اعداد وكثيرات حدود برنولي واولر

يم علا ثحبلاو يلاعلا ي عتلا ةرازو Ministère de l'enseignement Supérieur

ةذتاسأل اي علا ةسردملا et de laRecherche Scientifique

)رئازجلا( ةميدقلا ةبقلا Ecole Normale Supérieure

Vieux Kouba(Alger)

جرخت ةركذم

ميلعتلا ذاتسأ ةداهش لينل طسوتملا

:دا عإ

تحت

فارشإ اتسأا

:

ةزن سابع  ةزن سابع

ءاع ا يد اخ ءاع ا يد اخ

ةيعماجلا ةنسلا 4102

- 4102

. )4102 :ناوج ةعفد(

€Qê ®Ë@

€Qê ®Ë@

06 . . . éÓY®Ó

07 . . . H@ QÓQK

08 . . . éJ jKPAK éjÖÏ

Èð

B@ ɒ ®Ë@

Appell XðYg H@QJ» éJËAJJÓ

12 . . . ^Appell XðYg H@QJ» éJËAJJÓ ^1.1

16 . . . èQîD„Ë@ HC¿A ‚Ë@ ‘ªK. ^2.1

ÿ AJË@ ɒ ®Ë@

QËð

@ ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ»

23 . . . úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ^1.2

23 . . . @ñ kð ­KPAªK ^1.1.2

29 . . . øQ k

@ ­KPAªK ^2.1.2

32 . . . ^(Raabe) H.@P PñJƒX ^3.1.2

34 . . . QËð

@ XðYg H@QJ» ^2.2

34 . . . @ñ kð ­KPAªK ^1.2.2

37 . . . øQ k

@ ­KPAªK ^2.2.2

40 . . . ^(Raabe) H.@P PñJƒX ^3.2.2

43 . . . ^Bn(x) ð ^En(x) áK. HA¯CªË@ ‘ªK. ^3.2

IËAJË@ ɒ ®Ë@

QËð

@ ð úÍñ KQK. X@Y«

@

46 . . . úÍñ KQK. X@Y«

@ ^1.3

46 . . . ­KPAªK ^1.1.3

46 . . . ^Bn ð ^Bn(x) áK. é¯CªË@ ^2.1.3

47 . . . @ñ k ^3.1.3

50 . . . QËð

@ X@Y«

@ ^2.3

50 . . . ­KPAªK ^1.2.3

51 . . . ^En ð ^En(x) áK. é¯CªË@ ^2.2.3

51 . . . @ñ k ^3.2.2

©K.@QË@ ɒ ®Ë@

HA®JJ.¢JË@

56 . . . éJªJJ.¢Ë@ øñ®Ë@ ©JÓAm.× ^1.4

63 . . . àAÖßQË ^ζ ©K.AJË@ ð úÍñ KQK. X@Y«

@ ^2.4

€Qê ®Ë@

66 . . . éÒKA mÌ'@

‡kCÖÏ@

68 . . . èQ¿ YÖÏ@ ú ¯ èXP@ñË@ HAJ’ m„Ë@ Ñë@

72 . . . èQ¿ YÖÏ@ ú ¯ éËð@YJÖÏ@ HA¯CªË@ Ñë@

73 . . . HAm΢’ÖÏ@ Ñj.ªÓ

76 . . . ©k.@QÖÏ@

éÓ Y®Ó

ú ¯ ñëð QËð@ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ»ð X@Y«

@ Èñk A JKQ» YÓ ÈC g áÓ éJË@ †Q¢J K ø YË@ ¨ñ “ñÖÏ@

áÓ QJºË@ ÈñÊg XAj.K@ð éƒ@PX ú ¯ AîDÊ« YÒJªK úæË@ †Q¢Ë@ Ñë@ áÓ Q.JªK X@ éKQ.m.Ì'@ ©J “@ñÖÏ@ ÕæÖޕ

. ùªK.AJË@ ÉJÊjJË@ð X@Y«

B@ éKQ ¢ , H.A‚mÌ'@ ÕΫ éJ “AKQË@ ÉKA‚ÖÏ@

: Èñ’ ¯ éªK.P

@ úÍ@ èQ» YÖÏ@ Õ悮K ÕæK à

@ A KQ gA ¯ XðYg H@QJ» HAJËAJJÖß. é“A g ÕæëA ®Ó éJ ¯ A JÓY¯ áK

@ , ¨ñ “ñÒÊË YJêÖß ÈðB@ ɒ ®Ë@ áÒ ’ IJk XðYg H@QJºË úæ •AKQË@ Õç'Y®JË@ A JËðAg ¬PAªÖÏ@ è Yë úΫ @ZA JK.ð , @ñ kð ­KPAªK áÓ , ^Appell

. QËð

@ð úÍñ KQK.

