perfeitamente condutora é um caso limite interessante no que tange a aplica-ção da técnica de subproblemas em formulações magnetostáticas, o que será estudado no decorrer deste trabalho.
Neste caso, as condições de transferência de campos podem ser simpli-ficadas, já que o meio Ω2é perfeitamente condutor, ou seja, o campo interno à este meio é nulo. Desta maneira, a condição de transmissão de campo dado na Eq. (2.17) pode ser reescrita na forma de:
n × E|Σ= 0 (2.26)
bem como a Eq. (2.18),
n · B|Σ= 0 (2.27)
onde E e B são os campos no meio externo, E1e B1de acordo com a Fig 3. É importante mencionar que a superfície Σ continua suportando as densidades superficiais de corrente (n × H = −Js) e carga (n · D = ρs) (JIN, 2002).
2.3 ESTRUTURA MATEMÁTICA CONTÍNUA
2.3.1 Definições de uma região delimitada
As equações aqui apresentadas são avaliadas ao longo de um domínio euclidiano tridimensional, Ω, delimitado por uma superfície ∂ Ω = Γ, con-forme apresentado na Figura 4. n é um campo de vetores normal à superfície Γ e orientado em direção ao exterior de Ω, Σ é uma superfície de corte, for-mando assim seu limite ∂ Σ. Estes cortes são normalmente utilizados para transformar Ω em simplesmente conexo. Como o domínio pode conter re-giões com aplicação de corrente elétrica, Ωsé um possível indutor imerso em Ω.
Figura 4: Domínio Ω e suas definições.
Ωs n ∂ Ω = Γ ∂ Σ Ω Σ
2.3.2 Conexidade simples ou múltipla
Um domínio simplesmente conexo é aquele no qual toda linha con-tínua e fechada, γ, forma uma superfície completamente contida em Ω (Fig 5a). Em outras palavras, γ pode ser continuamente deformada até ser redu-zida a um ponto. Os domínios não conexos são ditos multiplamente conexos e são tais que possuem pelo menos uma curva que não possa ser reduzida por deformação contínua a um ponto (Fig 5b), podendo-se citar o toroide ou outras topologias que contenham uma cavidade. Pode-se ainda quantificar conexidade múltipla de um domínio através dos tipos de curvas γ suportadas. Sempre é possível traçar curvas que podem ser reduzidas a um ponto atra-vés de deformação contínua e estas são ditas do tipo γ0. No entanto, existem
curvas que não podem ser reduzidas e estas são definidas como do tipo γi (DULAR, 1996;MEUNIER, 2008;LUZ, 2003).
Figura 5: Domínios conexo e multiplamente conexo.
Ω
γ
(a) Simplesmente conexo.
Ω
γ1 γ0
(b) Multiplamente conexo.
2.3.3 Estrutura base
Os operadores que mapeiam membros de um espaço específico no conjunto dos números reais (R), ou complexos (C), são especiais e recebem o nome de funcionais (REDDY, 1998).
Consideremos agora uma estrutura formada por quatro espaços fun-cionais, dois escalares L2(Ω) e dois vetoriais L2(Ω), denominados por FHp, onde p = 0,1,2,3 é o grau do operador associado. L2(Ω) é um espaço de Hilbert (MEDEIROS; MIRANDA, 2000;LUZ, 2003).
Tais espaços são definidos e limitados no domínio de três operadores diferenciais lineares, sendo eles o gradiente (grad), o divergente (div) e o rota-cional (rot). A estrutura definida pelos domínios destes operadores é denomi-nada "complexo"(BOSSAVIT, 1988a;BOSSAVIT; MAYERGOYZ, 1997;BOSSAVIT, 1988b;DULAR, 1996).
Os domínios dos operadores são tais que gradHFH0⊂ F1
H (2.28)
e
rotHFH1⊂ FH2 (2.29)
formando assim a sequência conhecida como o complexo de Rham ( BOSSA-VIT, 1988b), FH0(Ω)−−−→ FgradH 1 H(Ω) curlH −−−→ F2 H(Ω) divH −−→ F3 H(Ω) (2.30)
exata-mente o núcleo do operador subsequente, determinando assim uma sequência conhecida como "exata"(BOSSAVIT, 1988b). Esta sequência, juntamente com os domínios destes operadores e suas condições de contorno, é dada na Tabela 1.
Neste ponto, faz-se necessário introduzir o complexo dual considerando-se os operadores adjuntos dos apreconsiderando-sentados na Eq. (2.30). Os domínios destes operadores são apresentados na Tabela 2 e suas deduções podem ser verifica-das em (DULAR, 1996).
