Ebauche de cours d’analyse numérique pour SMP-S6

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A. RTIBI i Analyse Numérique

Ebauche de cours d’analyse numérique pour SMP-S6

FSR UM5

(2)

A. RTIBI ii

Sommaire

Introduction ... 1

Interpolation polynomiale ... 2

I. Introduction ... 2

II. Matrice de VANDERMONDE... 2

III. Interpolation de Lagrange ... 3

IV. Polynôme de Newton ... 5

V. Splines cubiques ... 7

Différentiation et Intégration ... 12

II. Différentiation numérique ... 12

III. Intégration numérique ... 15

Equations non linéaires ... 20

II. Méthode des points fixes ... 20

III. Méthode de Newton ... 24

IV. Méthode de la sécante ... 27

V. Méthode de la bissection ou Dichotomie ... 28

Systèmes d’équations algébriques ... 31

II. Méthode de résolution pour les systèmes triangulaires inférieurs et supérieurs ... 31

III. Méthode d’élimination de Gauss ... 32

IV. Méthode de décomposition LU ... 33

V. Système d’équation non linéaire ... 37

Equations différentielles ... 41

II. Méthode de Runge-Kutta ... 41

III. Méthode à pas multiples ... 44

IV. Méthode de tir ... 46

Résolution d'une équation différentielle du second ordre par une méthode aux différences finies ... 47

I. But ... 47

II. Formulation ... 47

Equations aux dérivées partielles ... 54

(3)

A. RTIBI iii I. Introduction ... 54 II. Equation de la chaleur à une dimension ... 54 III. Résolution de l’équation de la chaleur { 2-D par la méthode ADI ... 57

(4)

A. RTIBI 1 Introduction

Dans la nature, les systèmes et phénomènes physiques les plus intéressants sont aussi les plus complexes à étudier. Ils sont souvent régis par un grand nombre de paramètres non-linéaires interagissant entre eux ( météorologie, turbulence des fluides...).

Pour analyser les paramètres et grandeurs d’un système naturel il faut recourir à une série d'expériences. Mais les essais peuvent s'avérer très coûteux (essais en vol, essais avec matériaux rares, instrumentations très chères...) et ils peuvent être très dangereux (essais nucléaires, environnement spatial...). Enfin il peut être difficile de mesurer tous les paramètres: échelles du problème trop petites (chimie du vivant, couche limite en fluide...) ou trop grandes (astrophysique, météorologie, géophysique...).

On peut aussi construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique. Le principe d'un modèle est de remplacer un système complexe en un objet ou opérateur simple reproduisant les aspects ou comportements principaux de l'original (ex : modèle réduit, maquette, modèle mathématique ou numérique, modèle de pensée ou raisonnement).

Les modèles mathématiques utilisent très souvent des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dont on ne connait pas de solutions analytiques en général. Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul (le maillage). Dans certains cas il s'agit de la seule alternative (nucléaire, astrophysique, spatial...). Dans d'autres cas, les simulations numériques sont menées en parallèle avec des expérimentations.

Les différentes étapes pour modéliser un système complexe :

 Recherche d'un modèle mathématique représentant la physique. Mise en équation.

 Elaboration d'un maillage. Discrétisation des équations de la physique.

 Résolution des équations discrètes (souvent systèmes linéaires à résoudre).

 Transcription informatique et programmation des relations discrètes.

 Simulation numérique et exploitation des résultats.

(5)

A. RTIBI 2 Interpolation polynomiale

I. Introduction

A partir d'une fonction connue en points de la forme , peut-on construire une approximation de pour tout ?

Les points sont appelés points de collocation ou points d'interpolation. Ils peuvent provenir essentiellement de données expérimentales ou numériques. Le problème d'interpolation se ramène en fait à la construction d'un polynôme de degré élevé dont la courbe passe par tous les points de collocation et capable de restituer toutes les valeurs entre les nœuds. En d'autres termes, il s'agit de trouver un modèle mathématique afin de réduire toute information en une expression mathématique facilement exploitable. De ce fait, le recours aux techniques d'interpolation permet d'avoir des courbes régulières (lisses) passant par un nombre de points élevé (génération de nœuds supplémentaires).

Théorème

Un polynôme de degré de forme générale , possède exactement racines qui peuvent être réelles ou complexes conjuguées.

Corollaire

Par points de collocation , on ne peut faire passer qu'un et un seul polynôme de degré .

Démonstration

Admettons l'existence de deux polynômes de degrés chacun, notés et , passant par les points de collocation.

Considérons alors le polynôme qui est au plus de degré . On notera que le polynôme vérifie .

Le polynôme posséderait donc racines, ce qui contredit le théorème précédent. Ceci démontre l'unicité du polynôme passant par points de collocation donnés.

II. Matrice de VANDERMONDE

Puisque le problème d'interpolation consiste à déterminer l'unique polynôme de degré passant par les points de collocation, une première tentative (tentative directe) pour construire ce polynôme consiste à déterminer les coefficients du polynôme en vérifiant directement :

ou encore:

qui est un système linéaire de équations à inconnus.

