Chapitre 2

(1)

Chapitre 2

Section 2.1 : forme séparable, variation de température Section 2.2 : équations linéaires, désintégration radioactive Section 2.3 : équations exactes

Section 2.4 : changements de variables, équations homogènes et de Bernoulli Exercices de révision

Section 2.1 : forme séparable, variation de température

2.1- À chaque fois, on isolera la dérivée et on verra si on peut factoriser; si la factorisation en deux fonctions qui dépendent des « bonnes variables » est possible, alors l’équation sera séparable.

a)

2

2 2

2 1

4 2 4

x x

xt x= ×t

- - , OUI variables séparables.

b) ^dy ^x ^y ^x² ^y² dx y x x y

= - = - ne se factorise pas : NON

c) ^ln

(

^{x y}⁺

)

ne se factorise pas : NON

d) ^{ln 2}

(

^{x y}

)

⁼^{ln 2}

( )

^x ⁺^ln

( )

^y ne se factorise pas : NON

e) dx x² t²

(

^{x t x t}

)( )

dt x t x t x t

- +

= - = = +

- - ne se factorise pas : NON

f)

2 2

dy y x

dx y

= - ne se factorise pas : NON

2.2-a) 1 1

; alors dy y

dy dx

dx x y x

- -

= =

Les variables sont séparées; on intègre :

( ) ( )

^ln^{( )} ^ln^{( )}

ln ln ^y ^{x c} C

y x c e e y

x

- +

= - + Þ = Þ =

Si x=1, alors y=4. Donc 4 4 4

1

C C x y

= Þ = Þ =

(2)

b) 2t dx e ³^xdt 0 2e dx³^x ¹dt 0 t

+ - = Þ + =

( ) ( )

3 3

2 ln 2 3ln

3

x x

e + t =c Þ e + t =C c) ^dy ^{y x}

(

⁸ ³

)

¹^dy

(

⁸^x ³

)

^dx

dx = + Þ y = +

( )

²

ln y =4x +3x c+

On prend l’exponentielle : y C e= ⁴^x²⁺³^x

d)

(

²

) (

²

)

2 2

2 1 4 0 2 0

4 1

x y

x y dx y x dy dx dy

x y

× + + × + = Þ + =

+ +

(

²

)

¹

(

²

) (

²

) (

²

)

¹²

ln 4 ln 1 ln 4 ln 1

x + + 2 y + =c Þ x + + y + =c

On prend l’exponentielle :

(

^x²⁺⁴

)

^y² ^{+ =}¹ ^C

e) ^dy e e^x ^y

dx = × ; alors ¹_y dy e dx^x

e =

y x x y

e^- e C e e^- C

- = - Þ + =

f)

( )

( ) ( )

( )

cos 1 cos

1 sin 1 sin

t t

dx x dx dt

dt = t Þ x = t

- -

( ) ( ( ) ) _{( )}

ln ln 1 sin

1 sin

x t c x C

= - - + Þ = t

- en prenant l’exponentielle.

Remarquez que la constante ici et celle dans le manuel ont des signes différents.

g) di 0 ¹ R 0

L R i di dt

dt + = Þ i + L =

( ) ( )

ln R t ln R t ^c ^Rt^L

i c i c i e

L L

+ = Þ = - Þ = -

R tL

i C e= ^-

4-y2 1 1

¢ = Þ =

(3)

( ) ( )

⁴ ⁴

1 2 2 2

ln ln ln ln 4

4 2 2 2

y y y

x c x c C x

y y y

æ + ö= + Þ æ + ö= + Þ + =

ç - ÷ ç - ÷ -

è ø è ø

4 4

3 2 2

1 5 5

3 2 2

C C y x

y

+ = Þ = Þ + =

- -

i) ^cos¹

( )

^x ^{dx e}⁼ ^-²^t ^dt

( ) ( ) ( )

2 2

( )

cos 1 1 cos

ln ln

sin 1 2 2 sin 1

t t

x x

e C e C

x x

- -

æ - ö - æ - ö

= + Þ + =

ç ÷ ç ÷

ç - ÷ ç - ÷

è ø è ø

j) 1

dy dx

y =

Les variables sont séparées; on intègre : 2 y = +x C

2 4 0= +C Þ C=4 Þ 2 y = +x 4

2.3 On a ^{F x y}

( )

^, ⁼ ^y

Il faut évaluer ^F

( )

^{0, 4} ⁼²^{; et}

( ) ( )^, ^0,4 4

1 1

2 4

x y y

F

y ₌ y ₌

¶ = =

¶ .

Les 2 fonctions sont continues dans une région autour du point

( )

^{0, 4} ^{. Donc il}

existe une solution explicite unique.

Isolons doncy à partir de la solution trouvée en 2.2 j) :

2 4 4

2

y = +x Þ y = x+ ; ici, on doit avoirx > – 4

(

⁴

)

²_, ₄

4

y x+ x

= > -

2.4- y dy= -x dx

2 2

y x

c x y C

= - + Þ + =

2 02 2 2 2 2

a + =C Þ C a= Þ x +y =a

Les courbes sont des cercles centrés à l’origine, de rayon |a|.

