Influence d'un fluide annulaire sur les vitesses critiques d'un arbre en rotation

Influence d'un fluide annulaire sur les vitesses critiques d'un arbre en rotation

Effect of the surrounding fluid on critical speeds of a rotating shaft

Joël Guidez

DRNR/STRS - CEN/Cadarache

Christian Girard

DRE/STRE - CEN/Cadarache

Paul Jarriand

Société Neyrpic - Grenoble

Notations utilisées

ljJ; fonction d'onde

C : vitesse du son dans le fluide

L : longueur de l'arbre (ou entraxe entre les 2 paliers)

r,8,^{Z :}coordonnées cylindriques w : vitesse de rotation Ri : rayon extérieur de l'arbre Re ; rayon intérieur de la virole P; Pression

M: masse

Po ; masse volumique du fluide

AI;

masse ajoutée K; raideur

Ms: masse de Stockes

k ; paramètre de confmement [air: fréquence propre en air

[fluide:fréquence propre en fluide

Introduction

Les pompes primaires des réacteurs rapides (fig. 1) ont un arbre vertical de longueur importante guidé par 2 paliers

- un palier supérieur à roulements

- un palier hydrostatique inférieur en sodium.

Cet arbre est entouré d'une virole servant à la fois:

- de guide d'obturateur

Dt:::Ee).ttm~PALlER SUPERIEUR

NIVEAU SODIUM

VIROLE DE POMPE

I J . . . - - -ANNEAU flUIDE

• AXE PALIER HYDROSTATIQUE

Figure 1 - Exemple de type de pompe primaire pourun réacteur rapide.

- de limiteur du vortex induit dans le fluide par la rota- tion de l'arbre.

Le fluide compris entre cette virole et l'arbre a deux effets sur les vitesses critiques de l'arbre:

1) un effet de masse ajoutée qui tend à les diminuer

LA HOUILLE BLANCHE/N" 1/2-1980

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1980009

2) un effet d'amortissement lors du passage de ces vitesses.

Le but de cet exposé est d'étudier et de quantifier ces phénomènes physiques de manièreàpouvoir :

- dimensionner un arbre sous-critique en tenant compte de l'effet de masse ajoutée

- envisager la réalisation d'arbre hypercritique utilisant ces phénomènes.

Cette analyse est effectuée, d'abord de manière théo- rique, puis grâce aux résultats d'essais effectués sur un arbre de 1 m chez Neyrpic en 1978.

Etude théoriqueduproblème

Si l'on suppose que les oscillations d'un arbre immer- gé sont petites, les mouvements du fluide peuvent être décrits par l'équation d'onde qui, en coordonnées cylin- driques, s'écrit:

[Ref. 2]

C:vitesse du son dans le fluide tP :fonction d'onde

Dans le cas où l'on néglige l'écoulement axial, la solu- tion est du type:

1 Hr,

e,

^t)

=

l{)(r) cos.

e .

e^iwt r

(:~ ⁼ 0)

En reportant dans (1) on obtient:

a

2

l{)+.!-al{)+[w² 1]l{)=0

ar

² r

ar

C² - ~

Equation dont la solution est donnée par les fonc- tions de Bessel:

Les constantes A et B seront alors déterminées par les conditions aux limites

a) sur la paroi du cylindre intérieur(Ri)

-Cr

al{) ar

= R.)¹ = iwx⁰

(xo

=

amplitude de la vibration)

b) sur la paroi du cylindre extérieur(Re) -

al{)

(r

=

^Re)

=

0 (cas sans couplage)

ar

Connaissant la fonction d'onde tP nous savons que:

P(r, e,t)

= -

P_{o -}atP

at

(p :pression dans le fluide)

D'où par intégration pour r

=

Ri nous obtenons la force à laquelle est soumis le cylindre intérieur :

F

= - f.

^{P atPdS}

s ⁰

at

Dans notre cas (basses fréquences) nous avons

wR_i wR_e

- e t

- « 1

C C

On peut alors écrire :

_ 2

R; ⁺ R;

²

F - rrLpoR i ^{2 2 W X}o Re - Ri

L'équation du mouvement du cylindre intérieur est de la forme :

-Mx" +Kx=F

n

vient alors avecx

=

^X_oe^iwt

[

2

R; ⁺ R;]

^{2 _}

- M

+

_{rrLpoR i} 2 2 W Xo

+

Kx_{o -} 0 Re - Ri

On voit donc que dans le cas d'un fluide confmé entre 2 cylindres (sans appuis et sans couplage), la présence du fluide fait intervenir une masse supplé- mentaire appelée masse ajoutée de la forme:

R 2 +R2

, 2 e i

M

=

_{rrLpoR i ·} 2 2

Re - Ri

cas

de l'arbre sur2appuis On n'a plus alors

dtP/d

_z

=

O.

