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Relation entre l’effet wiedemann et l’effet Joule de magnétostriction
E. Fromy
To cite this version:
E. Fromy. Relation entre l’effet wiedemann et l’effet Joule de magnétostriction. J. Phys. Radium, 1926, 7 (1), pp.13-24. �10.1051/jphysrad:019260070101300�. �jpa-00205232�
RELATION ENTRE L’EFFET WIEDEMANN ET L’EFFET JOULE DE MAGNÉTOSTRICTION (1)
par M. E. FROMY,
Ingénieur à l’Établissement Central de la Radiotélégraphie militaire.
Sommaire. 2014 La torsion magnétique de Wiedemann est une manifestation particulière
de la magnétostriction de Joule. Il est possible d’établir entre .ces deux phénomènes un
lien de cause à effet, à condition de tenir compte de toutes les déformations produites dans
l’effet Joule par le champ inducteur.
Dans l’expérience de Wiedemann, le tube est soumis à l’action d’un champ hélicoïdal qui provoque des variations de longueur dans toutes directions, parallèlement au champ (effet Joule longitudinal) et perpendiculairement (effet Joule tranversal).
L’étude de ces deux effets montre une dissymétrie qui entraîne une torsion du tube et conduit à une formule qui rend compte de toutes les particularités de l’effet Wiedemann ; elle interprète, en particulier, l’existence d’un maximum de torsion et d’un point d’in-
version pour des champs différents de ceux qui produisent des effets analogues dans le phénomène de Joule.
L’inversion de la torsion se produit lorsque les coefficients des effets Joule transversal et longitudinal sont égaux et de mêmes signes.
La courbe synthétique de l’effet Wiedemann obtenue à partir de celles des deux effets Joule est en bon accord avec l’expérience.
1. Travaux antérieurs. - De nombreux expérimentateurs ont abordé l’étude de la torsion magnétique découverte par Wiedemann (2).
La plupart se sont bornés à tracer des courbes de l’angle de torsion en faisant varier le
métal, ses dimensions, les valeurs du champ et du courant, etc...
Les résultats ainsi obtenus sont assez confus et pas toujours très concordants. Les courbes les plus suggestives ont été fournies par les travaux de );1. Jouaust, repris par
Pellet, et par ceux de M. Williams, qui a publié sur la question toute une série d’études dans lesquelles il s’est efforcé d’établir une liaison entre l’effet Wiedemann et l’effet Joule de
magnétostriction.
Ces divers travaux semblent condenser l’état des connaissances actuelles sur ce sujet;
nous allons tout d’abord les résumer rapidement afin de bien dégager les lois générales,
nous chercherons ensuite à les interpréter et à ramener au phénomène fondamental de Joule celui de Wiedemann, qui semble n’en être qu’une manifestation particulière.
MM. Jouaust et Pellet utilisaient, dans leurs expériences, des fils de 0,2 à 0,3 mm de
diamètre et 55 cm de long environ. Ces fils étaient attachés par leur extrémité supérieure
et tendus verticalement par une masse de plomb. Ils étaient aimantés longitudinalement
par un long solénoïde et parcourus par un courant continu. Les résultats caractéristiques
sont résumés dans la fig. 1, relative à un fil de fer de 0,21 mm de diamètre et 55 cm de
longueur ; la torsion est mesurée, en millimètres, par le déplacement d’un spot sur une
échelle graduée.
Les essais de M. Williams ont porté sur des tubes de 80 cm de longueur et de 0,5 à
1 mm de rayon moyen.
Ces tubes étaient aimantés longitudinalement par un long solénoide ; le courant d’exci- tation était envoyé soit dans le tube lui-même, soit dans un fil isolé disposé suivant son
axe.
(1) C. R., t. 181 (28 décembre 1925), n° 26.
la bibliographie à la fin de l’article.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019260070101300
’
Fig. 1. - A. Fil de fer. Diamètre : 0,021 cm ; longueur. 55 cm.
M. Wiliams a mesuré simultanément sur chacune dos tubes l’effet Wiedemann et l’effet Joule longitudinal. Les courbes obtenues se présentent toutes sous la forme de la fig. 2, relative à un tube d’acier de longueur 80,2 cm et de
diamètres : intérieur 0,i538, extérieur 0,2386 cm.
Enfin, M. Williams a étudié simultanément sur des échantillons de
fer, nickel, cobalt, les effets Joule transversal et longitudinal. Les résul-
tats obtenus se présentent sous la forme des figures 3 et 4, relatives à un
tube de fer de 30,7~ cm de longueur et à un tube de nickel.
