Test 05, Statistiques

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Test – Statistiques 9 Avril 2010

Exercice 1 (6 pts)

La répartition des salaires mensuels (en €) dans une entreprise est donné dans le tableau suivant :

a. Déterminer le salaire moyen M dans l’entreprise (arrondir si besoin à l’euro).

b. Déterminer la fréquence des salariés qui touchent entre 1400€ et 2000€ par mois (arrondir au dixième).

c. Quelle est la classe médiane de la série ?

d. Sachant que les 25 hommes de l’entreprise touchent en moyenne 1900€, quel est celui des femmes (arrondir si besoin à l’euro) ?

Lors d’une journée banale, afin d’améliorer la qualité de ses services, un guichet de la poste recueille les données suivantes :

1. Déterminer à la minute prés, la durée moyenne d’attente à un guichet.

2. Quel est le mode de la série ? son étendue ?

3. Déterminer la médiane Me et les quartiles Q1, Q3 de la série.

Avant une élection, organismes de sondage et journalistes sont friands de pourcentage et de statistiques. Au second tour d’une élection, deux candidats, Roberto et Simon restent en lice. On suppose qu’une personne qui va voter votera pour Roberto ou Simon (pas de vote blanc par exemple)..

L’organisme de sondage A observe que sur un échantillon de 100 personnes, 41.7% d’entre eux ont l’intention de voter pour Roberto (donc 58.3% pour Simon).

L’organisme de sondage B observe quant à lui que sur un échantillon de 1000 personnes, 46.2% d’entre eux ont l’intention de voter pour Roberto.

1. Déterminer l’intervalle de confiance associé à chaque échantillon.

2. Peut-on penser à l’issu de ces résultats que Roberto sera perdant. Un organisme contredit-il cette affirmation ?

3. Sachant que 250.000 personnes se déplaceront pour aller voter, estimer d’après les résultats de l’organisme B, une fourchette représentant le nombre de personnes qui iront voter pour Roberto (au seuil de confiance de 95%).

Dans un pays constitué de 3 états A, B et C le taux de fraude constatée sur internet (par rapport aux transactions effectuées) est de 60% dans la région A, de 45% dans la B et de 9% dans la C.

Les autorités décident d’engager 12 cyber-policiers tous les 2% de fraude constatée au niveau national.

Un journaliste analysant ces données annoncent alors que selon ses calculs, 228 cyber-policiers seront engagés pour lutter contre ces fraudes.

1a. A quel pourcentage de fraude correspondrait l’embauche de ces 228 cyber-policiers ? 1b. Expliquez à quoi correspondrait ce taux calculé par le journaliste, et commentez ce calcul.

2. On suppose désormais que dans la région A et dans la région B, 5000 transactions sont effectuées, alors que dans la C 40000 transactions sont effectuées.

Déterminer avec ces nouvelles données, le nombre de cyber-policiers qui devraient être engagés.

Lors des derniers résultats du baccalauréat, 86% des candidats ont obtenu le diplôme. Le ministre de l’éducation National décide alors de choisir un établissement représentatif de ce taux de réussite. Ses conseillers lui proposent alors deux lycées.

Le lycée 1 comporte 1500 élèves de Terminale dont 82 % ont eu leur bac.

Le lycée 2 comporte 150 élèves de Terminale dont 93 % ont eu leur bac.

Au seuil de 95%, quel établissement le ministre devrait-il choisir ?

[1000 ;1200[ [1200 ;1400[ [1400 ;1600[ [1600 ;1800[ [1800 ;2000[ [2000 ;2200[ [2200 ;2400[

7 7 11 13 14 6 2

Durée d’attente (en minutes) 4 8 13 15 18 21 25

Effectif 2 7 11 17 10 7 3

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Test – Statistiques 1h, Avril 2010 Exercice 1 - corrigé

La répartition des salaires mensuels (en €) dans une entreprise est donné dans le tableau suivant :

1. Le salaire moyen M dans l’entreprise est donné par : 7 1100 7 1300 ... 2 2300 60 1653

M = × + × + + × ≈

2. Il y a 38 salariés qui touchent entre 1400€ et 2000€ par mois donc la fréquence cherchée est de 38 60 0, 6

f = ≈ soit environ 60% des salariés de l’entreprise.

