RELATION DE DESCARTES ; REFRACTION LIMITE.

(1)

Exercices d’optique géométrique - correction :

N.B : Pour les constructions géométriques, se reporter au cours, où tous les cas ont été inventoriés.

RELATION DE DESCARTES ; REFRACTION LIMITE.

Ex 1 : : Miroir de Poggendorf

1) Par les lois de réflexion, l’angle entre rayon incident et rayon réfléchi sera de 2i

o

.

2) Si l’orientation du miroir est modifiée de α, cet angle devient 2(i

o

+ α). Donc un déplacement angulaire d’angle α du miroir se traduit par un déplacement angulaire 2α pour le rayon réfléchi. 2) tanα ≈ α = d/(2D) = 0,070 ° = 4,2 ‘.

Ex 2. : Courbure d'une fibre optique.

Le rayon situé du côté intérieur de la courbure va présenter le plus faible angle d’incidence par rapport à la normale du dioptre cœur/gaine.

Il reste à écrire la condition de réflexion totale pour ce rayon : l’angle α indiqué sur la figure doit être supérieur à l’angle de réfraction limite : n

1

.sinα > n

2

.

Il faut expliciter cette condition en fonction des données géométriques du problème. Sinα = (R – d/2)/(R + d/2)

Donc (R – d/2)/(R + d/2) > n

2

/n

1

. On tire :

𝑅 > 𝑛 + 𝑛 𝑛 − 𝑛 . 𝑑

2 𝐴𝑁 ∶ 𝑅 > 18 𝑚𝑚 LENTILLES MINCES Systèmes optiques à lentille unique.

3. Grossissement commercial d’une loupe.

1) Par définition, le diamètre apparent d’un objet est l’angle sous lequel on le voit.

L’angle étant faible, on confond tanθ et θ, donc θ = L/d = 0,12 rad = 6,8° ;

2) L’image est renvoyée à l’infini. De même θ’ = tanθ’ = L/f’ d’où θ’ = 0,30 rad = 17° ; 3) G = θ’/θ ≃ tanθ’/tanθ = d/f’ ; G = 2,5 ;

4) L’image de l’objet réel, situé entre le foyer objet et le centre optique, doit être une image virtuelle, doit être située dans l’espace objet. Elle sera ainsi de plus grande taille que l’objet observé u moyen de la loupe. Grossissement pour G > 1 ; il faut donc d/f’ > 1 donc f’ < d = 0,25 m ce qui implique pour la vergence V’ = 1/f’ > 4 δ.

5) Image à l’infini : voir (2). Image formée à 25 cm de l’oeil : OA′ = −(25 − 10) = −15 cm, d’où par la relation de conjugaison : OA = −6 cm. Profondeur de champ de 4 cm.

R

d

Rayons incidents

α

(2)

Ex 4 : Montage 4f’ d'une lentille mince convergente.

Par les relations de Descartes :

1 𝑂𝐴′ − 1

𝑂𝐴 = 1 𝑓′

avec 𝑂𝐴 = -2f’. Il vient : 𝑂𝐴′ = +2f’ et 𝛾 = −1 = 𝑂𝐴′ 𝑂𝐴′ ⁄

On peut établir les mêmes résultats par les formules de Newton : 𝐹′𝐴′. 𝐹𝐴 = −𝑓′² où 𝐹𝐴 = −𝑓′et donc 𝛾 =

−1 = 𝐹′𝐴′ −𝑓′

Ex 5 : Profondeur de champ sur une prise de vue photographique.

a) Déterminons la position A’

1

de l’image géométrique d’un point objet située de façon à ce que le faisceau convergent en A’

1

ait un diamètre égal à d au niveau du capteur CCD, A’

1

étant située après le plan du capteur.

Par le théorème de Thalès : D/d = OA’

1

/ A’A’

1

. Comme D >> d, OA’

1

>> A’A’

1

et donc OA’

1

≈ OA’ donc A’A’

1

≈ d.OA’/D.

La position de A’

1

peut être calculée par rapport à A’, position de l’image d’un point A situé à exactement 5,0 m de l’objectif.