Toutes ces expériences amènent aux conclusions générales suivantes : 10 Sous l’action d’un champ magnétique, un métal magnétique subit
des variations de longueur dans le sens du champ (effet Joule longitudi- nal) et dans toutes directions perpendiculaires
au champ (effet Joule transversal).
2° Sous l’action d’un champ uniforme pa-
rallèle à son axe et d’un champ circulaire produit par un courant axial, un tube en métal magnétique subit une torsion (effet Wiede- mann). Le courant axial peut circuler dans
le tube ou dans un fil isolé disposé suivant
l’axe. Les torsions sont simplement plus faibles
dans le premier cas que dans le second.
3° Les phénomènes semblent de même
2. - Tube d’acier. Rayon moyen : 0,098 cm ; longueur : 80,2 cm,
nature, mais les liens qui les relient paraissent complexes.
4° Les effets Joule longitudinal et trans-
versal sont assez complexes dans le cas du
fer et de l’acier. Pour des champs faibles,
on a d’abord une dilatation longitudinale et
une contraction transversale ; pour des
champs élevés, on observe l’inverse. Les courbes présentent des points d’inversion
qui ne sont pas forcément communs pour les deux effets.
Dans le cas’du nickel, on observe tou-
jours une contraction longitudinale et une
dilatation transversale ; les phénomènes
semblent beaucoup plus simples.
5° Les lois de l’effet Wiedemann se
résument comme suit :
a) A champ constant, la torsion croît d’abord proportionnellement au courant jusqu’à
une certaine valeur pour laquelle elle semble tendre vers une limite ou un maximum.
b) A courant constant, la torsion croît d’abord proportionnellement au champ tant qu’il
reste faible ; puis elle passe par
un maximum et décroît. La dé-
croissante, d’abord rapide, se
ralentit peu à peu.
Dans le cas du fer, elle s’an
nule entre 150 et 200 gauss, puis
s’inverse. Dans le cas du nickel,
la croissance et la décroissance sont plus lentes ; en outre, il n’y a
pas de point d’inversion, la tor-
sion est toujours de même signe
et diminue continuellement très lentement.
c) Le maximum de torsion se
produit pour une certaine valeur du champ, qui est indépendante
du courant traversant le fil. En
outre, ce champ diffère de celui qui correspond au maximum de l’effet Joule longitudinal.
d) Le point d’inversion, dans le cas du fer, semble n’avoir aucun rapport avec les points analogues des deux effets Joule.
e) Les torsions sont de signes contraires pour le fer et le nickel, tant
que le champ reste inférieur à la valeur d’inversion du fer.
6° Tous les phénomènes de magnétostriction (Joule et Wiedemann) présentent de l’hystérésis. ,
Seul parmi tous les auteurs, M. Williams a essayé, non pas d’établir
une théorie générale des phénomènes de magnétostriction, mais de ratta- cher la torsion magnétique aux effets Joule dont elle semble être une consé- quence directe ou une manifestation particulière. Le raisonnement de
M. Williams était le suivant :
Considérons un tube en métal magnétique de longueur L et de rayon moyen r soumis aux actions d’un champ uniforme parallèle à son
Fig. 5. axê et cl’nn champ circulaire C produit par un courant Ces 2 champs on t une résultante le qui fait avec H un angle ¢ tel que
Il en résulte que les variations de longueur dues à l’effet Joule vont se produire suivant
une hélice inclinée d’un angle r, sur les génératrices du cylindre. Ces variations de longueur
entraîneront un déplacement AB de l’extrémité A de l’hélice ; si on désigne par J le coef- ficient de l’effet Joule, ce déplacement p s’exprime p par
JL .
Il a deux composantes, l’unecos q p
parallèle à l’axe du tube et qui correspond à une variation de longueur axiale, l’autre tan-
,gente au tube et qui caractérise une rotation d’angle :
En explicitant tg ~ en fonction de H et de 1, on obtent finalement :
Cette formule rend compte de l’allure générale du phénomène dès que devient suffi-
16
samment grand, mais elle devient tout à fait inexacte pour les faibles valeurs de H. En par-
ticulier, si le champ axial est nul, on se trouve en présence d’un~ simple effet Joule sous
l’action du champ circulaire C, et la torsion magnétique doit devenir nulle. La formule de M. Williams indique, au contraire, qu’elle devisent infinie.
En outre, cette formule ne met pas en évidence un maximum de torsion ; on ne peut qu’en admettre l’existence qualitative en spéculant sur la variation de J.