Il faut que - £ £a x a Si a= -3, alors y= - 9-x²

Le « – » devant le radical est là pour que y soit négatif, à cause de la condition initiale.

(4)

2.5- ⁹

(

^x^-²

)

^dx⁺⁴

(

^y^-¹

)

^dy⁼⁰

( )

²

( )

²

(

²

) (

² ¹

)

²

9 2 2 1

2 4 9 18

x y C

x y C - -

- + - = Þ + =

( ) (

²

)

²

2 2 2 1

0 3

1 1

4 9 18 18 4 9

x y

C C - -

+ = Þ = Þ + =

C’est l’équation d’une ellipse centrée en

( )

^2,1 , de largeur 4 (de 0 à 4) et de hauteur 6 (de –2 à 4).

2.6- T

( )

⁰ =^{100, 10}T

( )

=^{80, 25}TA= : ^dT ^{k T}

(

²⁵

)

dt = -

( )

⁷⁵ ¹¹ ¹⁰ ²⁵

15

t

T t = æçè ö÷ø +

a) Après 20 minutes, l’eau est à 65ºC

b) Elle est à 40ºC après 51,9 minutes, elle est à 26ºC après 139,2 minutes, et à 25,5ºC après presque 162 minutes.

(5)

2.7- T

( )

⁰ =^{10, 5}T

( )

=^{15, 40}TA = : ^dT ^{k T}

(

⁴⁰

)

dt = - 5 5

40 30 6

t

T = - ×ç ÷æ öè ø

Ça prend 6,2 minutes de plus (donc 11,2 minutes en tout) pour qu’elle soit à 20ºC.

(6)

2.8 Posons t=0 à 23h00, et prenons le temps t en heures. On considérera que la température à l’intérieur de la maison de Mme Frileuse suit la loi de Newton, avec la température ambiante qui est la température extérieure.

( )

⁰ ^20,

( )

¹ ^{16, 15}A

T = T = T = - : ^dT ^{k T}

(

¹⁵

)

dt = +

À 5h00 le lendemain matin, la température dans la chambre est 1,9ºC.

(7)

2.9 Posons t=0 à 6h20, au moment où le coroner mesure la première température. Et prenons le tempst en heures.

On a donc T

( )

⁰ =^{29, 1}T

( )

=^{28, 21}TA = : ^dT ^{k T}

(

²¹

)

dt = - On chercherat pour que la température soit 37ºC.

On trouve

( )

^{21 8} ⁷

8

t

T t = + ç ÷æ öè ø

( )

³⁷

T t = si t = -5,19089.

M. de la Malchance est donc mort vers 6h+20min–5,19h, c’est-à-dire 1h08min33s.

2.10 On prendt en minutes :T

( )

⁰ =^25,T

( )

¹ =^50,T

( )

² =^73,TA=^??? :

(

A

)

dT k T T dt = -

Avec les calculs présentés ci-dessous, on trouve T_A =337,5ºC.

(8)

RETOUR AU DÉBUT DU CHAPITRE 2

(9)

Section 2.2 : équations linéaires, désintégration radioactive 2.11-a) En isolant la dérivée, ^dy ⁴ y ³₂

dx = x - x , on voit que l’équation est linéaire; on a

( )

⁴

P x x

=- et ^{Q x}

( )

₂³

x

= -

b) Cette équation n’est pas linéaire à cause du x (variable dépendante) au dénominateur dans ^t

x.

c) Cette équation est directement sous la forme voulue : elle est linéaire.

( )

^{cos 2}

( )

P x = x et ^{Q x}

( )

²_x^x

= e

d) On isole la dérivée : 2 ^3sin

( )

2 dx x t

dt = t - t ; l’équation est linéaire.

( )

²

P t t

= - et

( )

^3sin

( )

2 Q t t

t

=- .

2.12- a) ^{P x}

( )

¹ ^{u x}

( )

^e ¹^x^dx ^x

x

= Þ = ò =

4 2 2 2 C

y x x dx x C y x

× =

ò

= + Þ = + x b) ^{P t}

( )

^{= -}⁶ ^Þ ^{u t}

( )

⁼^e^-⁶^t

( ) ( ( ) ( ) )

6 6 1 6

10 sin 2 cos 2 3sin 2

2

t t t

x e× ^- =

ò

e^- t dt = - e^- t + t +C

( ) ( )

( )

⁶

1 cos 2 3sin 2 2

x=- t + t +C e t

c) ^{P t}

( )

⁼⁴ ^Þ ^{u t}

( )

⁼^e⁴^t

4t 5t 4t t

i e× =

ò

e^- ×e dt = -e^- +C

4t 5t

i C e= ^- -e^-

( )

⁰ ⁵ ⁵ ¹ ⁶ ⁶ ⁴^t ⁵^t

i = Þ = -C Þ C= Þ i= e^- -e^- d) ^{P t}

( )

⁼⁵ ^Þ ^{u t}

( )

⁼^e⁵^t

(10)

5t 5t 5t

i e× =

ò

e^- ×e dt t C= +

5t 5t

i t e= × ^- +C e^-

( )

