D20027. L’´ etang au h´ eron
L’´etang au H´eron est un quadrilat`ere bord´e par un pr´e carr´e de 36,10 hec- tares, un bois carr´e de 16,66 hectares, et deux champs carr´es de 24,20 hec- tares et 10,88 hectares respectivement. Quelle est la surface de cet ´etang, qui doit son nom au h´eron perch´e en son milieu, `a ´egale distance des quatre coins ?
Solution
La diagonale qui sous-tend le couple de cˆot´es (√
36,10,√
16,66), qui font un angle (inconnu) α, a pour carr´e
36,10 + 16,66−2√
36,10√
16,66 cosα
= 52,76−5,32√
85 cosα.
Elle sous-tend aussi le couple de cˆot´es (√
24,20,√
10,88), qui font un angle π−α, car le quadrilat`ere est inscrit dans un cercle dont le h´eron est le centre.
Le carr´e de cette diagonale vaut donc aussi 24,20 + 10,88 + 2√
24,20√
10,88 cosα
= 35,08 + 3,52√
85 cosα.
D’o`u cosα= 17,68 8,84√
85 = 2
√85, et sinα= 9
√85. La surface est
1 2
√36,10√
16,66 +√
24,20√
10,88sinα
= 2,21√
85 sinα = 19,89 hectares exactement.
Nota 1. Le mˆeme raisonnement, appliqu´e `a un quadrilat`ere insciptible de cˆot´esa, b, c, d, conduit `a la formule de Brahmagupta (qui g´en´eralise celle de H´eron pour le triangle)
S=p(p−a)(p−b)(p−c)(p−d), en notant ple demi-p´erim`etre.
Nota 2. Des coordonn´ees possibles pour les coins de l’´etang sont (origine au h´eron, longueurs en d´ecam`etres) :
(23,24) ; (4,−33) ; (−31,−12) ; (−9,32).
La distance du h´eron aux coins est √
1105 d´ecam`etres. Les cˆot´es sont vus du h´eron sous des angles 2 arctan(19/9), 2 arctan(7/9), 2 arctan(11/10), 2 arctan(4/7).
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