Elle indique que la torsion doit toujours être proportionnelle à I, alors qu’en pratique
~on trouve une limite ou un maximum dans certains cas.
Enfin, elle est tout à fait impuissante pour interpréter l’inversion de la torsion, dans
le cas du fer, pour une valeur du champ différente de celles qui correspondent aux points
d’inversion des effets Joule.
La théorie de M. Williams semble donc n’être que très approchée et il était intéressant de chercher à établir, entre les effets Joule, d’une part, et Wiedemann, d’autre part, une
liaison quelconque reposant sur des bases plus solides.
Pour cela, il paraît indispensable de tenir compte, non seulement de l’effet Joule longi- tudinal, mais aussi de l’effet Joule transversal, dont les effets sont du même ordre de gran- deur. C’est ce que nous allons faire ci-après, notre but n’étant pas d’établir nne théorie
complète des phénomènes de magnétostriction, mais simplement de chercher un lien entre
les effets Joule et l’effet Wiedemann et de synthétiser ce clei-nier en partant des courbes
expérimentales relatives aux deux premiers.
~. Phénomène fondamental. - Si on place un métal magnétique dans un champ
uniforme ne, il se produit des variations de longueur dans. les directions parallèles et per-
pendiculaires au champ.
Parallèlement au champ, on a une variation de taux p que nous compterons positive-
ment dans ce qui suit s’il s’agit d’une contraction et négativement clans le cas d’une
dilatation. ,
Dans toutes directions perpendiculaires à il y a une variation de longueur de
taux p’ que nous compterons avec les mêmes conventions de signe que p.
Cela étant, imaginons une feuille métallique plane, indéfinie, d’épaisseur s et plongée
dans un champs uniforme CC parallèle à son plan. On obtiendra : 1° Une contraction p parallèlement à Je,
2° Une contraction p’ perpendiculairement à ~ dans le plan de la feuille,
3° Une contraction dans le sens de l’épaisseur, donc une variation C’E d’épaisseur.
Supposons maintenant que l’on roule ce plan de façon à lui donner la forme d’un
cylindre, le champ Je restant en chaque point parallèle à l’élément de surface, donc dans le
plan tangent au cylindre, et devenant, par suite, un champ hélicoïdal ou circulaire (cas où
l’axe du cylindre est perpendiculaire au champ). ,
On aura encore des contractions p parallèlement au champ en chaque point et des
contractions p’ perpendiculairement à ce champ. Comme, d’autre part, la partie supérieure
du tube sera fixée à un support indéformable, tous les points de la circonférence d’encas- trement seront astreints à ne pas quitter cette circonférence. Les conitractions p donne- ront donc naissance à des glissements parallèles au plan d’encastrement qui se traduiront
par une torsion du tube.
On arrive ainsi au phénomène de Wiedemann en partant des effets Joule.
Nous allons étudier tout d’abord les déformations d’une feuille plane indéfinie, puis
nous roulerons cette feuille pour en faire un cylindre et nous chercherons à déduire, des
déformations de la feuille, celle du tube.
3. Déformation douane feulile. - Imaginons une feuille de métal magnétique, d’épaisseur s et affectant la forme d’un plan indéfini que nous prendrons comme plan de la figure (fig. 6).
Traçons sur cette feuille une droite à et posons à priori que, dans toutes les déforma- tions de la plaque, les points de cette droite sont astreints à rester sur elle.
Considérons un point 0 de cette droite que nous prendrons comme;origine des coor-
données et traçons 2 axes de coordonnées Oy et Ox faisant avec à un angle 1i.
Soit, en outre, un autre point N sur ~, de coordonnées x et y.
Imaginons maintenant que nous plongions la feuille dans un champ [uniforlue, de
valeur Ce et parallèle au plan de la figure.
Supposons, pour fixer les idées, que ce
champ soit parallèle à l’axe des ordon- nées Oy.
Nous aurons alors :
1’ Une contraction p parallèlement
. à Oy, qui amènera le point N en N~
tel que 1ï~1’ = py.
’2° Une contraction p’ parallèlement
à qui amènera le point 1~T’ en Nil
tel que iV’N" =
3" Une contraction dans le sens
de l’épaisseur de la feuille, donc une
variation d’épaisseur p’é.
Le point N est venu en N° ; comme, par hypothèse, il ne doit pas quitter la
droite à supposée fixe dans l’espace, il
faut faire effectuer à l’ensemble de la
figur3, y compris les axes de coordon-
nées, une rotation a autour de 0, qui
ramène N" en sur 0.