⁰ ⁰ ^{0 0} ⁰ ⁵^t

i = Þ = +C Þ C= Þ i t e= × ^-

e) ^dy ^y³ ² ^{P x}

( )

³ ^{u x}

( )

^x³

dx+ x = Þ = x Þ =

3 3 4

3

1 1

2 2 2

y x x dx x C y x C

× =

ò

= + Þ = +x

f) ^dy ^y ² ^{x e}² ^x ^{P x}

( )

² ^{u x}

( )

¹₂

dx x x x

- -

æ ö

+ çè ÷ø= Þ = Þ =

( )

2 2

1 _x 1 _x _x

y x e dx e C y e C x

x =

ò

x = + Þ = +

g) ^dy ² ^{y t}²^cos

( )

^t ^{P t}

( )

² ^{u t}

( )

¹₂

dt t t t

- = Þ = - Þ =

( ) ( ) ( ( ) )

2 2

1 1

cos sin sin

y t t dt t C y t t C

t =

ò

t = + Þ = +

( )

²

⁽ ⁾

2

3 3 1 12 1

2 4

y p p C C

= Þ = + Þ =p -

( )

2

sin 12 1

y t t

p

æ ö

= çè + - ÷ø

2.13-a) variables séparables : ₂1 ² 1

4 2 arctan

2 2

4

x dx dt x t C

t

= + Þ = æ öç ÷è ø+

b) linéaire, ^P

( )

^q ⁼^-_q²^, ^Q

( )

^q ⁼^q³^e^-²^q

( )

¹₂ ¹₂ ³ ₂² ¹ ²

2 4

u q r q e ^q dq q e ^q C

q q q

- æ- ö -

= Þ =

ò

=çè - ÷ø +

3 2

2 2 2

r C= ×q - q 4+q e^- ^q

c) linéaire : ^{P x}

( )

^{= -}^{2 ,}^{Q x}

( )

⁼^{4 cos 3}

( )

^x ^Þ ^{u x}

( )

⁼^e^-²^x

( ) ( ( ) ( ) )

2 2 4 2

4 cos 3 3sin 3 2cos 3

13

x x x

y e× ^- =

ò

e^- x dx= e^- x - x +C

(11)

( ) ( )

²

12 8

sin 3 cos 3

13 13

y= x - x + ×C e x

d) linéaire : ^di ²⁰⁰ⁱ ¹¹⁰⁰ ^{P t}

( )

^{200 ,}^{Q t}

( )

¹¹⁰⁰ ^{u t}

( )

^e²⁰⁰^t

dt+ = Þ = = Þ =

200 200 11 200 11 200

1100 2 2

t t t t

i e× =

ò

e dt = e +C Þ i= + ×C e^-

( )

⁰ ⁰ ⁰ ¹¹₂ ₂¹¹ ¹¹₂

(

¹ ²⁰⁰^t

)

i = Þ = +C Þ C=- Þ i= -e^-

e) directement intégrable : d y²₂ 4 dy 4 ₁ 2 ² ₁ ₂

x C y x C x C

dx = Þ dx = + Þ = + +

f) linéaire : ^{P t}

( )

¹^,^{Q t}

( )

^sin^t ^{u t}

( )

¹ ^x¹ ¹^sin

( )

^{t dt}

t t t t

= - = Þ = Þ =

ò

Cette intégrale ne possède pas de primitive simple; nous utiliserons donc la condition initiale :

( ) ( ) ( )

1

1 1

1 sin x t x t

t - =

ò

u u du

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 1 1

sin 2 sin

1

t t

x t x t

u dt u dt

t - =

ò

u Þ t = +

ò

u

( ) ( )

1

2 1sin

t

x t t u du

u

æ ö

= ×ççè +

ò

÷÷ø

g) linéaire : ⁰

( )

^,

( )

⁰

1 1

x x

dy e e

y P x Q x

dx+ e = Þ = e =

+ +

( )

¹^e^x^e^x^dx ^{ln 1}

^{( )}

^e^x ¹ ^x

(

¹ ^x

)

₁ x

u x e e e y e C y C

e

+ +

= ò = = + Þ × + = Þ =

+

( )

⁰ ² ² ⁴ ⁴

1 1 1 ^x

y C C y

= Þ = Þ = Þ = e

+ +

2.14- On pose Q

( )

0 =Q0 avec le tempst en minutes; alors

( )

0

20 1

Q =2Q puisque

d 20 t = .

0 k t

dQ k Q Q Q e

dt

= - × Þ = - ;

( )

₂₀

0

ln 2 2

20

k= Þ Q Q= × ^-t

(12)

La quantité disparue est Q₀-la quantité restante : il en disparaît 29% en 10 minutes, 75% en 40 minutes, et 98,4% en 2 heures.

2.15- Si 15% se désintègre, alors il en reste 85%.

0 kt

Q Q e= ^- avec

( )

0

( )

0 ¹⁵

15 0,85 17

20

t

Q = Q Þ Q t =Q æçè ö÷ø On trouve que la demi-vie de cet élément est presque 64 jours.

