ÉTUDE SUR LES BARRRGES EN MAÇONNERIE ET MURS DE RÉSERVOIRS

1 10 L A H O U I L L E B L A N C H E

É T U D E S U R L E S

B f l R R R G E S E f l ] W A Ç 0 f l f l E K l E

o t ]VEu.r*s <ïo R é s e r v o i r s

Pour rendre aptes, aux multiples usages auxquels elles s'appliquent, les eaux qui coulent à la surface du soi, r h o m m e est obligé de contenir cet élément fluide entre des parois résistantes et étanches. Ces parois peuvent s'appeler cloisons, m u r s , digues ou barrages, etc. ; leur forme, leur nature et leurs dimensions varient avec la diversité des cas qu'on se propose de réaliser: récipients quelconques, réser- voirs, canaux d'irrigations ou de navigation, canaux d'amenée d'usines hydrauliques, etc., mais le principe général qui les régit est le m ê m e pour tous : ils doivent, par leur construction, être capables de résister à Is. poussée de l'eau.

L'étude de pareils ouvrages peut être considérée c o m m e un cas particulier de celle des m u r s de soutènement et elle rentre dans le cadre général de l'étude de la stabilité des constructions. Toutefois, il y a lieu de prendre certaines précautions particulières, d'une part pour assurer Tétan- chéité, et d'autre part pour éviter les infiltrations qui, à la longue, pourraient amener la ruine de ces ouvrages.

L a rupture de certains barrages ayant a m e n é des catas- trophes retentissantes,pn ne saurait apporter trop de soin à l'étude d'un m u r de réservoir de grande capacité, cependant, ces catastrophes ne sauraient jeter u n discrédit sur les grands barrages, car elles paraissent n'avoir été causées que par la non observation des règles principales formu- lées en la matière.

Utilité des barrages, — Le but primordial de tout barrage est de créer une retenue d'eau. Cette retenue peut être variable ; alors on cherche surtout à emmagasiner de reau au m o m e n t où elle est surabondante, pour la restituer à d'autres instants où elle fait défaut. O u bien, au con- traire, cette retenue peut être fixe, et alors on crée une chute d'eau.

Le premier cas est de beaucoup le plus général. Il s'appli- que aussi bien aux réservoirs des canaux de navigation o u d'irrigations qu'à ceux d'alimentation des villes ou des usines hydrauliques. Il peut lui-même se subdiviser en deux autres cas plus particuliers.

U n réservoir, naturel ou artificiel, peut en effet servir, soit à régulariser le débit d'une rivière pendant le cours d'une année, soit à améliorer le service d'alimentation d'une ville ou le rendement d'une chute d'eau dans l'intervalle d'une journée.

Le débit d'une rivière varie généralement, dans d'assez grandes proportions, d'une époque de l'année à l'autre, mais il peut être considéré c o m m e pratiquement constant pendant les vingt-quatre heures d'une m ê m e journée. Or, à de très rares exceptions près, les besoins d'une ville, ou d'une usine hydraulique, varient avec les m o m e n t s de la journée; presque nuls pendant certaines heures de la nuit, ils peuvent atteindre des valeurs considérables pendant le jour. Si donc Ton n'a pas de réservoir régulateur, il faudra que le m a x i m u m du besoin d'eau soit au plus égal au débit de la rivière qui sera, de la sorte, très m a l utilisé. Si, au contraire, l'on dispose d'un réservoir compensateur, on emmagasinera l'eau surabondante pendant la nuit, pour 1 utiliser pendant le jour, sous forme d'appoint, aux m o m e n t s de forte consommation.

Dans le cas d'une usine hydraulique ne desservant qu'une distribution d'éclairage électrique, remploi d'un réservoir est tout particulièrement indiqué, car il permet de disposer, pendant quelques heures seulement, d'une puis- sance bien supérieure à celle de la chute.

D a n s ce premier emploi, le réservoir a donc transformé le débit journalier constant d'un cours d'eau en un débit variable à volonté. Mais il peut également jouer le rôle inverse, c'est-à-dire transformer u n débit variable en u n débit utilisable constant.

N o u s avons dit en effet que le débit d'une rivière était variable suivant les époques de Tannée. Or, si les besoins d'une ville ou d'une usine, oscillent entre d'assez larges limites avec les heures d'une m ê m e journée, ils varient assez peu, d'une façon générale, dans l'intervalle d'une année. Alors, le besoin m a x i m u m d'eau doit être au plus égal au débit m i n i m u m de la rivière s'il n'y a pas de réser- voir régulateur.

Ici, le problème est différent suivant qu'il s'agit d'une usine ou d'une ville. D a n s le premier cas, l'usine peut, soit créer u n réservoir compensateur, soit augmenter la hauteur de sa chute si la nature des lieux le permet, soit installer des machines à vapeur de secours, ou bien créer une succursale en u n autre endroit, voir m ê m e s'y transporter tout entière. E n général, des considérations financières ou économiques dicteront son choix.

Mais il ne peut en être de m ê m e pour une ville qui s'accroît, et lorsque le besoin m a x i m u m d'eau aura atteint le m i n i m u m de débit d u cours d'eau qui l'alimente, -il lui faudra impérieusement trouver u n m o y e n d'accroître ce débit. Et, si elle ne peut disposer de l'eau d'une antre rivière, il lui faudra créer un réservoir afin d'emmagasiner l'eau pendant les m o m e n t s d'abondance pour s'en servir pendant les périodes de disette.

Si la période d'étiage est faible, il suffira d'un réservoir de faible capacité pour obtenir toute Tannée u n débit se rapprochant sensiblement du débit m o y e n .

Lorsque le niveau de la retenue est fixe, le barrage serf à créer une chute d'eau, ou tout au m o i n s à l'amorcer.