Finalement, le déplacement réel du point N est sur la droite ~, ce qui correspond à une contraction
PA -- parallèlement à
pA = ON parallèlement à A.
En supposant les déformations de la feuille assez faibles pour pouvoir négli-
ger les termes du second ordre, on peut Fig, 6.
calculer aisément ces divers éléments.
Pour cela, abaissons les perpendiculaires N’NI à .1 et à N’VI; la résolution des
triangles et d’une part, et du quadrilatère curviligne RMN~N~ assimilé à un
rectangle, d’autre part, donne :
soit, tous calculs faits,
Ces résultats acquis, considérons un autre point P du plan qui/avant déformation, se
trouvait sur la perpendiculaire OT à à au point 0. Soient x’ et coordonnées de P.
Sous l’action des effets de magnétostriction, le point P est soumis à 3 déplacements
consécutifs :
1° Un déplacement PP’ = P y’, dû à la contraction ; ;
° - = p’X’, - p’ ; 1
3° Une rotation d’angle a correspondant au déplacement N N du point N et qui
amène le point P" en P"’ .
2.
18
Le déplacement résultant PP"’ correspond : *.
PR’
11 à une contraction pT parallèlement à OT ;
21 à un glissement R’P"’ parallèlement à A, soit un glissement unitaire.
R’P"
,q = OP »
En abaissant les perpendiculaires P’A sur OT et P’B sur PIA, on trouve, en raisonnant
comme plus haut et en confondant les points R’ et RB très voisins si la rotation oc est faible :
Tous calculs faits, on trouve : -.
Conclusion. --- Pour conclure cette étude, posons le problème sous une autre forme.
Considérons (fig. 7) une feuille plane indéfinie en métal magnétique d’épaisseur ~.
_
Fig. 7.
Imaginons, dans ce plan, une droite à dont tous le-s points seront astreints, quoi qu’il arrive, à se déplacer sur cette droite, et faisons agir sur la feuille métallique un champ uni-
forme de valeur parallèle à la plaque et faisant un angle p avec la direction T perpendi-
culaire à à .
Les déformations dues à la magnétostriction se traduiront dans le cas présent par :
1° Une contraction suivant ~,
2’ Une contraction suivant la perpendiculaire T à A,
3° Un glissement des diverses couches du métal parallèlement à .1 et de valeur
unitaire :
40 Une contraction dans le sens de l’épaisseur et de valeur pB
4. Déformation d’un cylindre. - Considérons un tube cylindrique en matièi, magnétique. Soient : L, sa longueur ; 1~, son rayon moyen ; z, son épaisseur r ,
Nous supposerons, pour simplifier, que l’épaisseur e est faible devant le rayon moyen ri.
Cela étant, supposons ce cylindre fixé par son extrémité supérieure à un support quel-
conque et faisons agir sur llli simultanément 2 champs continus :
i° L’n champ uniforme de valeur H dirigé parallèlement à l’axe du cylindre ;
20 Un champ circulaire C, produit par un courant I traversant un conducteur disposé
suivante l’axe du tube et isolé.
Si é est faible devant on peut admettre que le champ circulaire est le même en tous
points du métal et égal à
Par suite, en tout point ~I du tube, le métal est soumis à l’action simultanée de deux
champs H et C qui admettent une résultante de valeur .
et faisant avec la génératrice correspondante du cylindre un angle q tel que
Sous l’action de ce champ, le tube se déforme, en se contractant ou en se dilatant,
suivant la direction du champ résultant DC et suivant toute direction perpendiculaire.
En outre, tous les points qui se trouvent sur la circonférence d’encastrement sont astreints à rester dans le plan de cette circonférence.
On se trouve dans des conditions tout à fait identiques à celles que nous avons envi-
°
sagées dans l’étude de la feuille plane.
La circonférence d’encastrement jouant le rôle de la droite 1, et le champ résultant ;Je,
celui du champ uniforme inducteur.
Le cas actuel peut se déduire du précédent en enroulant la feuille métallique autour
’
d’un axe parallèle à son plan et perpendiculaire à la direction de A, la droite A s’enroulant suivant la circonférence d’encastrement.
Il en résulte que les déformations du tube seront :
1° Une déformation radiale, provoquée par la contraction suivant la circonférence du tube :
2° Une déformation axiale de taux :
3° Un glissement parallèlement à la circonférence d’encastrement, d’où une torsion de valeur unitaire :
4° Une variation d’épaisseur de taux p’ .