(6)

A. RTIBI 3 Une écriture matricielle de ce système conduit à:

(

, | |

La matrice de ce système linéaire porte le nom de matrice de Vandermonde. Son déterminant est : ∏ ( ) , si tous les sont distincts. On peut donc trouver un unique vecteur de coefficients résolvant le problème.

Remarque : Il est connu (à admettre) que les matrices du type Vandermonde deviennent très mal conditionnées lorsque n augmente (elles sont très sensible aux erreurs d’arrondies). Dans la pratique, cette méthode n’est { utiliser que si .

Exercice

Trouver un polynôme qui interpole le nuage de points . Le nuage contient 4 points distincts, le polynôme cherché est donc de degré 3. Ses coefficients sont solution de :

(

, | |

dont la solution est . Le polynôme recherché est donc : III. Interpolation de Lagrange

L’interpolation de Lagrange est une façon simple et systématique pour construire un polynôme d’interpolation pour une fonction dont on connait les valeurs de points distincts .

Prenons l’exemple d’une interpolation linéaire .

On considère deux points de collocations ( ) ( ) distincts.

Pour déterminer le polynôme de degré 1 (d’équation : ) qui passe par les deux points distincts on résout le système {

Qu’on peut écrire aussi,

On remarque ( )

(7)

A. RTIBI 4 On dit que est le polynôme d’interpolation de Lagrange de degré 1 associé aux points ( ) ( ).

Généralisation

Soit une fonction réelle d’une variable réelle déﬁnie sur qui contient les points distincts tel que :

Théorème

Il existe un polynôme unique de degré au plus égal à tel que : Démonstration.

 Existence : Polynôme de Lagrange On définit les Polynômes par :

∏

Propriétés :

( ) On prend :

∑

On a

 unicité :

Si le polynôme n’est unique alors il existe un polynôme tel que :

On pose

Donc

Définition

Le polynôme s’appelle le polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction relativement aux points [ ) .

Les polynômes forment une base de et s’appellent les polynômes de base de Lagrange associées à ces points.

(8)

A. RTIBI 5 Exercice

On considère les points , déterminer par la méthode de Lagrange le polynôme d’interpolation polynomiale qui passe par les points :

Solution

D’après la méthode de Lagrange,

Remarque

La méthode d’interpolation de Lagrange présente un inconvénient majeur : elle n’est pas récursive. En effet, si on souhaite passer d’un polynôme de degré n { un polynôme de degré (en ajoutant un point d’interpolation), on doit reprendre tout le processus à zéro. Dans l’exemple précédent, si on souhaite obtenir le polynôme de degré 4 correspondant aux points et , on ne peut d’aucune façon récupérer le polynôme de degré 3 déj{ calculé et de le modiﬁer simplement pour obtenir . C’est en revanche ce que permet la méthode d’interpolation de Newton

IV. Polynôme de Newton

Soit une fonction dont en connait les valeurs de points distincts .

Définitions :

On appelle différence divisée d’ordre 0 :

[ ] ( )

[ ] [ ] [ ]

On appelle différence divisée d’ordre n :

(9)

A. RTIBI 6 Soit le polynôme d’interpolation de de tel que

Divisons par , on aura :

De proche en proche on aura : formule de Newton

La formule de Newton (ou polynôme de Newton) est une autre forme d’écriture du polynôme d’interpolation de Lagrange.

L’intérêt du polynôme de Newton est qu’il est plus maniable et moins coûteux et peut être calculé de manière récursive.

Pour , on déﬁnit par les formules de récurrence suivantes : {

Les différences divisées sont calculées { l’aide d’une table triangulaire, dite table des différences divisées de la façon suivante :

Remarque

La construction de cette table est simple. Nous nous sommes arrêtés aux deuxièmes différences divisées, mais les autres s’obtient de la même manière. Pour obtenir par exemple , il suffit de soustraire les 2 termes adjacents et de diviser le résultat par . De même, pour obtenir , on soustrait

(10)

A. RTIBI 7 de et de diviser le résultat par . La formule de Newton utilise la diagonale principale de cette table.

Exemple

Cherchons le polynôme de Newton qui passe par les points de collocation et .

0

1 2 3

1 2 9 28

1 7

19 3

6 1

Le polynôme est donc :

Soit en développant l’expression de dans la base canonique :

qui est le même que celui obtenu par la méthode de Lagrange.

Remarque.

Si on souhaite ajouter un point de collocation (d’interpolation) et calculer un polynôme de degré 4, il n’est pas nécessaire de tout recommencer. Par exemple, si on veut déterminer le polynôme d’interpolation de degré 4 qui passe par les points (0;1), (1;2), (2;9),(3;28) et (5;54).

La table de différences divisées pour les points (0;1), (1;2), (2;9), (3;28) et (5;54) est :

0 1 2 3 5

1 2 9 28 54

1 7 19 13

3 6

-2 1

-2 -3/5

Le polynôme est donc donné par :

qui est tout simplement le polynôme de degré 3 déjà calculé auquel on a ajouté une correction de degré 4.