O n a quelques fois proposé de construire un barrage à grande hauteur dans le seul but de relever le niveau*

l'eau et de créer ainsi la chute. A de rares exceptions prés, cette solution n'est pas à employer, car, en général,, il ser*

plus économique de construire u n canal de dérivation que d'élever un barrage qui coûtera fort cher par lui-même**

inondera u n e surface considérable de terrains qu'il faute par suite acquérir.

Mais, le plus souvent, u n pareil système de barrage sert à dériver, dans u n canal d'amenée d'usine hydraulique,!^

o u partie de l'eau d'une rivière. A cet effet, o n construit»

barrage de faible retenue, submersible pendant les haute eaux, et simplement destiné à dévier la direction de Fea*

et à diriger celle-ci vers les orifices de prise d'eau-W m o m e n t des basses eaux, tout le débit de la rivière p a s s a dans le canal de dérivation.

Les grands barrages peuvent encore jouer u n rôle bien- faisant contre les effets dévastateurs des crues en abso*:

bant celles-ci. E n effet, si elles arrivent à la suite ci &

orage, pendant la saison sèche, elles s'emmagaste*

d'elles-mêmes. Si Ton a eu soin de maintenir le nitefl*

m a x i m u m normal de la retenue à une certaine hauteur ^ dessous du couronnement, on dispose d'une vaste capa0^ à la disposition des crues. Le grand barrage du F u ^

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1905028

dont la retenue alimente Saint-Etienne, a été calculé de manière à réaliser ce desideratum. Son auteur, l'ingénieur en chef des Ponts et Chaussées Graëff, avait prévu une tranche d'eau supplémentaire de 5m 5 0 correspondant à l'absorption d'une crue de 400 000 mètres cubes, c'est-à- dire au double de ce qu'il aurait fallu pour emmagasiner la trombe de 1849 qui inonda Saint-Etienne. Le m a x i m u m de la hauteur normale de la retenue avait été prévu de 44-50 (*)•

Sans s'astreindre à une m a r g e pareille, on peut tout au moins disposer les choses de manière à absorber une notable fraction des crues estimées parmi les plus fortes qu'on ait pu relever depuis u n certain n o m b r e d'années, de

Malheureusement, toutes ces matières abandonnées par Peau s'accumulent sur le fond, qu'elles exhaussent peu à peu, et diminuent de plus en plus la capacité du réservoir.

Nous verrons dans u n chapitre spécial de quelle manière on peut y remédier.

L a photographie ci-jointe représente une vue, prise de l'aval, du barrage d'Avignonnet sur le Drac, pendant sa construction. Ce barrage qui a 20 mètres de hauteur sert à la fois à créer une partie de la chute et à constituer un réservoir régulateur. E n effet, la prise d'eau se trouve à 15 mètres au-dessus d u fond du Drac. Le barrage crée donc par lui-même une chute de 15 mètres, le surplus sert à créer u n réservoir compensateur. L a grande vanne que

V U E DU B A R R A G E D AVIGNONNET PENDANT SA CONSTRUCTION

manière à atténuer, dan$ une certaine mesure, leur action dévastatrice.

% Dans les installations d'usines hydrauliques on s attache a obtenir une décantation aussi parfaite que possible, sur- tout pour les hautes chutes, car les sables, entraînés par

l e a« jusque dans les turbines, ont d'abord fait de ronger

aubages et distributeurs. O n s'impose parfois des dépenses coûteuses pour réaliser une décantation toujours impar-

ité et, à ce point de vue, les barrages à grande capacité constituent d'immenses chambres de décantation où la vitesse de l'eau est pratiquement nulle. Il en résulte que l'eau J abandonne toutes les matières solides qu'elle tient

n s u sPension et on réalise ainsi une décantation parfaite.

OG^r^Barragç du Fure7is, ANNALES DES PONTS-CT-CHAUSSÉOS, 1866.

Ton voit à droite de la figure sert à la fois à évacuer les crues et à chasser les graviers. Cq.barrage a été construit par la Société Grenobloise de Force et Lumière pour son usine d'Avignonnet, près de L a m u r e (Isère). Sa hauteur totale, depuis les fondations jusqu'au couronnement, e&t de 27 mètres.

C A L C U L S É L É M E N T A I R E S D E STABILITÉ

Calcul de la poussée, — O n désigne généralement sous le n o m àe poussée l'effort horizontal qui tend à entraî- ner u n m u r , ou une paroi quelconque, sous l'action de l'eau qui agit sur Tune de ses faces.

O n sait que lorsque la hauteur de l'eau est inférieure, ou au plus égale à la hauteur du m u r , la valeur de la poussée F, exprimée en tonnes par mètre carré de sur-

118 L A H O U I L L E B L A N C H E

face du m u r , est représentée par l'expression : F~ 0,5 î/2, dans laquelle y représente la hauteur de l'eau exprimée en mètres. Le point d'application de cette poussée est au tiers de la hauteur de l'eau, comptée à partir de la base.

Lorsque la hauteur de Feau est supérieure à celle d u mur, l'expression précédente n'est plus exacte et elle doit être remplacée par une autre plus générale.

Considérons la section transversale d*un m u r ayant à supporter une charge d'eau de h mètres au-dessus de son couronnement (voir figure 1), et découpons, dans la lon- gueur du mur,une tranche verticale de 1 mètre de largeur;

soit A B la projection verticale d u parement a m o n t d'une de ces tranches.