2.16- Q Q e= ₀ ^-^kt avec

( )

0

( )

0 ²⁰⁰

200 0,8 4

5

t

Q = Q Þ Q t =Q æ öç ÷è ø

Ça prend 1442,5 jours pour n’avoir que 20% de la quantité initiale.

(13)

2.17- Q Q e= ₀ ^-^kt avec Q

(

5730

)

=0,5Q0 Þ Q t

( )

=Q02^-^t⁵⁷³⁰ On trouve que l’animal est mort il y a environ 22933 ans.

2.18- Soit Q la quantité de la substance. Alors le taux de variation de Q (donc la dérivée deQ) est proportionnel à l’inverse deQ : dQ k

dt =Q.

On a que ^Q

( )

⁰ ⁼⁵⁰^, ^Q

( )

² ⁼⁴⁰; on cherchet pour que ^{Q t}

( )

⁼⁰^.

Variables séparables : ¹ ² ² 2

Q dQ k dt= Þ 2Q =k t c+ Þ Q = k t C+ On peut extraire la racine carrée pour isolerQ puisqueQ est toujours positif.

2 Q= k t C+

( )

⁰ ⁵⁰ ⁵⁰ ²⁵⁰⁰ ² ²⁵⁰⁰

Q = Þ = C Þ C= Þ Q= k t+

( )

² ⁴⁰ ⁴⁰ ⁴ ²⁵⁰⁰ ²²⁵ ^{2500 450}

Q = Þ = k+ Þ k = - Þ Q= - t

2500 450 0 50 5,56

t t 9

- = Þ = »

Ça prend un peu plus que 5 jours et demi pour que la substance disparaisse.

2.19- Si on suit le conseil qui nous est donné et qu’on inverse les variables, alors on

considère plutôt dx dx

x y x y

dy = + Þ dy- = .

On obtient une équation linéaire, avec ^{P y}

( )

^{= -}¹ ^Þ ^{u y}

( )

⁼^e^-^y^et ^{Q y}

( )

⁼ ^y^.

(14)

Alors ^{x e}^× ^-^y ⁼

ò

^{y e dy}^-^y ^{= - -}

(

^y ¹

)

^e^-^y⁺^C ^Þ ^{x C e}⁼ ^y^{- -}^y ¹, ce qui est équivalent à la réponse donnée.

2.20- Posons ^v⁼^ln

( )

^y ^{, alors} ^{y e}⁼ ^v

On calcule la dérivée pour effectuer le changement de variable : ^dy e^v ^dv dx = dx L’équation différentielle ^dy ^{y P x}

( )

^{Q x y}

( )

^ln

( )

^y

dx+ = devient donc

( ) ( )

vdv v v

e e P x Q x e v

dx+ × = × ×

( ) ( )

dv v Q x P x

Þ dx- × = - est linéaire env.

La solution est donnée par ^{v u x}×

( )

= -

ò

P x u x dx C

( ) ( )

× + ^{, où} ^{u x}

^{( )}

⁼^e^ò^-^{Q x dx}^{( )} ^. Finalement,

( ) ( ) ( )

ln P x u x dx C

( )

y u x

- × +

=

ò

2.21- On est dans la situation du problème précédent, avec ^{P x}

( )

⁼^x³^et ^{Q x}

( )

⁼²^x^.

En posant ^v⁼^ln

( )

^y , on obtiendra l’équation dv 2 ³

v x x

dx- × = -

( )

^x²

u x =e^- et

2 2 2 2

3 1

2

x x x x

v e^- x e^- dx + e^- C

× = - ×

ò

= +

( )

² ¹ ²

ln 2

x x

y + C e

= + ×

2.22- Si x£2, on résout l’équation dy 1

dx+ =y avec ^y

( )

⁰ ⁼⁰^.

linéaire, avec ^{P x}

( )

⁼^{1, donc}^{u x}

( )

⁼^e^x

x x x 1

y e× =

ò

e dx e= +C

( )

⁰ ⁰ ^{0 1} ₁ ₁ ¹ ¹ ^x

y = Þ = +C Þ C = - Þ y= -e^- .

Ce résultat nous donne que ^y

( )

² ^{= -}¹ ^e^-²; c’est la condition initiale que nous utiliserons pour résoudre l’équation dy 0

dx+ =y quand x>2.

2 2

x 0 x

y e× =

ò

dx C= Þ y C e= × ^-

(15)

( )

¹

(

² ¹

)

^si^si ²²

x x

e x

y x e e x

- -

ì - £

= íï

× - >

ïî

(16)

Section 2.3 : équations exactes

2.23-a) ² 1

2 4

M y

x y x y

y y x x

¶¶ =¶ è¶ æç + ö÷ø= +

(

^ln

( )

² ²

)

¹ ⁴

N x x y x y

x x x

¶ ¶

= + = +

¶ ¶

Les 2 dérivées partielles sont égales, donc l’équation est exacte.