@ñ mÌ'@ð ­KPAªJË@ Ñë

@ IJk áÓ QËð

@ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ» è@ñJm× ÈðA JJË ú GAJË@ ɒ ®Ë@ ZAm. ¯ H@QJ» áK. HA¯CªË@ ‘ªK. A K QÓ Q g

B@ ú ¯ð , H.@P PñJƒX A JJ¢«

@ð , èQ g

B@ è Yë AîE. ©JÒJK úæË@

. QËð

@ð úÍñ KQK. XðYg A J ® “

@ AÒ» AîD•@ñ k ‘ªK.ð Aê ®KQªK ‘ m' AÒJ ¯ úÍñ KQK. X@Y«

@ éËC g áÓ A JÓY¯ IËAJË@ ɒ ®Ë@ AÓ

@ .QËð

@ X@Y«@ A Jm.Ì'A« é®KQ¢Ë@  ® JK.ð. úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ð úÍñ KQK. X@Y«

@ áK. é¯CªË@

úÍñ KQK. X@Y«

@ é“A g ¨ñ “ñÖÏ@ HA®JJ.¢ ‘ªK. P@QK.@ A JËðAg ©K.@QË@ ɒ ®Ë@ ÈC g áÓ Q g

B@ ú ¯ ð . ɾ» HAJ “AKQË@ ú ¯ ÕæëA ®ÖÏ@ è Yë éJÒë

@ øYÓ Cª ¯ ¼PY K ú» H.A‚mÌ'@ ú ¯

QËð

@ ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ð X@Y«

@

6

H@ QJÓQK

èQ» YÖÏ@ ú ¯ èXP@ñË@ H@ QÓQË@ ­ÊJ m×

. éJªJJ.¢Ë@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× : ^N - . éÓðYªÖÏ@ Q « éJªJJ.¢Ë@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× : ^N∗ - . éjJj’Ë@ éJ.‚ Ë@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× : ^Z - . 鮣A JË@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× : ^Q - . éJ®J®mÌ'@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× : ^R - . éJ.»QÖÏ@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× : ^C -

A é®ÊmÌ'@ ú ¯ HCÓAªÖß. XðYg H@QJ» é®Êg : ^A[X] - . ^K úΫ áKQ ªJÓ H@ X XðYg H@QJ» é®Êg : ^{K[X, Y]} - . ^P(x) XðYg QJ» ék.PX : ^degP(x) - . ^{n! =n(n−1)(n−2)...3×2×1} úÎÓA« ⁿ : ^n! - . ^{nk= k}!(nⁿ−^!k)! : IJm'. ⁿ ú ¯ ^k é®J ¯ñK : ^nk - . úÍñ KQK. XðYg QJ» ⁻ⁿ : ^Bn(x) -

.QËð

@ XðYg QJ» ⁻ⁿ : ^En(x) - . ^Bn=Bn(0) : IJm'. úÍñ KQK. X@Y«

@ : ^Bn - . ^{En= 2nEn 1}₂ : IJm'. QËð

@ X@Y«

@ : ^En - . ^{Sm(n) = 0m+ 1m+ 2m+...+nm} : IJm'. éJªJJ.¢Ë@ øñ®Ë@ ©JÓAm.× : ^Sm(n) - . ^{Tm(n) = 0m−1m+ 2m+...(−1)nnm} : IJm'. éJªJJ.£ øñ®Ë éK.ðA JJÖÏ@ ©JÓAj.ÖÏ@ : ^Tm(n) - . I.»QÓ XY« : ^z - . I.»QÓ XY« éÊKñ£ : ^|z| - . àAÖßQË AJK P ©K.AJË@ : ^ζ -

QËð

@ ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ð X@Y«

@

7

éJ m'PAK éjÖÏ

X@Y«

B@ éKQ ¢ , H.A‚mÌ'@ ú ¯ AëYj. J ¯ HAJ “AKQË@ ú ¯ èQkA‚Ë@ ZAJ ƒ

B@ áK. áÓ úÍñ KQK. X@Y«

@ à@ ^′′

(Andre−J oyal) È@ñk. éKPY K@ ^′′ AJk.ñËñJ.¢Ë@ ð ÉJÊjJË@ ú ¯ úæk ð Ém× Ij.“

@ úæË@ ð éjJj’Ë@ øñ®Ë@ ©JÓAj.ÖÏ Q

ºJ.ÖÏ@ H.A‚mÌ'@ t'PAK úÍ@ úÍñ KQK. X@Y«

@ Pð Yg. XñªK : éJËAJË@ ©JÓAj.ÖÏ@ ‘A’ k ð é ªJ“ YKYm' úÍ@ ÑëXA¯ AÓ @ Yë ð ÐY®Ë@ Y JÓ áJ “AKQË@ ÐAÒJë@

S^m(n) = 1^m+ 2^m+...+n^m

X@Y«

B éJËð

@ ém.Ì'AªÓ ^′′ K. àñ JªÖÏ@ éK.AJ» ú ¯ ^{(Danois−N eilsen)} àñ‚ÊJ K @ñ K@X úæ •AK QË@ Y»ñK K. àñ JªÖÏ@ éK.AJ» ú ¯ ^{(Edouard−Lucas)} €A¿ñË XP@ðX@ úæ„ Q ®Ë@ úæ •AKQË@ ¬A “

@ AÒ» , ^′′ úÍñ KQK.