L a pression de Peau, exprimée en tonnes par mètre carré, en u n point quelconque M de ce parement A B , est égale à la hauteur de Feau en ce point et elle est normale à l'élé- m e n t de surface qui passe par ce point. Si nous désignons par y la distance du point M au plan horizontal passant par l'arête supérieure A du m u r , et par d.s la longueur infini- ment petite d'un élément de surface D C , la pression ?, nor- male à cet élément, aura pour valeur :

o r = [y 4 - h) ds

Cette force f peut se décomposer en deux autres, Tune horizontale l'autre verticale p, et si Ton désigne par p l'angle d'inclinaison de Félément C D sur la verticale, ces forces feip ont respectivement pour valeur :

f = ? cos jS = {y + h) dy p = <p sin P = (y + h) doc

1° L a poussée F, c'est-à-dire l'effort horizontal par mètre courant d u à Faction de Feau agissant sur le m u r ABB'\ de hauteur H^% est la résultante de toutes les forces élémen- taires f\ elle a par suite pour valeur :

F^j (y + h)dy = Y +

^{H h}

<*)

Pour trouver le point F"¹ d'application de cette force écrivons que le m o m e n t de la résultante de Fensemble des forces fest égal à la résultante des m o m e n t s de ces forces par rapport à u n point quelconque, par rapport au point B par exemple, c'est-à-dire que :

F Z = f *

(y

+ h ) { H - y )

éy = ~ + ~

Z étant la distance de la force F au joint horizontal BB''.

En tirant la valeur de Z de la relation précédente et en la portant dans (1) il vient :

Lorsque le niveau de Feau affleure la crête du mur, h = 0, et Fon retrouve les formules bien connues :

* = - y ^{Z =} f (3)

Si la hauteur JET de Feau devient inférieure à celle du m u r , n reste nul dans les équations (1) et (2), mais alors il faut intégrer depuis la hauteur d'eau y = 0 jusqu'à y ~ H"

seulement, de sorte que Fon retrouve encore les formules:

W- ^ 7 &

Si Fon pose Z = on voit que le coefficient ^ est 1

SA < g lorsque la hauteur de Feau R est inférieure à la hau-

4 \ teur H d u mur» qu'il est \i =r g pour if — if, et p > ^ p^{0 u r}

i T > Lorsque h devient très grand par rapport à Jjy ja

1 valeur de \i tend vers la valeur \h = g .

D a n s le calcul d'un déversoir on emploiera les formules (1) e t ( 2 >

! J

[P\ ? \ ^ v

ulft] \

' / I ' \

/ ^T7 I ^XX \

2° L a composante verticale p tend, dans une certaine nesure, à contrebalancer Feffet nuisible de Feffort de ren- versement f, car elle tend à maintenir le m u r sur sa base,

^ette force verticale p n'est pas autre chose que le poids de .a tranche d'eau infiniment petite D'DCC* qui a précisémenî pour valeur (y + h) dx, de sorte que Feffort vertical total»

jue nous désignerons par i:, est égal à la s o m m e des poids ies tranches élémentaires D'DCC^ c'est-à-dire au poids de

'eau contenue dans le volume B'BAA'. Lepoint P' d'applica- ion de la force % se trouve évidemment sur la verticale do centre de gravité G{ d u volume B ' B A A \

E n résumé, Faction de Feau sur le parement amont peut

3tre

représentée par deux forces : l'une horizontale ippliquée en P'\ Fautre verticale % est appliquée en P\

Loi du irapêze. — D a n s Fétude de la stabilité des cous*

éructions Fon admet que la pression développée par te :orces extérieures est proportionnelle à la déformation produite, et que si la base de Fouvrage était primitivement plane elle reste plane après la déformation. Cette question 3 t a n t étudiée en détail dans tous les traités de Résistance &®

matériaux, nous ne ferons que rappeler les résultats aux- quels on arrive pour le cas particulier qui nous occupe*

Soit A B C D la projection verticale d'un solide prisa»*' iique, dont le rectangle Q D ^ C g représente .là projection horizontale, et prenons deux axes rectangulaires passant par les axes principaux de symétrie du rectangle Pi 3ous Faction d'une force verticale N, appliquée en E,j*

pase C D va prendre la position CD' et si le point E se trouve

sur l'axe O X , et à une distance xï de l'axe O Y , en tout point du rectangle Q D ^ s A situé sur u n e parallèle à Taxe O Y et d'abscisse x, la pression n est représentée par l'équation :

n

— — 1 1

~ra— (4)

e étant la longueur de la base C D⁴ et C²D² (figure 2 ) .

La ligne des pressions nulles est donnée par la relation : 1 2 oo œ^{

o

d'où :

12 a?*

d étant la distance du point E à l'arête D^d D².

Le m i n i m u m de pression a lieu avec le m i n i m u m de oc, soit pour # = — |, c'est-à-dire sur l'arête CA C2 et sa valeur

Le m a x i m u m de pression a lieu en m ê m e temps que le e

maximum de oc, soit pour x = ^, c'est-à-dire sur l'arête DiDg et cette valeur m a x i m u m n^v est :

» " = f ( - + ^ ) = f (

^{i £}

^ )

c.

i

Y ! !

k — Ê-j ^{^}

Fig. 2. F i g . 3.

La d e m i - s o m m e — ^ — d e la p r e s s i o n m i n i m a et d e la N

pression m a x i m a est é g a l e à la pression m o y e n n e — Pour toute v a l e u r d e x^{ < | , c'est-à-dire d > | ,1a ligne te pressions n u l l e s se t r o u v e en d e h o r s d u r e c t a n g l e et la pression minima n9 est partout positive.

Pour oc{ = 1, et d = |, la l i g n e d e s p r e s s i o n s n u l l e s se trouve s u r rareté Ct D * a l o r s « ' = 0 et n " = 2 ~ .

Pour a? > - , et d < | , la ligne des pressions nulles se trouve à l'intérieur du rectangle, et elle a pour équation :

e*

12 x^{

Pour toute valeur de x comprise entre + f et — t ^ ~ ~ -la Ression est positive, et pour toute valeur de x comprise

^ Wx^{i e t} ~~ f ^{l a} valeur de la pression est négative,

cest-à-dire qu'il y a traction au lieu d'y avoir compression.

Pour xⁱ = 0, d = ^ , c'est-à-dire lorsque le point d'appli- cation de la force N se trouve au centre de gravité de la

N

base, n' = = — » et la pression estjpartout égale à la pression m o y e n n e .

