II Opérateurs de base : Dilatation et Erosion

Morphologie mathématique 1

Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI RDMM - MR2 IMA UPMC P6

Morphologie Mathématique : Chapitre 1

LES QUATRE OPERATIONS ET LEURS APPLICATIONS IMMEDIATES

I Introduction : approche morphologique du TI

II Opérateurs de base : Dilatation et Erosion

(a) Opérations ensemblistes (b) Algorithmes

(c) Opérations fonctionnelles

(d) Premiers opérateurs composés

III Filtres de base : Ouverture et Fermeture

(a) Définition et propriétés

(b) Seconds opérateurs composés

L’approche morphologique du traitement d’images

Objet de référence

=

Elément structurant

Transformations

non linéaires ^{9 taille}

9 forme

9 orientation 9 connexité 9 .../...

Critères de :

Le principe de base de l’analyse morphologique est d’extraire de la connaissance de l’image à partir des réponses fournies à différents tests (transformations).

L’approche morphologique du traitement d’images

Elément structurant 1

Test : « contient »

Elément structurant 2

Exemple :

Taille, forme, orientation,…

Analyse quantitative, spatiale,…

Construction des opérateurs de la morphologie mathématique

complexité, richesse des propriétés

érosion, dilatation

gradients ouvertures, fermetures

top-hat laplacien

maxima locaux reconstruction

ligne de partage des eaux

squelettes

Construction de nouveaux opérateurs :

• par composition

• par différence

( ^{( )} )

)

( x = Φ Ψ x Γ

) ( )

( )

( x = Φ x − Ψ x

Λ

Opérations de Minkowski dans R ⁿ

Définitions préliminaires

On se place ici dans E : l’ensemble des parties de Rⁿ

X ⊂ R

n

b ∈ R

n

^X

_b

⁼ { ^{x + b ; x ∈ X} }

Pour

et on note

le translaté de X par b.

X

b

X

b

{ ^{x x X} }

X ( = − ; ∈

et on note

le transposé de X.

X X (

X X = (

Rq: siX est symétrique alors

L’addition de Minkowski

L ’addition de Minkowski de X et B est définie par :

U

_B

b

X

b

B X

∈

=

⊕

B X ⊕ X

B

élément structurant

X B

B

X ⊕ = ⊕

Rq :

C’est le lieu géométrique des points de B_x lorsque x

parcours X

La dilatation morphologique

B X

B

X

⊕ (

= ) δ (

La dilatation morphologique de X par B est définie par :

B

élément structurant

{ }

{ }

{

^{∩ ≠ ∅}

}

=

= +

∈

∃

∈

∃

=

−

=

∈

∃

∈

∃

=

=

⊕

=

∈

X B

z

x b z B b X x z

b x z B b X x z

X B

X X

z

B b

b B

/

; ,

/

; ,

/ )

( ⁽

U

⁽

δ

) ( X δ

B

X

C’est le lieu géométrique des points z tels que B_z

intersecte X

{ ^{∩ ≠ ∅} }

= z B X

X

_z

B

( ) /

δ

L’érosion morphologique

) ( )

( X

_B

X

B

δ

ε =

L’érosion morphologique de X par B est définie par le principe de dualité :

B

élément structurant

{ }

{

z B X

}

x b z X x B b z X

X

z B b

b B

⊂

=

= +

∈

∃

∈

∀

=

=

∈

/

; ,

/ )

(

I

(

ε

) ( X ε

B

X

{ ^{z B X} }

X

_z

B

( ) = / ⊂

ε

C’est le lieu géométrique des points z tels que B_z

est inclus dans X B

X

X X

B X X

X

B b

b B

b b B B

(

(

I U

( (

⊗

=

=

=

⊕

=

=

∈

∈

) ( )

( δ

ε

Soustraction de Minkowski

Propriétés algébriques des opérateurs de base

) ( )

(

) ( )

(

Y X

Y X

Y X

Y X

B B

B B

ε ε

δ δ

⊂

⇒

⊂

⊂

⇒

⊂

) ( )