En remplaçant q par sa valeur en fonction de H et C, il vient finalement :
La seule formule qui nous intéresse pour le moment est la troisième, qui permet de cal-
culer l’angle de torsion, donc l’effet Wiedemann. Nous la discuterons seule dans ce qui suit.
Discussion. -- L’expression de l’angle de torsion : -.
’
permet de rendre compte de toutes les particularités de l’effet Wiedemann, contrai-
rement à la formule approchée de M. Williams.
Sans pousser la discussion plus loin, nous voyons immédiatement que la torsion s’an=
nule dès que l’un ou l’autre des deux champs devient nul, auquel cas il ne subsiste plus que les contractions pr et Pa dues aux effets Joule simples ; entre ces deux extrêmes, on peut
trouver un maximum de torsion, dont nous rechercherons l’expression plus loin et qui est indépendant du maximum de l’effet Joule.
Enfin, la torsion peut s’annuler, même si les champs inducteurs et l’effet Joule ne sont pas nuls : il suffit pour cela que les coefficients p et p’ des deux effets Joule soient égaux et
de mêmes signes, ce qui peut se produire dans le cas du fer (voir courbes de la fig. 3).
. Le sens de la torsion change avec le signe du facteur (p - p’), ce qui explique que la rotation de l’extrémité du tube soit de signes contraires avec le fer et le nickel.
Enfin, elle s’inverse lorsque l’un des facteurs H ou C change de signe.
La discussion complète de la formule (4) serait complexe. Elle devient, au contraire,
très simple dès que l’un des champs devient faible devant l’autre.
Nous étudierons d’abord ce cas en supposant, pour fixer les idées : C Il.
Dans ce cas, on peut négliger C2 devant H2 et l’expression de fi devient
De plus, p et p’, qui sont fonctions du champ résultant Je = + C!, peuvent être regardés comme simplement fonctions de H.
Il en résulte tout d’abord que la torsion est une fonction linéaire du champ le plus
faible C, dans les limites où on peut négliger C~ devant H2.
La variation de la torsion en fonction du champ le plus grand H est plus complexe ;
elle varie comme la fonction
Les fonctions p et ol ne sont pas connues analytiquement, mais données par des courbes
expérimentales. ’
Imaginons-les connues et supposons qu’elles se présentent sous la forme de la figure 8 (courbes en trait plein).
La fonction p - p’ sera représentée par la courbe pointillée, dont les ordonnées
sont la différence algébrique des ordonnées
des courbes de p et p’, et la fonction y
= p - p’,
H 1par la tangente de c’est-à-dire le coefficient angulaire de la corde OM.
On peut donc écrire :
La discussion de la variation de 0 à C constant en fonction du champ H devient alors très simple.
Pour de faibles valeurs de H, la torsion obéit à la formule (4), c’est-à-dire varie à peu
près proportionnellement à Il. >
Dès que CI devient négligeable devant H9, la torsion est régie par la formule (6). Elle
Fig. 8.
continue à croître rapidement, passe par un maximum pour la valeur Il de H pour laquelle
la corde devient tangente en A à la courbe pointillée ; puis elle diminue d’abord plus rapi- dement, ensuite lentement. Elle s’annule lorsque H a atteint la valeur pour laquelle
p = ~’, et s’inverse.
Le maximum de torsion a lieu pour la valeur de H qui correspond au maximum de tg (3, valeur qui ne dépend pas de C.
Nous avons supposé jusqu’ici que le champ circulaire C était petit devant H, mais
le raisonnement précédent s’appliquerait sans modification au cas où H serait petit
devant C, les rôles des deux champs étant simplement intervertis.
Dans ce cas, 9 serait donné par la formule :
Il s’ensuit que la torsion serait proportionnelle à H et varierait en fonction de C comme le facteur
Enfin, si les champs H et C sont du même ordre de grandeur, on doit utiliser la formule complète (4), difficile à discuter ; mais, en pratique, la région de courbe pour
laquelle les deux champs sont voisins est assez courte pour qu’on puisse la tracer par extra-
polation entre les deux portions de courbes régies par les formules 6 et 7.
5. Comparaison avec i’expérience. 2013A. Variation à constant et à variable. - Dans les expériences de M. Williams, le champ circulaire C est produit par un courant de l’ordre de quelques ampères circulant dans l’axe des tubes de rayon moyen 1 mm
2 I
environ. Il s’ensuit que le champ C = 10r est de l’ordre de quelques gauss. Au contraire,