De posse então dos quatro espaços funcionais, seus duais, os três ope-radores diferenciais e adjuntos organizados em uma dada estrutura, pode-se organizar o diagrama de Tonti, apresentado na Figura 6 para o caso de mag-netostática, que é formulação base para esta tese. Verifica-se que as equações de Maxwell (Seção 2) são representadas através da estrutura matemática de-finida anteriormente.
Figura 6: Diagrama de Tonti para magnetostática - Forma dual.
FH0 F1 H FH2 FH3 gradH rotH divH H −φ J 0 H = −gradφ rotH = J divJc= 0 FB3 FB2 FB1 FB0 gradB rotB divB B 0 A B = rotA divB = 0 B = µH Lado H Lado B
Esta estrutura pode descrever uma grande variedade de modelos em derivadas parciais, podendo-se citar o modelo para correntes induzidas. Além disso, uma representação em três dimensões deste diagrama pode descrever problemas com evolução temporal (DULAR, 1996).
Este tipo de análise se torna importante no momento em que se deseja entender melhor a estrutura matemática que confere suporte à física descrita através das equações de Maxwell, neste caso. Ademais, as relações entre os conjuntos e operadores contínuos aqui estudados são a base para o método de elementos finitos, pois esta estrutura é a base da estrutura discreta utilizada no MEF, ou seja, as funções de teste ou de interpolação.
T abela 1: Operadores diferenciais e seus domínios. Grau Operador Domínio 0 grad H F 0 H= {φ ∈ L 2(Ω ); grad φ ∈ L 2 (Ω ), φ |ΓH = 0 } 1 rot H F 1 H= { H ∈ L 2 (Ω ); rot H ∈ L 2 (Ω ), n × H |ΓH = 0 } 2 di vH F 2 H= { B ∈ L 2 (Ω ); di v B ∈ L 2(Ω ), n ·B |ΓB = 0 } T abela 2: Operadores adjuntos e seus domínios. Grau Operador Domínio 2 (grad B ) ∗ = − di vB F 2 B= { B ∈ L 2 (Ω ); di v B ∈ L 2 (Ω ), n ·B |ΓB ∗ = 0 1 (rot B ) ∗ = rot B F 1 B= { H ∈ L 2 (Ω ); rot H ∈ L 2 (Ω ), n × H |ΓH ∗ = 0 } 0 (di vH ) ∗= − grad B F 0 H= {φ ∈ L 2(Ω ); grad φ ∈ L 2 (Ω ), φ |ΓH ∗ = 0 }
2.4 ESTRUTURA MATEMÁTICA DISCRETA
2.4.1 Os elementos finitos
O papel do elemento finito é interpolar um campo em um espaço de funções com dimensões finitas, geralmente definido como campo em uma to-pologia simples, chamada de elemento geométrico (DULAR, 1996;MEUNIER, 2008).
Um elemento é definido através da tríplice {K, PK, ΣK}, onde: • K: É o domínio de um espaço chamado de elemento geométrico,
nor-malmente possuindo uma estrutura simples, como triangular ou qua-drangular em 2-D, e tetraédrico ou hexaédrico em 3-D;
• PK: É o espaço de funções com uma quantidade finita ”nk” de termos, definido em K. Tais funções são conhecidas como funções de base; • ΣK: É o conjunto de nkgraus de liberdade representados por nkfunções
(funcionais) lineares φi, definidas em PK.
Dado um ponto x, a interpolação de uma função u definida no espaço PK e determinada através dos graus de liberdade de ΣKé dada por:
uK(x) = nk
∑
i=1aipi, uK∈ PK, x ∈ K (2.31) onde ai são os coeficientes dos termos pi da função de base. Tais funções podem ser adaptadas a uma variedade de tipos de campos, podendo assim também ser aplicadas para elementos com campos escalares, como os nodais, e vetoriais, como os elementos de aresta e de face.
A Eq. (2.31) pode ser reescrita como a Eq. (2.32) (DULAR, 1996; MEUNIER, 2008). uK(x) = nk
∑
i=1 φj(u) pi(x), uk∈ PK, x ∈ K (2.32) onde os coeficientes φj(u) = φj(uK) são os graus de liberdade.2.4.2 Elementos de Whitney
Uma estrutura matemática discreta similar à estrutura contínua apre-sentada na Seção 2.3.3 foi desenvolvida por H. Whitney. Após alguns anos,
já na era dos elementos finitos, esta estrutura deu origem ao "complexo de Whitney"ou "formas de Whitney", servindo como funções de base ( BOSSA-VIT, 1988b).