( )

^, ^y ² ²

( )

^ln

( )

² ²

( )

V x y x y dx c y y x x y c y

=

ò

x+ + = + +

( ) ( )

(

^ln ² ²

) _{( )}

₂

_{( )} _{( )}

₂

_{( )}

ln 2 ^doitln 2 0

y x x y c y

x x y c y x x y c y

y

¶ + +

¢ ¢

= + + = + Þ =

¶

La solution est ^y^ln

( )

^x ⁺^{x y}² ² ⁼^C

b)

(

³

)

₂

(

³ ²

)

3

x x

y e x e x y

M N

y y y x x

- -

¶ + - ¶

¶ = = =¶ =

¶ ¶ ¶ ¶

L’équation différentielle est exacte.

( )

^,

(

³ ^x ^x

) ^{( )}

³ ^x

^{( )}

V x y =

ò

y +e^- -x e^- dx c y+ =x y +x e^- +c y

(

³

( ) )

₂

_{( )}

₂

_{( )}

3 3 0

x doit

x y x e c y

x y c y x y c y

y

¶ + - +

¢ ¢

= + = Þ =

¶

3 x

x y +x e^- =C

c)

(

² ² ²

) (

² ²

)

x x y 2 x y

M N

y y x x x

¶ + ¶ +

¶ ¶

= = = =

¶ ¶ ¶ ¶

L’équation est exacte.

( )

^,

(

² ² ²

)

²₃ ³ ²

^{( )}

V x y =

ò

x + x y dx= x +x y c y+

( ) ( ) ( ) ( )

3 2

2 2 2 2 3

2 3

3 x x y c y doit

x c y x y c y y c y y

y

æ ö

¶ç + + ÷

è ø = + ¢ = + Þ ¢ = Þ =

¶

3 2 3 3 2 3

1

2 1

2 3

3x +x y+3y =C Þ x + x y y+ =C

d) ^M

(

^{8 sin 2}^v

( )

^u ²^u

)

_{8sin 2}

_{( )}

_u ^N

(

^{4cos 2}

^{( )}

^u

)

v v u u

¶ + ¶ -

¶ ¶

= = = =

¶ ¶ ¶ ¶

(17)

( ) ( )

(

^{4 cos 2} ²

) _{( )} _{( )} _{( )} _{( )}

4cos 2 ^doit 4cos 2 0

v u u c v

u c v u c v

v

¶ - + +

¢ ¢

= - + = - Þ =

( )

¶

2 4 cos 2 u - v u =C

e) L’équation doit être réécrite : ⁴^{x y dx}³ ⁺

(

^x⁴^-⁴^{y dy}³

)

⁼⁰

( )

⁴ ³ ₃

(

⁴ ⁴ ³

)

x y 4 x y

M N

y y x x x

¶ ¶ -

¶ ¶

= = = =

¶ ¶ ¶ ¶

( )

^, ⁴ ³

( )

⁴

( )

V x y =

ò

x y dx c y+ =x y c y+

(

⁴

( ) )

₄

_{( )}

₄ ₃

_{( )}

₃

_{( )}

₄

4 4

x y c y doit

x c y x y c y y c y y

y

¶ +

¢ ¢

= + = - Þ = - Þ = -

¶

La solution générale est x y y⁴ - ⁴ =C

( )

¹ ⁴ ^{1 4 4}⁴ ⁴ ²⁵²

y = Þ × - = - =C

4 4 252

y -x y = (Nous avons changé les signes...)

f) Il faut réécrire l’équation :

(

^y⁺^cos

(

^{x y dx}⁺

) )

⁺

(

^x⁺^cos

(

^{x y dy}⁺

) )

⁼⁰

( )

(

^cos

) ₍ ₎ (

^cos

( ) )

1 sin

y x y x x y

M N

y y x y x x

¶ + + ¶ + +

¶ ¶

= = - + = =

¶ ¶ ¶ ¶

L’équation différentielle est exacte.

( )

^,

(

^cos

( ) ) ( )

^sin

( ) ( )

V x y =

ò

y+ x y dx c y+ + = × +x y x y+ +c y

( ) ( )

(

^{x y} ^sin ^{x y} ^{c y}

)

_x _cos

₍

_{x y}

₎

_{c y}

_{( )}

^doit_x _cos

₍

_{x y}

₎

_{c y}

_{( )}

₀

y

¶ × + + +

¢ ¢

= + + + = + + Þ =

¶

( )

sin

x y× + x y+ =C

( )

⁰ ₆ ⁰ ^{sin 0} ⁰ ¹

6 6 2

y =p Þ × +p æç +p ö÷= + =C

è ø

( )

¹

sin 2

x y× + x y+ =

g) M

(

e x t^t

( ) )

t N

( )

¹ e^t

x x e t t

¶ - ¶ +

¶ ¶

= = = =

¶ ¶ ¶ ¶

Donc l’équation est exacte.