On connaît 𝑂𝐴 = −5,0 𝑚 et f’ = 0,20 m. Par la relation de conjugaison pour A→A’ : 𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴. 𝑓′

𝑂𝐴 + 𝑓′ = 0.2083𝑚 𝑑 𝑜ù 𝐴 𝐴 = 0,2083. 10 𝑚

b) Par la relation de conjugaison concernant cette fois A

1

→A’

1

: 𝑂𝐴 = 𝑂𝐴′ . 𝑓′

𝑂𝐴′ − 𝑓′ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴 + 𝐴 𝐴′ = 0.2085𝑚 𝑑 𝑜ù 𝑂𝐴 = −4,905 𝑚 c) Mêmes démarches dans le cas d’une image A’

2

située en amont du capteur CCD.Par le théorème de Thalès : D/d = OA’

2

/ A’

2

A’. Comme D >> d, OA’

2

>> A’

2

A’ et donc OA’

2

≈ OA’ donc A’

2

A’ ≈ d.OA’/D.

Ce qui amène le même résultat qu’en b) : 𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴. 𝑓′

𝑂𝐴 + 𝑓′ = 0.2083𝑚 𝑑 𝑜ù 𝐴 𝐴 = 0,2083. 10 𝑚 Par la relation de conjugaison concernant cette fois A

2

→A’

2

:

𝑂𝐴 = 𝑂𝐴′ . 𝑓′

𝑂𝐴′ − 𝑓′ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴 + 𝐴 𝐴′ 𝑜ù 𝐴 𝐴′ = −0.2083 𝑚 𝑑 𝑜ù 𝑂𝐴

= −5,138 𝑚

b) On en déduit la profondeur de champ A

1

A

2

pour cette prise de vue : A

1

A

2

= 0.233. La signification de ce résultat est que la zone sur laquelle les objets formeront une image apparemment nette sera s’étendra sur une profondeur d’environ 23 cm. Seul le visage de la personne sur laquelle mal mise au point a été faite sera nette, mais le fond environnant sera flou.

A’

1

O A’ d

D

A’

₂

d

O A

’

Capteur CCD D Capteur CCD

(3)

Ex 6 : Méthode d’auto collimation :

A → A

1

→ A

2

A’ = A se traduit par les relations de conjugaison suivantes : − =

_′

, car O = S , et :

Attention au sens de traversée de L.

En combinant ces équations pour éliminer l’une ou l’autre des quantités, on tire : 𝑂𝐴 = - f’ et 𝑂𝐴 →∞.

Ce qui signifie que l’on a la configuration souhaitée : quand l’objet A est situé dans le plan focal objet de la lentille, l’image intermédiaire est envoyée à l’infinie. Après réflexion par le miroir, donnant l’image intermédiaire A

2

, elle-même à l’infini, l’image final formée à travers la lentille (traversée dans le sens retour) se forme dans le plan de l’objet A.

LENTILLES MINCES Systèmes optiques à plusieurs lentilles.

Ex 7 : Foyers d’un doublet.

On cherche la position des foyers de l’ensemble (L

1

; L

2

).

Foyer image : Un faisceau parallèle incident a pour image F’

1

, F’ conjugué de F’

1

par L

2

. Par la formule de Newton : 𝐹′ 𝐹′. 𝐹 𝐹′ = −𝑓′ ² d’où : 𝐹′ 𝐹′ = −5𝑐𝑚.

Foyer objet : utilisons le principe du retour inverse de la lumière. Un faisceau parallèle incident traversant L

2

(de droite à gauche) a pour image le foyer objet de L

2

, puis F conjugué de F

2

par L

1

. Par la relation de Newton, de même 𝐹 𝐹. 𝐹′ 𝐹 = −𝑓′ ² .

Ex 8 : Doublet afocal

La position des foyers des deux lentilles amène, pour le système, à une conjugaison entre l’infini et l’infini.

Intérêt : rétrécisseur ou élargisseur de faisceau. Utilisation possible pour concentrer la lumière (voir lunette de Galilée).

Ex 9 : Elargisseur de faisceau

En choisissant une lentille de focale f’

1

= 0,5 cm, et lui adjoignant une lentille convergente, on a la situation correspondant au schéma ci-dessous :

2

1

OA

OA  

' 1 1

1

2

f

OA

OA   

(4)

Le doublet de lentille doit être afocal, c’est à dire qu’il doit établir une conjugaison entre l’infini et l’infini.

Pour cela, on placera la seconde lentille de façon que son plan focal objet soit dans le plan focal image de la première.

