G20243. Serre-pinces
Un cocktail r´eunitNcouples. L’organisateur constate, non sans surprise, que les nombres de mains serr´ees par chacune des 2N−1 autres personnes sont tous diff´erents. Combien l’´epouse de l’organisateur a-t-elle serr´e de mains ? N.B. Bien sˆur, personne ne serre la main de son conjoint, ni la sienne propre.
Solution
Personne ne serrant la main de son conjoint, ni la sienne propre, le nombre de mains serr´ees par une mˆeme personne est au plus 2N−2. Ainsi, l’organisateur mis `a part, les nombres de mains serr´ees sont les entiers de 0 `a 2N−2, et je peux d´esigner les autres convivesP0, P1, . . . , P2N−2 par le nombre de mains qu’ils ont serr´ees.
P0 n’a serr´e aucune main, alors queP2N−2 n’en a n´eglig´e aucune, c’est donc qu’ils sont conjoints.
La seule main serr´ee par P1 est celle de P2N−2; P2N−3 a serr´e toutes les mains sauf celles deP0 etP1, son conjoint ne peut ˆetre queP1.
Et ainsi de suite : pour 1< n < N−1, les mains serr´ees par Pn sont celles deP2N−2 `aP2N−1−n, son conjoint estP2N−2−n qui a serr´e toutes les mains sauf celles de P0 `aPn.
Pourn= 0 `aN−2, on obtientN−1 couples qui sont tous les convives sauf PN−1 et l’organisateur. Par cons´equent, l’´epouse de l’organisateur estPN−1
et a serr´e N−1 mains, celles dePN `a P2N−2.
L’organisateur aussi a serr´eN−1 mains, les mˆemes que son ´epouse, puisque aucun des convivesP2N−2−n, pour 0≤n < N−1, n’a pu le laisser `a l’´ecart, alors qu’aucun des convivesPn ne lui serrait la main, pour 0≤n≤N −1.
Il y a eu au totalN(N −1) poign´ees de main.
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