On écrit alors en supposant une variation sinusoi- dale de la fonction d'onde

(

nrr ) .

tP(r,

e,

z, t)

=

l{)(r) - sin I:z .cos

e

e^,wt

Il vient alors tout calcul fait une masse ajoutée de la forme:

rrR i rrRe (cas où - , -

«

¹⁾

L L

En conclusion il apparait que le mode propre du système est modifié et nous avons pour le mode n.

t:z = lM

_n

K: M

_n

,

Kn :raideur généralisée

Mn :masse généralisée pour le modenen air

~ : masse ajoutée projetée sur le mode nen présence de fluide.

Posons:

Figure 3 - Exemple de mesure.

Vitesse critique de flexion

Hz

130 11;0

VITESSE CRITIQUE 7660 tlmn

7200 7800 8WO

VITESSE ROTATION t1mn 6600

6000 PETITE VIROLE EAU

NIVEAU D'EAU AU REPOS=SAD mm

EFFORT PALIER SUPERI EUR (Kg CRETE)

22S 300

Pour tous ces cas on a effectué des passages de la première vitesse critique en mesurant l'évolution des efforts au niveau des roulements (fig. 3) en fonction de la vitesse.

Une campagne de mesure équivalente a été effectuée arbre au repos avec un pot vibrant.

Toutes les mesures ont été gardées sur bande magné- tique pour dépouillement ultérieur (fig. 6).

MS est alors la masse de Stockes, c'est-à·dire la masse ajoutée à prendre en compte pour un cylindre infmi- ment long dans un fluide sans confmement :

R² +R~

Posonsk

=

~ ~ Re - Ri

k est alors le paramètre faisant intervenir le confme- ment du fluide.

La masse ajoutée aura alors comme expression : M~

=

_a.k.Ms

a étant alors un coefficient tenant compte des phéno- mènes perturbateurs (appuis, rotation, etc.).

On aura donc :

r - - - r = = = = - - ,

wn

j

^akMs

- , =

1

+---

w_n Mn

Présentation des essais

~ . c

s.IO'ltJ!_ .H71r

C'estàraide de cette formule simple que nous allons interpréter les essais effectués et en particulier analyser l'influence des phénomènes perturbateurs sur le termea.

Les essais étaient effectués sur un arbre de longueur 1 m, de diamètre 70 mm monté sur roulements (fig. 2).

Les essais se sont déroulés dans un esprit d'étude paramétrique, soit:

- avec différentes montées en vitesse

- avec 3 viroles de confmement (</> 80,</> 125,</> 210) avec 2 viroles de </> 80 de raideur différente (phéno- mène de couplage)

avec des fluides de densité et de viscosité différente - en faisant varier le niveau libre du fluide dans

l'entrefer.

..;wr...~....~.:1...P~l;:!C.

~lt.::._... -~l

-+.-i---"d.r~

-1I-+I*r_ _

...E~;"=J---"..B~

_~d:=.f..r~ - -+I!-I-IH ----"i=l~Lu=<_di""~

.Lai..-~_~

HII+-1l·H--.-C.<='----"-'-,~-'-'­

t ... c-=-"la

Analyse des résultats et comparaison avec la théorie

Rappel

Tous les essais seront interprétés par la formule,

fair /

_akMs

- - = vi + ---""-

ffluide M

On s'efforcera de voir l'influence des termes pertu- bateurs,

- appuis,

- rotation du fluide, - dénoyage par le vortex

etc...

sur la valeur dea.

1

Figure 2 - Installation d'essai Neyrpic.

Influence de la masse volumique

La masse ajoutée devrait être proportionnelle à la masse volumique du fluidePo'

On aurait donc,

K'

=

1,394.10-³ k'

=

1,396 10-³

Figure 4 - Graphe récapitulatif des principaux points de mesure.