V. Splines cubiques

La méthode d'interpolation par splines cubiques consiste à utiliser, dans chaque intervalle un polynôme de degré 3 de la forme:

(11)

A. RTIBI 8 Sa dérivée première et seconde sont :

Le problème d'interpolation par splines cubiques revient ainsi à déterminer, dans chaque sous intervalle, des coefficients et à relier les différents polynômes de façon que la courbe soit deux fois différentiables.

Ainsi, si on dispose de points de collocation, on aura n intervalles donc coefficients avec à déterminer.

Une approche astucieuse du problème conduirait à un système linéaire tridiagonal de dimension .

Les contraintes imposées aux n polynômes de degré 3:

 Le polynôme passe par la première extrémité donc

De ces deux contraintes aux bords, résultent 2 équations.

 Pour chaque nœud intérieur passent les deux polynômes et définis respectivement dans et . Ces deux polynômes doivent passer par les points imposant ainsi les contraintes suivantes:

{

Ceci donne

 Pour assurer la régularité de la courbe, on impose l'égalité des dérivées premières et secondes des polynômes et aux nœuds intérieurs:

,

Ceci donne

Définissons la fonction par :

Donc pour on a : Et pour on a :

(12)

A. RTIBI 9 Le polynôme en donne

En définitive, pour on aura le polynôme, sa dérivé première et sa dérivée deuxième recherché:

[

]

[

]

La continuité des dérivées premières de et aux nœuds intérieurs implique

l'égalité: pour

[

]

Remarque

Les deux nœuds extrêmes sont exclus.

Dans l'équation précédente, les inconnus sont les . On arrangera l'écriture de cette équation sous la forme:

[

]

Cette équation est une écriture condensée d'un système de équations, elle peut être réécrite sous la forme matricielle suivante:

(13)

A. RTIBI 10 (

)

||

On obtient ainsi un système de équations à inconnus. Deux conditions supplémentaires sont nécessaires pour réduire le nombre d'inconnus à autant d'équations. Plusieurs choix sont possibles. Ces choix restent en général sans grande influence sur la fonction d'interpolation; leur influence peut paraître au niveau des dérivées de la fonction aux bords de l'intervalle.

- Splines naturelles

Ce choix consiste à imposer , on se ramène dans ce cas à la résolution d'un système tridiagonal.

- Autre choix

et Choix imposant une courbure constante dans le premier et le dernier intervalles.

D'autres choix sont aussi possibles; ils permettent également de ramener le problème à un système tridiagonal dont les avantages ne sont plus à démontrer.

(14)

A. RTIBI 11 Travaux Pratiques (à rendre)

But

A partir de données expérimentales, numériques ou tabulaires restreintes (nombre réduit de données), on désire élaborer un code numérique qui permet de générer un plus grand nombre de points (pour avoir des courbes régulières) en utilisant la méthode d'interpolation par splines cubiques.

Formulation

On dispose du tableau suivant montrant des valeurs expérimentales obtenues en mesurant la vitesse (en km/h) d'un véhicule toutes les 5 secondes:

t(s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

v(km/h) 70 75 73 69 70 75 69 72 67 64

1. Montrer que, sur la base des données du tableau précédent, l'interpolation basée sur l'utilisation du polynôme Lagrange (ou de Newton) conduirait à des erreurs importantes aux temps t = 2.5s et 42.5s. Justifier votre réponse en déduisant les valeurs de la vitesse à partir du polynôme de Lagrange de degré 9 (polynôme construit à partir de 10 points de collocation).

Rappel

La forme générale du polynôme de Lagrange de degré est ∑

où est une fonction connue par ses valeurs aux nœuds de collocation et nulle part ailleurs et les polynômes sont donnés par:

2. Développer un code numérique adéquat utilisant la méthode des splines cubiques et générer, à partir du tableau précédent, 100 points ((xj, f(xj), avec j variant de 0 à 50).

3. Tracer la courbe de la vitesse en fonction du temps.

4. Déduire les valeurs de la vitesse aux temps t = 2.5s et 42.5s.

5. Conclure.

(15)

A. RTIBI 12 Différentiation et Intégration

I. Introduction

On a vu que la méthode d’interpolation permet d’évaluer la valeur d’une fonction en un point quelconque situé entre deux points de collocation, . Dans ce chapitre, il s’agit plutôt d’évaluer les dérivées de cette fonction de même que son intégrale

∫ II. Différentiation numérique

L’interpolation polynomiale de donne :

, désignant le polynôme d’interpolation et l’erreur associée { cette interpolation.

Remarque

On dépasse rarement des dérivées d’ordre 4 car la différentiation numérique est un procédé numériquement instable.