L'équation (4) est Féquation d'une droite représentant la loi de variation de la pression.L'ordonnée à l'origineOO'de la figure 3 est égale à la pression m o y e n n e et le coefficient

12 N x angulaire de la droite a pour valeur - 8 1

Pour xi < g . et d > |, on obtient la droite M N figurée en trait plein, la pression n est partout positive et plus grande que 0 .

e e

Pour x^{ = g , d = - , on a la droite CN' figurée en traits 2

JV

pointillés, la pression n est nulle en C et égale à — en N \ Pour x.{ > | et d < ? , on obtient la droite N T N " figurée en traits mixtes ; la pression est négative jusqu'à ce que x = x% = — jsjr^r où la pression est nulle.

Pour = g , d - | , la pression est partout égale à la pression m o y e n n e , de sorte que la ligne des pressions est parallèle à Taxe des x.

Si Ton transporte les axes de manière qu'ils passent par G, l'équation de la droite devient :

n = n" ~f- og = P + Q œ

L a pression variant, dans le cas général, c o m m e les ordonnées des trapèzes C M N D ou C M " N " D , on a donné à cette loi de variation le n o m de loi du trapèze.

Si Ton découpe dans la longueur du barrage, c o m m e nous Lavons fait précédemment pour le calcul de la poussée, une tranche de 1 mètre de longueur, la section a de la base de cette tranche est égale à l^m x e, de sorte que les valeurs de la pression m i n i m a n* et de la pression m a x i m a w"

peuvent s'écrire, pour cette tranche :

n ~~~ e \ e

N U e — 6 6\ _ N/

e\ e I ~ e\ e\ e

m

(9) Nous avons vu que si d < g- la pression sur la base devenait négative, c'est-à-dire qu'il y avait traction. Si la maçonnerie travaillant à la traction venait à se rompre, ou bien encore si le massif A B C D reposait simplement sur sa base, sans aucun lien avec son support, la force Ar, au lieu de se répartir sur une base de largeur e, se répartirait alors sur une base de largeur telle qu'elle fut partout comprimée, c'est-à-dire sur une largeur égale à 3 d. L a répartition de la pression sur cette nouvelle base se ferait, de nouveau, sui- vant la loi du trapèze, et, dans ce cas, la pression m a x i m u m n" deviendrait n " = 2 N

Conditions de stabilité. — Cherchons maintenant les con- ditions que doit réaliser un m u r pour pouvoir résister à la poussée de Peau qui agit sur l'un de ses côtés. N o u s sup- poserons dans ce qui va suivre que ce m u r est implanté suivant une ligne droite et qu'il ne comporte aucun contre- fort ni aucune armature métallique.

1 2 0 L A H O U I L L E B L A N C H E

Soit M ' M N N * la section transversale d'un pareil m u r (fig. 4 ) et soit A B la trace, sur le plan de la figure, d'un plan horizontal situé à la profondeur y, et coupant cette section transversale.

L a partie A M N B du m u r doit être en équilibre sous Faction des forces qui agissent sur elle. Ce sont, d'une part la poussée horizontale F de l'eau appliquée au tiers de la hauteur de l'eau à partir de CD, le poids N de la partie A M N B du m u r et le poids r, de Peau qui appuie sur le pare- ment amont supposé incliné pour plus de généralité, ' et d'autre part les réactions, tant verticales qu'horizontales, développées sur la section A B par la partie inférieure du m u r sur la partie supérieure.

Fig.4..

Soit Gj le point d'application de la force 8 la distance de la direction de cette force au point A, G² le point d'application de la force N et d sa distance au m ê m e point A, la résultante de N et de r, est appliquée au centre de gravité fictif G³ et sa distance d'au point A est :

vd + Nd

L a force verticale N.i et la poussée horizontale F se com- posent entre elles, à leur point de rencontre O , pour donner la résultante R qui coupe la base A B au point D et qui fait

F avec A7 d u n angle a tel que tg a = w *

Si l'on appelle c la distance C D et b la distance du point D au point B il vient :

V F c = O C tg« = ^ x ^

b = e ~~ (d + c)

Pour que la partie A M N B du m u r ne puisse être renversée sous Faction de la poussée .F. etne vienne à basculer autour de Parète B, il faut que le m o m e n t de renversement de Pouvrage, c'est-à-dire le m o m e n t de F par rapport à B, soit inférieur au m o m e n t de stabilité, c'est-à-dire au m o m e n t de N^A par rapport à B, autrement dit que l'on ait :

o u b i e n

JV4(& + c ) - J f x | > 0 b > 0

Le point de rencontre D de la résultante R et de la base A B ne doit donc jamais sortir de l'intérieur de cette base,

A u point D, de la base A B , la résultante R peut se redé- composer en ses composantes primitives jPet iV⁴.

L a force horizontale doit être annihilée par la cohésion des maçonneries, et par le frottement exercé sur A B parla pression de la partie supérieure du m u r sur la partie infé- rieure. Pour augmenter les conditions de sécurité on ne tient pas compte de la cohésion et l'on suppose que le frot tement s'oppose seul à la poussée de Peau. D e sorte que, si l'on désigne par f le coefficient de frottement, l'on doit avoir :

(JV+ *)f^F ou tg*£f (10) a désignant l'angle que fait, avec la normale à CD, la

résultante de iV, de % et de F.

Si la condition (10) est remplie, la partie A M N B du mur ne pourra pas glisser sur sa base horizontale A B .

L a force verticale N{ doit être annihilée par la résistance, des maçonneries. Or la pression développée par A7! en E point quelconque de la base A B , peut se déterminer par la loi du trapèze. E n appliquant la formule (1) il vient :

n x

les x étant comptés à partir du parement amont A, M . Maurice Lévy a montré (*) que la loi d u trapèze cor*

respondait bien à la théorie mathématique de l'élasticité dans le cas d'un barrage à profil triangulaire et lorsque la hauteur de l'eau est au plus égale à la hauteur du barrage, qu'elle n'y correspondait pas rigoureusement dans le cas d'un profil rectangulaire, mais que, dans ce cas, elle accu- sait des pressions u n peu trop fortes à Pavai et u n peu trop"

faibles à Pamont, c'est-à-dire qu'elle donnait des résultats favorables à la sécurité de Pouvrage.