3. Il y a 60 salariés (cas N pair) : il faut donc faire la moyenne du 30^ème et du 31^ème salaire.

Ces deux salaires sont dans la classe [1600 ;1800[, c’est donc la classe médiane

4. Il y a 25 hommes donc 35 femmes dans l’entreprise : si m désigne leur salaire, la moyenne des salaires de l’entreprise sera de 25 1900 35

60

M = × + ×m. Or nous savons que M = 1653€ donc on obtient l’équation 25 1900 35

1653 1653 60 47500 35 1477

60

m m m

× + ×

= ⇔ × = + ⇔ ≈ .

Le salaire moyen des femmes est donc de 1477€ par mois.

Lors d’une journée banale, afin d’améliorer la qualité de ses services, un guichet de la poste recueille les données suivantes :

1. La durée moyenne d’attente est donnée par 2 4 7 8 .. 3 25 57 15.2

T= × + × + + × ≈ : la durée moyenne d’attente à un guichet est de 15 minutes environ.

2. Le mode de la série est 15 minutes (valeur dont l’effectif est le plus élevé).

L’étendue est de 21 minutes puisque 25 – 4 = 21.

3. > Il y a 57 valeurs (N impair) : la valeur centrale est donc la 57 1

2+ =29ème.

D’après le tableau des effectifs cumulés, la médiane est donc 15 minutes.

> Premier quartile : 57

14, 25

4 = soit la 15^ème valeur : le premier quartile est donc 13 minutes

> Troisième quartile : 57

3 42, 75

× 4 = soit la 43^ème valeur : le premier quartile est donc 18 minutes

1. L’intervalle de confiance associé à l’échantillon A est ^0.417 ¹ ^{; 0.417} ¹

[

0.317 ; 0.517

]

100 100

I  

= − + =

  .

L’intervalle de confiance associé à l’échantillon B est ^0.462 ¹ ^{; 0.462} ¹

[

0.43 ; 0.494

]

1000 1000

I  

= − + ≈

  .

2. Il semble que Roberto soit mal parti puisqu’il obtient moins de 50% des voix dans les deux échantillons. Cependant, l’intervalle des fluctuation relatif à l’échantillon A contient 0.5 = 50%, ce qui contredirait la défaite attendue de Roberto.

3. 0.43 250000× ≈107 500 et 0.49 250000× ≈122 500

Au seuil de confiance de 95%, entre 107500 et 122500 personnes iront voter pour Roberto.

[1000 ;1200[ [1200 ;1400[ [1400 ;1600[ [1600 ;1800[ [1800 ;2000[ [2000 ;2200[ [2200 ;2400[

7 7 11 13 14 6 2

Salaire [1000 ;1200[ [1200 ;1400[ [1400 ;1600[ [1600 ;1800[ [1800 ;2000[ [2000 ;2200[ [2200 ;2400[

Eff.Cumulé 7 14 25 38 52 58 60

Durée d’attente (en minutes) 4 8 13 15 18 21 25

Effectif 2 7 11 17 10 7 3

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Exercice (3 pts)

1a. Faisons un produit en croix : 228 2%

12 0,38

x= × = donc l’embauche de 228 cyber policiers correspond à un taux de fraude national de 38%

1b. En fait, le journaliste semble ne pas avoir tenu compte des effectifs de chaque région puisque 60% 45% 9%

3 38%

+ + = .

Son calcul n’a donc pas de sens (voir question suivante).

2.

> Aves les données des effectifs, on peut calculer le taux de fraude national : 5000 0, 6 5000 0, 45 40000 0, 09

0,177 5000 5000 40000

× + × + × =

+ + soit environ 17,7% de fraude.

> Un produit en croix montre alors que cela correspondrait à l’embauche de 107 cyber-policiers environ.

Ici la proportion p = 0,86 de la population est connu, on va donc déterminer des intervalles de fluctuation :

> pour le Lycée 1 : ^0,86 ¹ ^{; 0,86} ¹

[

0,83 ; 0,89

]

1500 1500

I  

= − + ≈

  : 0,82 n’est pas dans cet intervalle donc au seuil de confiance de 95%, ce lycée n’est pas représentatif de la population.

> pour le Lycée 2 : ^0,86 ¹ ^{; 0,86} ¹

[

0, 778 ; 0,942

]

150 150

I  

= − + ≈

  : 0,93 est dans cet intervalle.

Le ministre devrait raisonnablement choisir le second établissement.