En utilisant le théorème de Thalès (voir figure) : D / d = f’

2

/ f’

1

. Ceci impose donc une focale f’

2

= 10 cm.

Ex 10 : Lunette de Galilée.

8-1) schéma :

En haut : cas d’une lunette astronomique (2 lentilles convergentes). L’image est renversée (β = α’est de signe opposé à α). (cas non envisagée dans l’exercice)

En bas : cas d’une lunette de Galilée (1 lentille convergente, 1 lentille divergente).

L’image est droite (β = α’est de même signe que α).

(5)

8-2) Schéma : voir exercice 9 (même configuration).

Ex 11 : Téléobjectif.

9-1) Le plan focal image de l’instrument est l’image du plan focal de L

1

par L

2.

9 - 2) schéma

Calcul : Même démarche que l’exercice 8-2).

Ex 12 : Viseur

1) F’, foyer image de l’ensemble, est donc l’image de F’

1

par L

2

. Par la relation de Newton, on tire après calculs :

𝐹′ 𝐹′ = −𝑓′ ²

𝑓′ + 𝑓′ − 𝑑 = −4,5𝑐𝑚 le système étant symétrique : 𝐹 𝐹 = +4,5𝑐𝑚.

2) Pour que l’observateur voie sans accommodation, l’image définitive doit être à l’infini. Donc l’image donnée par l’objectif doit être au foyer de l’oculaire.

Or : L étant le tirage cherché.

Quand A est à l’infini : L

∞

= 31,5 cm ; quand A est à 50 cm de l’objectif : L

m

= 76,5 cm.

Ex 13. Appareil photographique, Macrophotographie : Exercice traité pour la partie 1 en cours.

1) Etude d'un objectif classique :

a) Le capteur (C) doit être placé dans le plan focal image de la lentille L1 ? b) Construction très classique. Image dans le plan focal image.

c) A B ' ' =α.f’.

d A’B’ = AB.f’/D (où AB = 60 m, D = 3 km et f’ = 75 mm).

e) La lentille doit être remplacée par une lentille de focale deux fois plus grande ? '

1 1 1

OA f

OF   ^OF ^ ^L ^ ¹ ^, ⁵ ^cm

(6)

f) On veut évaluer le déplacement τ nécessaire pour la mise au point sur un objet situé à 1,20 m. On aura donc τ = F A ' ' . L’accès à τ se fait donc naturellement par la relation de conjugaison selon Newton.

Exprimons d’abord FA FO OA    f '  OA = 50.10

^-3

-1,20 = -1,15 m D’où : τ = - (f’²)/ FA soit numériquement : τ = 2,17 mm.

Pour la mise au point, l’objectif va donc se translater de 2 mm environ par rapport au capteur CCD. En pratique, l’amplitude de ce mouvement étant très limitée, on ne pourra pas mettre au point l’appareil à une distance inférieure à environ 1 m.

2) Objectif Macrophotographique :

1°) Reprenant le même objectif qu'en (I), on considère cette fois un objet AB de longueur

1,0 cm, situé à une distance AO1 = 35 cm devant l'objectif dans un plan perpendiculaire à l'axe optique. On ne peut pas photographier cet objet en ayant une image correcte puisque le tirage maximal correspond à une distance de mise au point de 1,20 m.

2°) On modélise l’objectif macro comme formé d’une association d’une lentille L2 convergente de vergence 3 dioptries C2 = 3  (donc de focale f’

3

= 33,3 cm) et d’une lentille assimilable à L

1

. L

2

est placée à une distance fixée à O2 O1 = 5 cm (L

²

est donc située entre l’objet à photographier et L

1

).

a) Un objet AB est situé à 33,3 cm de L

2

. L’image A’B’ à travers L

2

se forme à l’infini.

Cette image intermédiaire est considérée comme un objet pour L

1

, donc l’image finale A’’B’’ se formera dans le plan focal de la lentille L1. Le tirage de l’objectif est alors nul.

b) Le tirage maximal '

max

restant inchangé, l'ensemble des points A de l'axe qui peuvent, après mise au point, être photographiés en donnant une image nette est situé entre la situation précédente et celle qui conduirait à une image A’ se formant dans un plan situé à une distance 𝜏 = 2,17 𝑚𝑚 après le plan focal image de L1.

On peut remonter à la position de l’image intermédiaire A

1