( )

^,

(

^t

( ) ) ^{( )}

^t

⁽

¹

^{) ( )}

V t x =

ò

e x t dt c x- + =e x+ - +t c x

( ) ( )

(

e x^t ¹ t c x

)

t

_{( )}

^doit t ₁

_{( )}

₁

_{( )}

e c x e c x c x x

x

¶ + - +

¢ ¢

= + = + Þ = Þ =

¶

(18)

(

¹

)

e xt + - + =t x C

2.24-a)

(

² ²

)

x y y 4

M x y

y y

¶ - +

¶ = = - +

¶ ¶

(

^x² ²^{x y}

)

₂ ₂

N x y

x x

¶ -

¶ = = -

¶ ¶

4 2 2 6 3

M N

x y x y y x

y x

¶ -¶ = - + - + = -

¶ ¶

2

( )

3

6 3 3 1

2

M N

y x

N x x y x u x x

¶ -¶

- -

¶ ¶ = = Þ =

-

L’équation devient ₂ ²₃ 1 ₂

2 2 0

y y y

dx dy

x x x x

æ- + ö +æ - ö =

ç ÷ ç ÷

ç ÷ è ø

è ø , qui est exacte.

( )

^, ₂^y ²^y²₃ ^y ^y²₂

( )

V x y dx c y

x x x x

æ- ö

= çç + ÷÷ = - +

è ø

ò

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2 ^doit 2 0

y y

x x c y y y

c y c y

y x x x x

æ ö

¶ç - + ÷

è ø= - + ¢ = - Þ ¢ =

¶

2 2

y y x - x =C

Si on résout en séparant les variables, on a

(

²

) (

²

)

⁰

y× - +x y dx x- × y x dy- = 0

y dx x dy- = si 2y x- ¹0

( ) ( ) ( )

1 1 1

, 0, 0 ln ln ,

dx dy x y x k y c x y c 2

x = y ¹ ¹ Þ + = Þ × = ¹

ò ò

On peut vérifier que la solution y c x= satisfait la solution que nous avions trouvée avec un facteur intégrant :

2 2 2

2

2 , avec 2

y y c x c x

C y c x c c C

x - x = = Þ x - x = - =

b)

(

^x²⁺^{y dx}²

)

^-²^{x y dy}⁼⁰

(

² ²

)

x y 2

M y

y y

¶ +

¶ = =

¶ ¶

(

²^{x y}

)

₂

N y

x x

¶ =¶ - = -

¶ ¶

2 2 4

M N

y y y

y x

¶ -¶ = + =

¶ ¶

M N

¶ ¶

-

(19)

L’équation exacte est

2

1 y2 2y 0

dx dy

x x

æ ö

+ - =

ç ÷

è ø

( )

^, ¹ ^y²₂ ^y²

( )

V x y dx x c y

x x

æ ö

=

ò

ççè + ÷÷ø = - +

( ) ( ) ( )

2

2 2

doit 0 x y c y

x y y

c x c x

y x x

æ ö

¶ç - + ÷

- -

è ø= + ¢ = Þ ¢ =

¶ y2

x C

- x =

c)

(

^ln

( ) ) _{( )}

ln 1

x

y y y e x

M y e

y y

¶ +

¶ = = + +

¶ ¶

(

^{x y}^cos

( )

^y

)

₁

N

x x

¶ =¶ + =

¶ ¶

( ) ( )

ln 1 ^x 1 ln ^x

M N

y e y e

y x

¶ -¶ = + + - = +

¶ ¶

( )

( ) ( )

ln 1 1

ln

x x

M N

y e

y x u y

M y y y e y y

¶¶ -¶¶ = + = Þ =

+

L’équation à résoudre est donc

(

^ln

( )

^y ⁺^{e dx}^x

)

⁺^æç ^x_y⁺^cos

^{( )}

^{y dy}^ö÷ ⁼⁰

è ø

( )

^,

(

^ln

( )

^x

)

^ln

^{( )}

^x

^{( )}

V x y =

ò

y +e dx x= y +e +c y

( ) ( )

(

^ln

) _{( )} _{( )}

cos

x doit

x y e c y x x

c y y

y y y

¶ + +

= + ¢ = +

¶

( )

^cos

( ) ( )

^sin

( )

c y¢ y c y y

Þ = Þ =

( ) ( )

ln ^x sin

x y +e + y =C

d)

(

2 ²

)

2

x t

t e x t

M e

x x

-

¶ - -

¶ = = -

¶ ¶

( )

²^t² ₄

N t

t t

¶ =¶ - = -

¶ ¶

2 2^{x t} 4

M N

e t

x t

¶ -¶ = - - +

¶ ¶

2

( )

2 2

4 2

2 2

x t x

x t

M N

t e

x t u x e

N t e

- -

-

¶ ¶

- -

¶ ¶ = = Þ =

-

En multipliant par le facteur intégrant, on obtient l’équation

(20)

(

²^{t e}^-²^x^-^e^-^t

)

^dy^-²^{t e}² ^-²^x^dx⁼⁰

( )

^,

(

² ²^x ^t

)

² ²^x ^t

^{( )}

V t x =

ò

t e^- -e^- dt t e= ^- +e^- +c x

(

² ²

( ) )

2 2 2

_{( )}

2 2 2

_{( )}

0

x t

x doit x

t e e c x

t e c x t e c x

x

- -

¶ + +

¢ ¢

= - + = - Þ =

¶

2 2x t

t e^- +e^- =C

e)

(

² ² ^{cos 2}

( )

² ⁴

)