1. dérivées d’ordre 1

L’approximation des dérivées d’ordre 1 est une évaluation de la pente de la fonction . L’ordre et la précision dépendent du polynôme d’interpolation qui peut être de degré plus ou moins élevé. En fait, on montre que si on utilise un polynôme d’interpolation de degré n, la dérivée de ce polynôme, évaluée en , est une approximation d’ordre pour .

 En formulation de Newton avec un polynôme de degré 1 passant par

et avec

La dérivée de la fonction en et en est respectivement une différence avant et arrière d’ordre 1 (l’information est respectivement cherchée vers l’avant et l’arrière).

Remarque

La même différence divisée est une approximation de la dérivée à la fois en et en avec des termes d’erreurs différents.

(16)

A. RTIBI 13

 En formulation de Newton avec un polynôme de degré 2 passant par

Avec

Si on pose

2. dérivées d’ordre supérieur

Les dérivées d’ordre supérieur { un posent un problème au niveau de l’analyse de l’erreur . On contourne la difficulté en utilisant une approche basée sur des développements de Taylor.

Le polynôme de degré 2 qui interpole une fonction passant par 3 points est :

Discussion sur l’ordre de cette approximation

Procédant par un développement de Taylor pour trouver l’ordre de l’approximation de

On a

 ordre de l’approximation en

(17)

A. RTIBI 14 L’approximation est d’ordre 1 de la dérivée seconde en

L’approximation est d’ordre 2 de la dérivée seconde en

L’approximation est d’ordre 1 de la dérivée seconde en

Remarque

La symétrie des différences centrées a permis de gagner un ordre de précision.

3. Extrapolation de Richardson

C’est une technique qui permet d’améliorer la précision d’une méthode d’approximation Désignons par une approximation numérique d’une quantité exacte inconnue. Généralement, plus le pas est petit plus l’approximation est précise.

Admettons que l’approximation est d’ordre , i.e. :

Où sont des constantes qui dépendent de la méthode numérique utilisée.

La technique d’extrapolation de Richardson consiste { obtenir, { partir de l’approximation qui est d’ordre n, une nouvelle approximation d’ordre au moins égal { (n + 1). Il suffit de remplacer par dans l’équation précédente ce qui donne :

Généralement, l’approximation est plus précise que .

L’idée consiste { combiner les deux équations de façon { faire disparaître le terme qui est d’ordre .

L’extrapolation de Richardson permet ainsi de gagner au moins un ordre de précision. Si

(cas souvent observé lorsqu’on utilise des différences centrées), l’approximation devient d’ordre .

(18)

A. RTIBI 15 Exemple

on a (résultat analytique).

qui est une différence avant d’ordre 1.

Pour : Pour :

En utilisant l’extrapolation de Richardson qui est une approximation d’ordre 2.

Utilisons maintenant une différence centrée qui est d’ordre deux.

Pour : Pour :

L’utilisation de la formule d’extrapolation de Richardson avec , donne :

qui est une approximation d’ordre 4.

III. Intégration numérique

∫ ∫ ∫

En faisant varier n, on obtient les formules de Newton-Cotes. Les numériciens se limitent en pratique à des valeurs de .

1. Formules de Newton-Cotes simples et composées a. Méthode des trapèzes

En utilisant le polynôme de Newton de degré 1, on aura :

∫ ∫

∫

(19)

A. RTIBI 16 ( ) C’est l’aire du trapèze

La précision peut être améliorée si on décompose, par exemple, l’intervalle d’intégration en sous-intervalles de longueur chacun, avec et appliquer la méthode de trapèze chaque sous-intervalle :

∫ ∑ ∫

∑ ( )

qui est la formule des trapèzes composée.

On montre que la précision est d’ordre 2 pour la méthode des trapèzes composée.

Exemple

∫

⁄

 Numériquement par la méthode des trapèzes simple (un intervalle) :

∫

⁄ ⁄

⁄

 Numériquement par la méthode des trapèzes composée (4 intervalles) :

∫

⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Soit une erreur de

Numériquement par la méthode des trapèzes composée (8 intervalles) :

∫

⁄

dont l’erreur est qui est environ quatre fois plus petite que celle obtenue avec 4 sous intervalles ; ce qui justifie que la méthode des trapèzes est d’ordre 2.

Pour obtenir une précision au moins égale à 3, on utilise la formule de Richardson avec :

∫

⁄

valeur très proche de la valeur exacte Remarque

(20)

A. RTIBI 17

 La méthode des trapèzes composée est d’ordre 2. La méthode des trapèzes simple, bien qu’elle soit d’ordre 3, est rarement utilisée car elle est imprécise (on montre que le terme d’erreur, pour la méthode des trapèzes simple, est donné par – avec

 La méthode des trapèzes donne un résultat exact si la fonction est un polynôme de degré 1 car, dans ce cas, la dérivée seconde s’annule dans le terme d’erreur.

b. Formule de Simpson 1/3

On utilise dans ce cas un polynôme de degré 2 dont la courbe passe par les 3 points

∫ ∫

∫ { } Pour on a :

∫ Exemple

∫

⁄ ⁄

résultat plus précis que celui obtenu par la méthode des trapèzes simple. La précision de la méthode de Simpson 1/3 peut être améliorée aussi par la décomposition de l’intervalle en sous intervalles.( Simpson 1/3 composée)

Puisque la méthode de Simpson 1/3 requiert 2 intervalles, on divise l’intervalle d’intégration [a, b] en 2n sous intervalles et on utilise la méthode Simpson 1/3 simple dans chaque paire de sous intervalles. On obtient alors la méthode de Simpson 1/3 composée comme suit :

∫ ∑ ∫

∑

{ } {

}

(21)

A. RTIBI 18 On remarque que tous les termes de rang pair / (impair) sont multipliés par 2 / (4) sauf le premier et le dernier.

