E625
Notonsg(j)et z(j)les positions de Goupil et Zéphyrin au jourj.
Remarquons quez(j+ 1) =z(j)±1 et doncz(j+ 2)≡z(j)modulo 2.
Soitd(j) =g(j)−z(j)l’écart entre les deux ennemis.
∀j∈ {1, . . . , N}posonsg(j) =j
Alorsd(j+ 1) =g(j)−z(j) + 1∓1 =d(j)oud(j) + 2
En particulierd(j+ 1)≡d(j)≡d(1)modulo 2 et d est croissante.
Sid(1)≡0modulo 2, alors Goupil aura nécessairement attrapé Zéphyrin.
Soit trivialementd(1) = 0 oud(N) = 0.
Soitd(1) = 1−z(1)<0etd(N) =N−z(N)>0 Alors∃k∈ {2, . . . , N−1}tel qued(k) = 0
En effet, compte tenu de la croissance de d, l’image de d comprend toutes les valeurs paires comprises entred(1)et d(N)
Si au jour N, Goupil n’a pas croisé Zéphyrin, c’est que l’hypothèse était fausse et donc qued(1)≡1 modulo 2.
– Soit N est impair, auquel cas∀j ∈ {1, . . . , N} posonsg(N+j) =j En effetd(N+ 1)≡g(1)−(z(1)−1) = 1 +d(1)≡0 modulo 2 – Soit N est pair, auquel cas∀j∈ {1, . . . , N}posonsg(N+ 1 +j) =j En effetd(N+ 2)≡g(1)−(z(1)−1) = 1 +d(1)≡0 modulo 2
Dans les deux cas, cela revient à perdre N jours (ou N+1 jours pour le deuxième cas), pour pouvoir se ramener avec certitude à la situation où l’hypothèse est favorable.
Remarque : on peut économiser quelques jours card(N) = 0⇒d(N−1) = 0 (il n’est donc pas nécessaire d’aller fouiller le terrier N le jour N) et de plus d(1)pair⇔z(1)impair (le jour N, aller fouiller directement le terrier 2 dans le premier cas et le terrier 1 dans le deuxième cas)
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