VIROLE 70mm ARBRE AlI REPOS VIROLE 27,5mm ARBRE AU REPOS

- _ VIROlESmm

ARBRE AU REPOS VIROLE 5mm (ARBRE EN ROTATION

-0__ __

--L VlROLES 10/27,5/5

- - - - _~~B~:;'0_R':.TIO~

100 200 300 '00 500 600 700 800

HAUTEUR (mml 0,1

0,' 0,8 0,7

Les mesures ont été effectuées arbre au repos par pot vibrant.

N.B. : On sait en effet qu'à certaines approximations près (effet gyroscopique négligé) on peut assimiler la valeur de la 1ere vitesse critique à une fréquence propre de flexion.

Les résultats expérimentaux le prouvent.

Exemple: Essais en rotation avec petite virole,

1

Vitesse critique dans l'air : 8000 tr/mn Vitesse critique en eau : 5170 tr/mn Vitesse critique en huile (p

=

1,45) : 4600 tr/mn On trouve,

1

pour l'eau pour 1'huile

Influence delamontée en vitesse

L'essai a été effectué avec la petite virole entrefer 5 mm avec niveau840 mm constant.

Application:

La masse ajoutée en sodium sera 0,85 fois plus faible qu'en eau.

Montée en Vitesse de Apparition Amplitude vitesse balayage de la vitesse Effortpal ier

!tr/mn/sec) critique (kg crêtel 4000à5500 tr/mn 7,5 5170 tr/mn 37

o

à7 540 tr/mn 37,5 5170 tr/mn 37

oà7 540 tr/mn 75,4 5170 tr/mn 37

o

à7 540 tr/mn 150,8 5270 tr/mn 37

o

^{à7540 tr/mn 377 5312tr/mn 37}

Vérification delaformule (2)

Le calcul de CiMS/Mpour les différents cas donne

Niveau Petite virole Virole moyenne Grande virole

840 0,634 0,622 0,605

650 0,485 0,444 0,44

500 0,3 0,274 0,276

350 0,129 0,168 0,095

On retrouve de manière qualitative un retard à l'appa- rition de la 1^ere vitesse critique pour les plus fortes montées en vitesse.

Nos vitesses de balayage n'étaient cependant pas suf- fisantes pour enregistrer un retard plus important de cette apparition, lié à une diminution de l'amplitude des efforts.

Aspect qualitatifdu phénomène

On retrouve bien à chaque niveau CiMs/Mconstant.

On a donc bien Ci indépendant du confinement. La constante k représente donc bien l'influence du confi- nement sur la masse ajoutée.

En fait Cireprésente la modification du mode lorsque la barre vibre en mode 1 en présence de fluide.

SiXl représente le mode 1 de la barre dans l'air, et si YI représente le mode 1 de la barre dans le fluide, le rapportCireprésente,

/ vitesse de balayage lente

r, /

vitesse de balayage moyenne 1

1

1 .... , ~ vitesse de balayage rapide

, , '\ (pas effectué)

;., _,

^\

"\

" ' ... ...

Ce phénomène est utilisé industriellement pour cer- tains rotors hypercritiques. Nous n'avons cependant pas poursuivi dans cette voie, les vitesses de montée corres- pondantes n'étant pas compatibles avec celles exigées au niveau d'un réacteur rapide.

1

_oL ^{xi dx}

Ce rapport n'est pas modifié par le confmement mais par la hauteur (1) de fluide car,

d'une part l'intégration se fait de 0à 1 (et nonàL) d'autre part le mode YI est fonction de la hauteur d'eau.

Enfm on peut noter que toutes ces valeurs de fré·

quences propres mesurées lors des essais ont été re·

trouvées à l'aide du code de calcul Tedel Fluide avec une marge d'erreur faible.

Influence du niveau libre

On a reporté sur la figure 4 les rapportsffluide/fair

dans le cas des 3 viroles pour différents niveaux libres.

Influence delavitesse de rotation

Nous supposons dans ce chapitre que le niveau de fluide reste au niveau maxi. Le fluide est alors entrainé en rotation par l'arbre.

HAUTEUR (mm!

0,11

'l"

0 . ' 1 - - - - -

q"

CAS CE LA VIROLESmm ARBREENROTATION

..''----,'::-00---::''::-0---::~--7.:;;----::~--7.:;;---:'::;---~

Op' o,oa O.'

Figure 5 - Evolution du coefficient d'amortissement avec leni- veau libre.

Pour de faibles épaisseurs de fluide, on peut montrer sous certaines hypothèses [Réf. 1] que la masse ajoutée due au fluide est alors divisée par un facteur 4.

