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X X X X X X X XT T T T T4444 T T T 44441111 1111
Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur Techniques Mathématiques pour l’Ingénieur
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UTBM le 21 Janvier 2011 Examen final S. ABBOUDI
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Résumé de cours autorisé
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I- Calcul des variations
1- Déterminer la courbe minimisant, sur le domaine temporel
[ ]
t0,t1 , l’écart entre les énergies cinétique c mv22
E = 1 et potentielle Ep =mgy d’un corps pesant, de masse m, en chute libre, laché avec une vitesse initiale V à partir de la position 0 y0 à t0 =0.
2- Déterminer la forme générale des courbes extrèmales de la fonctionnelle : dx
) x ( ' y 1 ) x ( y )) x ( y ( J
b
a
∫
+ 2= avec y(a)=ya et y(b)=yb
II- Distributions δ : Dirac, Π : porte, H : Heaviside
1- Calculer au sens des distributions : (x−2)δ(x−3)et (x−2)δ'(x−3) 2- Calculer les dérivées première et seconde des distributions :
) x sgn(
) x x ( f
= 2 -1≤x≤2 et g(x)=sin(πx)Π(−2x) x∈R
sgn(x) = signe de x (égal -1 si x≤0 et 1 si x≥0)
III- Série de Fourier
Soit f la fonction 2π-périodique sur R telle que f(x)= x si x <π : 1. Déterminer la série de Fourier de f(x)
2. En déduire les valeurs de
∑
∞=0 +
p
)2
1 P 2 (
1 et de
∑
∞=1 n
n2
1 .
3. Calculer
∫
−ππ x2dx et en déduire la valeur de la série :∑
∞=0 +
p
)4
1 P 2 (
1 .