Lorsque la hauteur de Peau est supérieure à celle du bar*

rage, la loi du trapèze ne correspond plus à la théorie mathématique de l'élasticité et il y a lieu de ne l'appliquer qu'avec prudence et de se réserver une certaine marge dans la détermination de l'effort limite auquel on fera travailler les matériaux employés.

L a pression m i n i m a n' sur le parement a m o n t et la près*

sion m a x i m a ri11 sur le parement aval sont données par M relations :

N, M e — 6 ô \

/ e \ e M M . Bouvier, Guillemain et Maurice Lévy ont montre que cette valeur de n" ne donnait pas la véritable pression m a x i m a et que celle-ci devait être :

n" (1 + tg* «) ^(H) D'après M . Bouvier.

D'après M . Lévy.... ri\ = n" (1 + tg2 p) W p étant Pangle que fait le parement aval avec la vertical sur le joint horizontal considéré.

Il faut donc, pour que la maçonnerie du m u r ne soit n # part écrasée, que la pression m a x i m a n", aussi bien-fij charge qu'à vidé, soit inférieure à la résistance qu'on assigne pratiquement aux maçonneries. O n calcula cette pression m a x i m a de préférence par la méthode Lé h

O V o i r les c o m p t e s r e n d u s d e l'Académie d e s Sciences : 5 aoui 2 m a i et 4"juillet 1898.

qui donne généralement les pressions les plus fortes, et qui de plus est basée sur une théorie plus complète et plus moderne que les autres.

Lorsque Feau n'agit pas sur le m u r , c'est-â dire lorsque celui-ci travaille à vide, les seules forces appliquées au sys- tème sont, d'une part le poids JVde la maçonnerie A M N B et d'autre part la réaction verticale de la partie du m u r située en dessous d e A B .

La force verticale N étant appliquée à une distance d du parement amont,lapression m i n i m a à Pavai ri' et la pression maxima ri à Pamont ont pour valeur^ à vide :

^ ( ^ ) = ?(•!-«) m

„. ^

^{= ( i î}

^

^{) = ?(4}

_,|

^{) (14)}

Il faut éviter que la maçonnerie du parement a m o n t ne travaille à la traction, car, dans ce cas, la moindre fissure introduit Peau dans Pouvrage, ce qui produit des sous pressions dont l'effet est de diminuer la stabilité du m u r . La stabilité étant diminuée, la fissure ne peut que tendre à s'accroître, ce qui augmente Pintroduction de Peau et Peffet des sous-pressions et peut a m e n e r à la longue la ruine de l'ouvrage. O n s'impose généralement la condition que la pression, sur le parement amont, soit au moins égale à zéro, ce qui exige que la résultante passe au moins au tiers de la base à partir du parement aval.

Dans les ouvrages importants on s'attache m ê m e à ce que la pression ri en charge soit au moins égale à celle de Feau de manière à empêcher absolument toute introduction d'eau dans la maçonnerie.

Le travail de la maçonnerie à la traction sur le parement aval a moins d'importance que sur Pamont, car ce parement aval n'est pas en contact avec Peau et le danger des sous- pressions n'y est pas à craindre^mais c o m m e les m a ç o n n e - ries travaillent infiniment moins bien à la traction qu'à la compression il faut éviter de les faire travailler ainsi et lorsque le m u r est à vide il est bon, en général, que la force iV, représentant le poids de la maçonnerie, passe au moins au tiers de la base à partir du parement amont.

Et c o m m e il est préférable de ne pas se tenir sur la limite, on dit que la courbe des pressions doit se maintenir dans le tiers médian de la base.

Si Ton m è n e la verticale de F are te M du couronnement du mur et si Fon désigne par e la longueur de la partie d'un joint horizontal quelconque qui est comprise entre cette -verticale et le parement aval et par e{ la longueur de la partie du m ê m e joint qui est comprise entre cette m ê m e verticale et le parement amont, on doit avoir pour chaque mètre courant de longueur du m u r :

*= J ï / ^ d y

N = K J" (e + «t) dy

% désignant la d e n s i t é d e la m a ç o n n e r i e e x p r i m é e e n tonnes p a r m è t r e c u b e .

Poids minimum de maçonneries. — N o u s a v o n s v u qu'il allait, p o u r q u e la partie A B C D d u m u r n e p u i s s e glisser

SW sa b a s e A B , q u e l'on ait :

J V + w (10)

Le m i n i m u m de N auquel on puisse descendre est évi- d e m m e n t celui qui satisfait à la relation :

F

Pour une hauteur d'eau nulle, la poussée F est également nulle, par suite, (iV-HO peut être théoriquement égal à zéro.

E n remplaçant iV, TC elF par leur valeur, et en admettant que le niveau de Feau atteigne la crête du m u r , la relation précédente devient :

K

f% +

^a,) dy + f y ^dJ j dy =

f

^f

Différentions les deux m e m b r e s de cette expression par rapport à y et posons K f ~ cotg |S, nous obtiendrons l'équa- tion différentielle :

<•>%' + * <• + •<> =4

qui donne la loi suivant laquelle e{ et £ doivent croître en fonction de la hauteur y.

Si T o n fait e4 — 0, c'est-à-dire si Fon suppose que le pare- m e n t a m o n t est vertical, il vient, en posant Kf= cotg p :

e = y tg JS

L'épaisseur du m u r croit proportionnellement à la hauteur et son profil est u n profil triangulaire, l'angle au s o m m e t étant tel que cotg p = Kf.