As funções de base podem ser nodais, de aresta, de face e de volume (BOSSAVIT, 1988a, 1988b), cada uma delas com suas características intrínse-cas, como por exemplo, descontinuidades dos campos entre elementos adja-centes. Como pode ser notado na Seção 2.2.2, existem descontinuidades de campo ao longo das superfícies entre meios com propriedades diferentes e as funções de base devem ser tais a garantir estas descontinuidades. Esta é uma informação de suma importância, pois permite avaliar o melhor tipo de ele-mento a ser utilizado para a modelagem de campos com diferentes naturezas. As funções W são as funções de base p utilizadas na interpolação dada na Eq. (2.32) e, como comentado naquela Seção 2.4.1, as funções uk∈ PK podem ser adaptadas a diferentes tipos de campos, que é o caso dos elementos de Whitney, conforme mencionado acima.
Desta maneira, podem-se definir os elementos de Whitney de ordem p=1, 2 e 3, tal que:
W0 grad f−−−→ W1 rot F−−→ W2 div F−−→ W3 (2.33)
2.4.3 Definição da malha
Para as análises através do método de elementos finitos é definido um conjunto de elementos geométricos simples, os elementos finitos, que repre-sente o domínio Ω. Esse conjunto de elementos é denominado malha (LUZ, 2003).
Tais elementos são definidos através de sua topologia geométrica e as funções de base associadas a tal configuração. À vista disso, dado um elemento tetraédrico, por exemplo, Figura 7, as entidades geométricas são definidas da seguinte forma: os nós são indicados por n ou {i}, as arestas por a ou {i,j}, as faces por f ou {i,j,k} e os elementos volumétricos por v ou {i,j,k,l}(BOSSAVIT, 1988b).
Figura 7: Entidades geométricas. i j k n a f v l
2.4.4 Funções de base nodais - Elemento
As funções de base nodais são utilizadas para discretizar grandezas es-calares ao longo do domínio de cálculo, podendo-se citar o potencial elétrico V, ou temperatura. Tais elementos são largamente utilizados, principalmente como o primeiro passo no estudo da teoria de elementos finitos. No entanto, este tipo de elemento possui algumas desvantagens, sendo elas:
• Impõe continuidade entre elementos em ambas direções dos vetores de campo ao longo das interfaces entre elementos, o que pode não ser propriamente uma características destes campos (BOSSAVIT, 1988b);
• Obtenção de resultados não físicos, ou espúrios, atribuído à falta de condição de divergência (JIN, 2002);
• Dificuldade quanto ao cálculo de campos em singularidades geométri-cas (campo elétrico em cantos vivos, por exemplo) (JIN, 2002).
As funções de interpolação nodais para um nó n={i} são obtidas como:
Wn(x) = λi(x) (2.34)
onde λi(x) representa as funções nodais, que valem um quando x = xi, vari-ando linearmente a zero nos outros nós e xié a coordenada no nó i.
Este é um "elemento Whitney de ordem 0", baseado no nó n ( BOSSA-VIT, 1988b).
2.4.5 Funções de base de aresta
Em casos onde se deseja calcular grandezas vetoriais, como o campo elétrico E ou o campo magnético H, utiliza-se largamente os elementos de aresta, pois estes impõem a continuidade da componente tangencial, que é uma característica deste tipo de campo, Eq. (2.22), deixando a componente normal livre (DULAR et al., 1993; BÍRÓ, 1999; DULAR, 2004). Além disso, outro aspecto importante deste tipo de elemento é que os campos são obti-dos diretamente, sem a necessidade de derivação obti-dos potenciais (BOSSAVIT, 1988b).
A função de interpolação para uma dada aresta a={i,j}, denominada como "elemento Whitney de ordem 1"ou "elemento de aresta"é:
Wa= λigradλj− λjgradλi (2.35)
2.4.6 Funções de base de face
Contudo, ainda há a possibilidade de modelar grandezas do tipo fluxo, onde as funções de interpolação de face Wf tornam-se mais apropriadas de-vido à conservação da componente normal dos campos (BOSSAVIT, 1988b; VISHNEVSKY; KALIMOV; LAPOVOK, 2002;RAVIART; THOMAS, 1977) (Seção 2.2.2). Tais funções também são conhecidas como bases RWG e foram intensamente utilizadas para a representação de correntes elétricas de superfície em ante-nas, sendo as mais difundidas para o correto mapeamento de fluxos elétrico e magnético (VISHNEVSKY; KALIMOV; LAPOVOK, 2002;LE-VAN, 2015;NGUYEN et al., 2014).