(

' X _' X

B

B ⊂ ⇒

ε

_B ⊃

ε

_B

CROISSANCE La dilatation et l’érosion sont des opérateurs croissants

! L’érosion estdécroissantepar rapport à l’élément structurant :

X X

X X

B

B

⊂

⊂ ) (

) (

ε

EXTENSIVITE

δ

• La dilatation est extensive

• L’érosion est anti-extensive Si l’élément structurant B contient l’origine :

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

Y X

Y X

Y X

Y X

B B

B

B B

B

ε ε

ε

δ δ

δ

∩

=

∩

∪

=

∪

• La dilatation commute avec le Sup

• L’érosion commute avec le Inf

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

' '

' '

X X

X

X X

X

B B

B B

B B

B B

ε ε

ε

δ δ

δ

∩

=

∪

=

∪

∪

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

' '

' '

Y X

Y X

X X

X

X X

X

B B

B

B B

B B

B B

B B

ε ε

ε

ε ε

ε

δ δ

δ

∪

⊃

∪

∪

⊃

∩

⊂

∩

! ∩

On a les égalités :

Mais seulement les

inclusions :

Propriétés algébriques des opérateurs de base

PROPRIETE D’ADJONCTION

Y X

Y

X ⊂ ε

_B

( ) ⇔ δ

_B⁽

( ) ⊂

⇔

CAS DEGENERES

∅

=

=

∅

∅

) (

) (

X

X

ⁿ

δ

ε R

élément structurant vide

( )

( ^{( )} ) ^{( )}

) ( )

(

) ( '

) ( '

' '

X X

X X

B B

B

B B

B

B B

δ δ

ε ε

ε

δ δ

δ

=

=

ASSOCIATIVITE DE LA DILATATION

Application : Polyèdres de Steiner dans Rⁿ: ex:

dans R²:

dans R³:

⊕

⊕ ⊕

=

=

Décomposition des éléments structurants convexes en sommes

de segments

Application aux images binaires

B

Le treillis est l’ensemble des parties de Z²

X ^δ

_B

( ) ^X

OU

( ) ^X

ε

B

ET

Implantation des opérateurs de base

Méthode triviale :

B

DILATE (Image_IN X, Image_OUT Y,Elt_struct B) {

Pour tout pixel p ∈X { Y(p) = 0;

Pour tout b ∈B {

Y(p) = Y(p) OU X(p-b);

} } }

Ex : élément structurant carré

de coté c.

Complexité du calcul par

pixel : c²

( ) ^X

δ

B

X

Implantation des opérateurs de base

=

B

c

B

1

⊕ _L L ⊕ B

₁

c/2 fois Elément

structurant carré de coté c.

Complexité du calcul par pixel : 4c

(associativité de la dilatation)

X

B

(

B

( )

^X

)

B

^{( )}

^X B

^{( )}

^X

B

δ δ

δ

δ = _{δ ( )} =

1 1 1

( )

^X 1

B₁

δ

Implantation des opérateurs de base

B

h

Elément structurant carré de coté c.

Complexité du calcul par pixel : 2c

h

B

v

B

B = ⊕ B

^v

(décomposition des polyèdres de Steiner)

(

B

( )

^X

)

B

^{( )}

^{X B}

^{( )}

^X

B _h

Bv v h

δ δ

δ

δ = _{δ ( )} =

( )

^X

Bh

X

δ

Erosions binaires et distances discrètes

Pour les ensembles (images binaires), dans le cas où l’élément structurant est une boule d’une distance discrète, il est avantageux de calculer l’érodé par seuillage de la transformée en distance :

ex :

ε λ

λ ⇔ ≥

∈ (X ) F (p)

p _X^d

en effet : B

( )

^{a b x}_a ^x_b ^y_a ^y_b

d₄ , = − + −

distance de la

4-connexité ( , )

:

c d

X

X p d p

F

a

N Z² →

transformée en distance d de l’ensemble X:

Transformée en distance d₄ Erosion par une boule de d₄

Erosions binaires et distances discrètes

( )

a b max

(

xa xb ya yb

)

d₈ , = − , −

ex :

distance de la 8-connexité

Transformée en distance d₈ Erosion par une boule de d₈

Erosions binaires et distances discrètes

Grâce aux techniques de calcul récursif de la transformée en distance, la complexité du calcul par pixel devient constante : (O(1))

ex :

distance euclidienne (ou pseudo-euclidienne)

( )

^,

(

_{a b}

) (

² _{a b}

)

²

e a b x x y y

d = − + −

Transformée en distance pseudo-euclidienne Erosion par une boulepseudo-euclidienne

Conclusions sur les opérateurs de base

Originale Dilatée Erodée

• La dilatation fait disparaître les petits trous et les petits détroits, et fait grossir les objets.

• L’érosion fait disparaître les petits objets et les petits isthmes, et amincit les objets restants.

!

Dilatation et érosion sont des opérations non réversibles.

Dilatation et érosion sont des

opérations duales, pas inverses ! ^c

X

( ) ^X

δ

B

( )

^c

B

X

ε

X

complémentation

dilatation

Transformées en tout-ou-rien

Les transformées en tout-ou-rien (Hit-or-Miss Transform) unifient et généralisent érosions et dilatations.

H

) (

) (

) ,

( H M

_H

X

_M

X

^c

X ∗ = ε ∩ ε M

Application : Recherche de configurations

X

)

H(X ε

) ( ^c

M X

ε

X ∗ ( H , M )

Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel

R R

ⁿ

→ f :

On se place à présent dans le cadre des fonctions :

La dilatation et l’érosion fonctionnelles sont respectivement définies par :

{ ^{( ) ( )} }

inf )

)(

( f x f y g y x

y n

g

= − −

ε

∈R

{ ^{( ) ( )} }

sup )

)(

( f x f y g y x

y n

g

= + −

∈R

δ g

f

g

f

⊗ (

= ) ε (

g f

g

f

⊕ (

= ) δ (

fonction structurante à support compact

f

g

f

( ) ^f

ε

g

Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel

{ ^{( , ) / ( )} }

)

( f x t t f x

SG = ∈ R

ⁿ

× R ≤

A toute fonction f on associe son sous-graphe :

f

) ( f SG

g

) (g SG

Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel

Interprétation ensembliste :

( ) ( )

( ^{( )} ) ( ^{( )} )

) ( )

(

) (

) (

f SG f

SG

f SG f

SG

g SG g

g SG g

−

=

−

=

δ ε

δ ε

g g ≠ (

−

fonctionnel ensembliste

!

) (g

SG SG(g() −SG(−g)

Cas des éléments structurants plans

Élément structurant plan = fonction structurante nulle sur un

support compact K SG(g)

L’expression algébrique des

opérateurs de base devient : ex:

f g

{ }

{ ^{( )} }

inf

) ( inf

) )(

(

y f

y f x

f

x n

K y

K x y g y

∈

∈

−∈

=

=

R

ε

) ( f δg

) ( f εg

{ ^{( )} }

sup )

)(

( f x f y

Kx

y

g

=

∈

δ

Propriétés des opérateurs de base dans le cadre fonctionnel

Identiques au cas ensembliste, en remplaçant :

≤

→

⊂

∨

→

∪

∧

→

∩

) ' ( )

( '

) ' ( )

( '

f f

f f

f f

f f

g g

g g

ε ε

δ δ

≤

⇒

≤

≤

⇒

≤

) ( )

(

' f _' f

g

g ≤ ⇒

ε

_g ≥

ε

_g f f

f f

g

g

≤

≤ ) (

) (

ε

δ

: ) ( Supp

SiO∈ g

) ' ( )

( )

' (

) ' ( )

( )

' (

f f

f f

f f

f f

g g

g

g g

g

ε ε

ε

δ δ

δ

∧

=

∧

∨

=

∨

) ' ( )

( )

' (

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

' '