Si Fon suppose que les deux parements soient inclinés et que, de plus, pour chaque joint, e⁴ soit dans u n rapport cons- tant avec e, de telle façon que s^A = ^ e, on a ;

équation différentielle de la forme :

dont Fintégrale générale est :

z^c [JQe ây + c\

e étant ici la base des logarithmes népériens.

Or. Fon a :

/ P dy = R (l + J ) V e t / = K (l +

i) L

(y)

e = y \ r/ et e = y * L'intégrale générale est donc :

G o m m e théoriquement pour une hauteur d'eau nulle (y = 0), on peut avoir une épaisseur nulle au s o m m e t (s r = 0), la constante C est nulle et il reste :

e = — £ n = y t g p

ei= y . t z = y t g p ' t + H ^ y ( t s P i+ t g i O

L'épaisseur du m u r croît encore proportionnellement à la hauteur et le profil est encore u n profil "triangulaire.

122 L A H O U I L L E B L A N C H E

E n remplaçant tg f et tg /T par leurs valeurs on trouve : , + „ = ^U- > JL

Le m i n i m u m de (s + s4) a lieu lorsque \i = o c , E = 0 , c'est- à-dire lorsque le parement aval est vertical.

L'épaisseur du m u r est alors : - — y u - f { K + 1 }

Ainsi donc, si l'on se plaçait simplement au point de vue du glissement suivant une direction horizontale., le profil conduisant au m i n i m u m de maçonneries serait un profil triangulaire à parement amont incliné et à parement aval vertical. D e prime abord, ceci paraît assez rationnel, car le poids de Feau qui agit sur le parement amont incliné tend à s'opposer au renversement du m u r et à maintenir Fouvrage sur sa basent il semble que plus le poids de cette eau sera grand m i e u x la stabilité sera assurée; aussi, se basant sur cette remarque, quelques auteurs ont préconisé l'emploi d'un parement a m o n t incliné. Mais, lorsque Fon applique les formules (8), (9), (11) et (12) pour calculer le travail des maçonneries, l'on s'aperçoit que les meilleures conditions de stabilité sont au contraire réalisées lorsque le parement amont est vertical. Tous les ingénieurs qui ont eu à calculer des barrages savent que la condition (10) de non. glissement suivant une direction horizontale est tou- jours satisfaite lorsque les conditions de travail des maçon- neries sont réalisées. Il s'ensuit que le véritable profil mini- m u m sera le profil triangulaire à parement amont vertical qui remplit ces dernières conditions, ainsi que nous allons le montrer dans le paragraphe suivant.

Profil triangulaire. — Ainsi que nous venons de le voir, c'est le profil triangulaire qui réalise le plus écono- miquement la condition de non renversement des m u r s ayant à supporter une charge

d'eau. i Soit A B C la section trans-

versale d'un m u r de barrage à profil triangulaire dont le parement amont est incliné et P le pied de la verticale abaissée du s o m m e t A sur la base B C Désignons par m le segment BP, par rri le segment PC, par e la largeur de la base . et par la densité des m a ç o n -

neries. Pour simplifier les calculs nous admettrons que 1.

niveau.de l'eau affleure le s o m m e t A. D a n s ces condition:

l'on a :

K = ^ ^N = ^K (m + m') | = K ^

= |(»» + JTe)

ter

a

_ Z _ y

y, # - 2 L £ x

™

_±_ 2 m Z m ' y / ,»'\

rf - 2 x 3 + X

T" + — ( « Î +

^T

)

d' — - Kejtn -f- e)

C ~ 3 X iVj - 3 ^ T + X 7 )

h — r/i*-}-Ke (m + e) -f y% b — e ~ 3 (m + K e) en appliquant la loi du trapèze il vient :

y im-\-Ke\ r6e 6 ( m⁸+ 2/*+ I e ( m - f e) 1

*' ^— f \ e / L e 3 e ( m + Ke) ' ~ ^%\ n'= (K-V^y-V™ [m + e{K- 2)J ^{( 1 5 )}

n ~ 2 \ e / L⁴ e 3 e ( w + Z e ) ~J

, l = p +

V t

^{m + e (iC - 1)J (ifi)}

Si le parement a m o n t est vertical :

j3 étant l'angle d'inclinaison du parement aval sur la ver?

ticale.

O n voit que dans ce cas la compression de la maçon*

nerie sur le parement aval croît proportionnellement à la hauteur; il en est de m ê m e pour la pression à l'amont.

Il est à remarquer que l'expression de ri' est indépen- dante cle K, il en résulte que deux m u r s ayant m ê m e pro- fil, mais constitués de matériaux de densités différentes, auront m ê m e valeur de ri\

Pour que la pression ri à l'amont ne soit jamais néga- tive il faudra que :

le m i n i m u m d'inclinaison du parement aval est donc donné par la relation ;

K étant compris entre 2 et 2>5 pour les barrages en maçon- nerie, la valeur m i n i m u m de tg p est comprise entre 0,101- (pour K = 2) et 0,632 (pour K = 2,5).

Pour que cette m ê m e pression ri soit égale à la pression de l'eau il faut que :

d'où: i

^{g f =}

- y / _ J _ (»!

ce qui correspond à une inclinaison de i^m par mètre pour K = 2 et de 0*816 pour K = 2,5.

La valeur de b peut s'écrire :

Cette équation est celle d'une droite. L a courbe des pas- sions, lieu géométrique des points situés à une distance i d u parement aval, est donc une droite issue du sommet à triangle.

Les méthodes de M M . Bouvier et Maurice Lévy (formules 11 et 19) donnent, pour la valeur de fa compression maxM*

m a x i m o r u m :

Cette valeur est plus forte avec la méthode de M . Maurice Lévy qu'avec celle de M . Bouvier.

Si p est la limite pratique de résistance des maçonneries à la compression il faudra» pour u n e hauteur donnée y, que l'inclinaison d u parement aval soit telle que :

» r p y

p0 U lv y = 50 m s et p = 100 tonnes par mètre carré, soit

lOkilogs par centimètre carré, tg p — i et le parement aval doit être incliné à 45°.