Considerando-se tais características intrínsecas destas funções de in-terpolação e que, neste trabalho, tem-se como objetivo obter uma rede de relu-tâncias, as quais derivam do mapeamento da distribuição de fluxo magnético, verifica-se que as funções de interpolação de face são as mais apropriadas para este tipo de modelagem.
O comportamento das funções Wfé apresentado na Figura 8a para um elemento tetraédrico de referência. Como pode ser verificado na Figura 8b, a componente normal da função Wfi é contínua e vale 1 ao longo da face i, ou seja, o fluxo de Wfivale 1 para a face i e zero para as outras faces, conforme apresentado na Eq. (2.36). Wfi· ni= 1 Si (2.36) onde
• Wfi são as funções de base Wf avaliadas ao longo da face i; • nié o campo de vetores normal à face i;
• Sié área da face i.
Figura 8: Função de face para elemento tetraédrico.
(a) Wf. (b) n · Wf.
Uma característica destas funções é que o divergente de Wf em um de-terminado elemento é equivalente ao inverso do volume deste elemento (para polinômios de primeira ordem), Eq. (2.37), tendo em vista que div Wf = Wv (Eq. (2.33)).
div Wf= 1 Ve
(2.37) onde Veé o volume de um dado elemento e.
No caso de funções 2-D, as funções de face são equivalentes as fun-ções de aresta, com uma rotação de π/2 (FERROUILLAT, 2012). De uma forma geral, dada uma face f={i,j,k}, as funções Wf são definidas como:
Wf = 2(λigradλj× gradλk+ ... + ...) (2.38) As funções de face e os pontos de integração para os tipos de ele-mentos utilizados neste trabalho são apresentadas no Apêndice A. Para o
mapeamento destas funções do elemento de referência para os elementos re-ais, utiliza-se o mapeamento "div-conform"através da transformada de Piola, dada no Apêndice B.
2.5 CONCLUSÃO
Neste capítulo foram apresentadas as equações de Maxwell, com suas condições de contorno e de transmissão de campos. Estas últimas sendo bas-tante imporbas-tantes para o entendimento da técnica de subproblemas, a qual será apresentada na sequência do trabalho.
Também foram apresentadas as estruturas matemáticas contínua e dis-creta, as quais permitem um entendimento pormenorizado dos conceitos ma-temáticos que são a base do MEF. Por exemplo, a definição das diversas fun-ções de base e as correlafun-ções entre elas.
De forma particular, são expostos conceitos referentes às funções de face, que são a essência deste trabalho.
No próximo capítulo serão apresentadas as formulações em si e os resultados obtidos em 2 e 3-D.
3 FORMULAÇÕES PARA MODELAGEM DE CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS
3.1 INTRODUÇÃO
Existe uma ampla gama de formulações para solução de campos mag-netostáticos, dentre elas a formulação em potencial vetor magnético A é uma das mais estabelecidas no meio acadêmico, podendo-se citar uma série de referências acerca (LUZ, 2003;BASTOS; SADOWSKI, 2003;DULAR, 1996; GEU-ZAINE, 2001;IDA; BASTOS, 1997;DULAR et al., 2015).
Todavia, considerando-se ainda suas peculiaridades e que esta formu-lação será objeto de comparação com a formuformu-lação em B, verifica-se a impor-tância de estudá-la com maior nível de detalhe, o que se dará no início deste capítulo.
Então a formulação em B é pormenorizada, bem como a aplicação das condições de contorno e o acoplamento com MRR.
Finalmente são apresentados os resultados obtidos em 2 e 3-D e a comparação entre as formulações, em termos de acurácia dos resultados e esforço computacional.
3.2 FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL VETOR MAG-NÉTICO
3.2.1 Forma forte
Considerando-se a divergência nula da indução magnética, descrita pela Lei de Gauss para campos magnéticos (Eq. (2.3)), percebe-se que as linhas de indução iniciam e terminam seus caminhos sobre elas mesmas. Isto significa que o fluxo magnético que atravessa a superfície formada por tais caminhos é nulo. Tal propriedade pode também ser referida dizendo que a indução magnética é solenoidal.
Desta forma, div B = 0 pode ser expressa através do potencial vetor magnético, A:
B = rot A (3.1)
A relação constitutiva dada na Eq. (2.5) pode ser escrita na forma da Eq. (3.2).