Exemple

∫

⁄

Quatre sous intervalles de longueur ⁄

∫

⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Avec 8 sous intervalles, ⁄ , ∫^⁄

En examinant les différences :| | et | |

Ainsi, lorsqu’on passe de 4 { 8 intervalles, l’erreur est divisée par 16 ce qui confirme que la méthode est précise d’ordre 4 qu’on peut encore améliorer en utilisant l’extrapolation de Richardson :

En utilisant l’extrapolation de Richardson :

∫

⁄

résultat précis au moins { l’ordre 5 c. Formule de Simpson 3/8

Si on utilise un polynôme de degré 3 passant, dans l’intervalle , par les points, on obtient la formule de Simpson 3/8 qui est donnée par :

∫ ∑ ∫

∑

Remarque

La méthode de Simpson 3/8 est beaucoup moins utilisée que celle de Simpson 1/3.

(22)

But

Mettre en application le contenu du chapitre pour évaluer numériquement l’intégrale d’une fonction. Travail { exécuter

Evaluer numériquement :

∫

en utilisant les méthodes des trapèzes et de Simpson 1/3 composées en utilisant 9 nœuds et 17 nœuds. Utiliser l’extrapolation de Richardson pour les deux méthodes.

Conclure.

On donne .

(23)

A. RTIBI 20 Equations non linéaires

I. Introduction

Dans ce chapitre, on passera en revue les principales méthodes numériques utilisées pour trouver une racine d’une équation non linéaire. On examinera les spécificités et le comportement de chaque méthode. Il s’agit donc de décrire quelques méthodes pour résoudre numériquement une équation de la forme :

Les méthodes proposées sont itératives construisant une suite vérifiant à la fin . Le but consiste donc à chercher une valeur de , notée , racine ou zéro de la fonction . En règle générale, lorsque plusieurs solutions sont possibles, il est difficile de prévoir { l’avance vers quelle racine r une méthode itérative converge. Si on tombe sur une racine non souhaitée, on doit recommencer l’algorithme avec un autre point de départ (estimation initiale de la solution). Il est à noter que le recours aux méthodes numériques devient une alternative incontournable en l’absence de solution analytique ou lorsque l’obtention de cette dernière nécessite des développements mathématiques complexes.

II. Méthode des points fixes

L’un des avantages de cette méthode est le fait qu’elle s’applique pour la résolution d’un système d’équations.

Définition : Un point fixe pour une fonction est une valeur de invariante pour cette fonction, i.e. toute solution de est un point fixe pour la fonction . Exemple

Pour la fonction , les valeurs et sont des points fixes pour . Pour établir un algorithme permettant de déterminer les points fixes, on effectue les opérations de la forme suivante :

- On se donne et on construit l’algorithme

Où est une valeur estimée initialement ; elle est ‘quelconque’ { priori. L’algorithme construit est général et son importance réside dans la relative facilité avec laquelle on analyse la convergence.

 Algorithme des points fixes

1. Données : (critère d’arrêt), (nombre maximum d’itérations) et est une estimation initiale du point fixe.

2. On effectue 3. ^| ^|

| |

a. oui Convergence atteinte Écriture de la solution Arrêt du programme b. Non Passage { l’étape 4.

4. est atteint ?

(24)

A. RTIBI 21 a. oui Convergence non atteinte en itérations

Arrêt du programme b. Non Retour { l’étape 2.

La résolution d’une équation non linéaire de la forme nécessite sa transformation en un problème équivalent de la forme . Cette transformation n’est pas unique ; il existe une infinité de façons différentes de faire cette transformation et toutes les transformations ne conduisent pas nécessairement à la solution recherchée.

Exemple

Considérons l’équation , Il existe plusieurs façons de transformer sous la forme ) . On propose à titre indicatif les transformations suivantes :

√

Toutes les transformations précédentes sont possibles (elles ne sont pas les seules) mais on verra et on comprendra plus tard qu’elles ne sont pas équivalentes pour les performances de la méthode des points fixes.

Remarque

Seuls certains choix conduisent à des algorithmes convergents. Ainsi, selon le choix de la fonction itérative et de la valeur initiale , l’algorithme des points fixes peut converger ou carrément diverger. D’où l’intérêt d’étudier les conditions de convergence de cette méthode.