₂

_{( )}

₄

4 sin 2 2

x x

e y y e

M e y y e

y y

-

¶ - - -

¶ = = -

¶ ¶

(

² sin 2

( )

⁴

)

2

_{( )}

4

2 sin 2 4

x x

e y y e

N e y y e

x x

-

¶ + -

¶ = = -

¶ ¶

( )

2 4

2 ^xsin 2 2 ^x

M N

e y y e

y x

¶ -¶ = + -

¶ ¶

( ) ( ) ( )

2 4

2

2 4

2 sin 2 2

sin 2 2

x x

x

x x

M N

e y y e

y x

u x e

N e y y e

- -

¶ -¶

¶ ¶ = + = Þ =

+

L’équation devient

(

^-²^e⁴^x^{cos 2}

( )

^y ^-^{y e}² ^-²^x

)

^dx⁺

(

^e⁴^x^{sin 2}

^{( )}

^y ⁺^{y e}^-²^x

)

^dy⁼⁰

( )

^,

(

² ⁴^x^{cos 2}

( )

² ²^x

)

₂¹ ⁴^x^{cos 2}

^{( )}

¹₂ ² ²^x

^{( )}

V x y = -

ò

e y -y e^- dx= - e y + y e^- +c y

( ) ( )

4 2 2

4 2

1 1

cos 2

2 2

sin 2

x x

e y y e c y

e x y e c y

y

-

æ- ö

¶ç + + ÷

è ø = + + ¢

¶

( ) ( ) ( ) ( )

4^xsin 2 2^x ^doit 4^xsin 2 2^x 0

e x +y e^- +c y¢ = e x +y e^- Þ c y¢ =

( )

4 2 2

1 1

cos 2

2 2

x x

e y y e^- C

- + =

f)

(

² ² ² ⁴ ²

)

4 2

y y x

M y

y y

¶ + +

¶ = = +

¶ ¶

(

²^{x y x}

)

₂ ₁

N y

x x

¶ +

¶ = = +

¶ ¶

2 1

M N

y x y

¶ -¶ = +

¶ ¶

2 1 1

( )

2

M N

y x y

u x x

N x y x x

¶ -¶

¶ ¶ = + = Þ =

+

L’équation exacte est

(

²^{x y}² ⁺²^{x y}⁺⁴^{x dx}³

) (

⁺ ²^{x y x dy}² ⁺ ²

)

⁼⁰

(21)

(

^{2 2} ² ⁴

( ) )

₂ ₂

_{( )}

₂ ₂

_{( )}

2 ^doit2 0

x y x y x c y

x y x c y x y x c y

y

¶ + + +

¢ ¢

= + + = + Þ =

¶

La solution générale est x y^{2 2}+x y x² + ⁴ =C

( )

¹ ¹ ^{1 1}^{2 2} ^{1 1 1}² ⁴ ^{1 1 1 3}

y = Þ + + = + + = =C

2 2 2 4 3

x y +x y x+ =

2.25- Il faut commencer par écrire l’équation avec des différentielles :

( ) ( )

(

^{y P x} ^-^{Q x dx dy}

)

⁺ ⁼⁰

( ) ( )

(

^{y P x} ^{Q x}

) _{( )}

M P x

y y

¶ -

¶ = =

¶ ¶

( )

¹ ₀

N

x x

¶ ¶

= =

¶ ¶

Les deux dérivées ne sont pas égales, donc l’équation n’est pas exacte.

M N

( )

y x P x

¶ -¶ =

¶ ¶ et

( ) ( ) ( )

^{( )}

1

P x dx

M N

y x P x P x u x e

N

¶ -¶

¶ ¶ = = Þ = ò

Le facteur intégrant est bel et bien celui que nous avons utilisé dans la section sur les équations linéaires.

2.26-a) On multiplie l’équation

(

²^y²⁺³^{x y dx}

) (

⁺ ⁴^{x y}⁺³^{x dy}²

)

⁼⁰^par ^{x y}^{n m}^.

Le résultat doit être une équation exacte.

(

²^{x y}ⁿ ²⁺^m⁺³^x¹⁺ⁿ^y¹⁺^m

) (

^dx⁺ ⁴^x¹⁺ⁿ^y¹⁺^m⁺³^x²⁺^{n m}^y

)

^dy⁼⁰

(

² ² ³ ¹ ¹

) ₍ ₎

₁

₍ ₎

₁

2 2 3 1

n m n m

n m n m

x y x y

M m x y m x y

y y

+ + +

+ +

¶ +

¶ = = × + + × +

¶ ¶

(

4 ¹ ¹ 3 ²

) ₍ ₎

1

₍ ₎

1

4 1 3 2

n m n m

x y x y

N n x y n x y

x x

+ + +

+ +

¶ +

¶ = = × + + × +

¶ ¶

Alors ^{2 2}^{× +}

(

^{m x y}

)

ⁿ ¹⁺^m^{+ × +}^{3 1}

(

^{m x}

)

¹⁺^{n m}^y ^{== × +}^{4 1}

(

^{n x y}

)

ⁿ ¹⁺^m^{+ × +}^{3 2}

(

^{n x}

)

¹⁺^{n m}^y

Donc il faut que ^{2 2}

(

⁺^m

) (

⁼^{4 1}⁺ⁿ

)

^et ^{3 1}

(

⁺^m

) (

⁼^{3 2}⁺ⁿ

)

Le facteur intégrant est donc x y× ²

b)

(

²^{x y}⁴⁺³^{x y dx}² ³

) (

⁺ ⁴^{x y}² ³⁺³^{x y dy}³ ²

)

⁼⁰ est exacte.