Pour les épaisseurs importantes le régime est totale- ment turbulent et l'approche théorique du phénomène difficile.

On a reporté sur la figure 4 les 3 points de mesure correspondant aux 3 viroles pour un niveau 840, arbre en rotation.

I.ecalcul donne alors dans les 3 cas,

ci =

(X/4 (petite virole)

(x'

=

(X/3 (virole moyenne)

(x'

=

^(X/4,7 (grande virole)

On propose donc de garder en 1ère approximation le rapport de réduction de la masse ajoutée de 1/4 tout en sachant que cette valeur n'est plus rigoureuse pour les épaisseurs de fluide importantes (régime de Taylor ou Régime turbulent).

Influence du vortex

Pour les moyennes et grandes viroles, les essais avec niveau libre conduisaient en rotation àun dénoyage de l'arbre avant d'atteindre la première vitesse critique.

On a donc reporté sur la figure 4 les points corres- pondant uniquement à l'essai en rotation avec petite virole.

I.e niveau libre correspondant indiqué est le niveau àl'arrêt.

Un essai a été effectué avec 2 petites viroles de rai- deur différentes, qui a permis de retrouver les valeurs obtenues théoriquement. L'abaissement de fréquence dû au couplage restait par ailleurs dans notre cas relative- ment faible.

ESSAI N. 24

On a reporté sur la figure 5 les valeurs d'amortis- sement obtenues lors de l'essai en rotation avec petite virole.

Il apparait que ces valeurs augmentent notablement avec le niveau.

De plus alors que ces valeurs sont très faibles ou négli- geables pour un arbre au repos, elles semblent devenir importantes pour un fluide en rotation, lorsque celui-ci est d'épaisseur relativement faible.

L'étude du phénomène n'a pas été poussée plus loin dans ces essais, et a été reportée aux essais 2^eme phase (voir conclusion).

Amortissement

-I---l/J ...e - - - niveauàl'arrêt

r--++---- niveau bas du vortex

~

1 1

1 1

1

~

0$1KG

On voit que la courbe obtenue ne passe pas par le point correspondant au niveau 840 sans vortex.

Des calculs approximatifs montrent alors que le ni- veau bas du vortex doit se trouver à8000 tr aux envi- rons de 300 mm, pour un niveauàl'arrêt de 840 mm.

Cette valeur correspondant à peu près à la valeur obtenue pour 300 mm, arbre au repos, avec coefficient de réduction de 1/4àla rotation, ou en conclura en 1ere approximation que lorsque l'arbre est en rotation seule la partie du fluide sous le niveau bas du vortex intervient dans l'expression de la masse ajoutée.

2'10.

Couplage de la virole extérieure

Pour des viroles de petit diamètreily a risque de cou- plage de la virole extérieure avec l'arbre par l'intermé- diaire du fluide.

1

"'. t^6600.

--;::!!;;;;_--~,;;;;_--~!;;;;_--"""":;;!!;;;;__,~,,=::"'~,,~'''~"'~Hll

^{6100. li600. 6000. 1000.}

Figure 6 - Exemple de dépouillement d'une réponse du capteur supérieur.

Application

Calcul d'un arbre sous critique

Des observations ci-dessus, se dégage une méthode de calcul permettent d'apprécier l'influence du fluide con- finé sur l'abaissement de la 1ere vitesse critique.

1) Calcul de la 1ere vitesse critique sans tenir compte du phénomène.

2) Estimation du niveau bas du vortex pour cette vitesse dans la géométrie donnée.

3) Calcul pour ce niveau de fluide, de la masse ajoutée correspondante (ou de la nouvelle vitesse cri- tique par Tedel Fluide) avec fluide au repos.

4) Application du terme correcteur de 1/4 sur la masse ajoutée obtenue pour tenir compte de l'effet de rotation.

5) Vérification des problèmes de couplage avec les structures fixes.

En tout état de cause pour un arbre verticalàniveau libre, l'effet

- du terme réducteur de 1/4, - du dénoyage dû au vortex

conduit souvent à ramener l'effet de masse ajoutée du fluideàdes valeurs inférieuresà10%

Arbre hypercritique

L'augmentation importante du coefficient d'amortis- sement lorsque l'arbre est en rotation nous permettait lors des essais, non seulement de passer la vitesse criti- que, mais même de rester de manière stationnaire sur cette première vitesse critique pour des niveaux libres de fluide suffisamment importants dans la petite virole.