1. Convergence de la méthode des points fixes (MPF)

Considérons une racine de i.e. et (condition supplémentaire vérifiée par ). Ainsi, est solution de la fonction et en même temps un point fixe de la fonction . A l’étape , on définit l’erreur par :

Question : Sous quelles conditions, l’algorithme des points fixes converge-t-il vers la racine ? Si la convergence a lieu, l’erreur en va tendre vers lorsque devient suffisamment grand.

Examinons comment évolue l’erreur.

Procédons à un développement en séries de Taylor de autour de :

Si alors au premier ordre on a :

(25)

A. RTIBI 22 Cette relation renseigne sur la vitesse avec laquelle l’erreur diminue. En fait, plus est petit, plus la convergence est rapide.

Ainsi, à l’étape de calcul , l’erreur est directement proportionnelle { l’erreur correspondant { l’étape . Cette erreur diminue si | | . Cette condition est nécessaire pour la convergence d’une méthode de points fixes. De plus, si :

| | , l’erreur va changer de signe { chaque itération et les valeurs de vont osciller de part et d’autre de .

Définitions

 Le taux de convergence d’une méthode de points fixes est donné par , Lorsqu’il est nul l’erreur est proportionnelle { dans le cas où

 Une méthode de points fixes converge { l’ordre si | | | | où est une constante.

La convergence d’ordre est dite linéaire, celle d’ordre est dite quadratique.

Remarques

 Si | | et , la convergence de la MPF est dite d’ordre 1.

 Si et ,, la convergence sera dite quadratique.

 Si et ,, la convergence sera dite d’ordre 3

 La convergence d’une MPF dépend du choix de (valeur initiale). En fait, un mauvais choix de peut conduire à un algorithme divergent même si la condition | | est satisfaite.

Définitions

 Le bassin d’attraction de la racine pour la MPF est l’ensemble des valeurs initiales pour lesquelles tend vers lorsque

Le bassin d’attraction de la racine r comprend donc tous les points pour lesquels la méthode des points fixes converge vers la racine .

On pourra avoir recours à une méthode graphique pour choisir aussi près que possible de r.

 Un point fixe de la fonction est dit attractif si | | , répulsif si

| | et indéterminé si | | Exemple

Considérons qui possède les trois points fixes . Or, les points fixes sont répulsifs car Le point fixe est plus intéressant car c’est donc un point fixe attractif. La suite des valeurs engendrées par la MPF { partir de Cette suite converge vers si Ainsi, l’intervalle est le bassin d’attraction du point fixe Un choix de { l’extérieur de cet intervalle conduit { une divergence de l’algorithme.

Remarques

(26)

A. RTIBI 23

 Le bassin d’attraction d’un point fixe répulsif se réduit { (un seul point qui est la racine).

 Dans le cas où | | , s’il y a convergence, celle-ci serait extrêmement lente.

2. Extrapolation d’Aitken

C’est une extrapolation qui permet d’améliorer la convergence d’une MPF. En effet, elle permet, { partir d’une MPF convergente { l’ordre , d’obtenir une méthode convergente { l’ordre .

Pour une convergence d’ordre , on a : } C'est-à-dire

Cette formule a été trouvée numériquement instable. A la place, on utilise la formule équivalente suivante :

Cette formule est dite formule d’extrapolation d’Aitken. Elle permet d’avoir, { partir de , et , une meilleure approximation du point fixe . Il en résulte un algorithme qui accélère efficacement la convergence d’une MPF : c’est l’algorithme de Steffenson.

Algorithme de Steffenson

1. Données : (critère d’arrêt), (nombre maximum d’itérations) et est une estimation initiale du point fixe.

2. On effectue

3. _|_|

4. est atteint ?

a. oui Convergence non atteinte en itérations Arrêt du programme

b. Non passage { l’étape 5.

(27)

A. RTIBI 24 5. On effectue le changement et on retourne { l’étape 2.

III. Méthode de Newton

La méthode de Newton compte parmi les méthodes les plus utilisées pour la résolution des équations non linéaires Soit l’équation non linéaire { résoudre et considérons une estimation initiale de la solution, on cherche une correction telle que :

Un développement de Taylor de f au voisinage de permet d’écrire : En négligeant les termes d’ordre supérieur ou égal { 2 en , on obtient :

En isolant la correction recherchée, on obtient :

En fait, est la correction qu’on devrait ajouter { pour annuler exactement la fonction . Cette correction n’est pas parfaite puisque les termes d’ordre supérieur ou égal à 2 ont été négligés. On pose alors et on recommencera le processus en cherchant à corriger d’une nouvelle quantité . D’où l’algorithme suivant :

Algorithme de la méthode de Newton

1. Données : (critère d’arrêt), (nombre maximum d’itérations) et 2. On effectue

3. ^| ^|

| |

4. est atteint ?

b. Non Retour { l’étape 2.