Si le parement a m o n t n'est pas vertical, ri et ri' sont données par les formules (15) et (16) et Ton voit immédiate- ment que ri' est toujours plus grand dans ce cas que dans celui du parement vertical et qu'il Test d'autant plus que m est plus grand.

On voit également que ri est, pour les m u r s en maçon- nerie,, toujours plus petit que dans le cas d u parement vertical.

Il y a donc avantage à maintenir le parement a m o n t vertical tant que la pression à l'amont, à vide, n'atteint pas la limite pratique de résistance des maçonneries à la compression.

La valeur de b peut s'écrire :

en posant : e = y. y et m = X y.

La courbe des pressions en charge est encore une droite passant par le s o m m e t d u triangle.

A vide, lorsque le parement a m o n t est vertical, la courbe des pressions est verticale et elle passe toujours par le tiers de la base de telle sorte que :

ri' = 0 et ri = î j = K y (22) Lorsque le parement a m o n t est incliné, la courbe des

pressions, qui est encore une droite, passe toujours dans le tiers médian et Ton a :

Profil rectangulaire. — N o u s avons vu que l'épaisseur au sommet d'un barrage pouvait être théoriquement nulle, mais il ne saurait en être ainsi pratiquement. Tout d abord, la partie supérieure d'un pareil m u r serait impossible à construire ; d'autre part, l'épaisseur au som- met doit être assez forte pour résister au choc des vagues ou des corps flottants, voir m ê m e à la pression de la glace dans le cas d'un canal de peu de largeur; parfois aussi le couronnement doit en m ê m e temps servir au passage des frétons ou des voitures, il en résulte que le haut d'un m u r W t avoir la forme d'un trapèze ou d'un rectangle.

Nous allons étudier tout d'abord le cas d'un profil rectan-

g u l a i r e- En appliquant la loi du trapèze, on trouve :

w = 0 NK = N — K e y

— ^F — y

n ' = ( j r - | J ) y (44) n " = ( j T + g ) y (25) Si Ton compare les formules (24) et (25) avec les formules

(17) et (18) du profil triangulaire avec parement vertical à l'amont, on voit que, pour une m ô m e hauteur y et une m ê m e hase e, la pression à Pamont ri a la m ê m e valeur dans les deux cas. Mais, pour arriver à ce résultat, le profil rectangulaire emploie u n volume de maçonnerie double de celui du triangle.

O n voit également que la pression ri' à lavai est supé- rieure à celle du triangle de la quantité K y .

Pour que la pression à l'amont ri ne soit pas négative, il , , y

faut que e soit au moins égal a — ; pour que cette près-

y ^K

sion soit égale à celle de Peau il faut que :

e% l / K - i

E n se reportant à l'équation qui donne la valeur de bt on voit que la courbe des pressions est une parabole dont le paramètre a pour valeur 3 K e et qui passe par le milieu d u couronnement de l'ouvrage.

Les méthodes de M M . Bouvier et Maurice Lévy donnent, dans ce cas, pour la valeur de la pression m a x i m a maxi- m o r u m :

n\ = ri*^\K+^)y ) E n comparant les formules (21) et (24) on voit que la pression m a x i m o r u m , calculée par la méthode de M . M a u - rice Lévy est, dans le cas du rectangle, plus forte de la quantité {K —- 1) y que dans le cas du triangle à parement amont vertical.

Avec la méthode Bouvier cette différence est :

J

L

^{4 1 e* \ K e*}

^{V J}

Sa limite inférieure doit avoir lieu pour p = K, puisque pour cette valeur ri = 0. Elle est alors égale à (K — |) //.

O n voit que la pression m a x i m a m a x i m o r u m est, avec ces méthodes, plus forte pour le rectangle que pour le triangle.

A vide, la courbe des pressions n'est pas autre chose que la verticale médiane d = | , par suite :

ri = n" f = Ky (27)

La pression à vide est partout égale à la plus forte pression du profil triangulaire.

Ainsi' donc, le profil rectangulaire est beaucoup plus coûteux que le profil triangulaire et il donne des résultats moins favorables. O n ne devra donc l'employer que lorsque des circonstances particulières l'exigeront.

Profil trapézoïdal — Ce profil est intermédiaire entre le profil rectangulaire et le profil triangulaire. Son parement

m

L A H O U I L L E B L A N C H E

L a pression m a x i m a à vide est u n peu plus forte que pour le triangle et pour le rectangle. L a différence qui est égale à le y ~~ ~e) e s t m a x i m a l °r S (ïu e g = g ? dans ce cas parti,

culier elle est 1,25 K y .

(A suivre.) H . BELLET.

IIE I V I O I S flYDÇO-ÉIiECTHlQUE

A C A D E M I E D E S S C I E N C E S

M É C A N I Q U E E T É L E C T R I C I T É

Faculté que le béton armé possède de supporter de grands allongements. — N o t e d e M . C O N S I D È R E , séance d u 3 o janvier, D a n s trois c o m m u n i c a t i o n s faites à l'Académie, le 2 d é c e m b r e 1898, le 2 janvier 1899 et le 18 août 1902, j'ai rendu c o m p t e d'expériences qui d é m o n t r e n t les faits suivants :

« Lorsqu'on soumet des pièces en béton a r m é à la traction simple o u à la flexion, les fibres tendues se comportent c o m m e si elles n'étaient pas a r m é e s tant q u e leur tension et leur allongement ne dépassent pas ceux q u e le béton n o n a r m é peut supporter sans se r o m p r e . Si l'épreuve est poussée plus loin, le béton, a r m é et préparé c o m m e il convient, peut supporter des allongements beaucoup plus forts p e n d a n t lesquels sa tension reste sensiblement constante et, par suite, son m o d u l e d'élasticité est nul.