( )

^,

(

² ⁴ ³ ² ³

)

^{2 4} ^{3 3}

^{( )}

V x y =

ò

x y + x y dx x y= +x y +c y

(

^{2 4} ^{3 3}

( ) )

_{2 3} _{3 2}

_{( )}

_{2 3} _{3 2}

_{( )}

4 3 ^doit4 3 0

x y x y c y

x y x y c y x y x y c y

y

¶ + +

¢ ¢

= + + = + Þ =

¶

(22)

2 4 3 3

x y +x y =C

2.27- Il faut que

( )

²

1 2

y 1 M x y

y x x y

æ ö

¶ç + + ÷

¶ = è ø = -

¶ ¶ +

Donc

( )

(

¹

)

₂ ¹

( )

, M

M x y dy dy k x

y x y x y

¶ -

= = = +

¶ + +

ò ò

^où ^{k x}

^{( )}

est n’importe

quelle fonction qui ne dépend que dex.

L’équation est donc ¹ ^{k x dx}

( )

¹ ²^{y dy} ⁰

x y x y

æ ö æ ö

+ + + =

ç + ÷ ç + ÷

è ø è ø

Calculons sa solution :

( )

^, ¹

( )

^ln

( ) ( ) ( )

V x y k x dx x y k x dx c y

x y

æ ö

=

ò

çè + + ÷ø = + +

ò

+

( ) ( ) ( )

(

^ln

)

1

_{( )}

1

doit 2 x y k x dx c y

c y y

y x y x y

¶ + + +

= + ¢ = +

¶ + +

ò

( )

²

( )

²

c y¢ y c y y

Þ = Þ =

( ) ( )

²

ln x y+ +

ò

k x dx y+ =C

(23)

Section 2.4 : changements de variables – homogènes et Bernoulli

2.28-a) dy ^{x y} e^x_y ^y ^x ^y ^x

e e dy e dx e e C

dx e

= - = Þ = Þ = +

b) dy 1 dv

v x y y x v

dx dx

= - Þ = - Þ = -

1 1 1

1

v v

v

dv dv

e e dv dx

dx dx e

- = Þ = - Þ =

-

( )

ln ^v 1

v- e - = +x c

( )

ln ^{x y} 1

x y- - e ^- - = +x c

c) Prenons l’exponentielle de la réponse de b) et transformons-la pour obtenir la réponse de a).

(

¹

)

1

x y x x y x x y

x y

e k e e k e e

e

- - -

- = Þ = -

-

2 1

1

x x x y

x y x

y y y y

e e e e

k e k e k k

e e e e

- æ ö æ - ö

= - Þ = ççè - =÷÷ø ççè ÷÷ø, en simplifiant les e^x et en mettant sur un dénominateur commun.

Multiplions maintenant par e^y :¹⁼^{k e}

(

^x^-^e^y

)

^Þ ¹⁼^{k e}^x^-^{k e}^y

1 1

y x y x

k e k e e e

= - Þ = -k Et voilà le travail! avec C ¹

k

=- .

2.29-a) dy 1 y

dx x

= + ç ÷æ öè ø; on a donc bel et bien une fonction de ^y

x , et l’équation est homogène.

( )

¹

( )

¹ ¹ ¹ ¹

v y F v v

x F v v v v

= Þ = + Þ = =

- + -

( ) ( )

ln ln

dx y

dv v x C x C

x x

= Þ = + Þ = +

( )

ln

y x= × x +C x

b) 2 3

(

² ³

)

2 3

y y

dy y x x

x y y

dx x y

x x

= = =

+ + + ; donc l’équation est homogène.

(24)

On aurait aussi pu utiliser notre calculatrice avec y v x= × . On voit que lesx et lesy disparaissent, donc l’équation est homogène.

( )

3 2

y v

v F v

x v

= Þ =

+

( )

^dv ^dx ^{ln 3}

(

^v ¹

)

^2ln

( )

^v ^ln

( )

^x ^c

F v v = x Þ + - = +

-

( )

ln 3y 1 2 ln y ln x c

x x

æ + -ö æ ö= +

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

On peut donner la solution sous diverses formes; vous en avez quelques-unes ici.

c)

dx x x 1

dt t t æ ö-

= + ç ÷è ø : l’équation est homogène.

( )

¹

v x F v v

t v

= Þ = +

( )

¹ ² ^ln

( )

₂² ^{2 ln}

( )

2

dv dt x

v t c t C

F v v = t Þ = + Þ t = +

-

Chapitre 2

(

)

(

)

( )

( )

(

)( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

) (

)

( ) (

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( ) ( ( ) ) _{( )}

⁽ ⁾