Remarque

L’algorithme de la méthode de Newton est un cas particulier de la MPF où

(28)

A. RTIBI 25 1. Interprétation géométrique

La droite tangente à la courbe en ( ) admet pour pente et son équation est

; elle correspond donc à un développement de Taylor { l’ordre 1 autour de et coupe l’axe en (valeur de qui annule ) ,

Ainsi, devient la nouvelle valeur estimée de la solution. On procèdera de manière analogue avec le point de la courbe et ainsi de suite jusqu’{ l’atteinte de la convergence.

2. Analyse de la convergence

Puisque la méthode de Newton est un cas particulier de la méthode des points fixes avec , la convergence dépend donc de .

Evaluons la dérivée de g :

( )

De plus, puisque et la convergence est au moins quadratique.

Remarque

Dans le cas où est également nul, pourrait être différent de zéro. Pour s’assurer de la convergence quadratique (en général) de la méthode de Newton, il suffit de calculer .

( ) ( ) ( )

En tenant compte du fait que , on obtient :

Ce rapport n’a, { priori, aucune raison d’être nul en général.

Calculons l’erreur { l’itération :

qui montre bien que la convergence est au moins quadratique si . Remarque

Un mauvais choix de la valeur de peut provoquer la divergence de la méthode de Newton.

(29)

A. RTIBI 26 3. Cas des racines multiples

Lorsque la convergence est lente, la raison est souvent due { la multiplicité d’une solution.

Définition

Une racine de est dite de multiplicité m si la fonction peut s’écrire sous la forme :

Théorème

Une racine est de multiplicité , si et seulement si :

Démonstration

Il suffit d’effectuer un développement de autour de .

Que se passe-t-il si on applique la méthode de Newton dans le cas d’une fonction admettant une racine multiple ?

Pour cela calculons :

( )

De plus, en présence d’une racine de multiplicité m, on a :

( )

( ) Interprétation

 Si (cas d’une racine simple) alors , i.e. la convergence est quadratique

 Si , la convergence est linéaire avec un taux de convergence égal à .

 Plus est grand, plus la convergence est lente ( s’approche de plus en plus de 1 qui représente un cas indéterminé).

Dans le cas d’une solution multiple, il existe un moyen pour récupérer la convergence quadratique. Il suffit de transformer le problème posé en un problème équivalent admettant les mêmes racines mais dont la multiplicité est égale à 1.

(30)

A. RTIBI 27

La fonction peut s’écrire également sous la forme:

Les fonctions et admettent les mêmes racines mais r est une racine simple pour . Comme on a et .

Ainsi, l’algorithme de Newton, appliqué { la fonction , conduit à la relation :

( ) dont l’utilisation requiert la connaissance de , et

Remarque

La convergence quadratique de la méthode de Newton, exige de connaître { l’avance la multiplicité m de la racine recherchée ce qui n’est pas évident en pratique.

IV. Méthode de la sécante

Lorsque la dérivée est difficile { évaluer ou lorsqu’elle conduit { une expression complexe, on peut contourner la difficulté en remplaçant le calcul de la pente de la droite tangente { la courbe par l’expression :

Interprétation géométrique de la méthode de la sécante (voir figure au tableau). La droite sécante passant par les points et est utilisée au lieu de la droite tangente passant par .

Algorithme de la méthode de la sécante

1. Données : (critère d’arrêt), (nombre maximum d’itérations), et . 2. On effectue

3. ^|_| ^|

|

4. est atteint ?

(31)

A. RTIBI 28 Remarque

 La dérivée de n’apparaît plus dans l’algorithme.

 Deux valeurs initiales sont indispensables pour cette méthode (algorithme à deux pas).

 La convergence est plus que linéaire et moins que quadratique. On montre que

| | | | V. Méthode de la bissection ou Dichotomie Cette méthode repose sur l’idée suivante :

Puisque et si , sont tels que , alors . Ceci signifie que change de signe dans l’intervalle . On pose,

Entre les intervalles et on choisit celui dans lequel la fonction change de signe ; la racine s’y trouve nécessairement. Si, par exemple, la fonction change de signe dans l’intervalle , on fait le changement , on considère le nouveau intervalle et on reprend le processus.

Algorithme de la méthode de la bissection

1. Données : (critère d’arrêt), (nombre maximum d’itérations), pour lequel la fonction change de signe.

2. On effectue 3. ^|_|_|^|

a. oui Convergence atteinte Écriture de la racine Écriture de Arrêt du programme b. Non Passage { l’étape 4.

4. Ecriture de 5. Si alors

6. Si alors 7. est atteint ?

Remarque

 La longueur de l’intervalle entourant la racine est divisée par deux { chaque itération. Cette observation va permettre d’estimer { l’avance le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une erreur absolue sur la racine . Soit la longueur de l’intervalle de départ. Après itérations, cette longueur se réduit à

(32)

A. RTIBI 29

Le nombre n d’itérations nécessaires pour avoir tel que . En pratique, on considère la plus petite valeur de n vérifiant cette condition.

 Si la fonction s’annule et ne change pas de signe, la méthode de la bissection ne s’applique pas.