' '

f f

f f

f f

f

f f

f

g g

g

g g

g g

g g

g g

ε ε

ε

ε ε

ε

δ δ

δ

∨

≥

∨

∨

≥

∧

≤

∧

∧

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

' '

' '

f f

f

f f

f

g g

g g

g g

g g

ε ε

ε

δ δ

δ

∧

=

∨

=

∨

∨

' )

( )

'

( f f f

f ≤ ε

_g

⇔ δ

_g⁽

≤ ( )

( ^{( ( ) )} )

_{( )}

^{( ( ) )}

'

) ( '

' '

f f

f f

g g

g

g g

g

g g

δ δ

ε ε

ε

δ δ

δ

=

=

Application aux images numériques

B

structurant plan^élément

ensemble

Le treillis est l’ensemble

≅

des fonctions de Z² dans Z

( ) ^X

δ

B

MAX

X ^ε

_B

( ) ^X

MIN

Premiers opérateurs par différence

) ( )

( )

( x = Φ x − Ψ x Λ

Opérateur par différence :

) (

\ ) ( )

(X = Φ X Ψ X

Λ Λ( f ) = Φ( f )−Ψ( f )

Cas ensembliste Cas fonctionnel

x x = Φ ( )

Gradient intérieur

) ( )

( x = ε

_y

x Ψ

f

g

) ( x g

_y⁻

( ) ^x

x = δ

_y

Φ ( )

Gradient extérieur

x x = Ψ ( )

f

g

)

( x

g

_y⁺

Premiers opérateurs par différence

Laplacien morphologique

f

g

) ( x

λ

y

) ( )

( x = g

_y⁺

x

Φ Ψ ( x ) = g

_y⁻

( x )

Gradient morphologique

f

g

(symétrisée)

( ) ^x

x = δ

_y

Φ ( ) Ψ ( x ) = ε

_y

( x )

) ( x g

^m_y

2 2

) , ( )

,

( ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

∇ u v

y v I

x u

I I ( , ) ₂ ( , )

2 2

2

v y u

v I x u

I I

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

Rq : dans le cas de fonctions de R² dans R, en prenant pour élément structurant une boule euclidienne centrée sur l’origine, le gradient morphologique et le laplacien morphologique tendent respectivement vers le module du gradient et le laplacien euclidiens lorsqu’ils sont définis, quand le rayon de la boule tend vers zéro :

Gradients et laplacien : images numériques

X

B

( )

^{X g}_B

( )

^{x g}_B

( )

^x

B

−

+ −

λ =

( )

X

( )

X

( )

X g_B^m =δ_B −ε_B

( )

X εB

( )

X X

( )

X g_B⁻ = −ε_B

( )

X δB

( )

X

( )

X X g_B⁺ =δ_B −

Gradients et laplacien : images numériques B

( ) ^X

g

_B^m

^λ

_B

( ) ^X

X

Augmentation de contraste morphologique

) ( f ε

g

) ( f δ

g

f g

) ( f χ

g

Le filtre rehausseur de contraste est défini par : χ_g(f) = δ_g(f) si (δ_g(f)-f )<( f-ε_g(f))

χ_g(f) = ε_g(f) si (δ_g(f)-f )>( f-ε_g(f))

f χ

_g

( f )

) ( f

ε

g

δ

_g

( f )

erodé dilaté

image rehaussée image originale

Ouvertures et fermetures morphologiques

Problème Min/Max : étant donné Y∈E, B∈E, trouver le plus petit X ∈E tel que :

Y = ε

_B

( X )

X

1

X

₂

X

₃

B ^{( )} _{( )}

( )

₃²

1

X X X Y

B B B

ε ε ε

=

=

=

B Y

B⁽(Y) = ⊕

δ

C’est le dilaté de Y par le transposé de B:

REPONSE :

l’ouverture morphologique de X par B.

la fermeture morphologique de X par B.

