{0} est une trajectoire

MT241. Cours n^o 25, lundi 6 janvier 2003.

Trajectoires des solutions de Y⁰ = AY, lorsque d= 2 On consid`ere les syst`emes r´eels 2×2,

Y⁰(t) = AY(t), t ∈R.

La trajectoire d’un point y ∈ R² est l’application t ∈ R → e^tAy. On appellera dans ce paragraphe courbe-trajectoire l’ensemble des points de R² parcourus par cette applica- tion,

C ={e^tAy:t ∈R} ⊂R². Remarques.

1. Quand on change A en −A, on garde les mˆemes courbes-trajectoires, mais elles sont parcourues en sens inverse.

2. Les courbes-trajectoires sont disjointes: si e^t1Ay₁ = e^t2Ay₂ est un point commun

`a deux trajectoires, alorsy2 = e^(t1−t2)Ay1 est sur la trajectoire de y1, et il en r´esulte que les deux courbes-trajectoires sont identiques.

3. {0} est une trajectoire.

On a vu que dans une base bien choisie (v₁, v₂) deR², la matrice A du syst`eme aura l’une des trois formes suivantes

µλ 0

0 µ

¶ ,

µλ 1 0 λ

¶ ,

µa −b

b a

¶ ,

avec b6= 0 pour le dernier cas. On se place dans une telle base pour d´ecrire les diff´erents types de situations.

J’ai pass´e en revue assez rapidement les divers dessins obtenus, en renvoyant `a Liret-Martinais pour plus de d´etails.

Syst`eme avec second membre

On consid`ere maintenant le syst`eme

(∗) ∀t∈I, Y⁰(t) = AY(t) + B(t)

o`u A∈ M<sub>d</sub>(K), et o`u B est une fonction continue sur intervalle ouvert I de R, `a valeurs dans K^d. On supposera que 0∈I pour simplifier les notations.

Proposition. Pour toute donn´ee initiale y₀ ∈ K^d, il existe une solution unique de (∗) telle que Y(0) =y0.

Si Y est une solution de (∗) v´erifiant Y(0) =y0, on peut poser Y(t) = e^tAZ(t) (en posant Z(t) = e^−tAY(t)). Alors

AY(t) + B(t) = Y⁰(t) = A e^tAZ(t) + e^tAZ⁰(t) = AY(t) + e^tAZ⁰(t), et on doit donc avoir Z⁰(t) = e^−tAB(t), donc

Z(t) = Z(0) + Z _t

0

e^−uAB(u)du 1

en d´efinissant l’int´egrale d´efinie d’une fonction vectorielle continue comme le vecteur dont les coordonn´ees sont les int´egrales des fonctions coordonn´ees; puisqu’on avait Y(0) =y0, on doit avoir Z(0) =y0 et la solution Y est n´ecessairement donn´ee par

Y(t) = e^tAZ(t) = e^tAy0+ Z _t

0

e^(t−u)AB(u)du.

R´eciproquement on v´erifie que cette fonction est solution (je ne l’ai pas fait `a l’amphi).

Exemple trait´e.

R´esoudre

x⁰(t) = 3x(t) +y(t) +te^t y⁰(t) =−x(t) +y(t) + e^t avec la condition initiale x(0) =y(0) = 0.

Ici on a Y(t) = (x(t), y(t)), B(t) = (te^t,e^t) et A =

µ 3 1

−1 1

¶

dont le polynˆome caract´eristique est (X−2)². On calcule e^tA = e^{2tI2+t(A−2I2)} en uti- lisant la nilpotence de A−2I2. Ensuite j’ai appliqu´e la formule ci-dessus pour montrer qu’elle n’est pas si terrible que ¸ca; j’ai aussi pr´ecis´e qu’il existe diverses variantes pour la r´esolution effective d’exercices, renvoyant les ´etudiants `a leur TD.

Equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre plus ´elev´e´ On consid`ere une ´equation de la forme

(Ld) y^(d)(t) +ad−1y^(d−1)(t) +· · ·+a1y⁰(t) +a0y(t) = 0

o`u les coefficients sont dans K et o`u y est une fonction d´efinie sur un intervalle ouvert I de R, `a valeurs dans K.

On associe `a l’´equation (Ld) le polynˆome

P = X^d+ad−1X^d−1+· · ·+a1X +a0 ∈K[X].

On introduira ´egalement la matrice A qui est la transpos´ee de la matrice compagnon MP

du polynˆome P,

A =









0 1 0 . . . 0

0 0 1 . .. ...

... ... . .. . .. 0

0 0 . . . 0 1

−a0 −a1 . . . −ad−2 −ad−1







 .

Supposons d’abord que y soit une solution de l’´equation (Ld), et consid´erons la fonction vectorielle Y(t) = (y(t), y⁰(t), . . . , y^(d−1)(t))∈K^d. Il est facile de voir que cette fonction Y v´erifie alors le syst`eme Y⁰ = AY.

En sens inverse, supposons que Y⁰(t) = AY(t), et ´ecrivons les coordonn´ees de Y(t) sous la forme

Y(t) = (y₀(t), . . . , y_d−1(t)).

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Le syst`eme d’´equations Y<sup>0</sup> = AY donne pour les d−1 premi`eres ´equations y⁰₀ = y1, y⁰₁ =y2,. . . , y_d−1⁰ =yd ce qui montre par r´ecurrence queyk =y^(k)₁ , pourk = 0, . . . , d−1.

Enfin la derni`ere ´equation du syst`eme

y_d⁰ =−a0y0− · · · −ad−1yd−1

se traduit en

y₁^(d)+a_d−1y^(d−1)+· · ·+a₁y₁⁰ +a₀y₁ = 0.

Retenons que

si Y⁰ = AY, la premi`ere coordonn´ee deY est solution du syst`eme (Ld).

Cons´equence. Pour tous scalaires s₀, . . . , s_d−1 donn´es dans K et pour tout t₀ ∈ I, il existe une unique solution de l’´equation (Ld), `a valeurs dans K telle que

y(t0) =s0, y⁰(t0) =s1, . . . , y^(d−1)(t0) =sd−1.

Le cas facile: P a ses racines simples, toutes dansK

Siλ1, . . . , λd sont racines simples de P, toutes dansK, on voit queK^d admet la base (v_j) form´ee de vecteurs propres de A

v_j = (1, λ_j, λ²_j, . . . , λ^d−1_j ), j = 1, . . . , d.

La correspondance entre syst`eme et ´equation (Ld) permet de voir dans ce cas que la solution g´en´erale de l’´equation (Ld) est de la forme

y:t ∈I→ Xd j=1

cj e^λjt o`u les coefficients (cj) varient dans K.

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