H = 1
µ(B − Br) (3.2)
Assim, aplicando tal equação na Eq. (2.8), obtém-se: rot 1
µ(B − Br)
= J (3.3)
Substituindo-se a Eq. (3.1) na Eq. (3.3), obtém-se rot 1
µ(rot A − Br)
= J (3.4)
a qual pode ser reescrita como: rot1
µ(rot A) − rot 1
µ(Br) = J (3.5)
que é a forma forte da formulação em potencial vetor magnético.
A continuidade da componente normal de B, Eq. (2.18), é assegu-rada através da continuidade da componente tangencial de A, uma vez que a relação B = rot A está implícita na Eq. (3.5) (DULAR, 1996;LUZ, 2003).
Um aspecto importante desta formulação é que ela não apresenta difi-culdades em relação à modelagem de regiões não simplesmente conexas.
Outro ponto relevante é que se A é a solução da Eq. (3.5), então Ag= A + grad τ também é solução, pois rot grad τ = 0, ou seja, rotA = rotAg. τ é uma função escalar qualquer, que deve ser fixa através de uma equação de calibre, garantindo a unicidade da solução. Para tal, pode-se utilizar o calibre de Coulomb, div A = 0, que impõe a continuidade da componente normal de A (DULAR, 1996;JACKSON, 1999;MESQUITA; BASTOS, 1992), mas que pode resultar em perda de precisão em regiões metálicas com altos valores de per-meabilidade magnética (PREIS et al., 1991).
Também é possível aplicar uma condição de calibre baseada em uma árvore definida no domínio Ω (MESQUITA; BASTOS, 1992;DULAR, 1996;SILVA; MESQUITA, 1997;BOSSAVIT; MAYERGOYZ, 1997;LUZ, 2003). Para tal, define-se um campo vetorial divergente K, tal que
A · K = 0 (3.6)
As linhas de K não são fechadas e são tais que podem ligar dois pontos quaisquer, P e Q, no domínio de estudo Ω, sendo P 6= Q, conforme apresen-tado na Figura 9.
Figura 9: Função vetorial K em um problema contínuo.
K P
Q α
Calculando a circulação de Ag= A + grad f ao longo de um contorno α (Figura 9) ligando os pontos P e Q, tem-se:
Z α Agdl = Z α A dl + fQ− fP (3.7)
Considerando-se que o caminho α seja definido sobre linhas do campo K, as integrais da Eq. (3.7) tornam-se nulas. Ou seja, a função f possui o mesmo valor se avaliada nos pontos P e Q, fQ= fP, e consequentemente grad f = 0. Assim, pode-se afirmar que a função f é constante ao longo de qualquer caminho entre P e Q. Desta forma, tem-se a unicidade da solução Ag= A.
3.2.2 Forma fraca
A forma fraca da Eq. (2.8) é dada definindo o resíduo vetorial R, tal que:
R = rot H − J (3.8)
Este resíduo é ponderado através da função teste vetorial, A0∈ F1 b, resultando na Eq. (3.11)
Z
Ω
Z Ω (rot H − J) A0= 0 (3.10) Z Ω rot H A0dΩ = Z Ω J A0dΩ (3.11)
Utilizando-se então a fórmula de Green do tipo rot − rot
Z Ω V rotW dΩ − Z Ω W rotV dΩ = Z Γ (V × n) WdΩ (3.12) Z Ω V rotW dΩ = Z Ω W rotV dΩ + Z Γ (V × n) WdΩ (3.13) e fazendo V = A0e W = H, tem-se Z Ω rotH A0dΩ = Z Ω H rotA0dΩ + Z Γ A0× n H dΩ (3.14)
Considerando-se a relação constitutiva dada na Eq. (2.10), tem-se:
Z Ω rotH A0dΩ = Z Ω 1 µB rotA 0 dΩ − Z Ω 1 µBrrotA 0 dΩ + Z Γ A0× n HdΩ (3.15) A indução magnética pode ser descrita através do potencial vetor magnético,
Z Ω rotH A0dΩ = Z Ω 1 µrotA rotA 0 dΩ − Z Ω 1 µBrrotA 0 dΩ+ Z Γ A0× n H dΩ (3.16)
Os termos da integral de superfície podem ser alternados de forma cíclica (Eq. (3.17)) e então decomposto em dois termos (Eq. (3.18)), pois Γ = ΓH∪ ΓB.