 Si le nombre de racines est pair dans l’intervalle, il n’y a pas de changement de signe de la fonction.

 Si l’intervalle contient un nombre impair de racines, l’algorithme peut rencontrer des difficultés pour converger vers une des racines.

(33)

But

Trouver numériquement la solution d’une équation différentielle non linéaire par une des techniques enseignées dans le cours.

Formulation

Soit la fonction .

 En transformant cette équation en un problème de points fixes défini par , chercher numériquement la racine de en utilisant la méthode des points fixes et l’algorithme de Steffenson. On démarre les calculs à partir de .

 Conclure.

 Essayer d’autres valeurs de .

 Trouver numériquement la racine de en utilisant les méthodes de la bissection et de la sécante.

(34)

A. RTIBI 31 Systèmes d’équations algébriques

I. Introduction

Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations portant sur les mêmes inconnues. En général, un système de n équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

{

On peut utiliser la notation matricielle, qui est beaucoup plus pratique et surtout plus compacte. On écrit alors le système sous la forme matricielle : ⃗ ⃗⃗

Les méthodes de résolution des systèmes linéaires se groupent dans deux grandes catégories :

 Les méthodes directes : une méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution exacte du système en un nombre ﬁni d’opérations élémentaires .

 Les méthodes itératives : une méthode est dite itérative si elle permet de construire une suite qui converge vers la solution du système.

Ce chapitre se limitera à la première catégorie.

II. Méthode de résolution pour les systèmes triangulaires inférieurs et supérieurs

(

)

(

)

Si une matrice A est triangulaire alors ∏ . On en déduit que A est inversible si et seulement si

Dans ce cas la solution du système est :

{

⁄ ∑

{

⁄ ∑

(35)

A. RTIBI 32

Remarque

Dans le cas d’une matrice diagonale ⁄ III. Méthode d’élimination de Gauss

Cette méthode consiste à utiliser des opérations élémentaires sur le système pour rendre la matrice ( ) triangulaire supérieure.

On appelle matrice augmentée la matrice (

)

Toute les opérations qui seront effectuer sur la ma matrice ( ) affecteront la matrice unicolonne

Exemple

(

+ | |

⃗ ⃗⃗

La matrice augmentée est : (

+ ⃗⃗

, s’appelle premier pivot de l’élimination de Gauss. On effectue alors pour toute ligne :

⁄ , il sert pour éliminer l’inconnu des lignes en leur retranchant fois la première ligne. et

On obtient : (

+

Le deuxième pivot est . On effectue la transformation :

(36)

A. RTIBI 33

(

+ ⃗⃗

La solution est donc : |

Remarque

Si on permute les lignes dans A de façon à avoir IV. Méthode de décomposition LU

Le principe de la méthode est de se ramener à deux systèmes triangulaires. On cherche à décomposer la matrice en deux matrices (triangulaire inférieure) et (triangulaire supérieure) telles que le produit soit égal à .

Si la matrice peut s’écrire sous la forme , où et sont des matrices triangulaires inférieure et supérieure respectivement, alors le système peut se décomposer en deux sous-systèmes et .

Les matrices et étant triangulaires, la résolution de chacun de ces deux sous- systèmes est immédiate :

⃗ ⃗⃗ : on calcule (Algorithme de descente), ⃗ ⃗ : on calcule (Algorithme de remontée).

Exemple :

La matrice de l’exemple précédent a nécessitée 3 transformations pour la triangulariser.

(

+ (

+

(

+ (

+

(

+

(

+ (

+ 1. Décomposition de Crout

(37)

A. RTIBI 34 Cet exemple de décomposition consiste à prendre des valeurs unités sur la diagonale de la matrice . Raisonnons sur une matrice comme exemple en supposant au préalable que les pivots

(

, (

,

En notation compacte est représentée par : (

,

Cherchons ces 16 composantes:

 Première colonne de . On fait le produit de par la première colonne de .

 Première ligne de . On fait le produit de la première ligne de par . (pour

)

⁄

 2îeme 3îeme et 4îeme colonne de . On fait le produit de respectivement par 2îeme, 3îeme et 4îeme colonne de .

∑

 2îeme 3îeme ligne de . On fait respectivement le produit de la 2îeme, 3îeme ligne de par .

⁄ ⁄

⁄

(38)

A. RTIBI 35

∑

Résolution du système

Descente triangulaire pour résoudre ⃗ ⃗⃗

⁄ ( ∑ ) ⁄ Remontée triangulaire pour résoudre ⃗ ⃗

∑ Exemple

(

+ | | Solution :

(

+ (

+

| |

1. Décomposition avec permutation de lignes

Quand un pivot on fait une permutation de ligne pour retrouver un pivot non nul et cette permutation doit affecter aussi la matrice colonne ⃗⃗ . Pour mémoriser toutes les permutations on associe un vecteur permutation ⃗ | au système.

Exemple

(

+ | |

⃗ |

(

+ ⃗ |

 1^re colonne de : (

+