( )

(

^X

) (

^{X B}

)

^B

B X

X _{B B}

B = = = ⊗ ( ⊕

o δ ⁽ ε γ ( )

On note :

( )

(

^X

) (

^{X B}

)

^B

B X

X _{B B}

B = • = = ⊕ ( ⊗

( δ ε ϕ ( )

et son dual :

Propriétés algébriques des ouvertures et fermetures

⇒

≤ y

x γ

^B

^{( x )} ≤ γ

^B

^{( y )} ) ( )

( x

_B

y

B

ϕ

ϕ ≤

CROISSANCE

) ( x x ≤ ϕ

_B

x

B

( x ) ≤ γ

y x y

x ≤ ε_B( ) ⇔δ_B⁽( ) ≤

(

_B ^y

)

^y

B ε ( ) ≤ δ⁽

(

(x)

)

x ≤ε_B⁽ δ_B EXTENSIVITE

L’ouverture est anti-extensive : La fermeture est

extensive :

dém: Dans la propriété d’adjonction :

donne donne et

) (y x =ε_B

) (x y =δ_B

(

_B

^{( x )} )

_B

^{( x )}

B

ϕ ϕ

ϕ =

(

_B

^{( x )} )

_B

^{( x )}

B

γ γ

γ =

(

B^(x)

)

^x B

(

B^(x)

)

B ε ε δ

δ⁽ ≤ ≤ ⁽

B B E

BεB id ε δ δ⁽ ≤ ≤ ⁽

B B B E

Bε⁽ id ε δ⁽

δ ≤ ≤

B B B B ε δ ε

ε ≤ ⁽

B B B

Bδ ε ε ε ⁽ ≤

B B B B ε δ ε

ε = ⁽

B B B B

BεB δ ε δ ε δ⁽ = ^{( (} IDEMPOTENCE

dém:

donc

et donc

et donc

) ' ( )

(x x

y = ε_B =ε_B ) (y x =δ_B⁽

( )

(

^{( ')}

)

^{( ') '}

) ( )

(

x x

x

x y

x

B B B

B B B

≤

=

=

=

=

γ ε

δ

ε δ δ

(

( (

PROPRIETE MIN/MAX

Soientx, x’, et y

tels que : et

alors

Ouvertures et fermetures : ensembles et fonctions

f g

) ( f ϕg

) ( f γg

) ( X γ

B

X

B

C’est le lieu géométrique des points de B_z tels que

B_z est inclus dans X

Ouvertures et fermetures : images binaires

B

• l’ouverture élimine les petites composantes, et ouvre les petits isthmes.

• la fermeture bouche les petites trous, et ferme les petits détroits.

X ^γ

_B

( ) ^{X ϕ}

_B

( ) ^X

Ouvertures et fermetures : images numériques

B

( )

X δB

( )

^X

εB

X γ_B

( )

^X ϕ_B

( )

X

Opérateurs obtenus par différence d’ouvertures et fermetures

) ( )

( )

( x = Φ x − Ψ x Λ

Opérateur par différence :

x x = Φ ( )

Top-hat

) ( )

( x = γ

_y

x Ψ

f

g

( ) ^x

x = ϕ

_y

Φ ( )

Top-hat conjugué

x x = Ψ ( )

f

g

Top-hat g Rolling ball g

Top Hat : images numériques

X ε_B

( )

X δ_B

( )

X

B

( )

^X

γB ϕ_B

( )

^X τ_B

( )

X = X −γ_B

( )

X τ^~_B

( )

X =ϕ_B

( )

X − X

Top Hat : images numériques

B

X

( )

X

γB ϕ_B

( )

X

( )

X

τB τ^~_B

( )

X

Ouvertures et fermetures algébriques

Les ouvertures et fermetures algébriques généralisent les ouvertures et fermetures morphologiques.

• Une ouverture algébrique est un filtre morphologique anti-extensif.

• Une fermeture algébrique est un filtre morphologique extensif.

PROPRIETE • Un sup d’ouvertures morphologiques est une ouverture algébrique

• Un inf de fermetures morphologiques est une fermeture algébrique ex :

Image originale Ouverture morpholoqique par un segment vertical

Ouverture morpholoqique par un segment horizontal

Ouverture algébrique par union des deux ensembles