Z Ω rotH A0dΩ = Z Ω 1 µrotA rotA 0 dΩ − Z Ω 1 µBrrotA 0 dΩ+ Z Γ (n × H) A0dΓ (3.17) Z Γ (n × H) A0dΓ = Z ΓH (n × H) A0dΓ + Z ΓB (n × H) A0dΓ (3.18)
O último termo do lado direito da Eq. (3.17) pode ser apresentado como: Z ΓB A0× n H dΓ = − Z ΓB n × A0 H dΓ (3.19)
Aplicando-se a Eq. (3.19) na Eq. (3.18), tem-se:
Z Γ (n × H) A0dΓ = Z ΓH (n × H) A0dΓ − Z ΓB n × A0 H dΓ (3.20)
Como a função de teste A0∈ F1
B, tem-se que n × A 0|
ΓB= 0. Isto sig-nifica que a componente tangencial do potencial vetor magnético A é nula ao longo de ΓB, ou ainda, que a circulação de A é nula. Ou seja, a indução mag-nética (B = rotA) somente possui componente tangencial. Desta maneira, o segundo termo do lado direito da Eq. (3.20) se torna nulo.
No primeiro termo do lado direito desta equação, n×H|ΓH= 0 implica que a componente tangencial de H é nula, Ht= 0. Isto significa que o campo somente possui componente normal ao longo de ΓH, similarmente ao que acontece para a condição de Neumann. Vale ainda ressaltar que este termo pode estar associado a grandezas globais do tipo circulação, podendo-se citar a força magnetomotriz (DULAR; LEGROS; NICOLET, 1998;DULAR et al., 2005; LUZ, 2003).
Desta forma, a Eq. (3.11) pode ser expressa como:
Z Ω 1 µrotA rotA 0 dΩ − Z Ω 1 µBrrotA 0 dΩ = Z Ω J A0dΩ (3.21)
3.2.3 Implementação da condição de calibre
Em um domínio discreto, a função K referida na Eq. (3.6) é definida ao longo de uma árvore construída com base nas arestas dos elementos de um dado domínio Ω, Fig 10. Neste caso, A · K = 0 é intrínseca ao espaço de elementos finitos de aresta e é implementada anulando-se a circulação de A ao longo de todas as arestas que pertencem à árvore.
Figura 10: Função K em um domínio discreto.
Co-árvore Árvore
Ou seja, a interpolação de A em um elemento é definida através das arestas que compõem a co-árvore,
A =
∑
j∈ ¯Aajsj (3.22)
onde:
• ¯A: é o conjunto de arestas do elemento em questão que pertencem à co-arvore;
• sj: é a função base associada a aresta j; • aj: é a circulação de A obtida para a aresta j.
Esta condição de calibre pode ser melhor examinada em referências como (SILVA; MESQUITA, 1997;GOLIAS; TSIBOUKIS, 1994;MANGES; CENDES, 1995).
3.3 FORMULAÇÃO MAGNETOSTÁTICA EM POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO
3.3.1 Forma forte
O campo magnético total H pode ser expresso através dos campos Hs e Hr,
H = Hs+ Hr (3.23)
onde
• Hs: é o campo magnético fonte e pode ser expresso através das corren-tes já conhecidas, J;
• Hr: é o campo magnético de reação, que pode ser definido em termos do potencial escalar magnético ψ através da Eq. (3.24).
Hr= −grad ψ (3.24)
Sendo assim, a Eq. (3.23) pode ser reescrita como:
H = Hs− grad ψ (3.25)
ou
H + gradψ = Hs (3.26)
Aplicando-se a Eq. (2.10) no termo para o campo magnético total H, tem-se a forma forte da formulação:
1
µB + gradψ = Hs+ 1
µBr (3.27)
3.3.2 Forma fraca
A forma fraca da Eq. (3.27) é dada igualando-a um resíduo vetorial R, R = 1
µB + gradψ − Hs− 1
µBr (3.28)
e então minimizando-se a integral deste resíduo ponderado através da função de teste vetorial B0∈ F2
Z Ω 1 µB · B 0 dΩ + Z Ω grad ψ · B0dΩ − Z Ω Hs· B0dΩ − Z Ω 1 µBr· B 0 dΩ = 0 (3.29)
A indução magnética B pode ser obtida interpolando-se o fluxo mag-nético Φ de cada face através das funções de teste B0,
B = nf
∑
i=1 B0iΦi (3.30) onde• nf: é a quantidade de faces do elemento;
• i: é o índice que identifica cada uma destas faces.