. €YJÔ gP@ áÓ P ú ¯ I ¯Q« AëQ» X úÎK úæË@ ©J’Ë@ à

@ ^′′ X@Y«

B@ éKQ ¢ ^′′

S1(n) = n n+ 1

2 ;

S2(n) = n n+ 1

(2n+ 1)

6 ;

S3(n) = n² n+ 1²

4 =

S1(n)² .

é ªJ’Ë@ ¹⁵⁸⁹ ÐA« éÊj.‚ÖÏ@ éJK.AJºË@ éJ£ñ¢ m× ú ¯ ù¢«@ ^(Alkachi) úæ…A¾Ë@ H.QªË@ I.J.£ à@ AÒ»

: éJËAJË@

S4(n) =

S1(n)−1

5 +S1(n)

S2(n).

©JÓAj.ÖÏ@ ^{(J ohann−}F aulhabar) QK.AêËñ ¯ àAëñk. úæ •AK QË@ ù¢«

@ éJ JÓ QË@ éJ.®mÌ'@  ® K ú ¯ ð . AîDË@ É “ñK úæË@ é®KQ¢Ë@ hQå… àðX áºË , ^1≤m≤17 Ég.

@ áÓ ^Sm(n) Aî D« QJ.ªJË@ ©J¢‚ , éÓðYªÖÏ@ Q « ⁿ Ë éJK@YJK.B@ Õæ®Ë@ Ég.

@ áÓ ^S2m+1(n) ©JÓAj.ÖÏ@ à@ ¡kB AÒ»

: IJm'. ^η YmÌ'@ QJºK. XA JƒBAK.

η= n n+ 1

2 =S1(n).

Hñ J» YËA KðX ÕËAªË@ ÐA¯ úæË@ ©J’Ë@ (F aulhaber) QK.AêËñ ¯ àAëñk. Yg.ð Y¯ ð ùëð AîDƒ@PYK. ^{(Donald−Knuth)} QËð

@ ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ð X@Y«

@

8

éJ m'PAK éjÖÏ

n

X

k=1

k³ = η².

n

X

k=1

k⁵ = 1

3(4η³−η²).

n

X

k=1

k⁷ = 1

6(12η⁴−8η³+ 2η²).

n

X

k=1

k⁹ = 1

5(16η⁵−20η⁴+ 12η³−3η²).

n

X

k=1

k¹¹ = 1

6(32η⁶−64η⁵+ 68η⁴−40η³+ 5η²).

n

X

k=1

k¹³ = 1

105(960η⁷−2800η⁶+ 4592η⁵−4720η⁴+ 2764η³−691η²).

n

X

k=1

k¹⁵ = 1

12(192η⁸−768η⁷+ 1792η⁶−2816η⁵+ 2872η⁴−1680η³+ 420η²).

n

X

k=1

k¹⁷ = 1

45(1280η⁹−6720η⁸+ 21120η⁷−46880η⁶+ 72912η⁵−74220η⁴+ 43404η³−10851η²).

©JÓAj.ÖÏ@ è YêË éÓA« é ªJ“ ^{(J aques−Bernoulli)} úÍñ KQK. ¼Ag. øQå„ñ‚Ë@ ÕËAªË@ ÐY¯ Q g B@ ú ¯ð : 鮣A K éJËAJJÓ áÓ A¯C¢ @







B0 = 1 Bⁿ =− 1

n+ 1

n−1

P

k=0

ⁿ⁺¹

k

B^k ,∀n≥1

Bⁿ(x)

n≥0 úÍñ KQK. XðYg H@QJ» éJËAJJÓ ^{(Daniel−Bernoulli)} úÍñ KQK. ÈAJ K@X ù¢«

@ A®kB ð : H. é ¯QªÖÏ@

Bⁿ(x) =

n

X

k=0

ⁿ

k

Bⁿ−kx^k.

YKYjJK. ^{(Daniel−Bernoulli)} úÍñ KQK. ÈAJ K@X , ^{(Leonard−Euler)} QËð

@ XPA KñJË áÓ C¿ Õæë@ ð : IJm'. ^Tm(n) éK.ðA JJÖÏ@ øñ®Ë@ ©JÓAm.×

T^m(n) = −1^m+ 2^m−3^m+...+ (−1)ⁿn^m.

QËð

@ ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ð X@Y«

@

9

: K. èA¢ªÓ QËð

B éjJj’Ë@ X@Y«

B@ éJËAJJÖß. I ¯Q« øQ k

@ éJËAJJÓ HQê £ ð







E0 = 1 Eⁿ = 1−

n−1

P

k=0

ⁿ

k

2^n−1−k E^k , ∀n ≥1

: éJËAJË@ é¯CªË@ HAJ.KAK. ^(Euler) Ë IjÖޅ úæË@

T^m(n) = 1 2

−1ⁿ

E^m(n+ 1) +E^m(0) .

QËð

@ ð úÍñ KQK. XðYg H@QJ» ð X@Y«

@

10