Cet effet semble donc encourageant pour poursuivre l'étude ultérieure d'un arbre hypercritique utilisant ce phénomène.

Conclusion

L'essai effectué a permis de retrouver certaines données théoriques.

L'interprétation, qui en est faite, permet -sous cer- taines approximations - de posséder une méthode de calcul de l'abaissement de vitesse critique induit par le phénomène.

De nombreuses inconnues restent cependant encoreà lever.

Citons par exemple:

- justification de l'influence du fluide en rotation, estimation plus précise du vortex et de son influence, - évolution des facteurs d'amortissement.

Dans cet esprit un essai 2^ème phase a donc été lancé au CEN/Cadarache.

Cet essai, effectué dans le même esprit avec un arbre de 5 m, reproduisant un arbre de réacteur quant aux appuis, devrait permettre:

de valider la méthode de calcul

de conduire la solution arbre vertical hypercritiqueà un stade pré-industriel.

Références

[1] FRITZ R.J. - The effect ofliquid on the dynamic notions of immersed solids,Journal of engineering for industry, Février 72.

[2] LANDAU-LIFSHITZ. - Fluid mechanics. Pergamon Press.

Discussion

Président: M. P. BERGERON

M. le Président. - Quelqu'un souhaite-t-il intervenir sur cette communication?

M. MILAN. - Comment s'explique physiquement la division par 4 de la masse ajoutée lorsque le fluide est en rotation.

M. GUIDEZ. - Lacomparaison qualitative entre la fréquence propre de flexion d'un arbre entouré de fluide immobile et le passage d'une vitesse critique au fluide en rotation n'est pas simple. Ce travail a été effectué dans l'article de M. FRIT Z cité en référence dans la communication.

M. GILMER. - L'application de ces formules comporte un piège lorsqu'on approche du rapport 1 entre les deux diamètres.

Lorsque l'entrefer est très faible, la vitesse critique réelle peut être de 30%supérieure àla vitesse critique calculée. Pour une pompe multicellulaire,ila suffi de rainurer circonférentiellement le tambour d'équilibrage pour annuler cet effet. Ordre de gran- deur du diamètre du tambour: 300 mm - jeu: 0,3 mm.

M. GUIDEZ. - Les formules données ne sont valables que pour des entrefers où il n'y a pas d'effet hydrodynamique de portance.

On peut également rappeler pour les petits entrefers les pro- blèmes de couplage avec la virole.

, M. GIRARD. - Avec des jeux de cet ordre, on crée alors un 3emepalier, d'où remontée logique de la vitesse critique.

M. GUIDEZ. - Le but de la formulation proposée est, pour les fabricants ayant des pompes verticales avec niveau libre, de retrouver l'effet de masse ajoutée du fluide entre arbre et virole avec en trefer assez important.

M. CAILLOT. - Dans ce type de pompe, n'y a-t-il pas une influence de la structure porteuse extérieure sur les vibrations propres de l'arbre?

M. GUIDEZ. - Pour la pompe, l'influence de la structure extérieure est très nette. Il faut tenir compte de cette influence pour étudier correctement le problème.

M. HUFFENUS. - Je voudrais revenir sur cette question de surface libre qui a été traitée de façon raisonnable mais cepen- dant très imparfaite puisque le modèle réduit hydroélastique ne permet pas de respecter le nombre de Froude et introduit ainsi une distorsion considérable de la surface libre représentée sur le modèle. (Ainsi la dénivellée occasionnée par la rotation de l'arbre est pratiquement de l'ordre de grandeur de la hauteur du modèle).

Il est bien sûr raisonnable de penser que seule la partie du fluide en contact direct avec l'arbre participeàl'effet de masse ajoutée et d'amortissement, si bien que l'on peut, peut-être, se passer d'une représentationàl'échelle de la surface libre. Encore faut-il que cette surface libre soit parfaitement stable en sorte que la cote du contact fluide-arbre ne varie pas. Qu'en est-il réellement?

M. GUIDEZ. - En effet, pour des vitesses de rotation impor- tantes il y a formation "d'émulsion" en partie haute peu assi- milableàune surface libre. Une étude hydraulique complète des problèmes de stabilité de Vortex entre arbre en rotation et virole resteàfaire.

On peut ajouter que l'essai ultérieur prévu sur arbre de 5 m permettra une meilleure visualisation du phénomène.

M. Le Président. - Je remercie M. GUIDEZ de son exposé.