Desta forma, aplicando-se a Eq. (3.30) no primeiro termo da Eq. (3.29), chega-se na Eq. (3.31) e, consequentemente, na Eq. (3.32), que é a matriz clássica (esparsa) de elementos finitos de face.
Z Ω 1 µ B B0dΩ = Z Ω 1 µ B0 nf
∑
i=1 B0iΦidΩ (3.31) Z Ω 1 µB B 0dΩ = nf∑
i=1 Z Ω 1 µB 0B0 idΩ Φi (3.32)Para resolver o segundo termo da Eq. (3.29), utiliza-se a identidade vetorial dada na Eq. (3.33), que pode ser reescrita como a Eq. (3.34).
div ( f K) = grad f · K + f divK (3.33)
grad f · K = div ( f K) − f divK (3.34) Desta forma, o segundo termo da Eq. (3.29) pode ser expresso como:
Z Ω grad ψ · B0dΩ = Z Ω div ψB0 dΩ − Z Ω ψ divB0dΩ (3.35) e, aplicando-se o Teorema da Divergência no primeiro termo do lado direito desta equação,
Z Ω grad ψ · B0dΩ = Z Γ ψ (n · B0) dΓ − Z Ω ψ div B0dΩ (3.36)
O termo integral de superfície da Eq. (3.36) é nulo e deve ser avaliado para os quatro casos abaixo apresentados, considerando-se a Figura 11.
• Faces externas ΓB: Impõe que B possui somente componente tangen-cial ao longo destas superfícies;
• Faces internas de Ω: De acordo com as definições das funções de base de face, B0é nula ao longo de todo o domínio, exceto dentro dos dois elementos que a compartilham cada uma destas faces i;
• Γl∪ Γm: Este segundo caso permite limitar Ω como a união de dois elementos, Ωl e Ωm, conforme ilustrado na Figura 11 e representado na Eq. (3.37). No entanto, n · B0é nula ao longo de Γl∪ Γm, exceto ao longo de Γl∩ Γm;
• Γl∩ Γm: As funções de base B0l e B0m possuem direções opostas ao longo destas faces, cancelando assim umas às outras.
Z Ωl+Ωm gradψ · B0dΩ = Z Γl+Γm ψ (nΓ· B 0 ) dΓ − Z Ωl+Ωm ψ div B0dΩ (3.37)
Figura 11: O domínio completo Ω com suas superfícies externas Γ = ΓH∪ ΓB e dois elementos adjacentes Ωle Ωm, com suas faces Γle Γm.
n Ωl Ωm Γm Γ Ω Γl Face i ΓH ΓB
Desta forma, a Eq. (3.37) poder ser escrita como:
Z Ωl+Ωm gradψ · B0dΩ = − Z Ωl+Ωm ψ div B0dΩ (3.38) ou da seguinte forma:
Z Ωl+Ωm grad ψ · B0dΩ = Z Ωl ψldiv B0dΩl− Z Ωm ψmdiv B0dΩm (3.39)
Uma propriedade importante dos elementos de face é que o divergente da função (div B0) equivale ao inverso do volume do elemento (Eq. (2.37)), permitindo escrever a Eq. (3.39) como:
Z Ωl+Ωm grad ψ · B0dΩ = 1 Vl Z Ωl ψldΩl− 1 Vm Z Ωm ψmdΩm (3.40) Como R Ωe
ψedΩerepresenta o potencial escalar médio ao longo de um dado elemento e (LE-VAN, 2015), pode-se definir que:
Z
Ωl+Ωm
grad ψ · B0dΩ = ψl− ψm (3.41)
Voltando-se à Eq. (3.29), o campo Hsem seu terceiro termo é origi-nado por densidades de correntes elétricas impostas e pode ser obtido através da Equação de Biot-Savart, detalhada no Apêndice C, ou através do MEF. O quarto termo desta equação considera a indução remanente dos possíveis ímãs permanentes contidos no domínio. Consequentemente, o termo 1/µ Br pode ser substituído pelo campo magnético coercitivo Hc.