Ces faits, acceptés par n o m b r e d'ingénieurs c o m m e base de la théorie et d u calcul des constructions armées, ont été accueillis par d'autres avec incrédulité, malgré l'explication q u e j'en avais donnée dans la c o m m u n i c a t i o n d u 2 Janvier 1893. D e s savants allemands et américains ont fait des expériences de contrôle; ils ont observé que les pièces armées, fabriquées sous leur direction, se fissuraient dès qu'elles subissaient des allongements sous lesquels s e brise le béton n o n a r m é ; ils ont décrit les m o y e n s e m p l o y é s par eux pour déceler les fissures capillaires et la conclusion qui ressort, implicitement au m o i n s , de leurs publications est que, dans m e s expériences aussi, il a d û se produire des fissures que je n'ai pas réussi à apercevoir.

P o u r trancher cette question, qui a une sérieuse importance a u point d e vue de la t h é o r i e d u béton a r m é et a u s s i d e s propriétés générales des corps qui o n t u n e constitution moléculaire a n a l o g u e à celle des bétons et m o r t i e r s , j'ai c r u utile d e faire d e nouvelles expériences. Elles ont é t é e x é c u t é e s a u labo- r a t o i r e d e l'Ecole d e s P o n t s et Chaussées, sous la direction de M . M e s n a g e r , a v e c la col*

laboration d e M . Mercier,

D e s ouvriers d e M . G r o u s e l l e , entrepreneur d e b é t o n a r m é , ont fabriqué d e u x p o u t r e s de 3 mètres de longueur et d e la section ci-contre en employant les procédés pratiques dont ils avaient l'habitude et sans prendre de précautions spéciales.

L e béton renfermait 400 kiiogr. de ciment d e Portland de la m a r q u e E . Candlot et p o u r 400 litres d e sable et 800 litres de gravier calcaire. L a quantité d'eau e m p l o y é e pour le gâchage repré- sentait 9,6 0/0 d u poids des matières sèches.

L ' a r m e m e n t de la poutre consistait e n d e u x barres d'acier doux de 16 millimètres d e diamètre et trois barres d e 12 millimètres placées près de la face qui devait subir les plus grands allongements, L'une de ces poutres a été conservée à l'air et couverte de sacs vides et de planches qu'on arrosait f r é q u e m m e n t pendant le premier m o i s et tous les d e u x jours ensuite; l'autre a été i m m e r g é e après un jour de durcissement et conservée sous l'eau.

C e s poutres, fabriquées les 27 et 28 m a i 1904, ont été essayées par flexion les 21 n o v e m b r e et 22 d é c e m b r e . Posées sur des appuis dis- tants de o ™ o5 de leurs extrémités, elles ont subi la pression d'un appareil hydraulique en d e u x points placés symétriquement à om 1°

de part et d'autre d u milieu, de sorte que, sur u n e longueur d e inl4°*

le m o m e n t de flexion était constant et l'effort tranchant nul.

A u milieu d e cette longueur, o n a observé les allongements delà face tendue sur u n e longueur de 1 ^ 0 2 , au m o y e n d e deux micros- copes m o n t é s sur u n e m ê m e tige et T o n a m e s u r é les raccourcisse- m e n t s de la partie c o m p r i m é e sur u n e longueur de om 5o au moyen de d e u x appareils M a n e t - R a b u t placés sur les faces latérales.

C o n f o r m é m e n t a u pian fixé d'avance, o n a arrêté le chargement au m o m e n t o ù l'allongement des fibres extrêmes d u béton était ^ omm625 pour la première poutre et d e i"»«3oo p o u r la seconde. W n'apercevait alors, au microscope, a u c u n e fissure dans renduitmwcj et lisse de ciment pur qui avait été appliqué sur la face tendue pû«r

faciliter l'examen.

amont peut être vertical ou incliné. N o u s allons étudier ce profil dans le cas où le parement a m o n t vertical (fig. 6) en supposant, pour simplifier, que le niveau de Feau affleure la crête du m u r .

Désignons par c⁰ la largeur du couronnement, on a respectivement :

* = o iv, = iV = jsr^r (SU+L£2

e⁰2 + e⁰ e + e»

rt - 3 ( e0+ e)

F ^ _ y'¹

t g « = ^ = Z ( e o + e ) « ~ 3JT(e„ + e) , _ ^(eo' + eoe + ^ + y8

3 J T ( e0 + e)

*" = [

^z

S + ^{S ] ^}

^{( 2 9 )}

Si Ton fait e⁰ = 0 (cas d u triangle) o n retrouve les for- mules (17) et (18). Si l'on fait < i \

e0= e (cas du rectangle) on ! \

retrouve les formules (24) et ^£; j \ yig. (j_

(25).

*~ * H \

E n comparant entre elles \ \

ces diverses formules on voit \h \

que, pour une m ô m e base e \ \ et une m ê m e hauteur y, la j \ pression ri à l'amont est plus j \ forte dans le cas du trapèze — I — î ~ ^ -

que dans les cas d u triangle et du rectangle. L a différence qui est égale k ~ (* — "7) ^{e s t} m a x i m u m lorsque e⁰ = |-

L a pression n" à l'aval est plus forte dans le cas du trapèze que dans le cas du triangle mais 'elle est moins forte que dans le cas d u rectangle.

L a pression m a x i m u m m a x i m o r u m calculée par la méthode de M . Maurice Lévy a pour valeur :

.-=.(*?. + *.) M H * ) ' ] » w

Sa limite inférieure est || + y (cas du triangle) ; Sa limite supérieure est f% + K y (cas du rectangle).

Elle est donc plus forte que pour le triangle et moins forte que pour le rectangle. Il est facile de voir qu'il en est de m ê m e avec la méthode Bouvier.

L e profil trapézoïdal, considéré c o m m e m u r de retenue est donc préférable au profil rectangulaire, puisqu'il donne des valeurs plus grandes pour la pression à Famont ri et moins grandes pour les pressions n" et ri\ à l'aval.

A vide on a : d = d%

.• = *[.+?-3] V ,

n" = K%y )