D 1870. Bon ménage.
Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.
E1 Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E. On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
E2 Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle AMC. Que vaut l’angle AMD ?
E3 Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12. Que vaut BF ?
E4 Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC est tel que la sommes des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?
E5 Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ?
E6 On trace un point P sur le petit arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?
E7 Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?
Solutions proposées par Michel Lafond.
E1.
De même
Donc
E2.
Posons Le triangle CDM est isocèle donc CM = 2 et Donc
I
H A
B C
D E
F G
I
A B
D C
M
1
2
2 1
E3.
Posons
Les triangles ABK et BCL sont semblables.
D’où et
Donc les triangles KAB et KBL sont semblables.
Donc BAKF est inscriptible.
Comme est droit, aussi, donc BF = 5.
E4.
Posons Dans un triangle T de côtés a, b, c
le rayon du cercle circonscrit est
.
Soient les rayons des cercles circonscrits aux triangles APB (APC) Alors
Donc où k est constant quand P varie.
S sera minimal en même temps que z, donc quand P est en H.
Alors d’où Or donc et
E5.
Posons [Voir la figure ci-contre].
Le triangle ABC est isocèle car CE est hauteur et médiane.
Donc CA = CB = 10.
Or
Donc
Ainsi
48
A D
B C
K
a
L F
1
A
B C
P H
h
x
z
15 13
B
A
C D E
x
10
E6.
Posons
Les triangles QBA et QPC sont semblables. Donc
D’où
Mais
Donc PQ est bissectrice dans le triangle BPC.
On en déduit
d’où
E7.
Posons Notons le complémentaire de l’angle a.
donc le triangle EAN est isocèle.
De même
Donc
A
B
P
C
Q 5 x
6 x
x
673
4038