Sendo assim, a Eq. (3.29) pode ser reescrita como a Eq. (3.42), cuja forma matricial é dada na Eq. (3.44).
nf
∑
i=1 Z Ω 1 µB 0 jB 0 idΩ Φi+ ψa− ψb= Z Ω HsB0dΩ + Z Ω 1 µBrB 0 dΩ (3.42)Caso o campo magnético coercitivo dos ímãs seja utilizado, tem-se
nf
∑
i=1 Z Ω 1 µB 0 jB 0 idΩ Φi+ ψa− ψb= Z Ω HsB0dΩ + Z Ω HcB0dΩ (3.43) [ℜ] [Φ] − [ψm] = [ f mm] (3.44) onde:• [ℜ]: é a matriz rigidez do MEFF, fisicamente conhecida como matriz de relutâncias;
• [Φ]: é a matriz de incógnitas referente ao fluxo magnético através de cada face da malha;
• [ψm]: é o vetor de diferenças de potencial escalar magnético entre ele-mentos adjacentes;
• [ f mm]: contém as fontes de f mm definidas através dos campos Hse/ou Hc.
Em termos práticos, a matriz [ f mm] é formada através da integração de um campo H0, este podendo ser composto por Hs e/ou Hc, dependendo das excitações do modelo.
Vale ainda salientar que a Eq. (3.43) não é resolvida através da formu-lação, mas sim através da associação da sua forma matricial (Eq. (3.44)) com um circuito magnético, ou seja, através de um sistema 0-D, no qual a diver-gência nula da indução magnética (Eq. (2.9)) é imposta pela Lei de Kirchhoff para Correntes (LKC).
Circuito tal que contará com acoplamentos mútuos entre seus elemen-tos, pois analisando a Eq. (3.42), percebe-se que para i 6= j, obtêm-se valores de relutâncias entre as faces i e j. Desta forma, a matriz de impedâncias, aqui utilizada como matriz de relutâncias magnéticas, possui termos fora da diagonal.
Também é necessário definir um sentido para cada ramo do circuito magnético, ou seja, para cada face global da malha de elementos finitos. Tal fato impõe a necessidade de verificar este sentido e inverter ou não as funções B0, conforme apresentado na Figura 12. Faz-se importante mencionar que esta operação também é necessária durante a integração dos termos fontes [Hs] e [Hc].
Para ilustrar a conversão da matriz de rigidez em uma rede de relutân-cias, na Figura 13 é apresentada uma malha com quatro elementos triangula-res e seu circuito magnético equivalente, com as relutâncias próprias e mú-tuas, bem como as possíveis condições de contorno n · B|Γ
B= 0 e n × H|ΓH= 0.
Figura 12: Inversão do sentido das funções B0.
(a) Funções B0aplicadas aos pontos de integração.
(b) Funções B0com sentido inverso em um dos elementos.
Figura 13: Malha convertida em rede de relutâncias, com as possíveis condi-ções de contorno. M12 M34 M41 M23 ℜ0 ℜ2 ℜ3 ℜ1 ℜ4 ℜ5 M01 M02 M45 M35 n ·B |ΓB = 0 n ·B |ΓB = 0 n × H|Γ H = 0 n × H|Γ H = 0
Cada ramo conta também com uma fonte de f mm obtida através dos campos Hse/ou Hc. Para solução deste circuito, faz-se ainda necessário terminar a conexão entre os ramos através de uma matriz de incidências, de-lineando assim os dados necessários para a solução da Eq. (3.44) como um circuito magnético.
3.3.3 Condição de contorno n · B|Γ B= 0 A condição de contorno n · B|Γ
B = 0, já discutida na Seção 2, implica em fluxo magnético nulo através das superfícies ΓB, sugerindo que, do ponto de vista de circuitos, os ramos definidos nas faces dos elementos ao longo destas superfícies são representados como circuitos abertos. Desta maneira, estes ramos podem ser suprimidos do sistema de equações, ou seja, não são levados em conta no circuito magnético.
Por exemplo, considerando-se que n · B|Γ
B= 0 seja aplicada nas ares-tas verticais da malha apresentada na Figura 13, as relutâncias magnéticas indicadas em cinza são suprimidas do circuito.
3.3.4 Condição de contorno n × H|Γ H = 0
Como verificado na Seção 3.3.2, a condição de contorno natural à for-mulação apresentada é n · B|Γ
B= 0. No entanto, ainda faz-se necessário defi-nir n × H|Γ
H = 0, que permite a aplicação de planos de simetria.
Esta condição é imposta através de um potencial escalar magnético constante ao longo de ΓH, ou seja, ψ|ΓH = constante,
n × H|Γ
H = −n × grad ψ|ΓH = 0 (3.45) Em termos de implementação, define-se um nó externo P (Figura 14) e conecta-se este nó aos ramos equivalentes as faces ao longo de ΓH. A relu-tância destes ramos é estabelecida com um valor muito baixo, configurando um "curto-circuito magnético".
